反三角函数的泰勒公式

泰勒级数展开公式如下图所示。其中x0x0为区间（a,b)中的某一点， x0∈（a,b)，变量xx也在区间（a,b)内。展开条件是：有实函数f，f在闭区间［a,b]是连续的，f在开区间（a,b)是n+1阶可微。泰勒公式来源：泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

常用泰勒展开公式如下：1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<1)6、arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<1)7、arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)8、sinhx=x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、coshx=1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinhx=x-1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5-……(|x|<1)11、arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+……(|x|<1)扩展资料：泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）

8个常用泰勒公式展开是如下：1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。

泰勒展开式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x) 。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。相关信息：泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

泰勒展开式常用公式是f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+[f""(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数，常用公式为f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+[f""(a)/2！］(x-a)^2+……＋[f(n)(a)/n！］(a)(x-a)^n。几何意义：泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

泰勒公式（Taylor"s formula） 形式1:带Peano余项的Taylor公式： 若f(x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个邻域(x0-δ，x0+δ）内任意一点x(δ>0)，成立下式：f(x)=f(x0)+f"(x0)/1!*(x-x0)+f""(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0处的取值 (可以反复使用L"Hospital法则来推导)形式2：:带Lagrange余项的Taylor公式： 若 函数f(x）在闭区间[a，b]上有n阶连续 导数，在(a,b)上有n+1阶导数。任取x0∈[a,b]是一定点，则对任意x∈[a,b]成立下式： f(x)=f(x。)+f"(x。)(x-x。)+f""(x。)/2!*(x-x。)^2,+f"""(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之间，是依赖于x的量。（注：f(n)(x。)是f(x。)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。） 正在加载泰勒公式）函数的Maclaurin展开指上面Taylor公式中x0取0的情况，即是Taylor公式的特殊形式，反过来通过平移和换元，Maclaurin展开式和上面的展开式是等价的。Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等。

泰勒公式展开是：泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：其中，f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。实际应用中：泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。泰勒展开式的重要性体现在以下三个方面：幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

泰勒公式展开是：f(x)在x=0。泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

ln(1-x)的泰勒级数展开是：ln(1-x)=ln=Σ（-1)^(n+1)(-x)^n/n=Σx^n/n，－1≤x。泰勒展开f（x）＝f（0）＋f′（0）x+f″（0）x²。泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。例如：y = ln (1 + x)的泰勒展开式为：y = ln (1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + 。当 |x| < 1="" 时,ln="" (1="" +="" x)="" -（x="" -="" x^2/2）="x^3/3" -="" x^4/4="" +="" .=> 0。因此 ln(1 + x) > x - x^2/2。

如图：（注意“麦克劳林级数”是“泰勒级数”的特殊形式，是展开位置为0的泰勒级数）。一阶导数，系数=1/(x+1)=1/(1+x0)。二阶导数，系数=-1/(1+x)^2=-1/(1+x0)^2数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。扩展资料实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。4、证明不等式。5、求待定式的极限。

泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+(1/2！)f""(a)(x-a)^2+……+(1/n！)f(n)(a)(x-a)^n+……设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①令x=a则a0=f(a)将①式两边求一阶导数，得f"(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②令x=a，得a1=f"(a)对②两边求导，得f"(x)=2！a2+a3(x-a)+……令x=a，得a2=f""(a)/2！继续下去可得an=f(n)(a)/n！所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+[f""(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n+……泰勒公式展开在物理学应用物理学上的一切原理定理公式都是用泰勒展开做近似得到的简谐振动对应的势能具有x^2的形式，并且能在数学上精确求解。为了处理一般的情况，物理学首先关注平衡状态，可以认为是“不动”的情况。为了达到“动”的效果，会给平衡态加上一个微扰，使物体振动。在这种情况下，势场往往是复杂的，因此振动的具体形式很难求解。这时，Taylor展开就开始发挥威力了！

泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+(1/2!)f""(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①令x=a则a0=f(a)将①式两边求一阶导数，得f"(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②令x=a,得a1=f"(a)对②两边求导，得f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……令x=a,得a2=f""(a)/2!继续下去可得an=f(n)(a)/n!所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+[f""(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。.不知道满不满意.

一个函数N阶可导,则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开即f(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)+f""(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0Xf＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数.0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数,也可由已知的函数的导数值推出原函数.多用于求极限问题比如求lim(e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x=1+x+x/2;那么lim(e＾x-x-1)/x=lim(1+x+x/2-x-1)/x=1/2答案补充用导数定义去理解f"(x)=lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0那么就有当x->x0时limf(x)-f(x0)=f"(x)(x-x0)limf(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小，一般用于证明题

如下：1、x^a=x0^a+ax0^(a-1)(x-x0)+a(a-1)x0^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。2、(1+x)^a=(1+x0)^a+a(1+x0)^(a-1)(x-x0)+a(a-1)(1+x0)^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。3、1/x=1/x0-(x-x0)/x0^2+(x-x0)^2/x0^3-(x-x0)^3/x0^4+…+(-1)^n(x-x0)^n/x0^(n+1)+o((x-x0)^n)。4、1/(1-x)=1/(1-x0)+(x-x0)/(1-x0)^2+(x-x0)^2/(1-x0)^3+(x-x0)^3/(1-x0)^4+…+(x-x0)^n/(1-x0)^(n+1)+o((x-x0)^n)。5、e^x=e^x0+e^x0(x-x0)+e^x0(x-x0)^2/2+…+e^x0(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。6、lnx=lnx0+(x-x0)/x0-(x-x0)^2/(2x0^2)+(x-x0)^3/(3x0^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(nx0^n)+o((x-x0)^n)。7、ln(1+x)=ln(1+x0)+(x-x0)/(1+x0)-(x-x0)^2/(2(1+x0)^2)+(x-x0)^3/(3(1+x0)^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(n(1+x0)^n)+o((x-x0)^n)。8、sinx=sinx0+(x-x0)sin(x0+π/2)+(x-x0)^2sin(x0+π)/2+…+(x-x0)^nsin(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)。9、cosx=cosx0+(x-x0)cos(x0+π/2)+(x-x0)^2cos(x0+π)/2+…+(x-x0)^ncos(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)。10、Tn(x)+o((x-x0)^n)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。

tanx的泰勒展开式的求法是：tanx=x+x^3/3+(2x^5)/15+(17x^7)/315+(62x^9)/2835+O[x]^11(|x|<π/2)。 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

常用的只有六个具备口诀，具体如下：1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下 ：(1)应用泰勒中值定理（泰勒公式）可以证明中值等式或不等式命题。(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

泰勒公式是一个用函数在某点信息描述其附近取值的公式，如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数，构建一个多项式来近似表达这个函数。

内容如下：1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。相关内容解释：在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

(arcsinx)`=(1-x^2)^(-1/2)(幂级数展开，泰勒公式)=1+∑(n=1～∞)[(2n-1)!!×x^(2n)]/(2n)!!arcsinx=arcsin0+∫<0,x>{1+∑(n=1～∞)[(2n-1)!!×t^(2n)]/(2n)!!}dt=x+∑(n=1～∞)[(2n-1)!!×x^(2n+1)]/[(2n)!!(2n+1)]arcsin1=1+(1/6)+(3/40)+…+(2n-1)!!/[(2n+1)(2n)!!]+o(1)取前三项，则arcsin1≈1+(1/6))+(3/40)=1.2417个位是精确值，随着取的项数的增加，近似程度会越来越高

consider1/(1-t) = 1+t+t^2+....t= 3x/2f(x) = 1/(2-3x)=(1/2)[ 1/(1-3x/2)] = (1/2) [ 1 + (3x/2) + (3x/2)^2 +...... ]

常用泰勒展开公式如下：1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……。2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)。3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)。4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)。5、arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<1)。6、arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<1)。7、arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)。8、sinhx=x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)。9、coshx=1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)。10、arcsinhx=x-1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5-……(|x|<1)。11、arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+……(|x|<1)。泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）

泰勒公式展开式大全1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。含义泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

如图：如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。简介泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

1.sinx∧2的泰勒公式展开式：sinx∧2=1/2（1-cos2x）。 2.泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 3.如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 4.函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。 5.函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y和x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。 6.其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

如下图：泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。几何意义：泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

常用泰勒展开公式如下：1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。

常用泰勒展开公式如下：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

泰勒级数展开公式如下图所示。其中x0x0为区间（a,b)中的某一点， x0∈（a,b)，变量xx也在区间（a,b)内。展开条件是：有实函数f，f在闭区间［a,b]是连续的，f在开区间（a,b)是n+1阶可微。泰勒公式来源：泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

泰勒展开式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x) 。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。相关信息：泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

函数f(x)的泰勒展开式就是它所对应的泰勒多项式与一个比(x-x0)^n高阶的无穷小的和，即Tn(x)+o((x-x0)^n)=f(x0)+f"(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。它是所有泰勒展开式的基础，因此算作第一个常用的泰勒展开始。其余九个常见的泰勒展开式分别包括：1、x^a=x0^a+ax0^(a-1)(x-x0)+a(a-1)x0^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。2、(1+x)^a=(1+x0)^a+a(1+x0)^(a-1)(x-x0)+a(a-1)(1+x0)^(a-2)(x-x0)^2/2+…+a(a-1)…(a-n+1)(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。3、1/x=1/x0-(x-x0)/x0^2+(x-x0)^2/x0^3-(x-x0)^3/x0^4+…+(-1)^n(x-x0)^n/x0^(n+1)+o((x-x0)^n)。4、1/(1-x)=1/(1-x0)+(x-x0)/(1-x0)^2+(x-x0)^2/(1-x0)^3+(x-x0)^3/(1-x0)^4+…+(x-x0)^n/(1-x0)^(n+1)+o((x-x0)^n)。5、e^x=e^x0+e^x0(x-x0)+e^x0(x-x0)^2/2+…+e^x0(x-x0)^n/n!+o((x-x0)^n)。6、lnx=lnx0+(x-x0)/x0-(x-x0)^2/(2x0^2)+(x-x0)^3/(3x0^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(nx0^n)+o((x-x0)^n)。7、ln(1+x)=ln(1+x0)+(x-x0)/(1+x0)-(x-x0)^2/(2(1+x0)^2)+(x-x0)^3/(3(1+x0)^3)+…+(-1)^(n+1)(x-x0)^n/(n(1+x0)^n)+o((x-x0)^n)。8、sinx=sinx0+(x-x0)sin(x0+π/2)+(x-x0)^2sin(x0+π)/2+…+(x-x0)^nsin(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)。9、cosx=cosx0+(x-x0)cos(x0+π/2)+(x-x0)^2cos(x0+π)/2+…+(x-x0)^ncos(x0+nπ/2)/n!+o((x-x0)^n)。泰勒公式的几何意义：泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

泰勒展开式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x) 。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。相关信息：泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

sinx的泰勒展开式如下：根据导数表得：f(x)=sinx,f"(x)=cosx,f""(x)=-sinx,f"""(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f"(0)=1,f""(x)=0,f"""(0)=-1,f⑷＝0……最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项。另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

泰勒级数展开公式如下图所示。其中x0x0为区间（a,b)中的某一点， x0∈（a,b)，变量xx也在区间（a,b)内。展开条件是：有实函数f，f在闭区间［a,b]是连续的，f在开区间（a,b)是n+1阶可微。泰勒公式来源：泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

sinx用泰勒公式展开是sinx=x-1/3！x^3+1/5！x^5+o（x ^5）。sinx的泰勒展开式是不固定的，sin(sinx)∽x，设sinx=t，则sint~t，所以sint~t~sinx~x，由等价无穷小的传递性，因此泰勒展开为x，也可以直接算，求五次导数，可以解出除了x项以外都是0。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。高等数学中的应用在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

内容如下：1、sinx=x-1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正弦展开公式，在求极限的时候可以把sinx用泰勒公式展开代替。2、arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正弦展开公式，在求极限的时候可以把arcsinx用泰勒公式展开代替。3、tanx=x+1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的正切展开公式，在求极限的时候可以把tanx用泰勒公式展开代替。4、arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)，这是泰勒公式的反正切展开公式，在求极限的时候可以把arctanx用泰勒公式展开代替。5、ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的ln(1+x)展开公式，在求极限的时候可以把ln(1+x)用泰勒公式展开代替。6、cosx=1-1/2x^2+o(x^2)，这是泰勒公式的余弦展开公式，在求极限的时候可以把cosx用泰勒公式展开代替。相关信息：泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……（无限项）sinx=x-x^3/3+x^5/5+…… （无限项）cosx=1-x^2/2+x^4/4+…… （无限项）

一个二元函数f(x,y)在点(a,b)上的泰勒展开式为：f(x,y)=f(a,b)+df(a,b)/dx[x-a]+df(a,b)/dy[y-b]+d^2f(a,b)/dx^2[x-a]^2/2+d^2f(a,b)/dy^2[y-b]^2/2+d^2f(a,b)/[dxdy][x-a][y-b]+h。其中，h为余项。当f(x,y)二阶导数连续，x->a，y->b时，h是[(x-a)(y-b)]的高阶无穷小量。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

二元函数泰勒展开公式：f(x，y)=f(a，b)+df(a，b)/dx[x-a]。泰勒公式，应用于数字、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。函数(function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映别的观点出发。而x的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f(x)，得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f(x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

泰勒展开式常用公式是f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+[f""(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。常用公式为f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+[f""(a)/2！］(x-a)^2+……＋[f(n)(a)/n！］(a)(x-a)^n。在高等数学的理论研究及应用实践中，泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：(1)应用泰勒中值定理（泰勒公式）可以证明中值等式或不等式命题。(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

ex=@@^@n其中，x属于n阶幻方，n属于正整数集，n的个数为幻方的阶，n=@2^时，幻方的阶为25时，幻方的阶为36时，幻方的阶为8，时，幻方的阶为2，时，幻方的阶为1，时，幻方的阶为0，幻方的总阶数为幻方的阶数加上1阶幻方展开式中的非幻方因素。

同学 证明过程好麻烦打字好辛苦的

常用泰勒展开公式如下：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)7、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)tanx的泰勒展开式的求法是：tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62x^9)/2835+O[x]^11(|x|<π/2)。  泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下。泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的领域中的值。泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。4、证明不等式。5、求待定式的极限。

tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+...+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!+......(|x|<π/2)。简介泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

taylor公式如下：taylor公式，也叫做泰勒公式，也称为泰勒中值定理，是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的一个重要考点。其内容是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数f(x)在含x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶导数，则可以用泰勒展开公式去逼近原函数。泰勒公式的运用：应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。应用泰勒公式可以求解一些极限。应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

泰勒展开式是1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x) 。泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。相关信息：泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

十个常用的泰勒展开公式有如下泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。几何意义：泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

根据导数表得：f(x)=sinx,f"(x)=cosx,f""(x)=-sinx,f"""(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f"(0)=1,f""(x)=0,f"""(0)=-1,f⑷＝0……最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）

泰勒公式（Taylor"sformula）f(x)=f(0)+f"(0)x+f""(0)/2!?x^2,+f"""(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1)!*(x-x.)^(n+1），这里ξ在x和x。之间，该余项称为拉格朗日型的余项。证明泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+(1/2!)f""(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①令x=a则a0=f(a)将①式两边求一阶导数，得f"(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②令x=a,得a1=f"(a)对②两边求导，得f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……令x=a,得a2=f""(a)/2!继续下去可得an=f(n)(a)/n!所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+[f""(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。　泰勒公式求各种三角函数，如sin,cosx,tanx,cotx　展开三角函数y=sinx和y=cosx。　　解：根据导数表得：f(x)=sinx,f"(x)=cosx,f""(x)=-sinx,f"""(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……　　于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f"(0)=1,f""(x)=0,f"""(0)=-1,f⑷=0……　　最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）　　类似地，可以展开y=cosx。给你结论吧sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835++[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!+.(|x|<π/2).

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒级数：只要一个函数无穷光滑，那么泰勒级数就存在，但是不一定收敛，而且即使收敛，也不一定收敛于原函数。泰勒公式：就是会有余项，多用在极限计算和中值定理，应用的条件只要函数在待考察的区间上有n+1阶导数，就有 （拉格朗日余项），这个的成立与否不需要考虑自变量的取值问题泰勒展开式：泰勒展开式的方向是从函数变成级数，而且要求级数必须收敛，并且必须收敛于被展开函数在对应点所取到的函数值。所以会有收敛域泰勒级数定义 如果 在点 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点 处的泰勒级数。泰勒公式定义若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任意一点 ，成立下式： 是泰勒公式的余项泰勒展开式定义 这个会有收敛区间，这个就是其和泰勒公式的区别，比如 在其定义域内泰勒公式都成立，但是泰勒展开式却只有在 内成立，这就是区别，可以说在收敛区间内两个是一致，但是不在收敛区间时就不一定了。泰勒级数可以说只是代表一种计算方式。所以这三种是有很大区别的，别再傻傻分不清了。

anx的泰勒展开式：tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11(|x|<π/2)。泰勒公式展开在物理学应用：物理学上的一切原理定理公式都是用泰勒展开做近似得到的简谐振动对应的势能具有x^2的形式，并且能在数学上精确求解。为了处理一般的情况，物理学首先关注平衡状态，可以认为是“不动”的情况。为了达到“动”的效果，会给平衡态加上一个微扰，使物体振动。在这种情况下，势场往往是复杂的，因此振动的具体形式很难求解。这时，Taylor展开就开始发挥威力了！理论力学中的小振动理论告诉我们，在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式，零次项可取为0，一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0，从二次项开始不为零。如果精确到二级近似，则势能的形式与简谐运动完全相同，因此很容易求解。这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用。反思一下这么处理的原因：首先，x^2形式的势能对应于简谐运动，能精确求解；其次，Taylor级数有较好的近似，x^2之后的项在一定条件下可以忽略。这保证了解的精确性。