复变函数的幂级数展开

如图所示：

因为解析函数的虚部是实部的共轭调和函数,所以只需要求出与u共轭的调和函数就行了根据柯西黎曼方程,∂u/∂x=∂v/∂y=3x²+12yx-3y²於是对y进行积分,v=3x²y+6xy²-y³+C(x)而∂v/∂x=-∂u/∂y=-6x²+6xy+6y²於是把v=3x²y+6xy²-y³+C(x)两边对x求导∂v/∂x=6xy+6y²+C"(x)比较∂v/∂x=-6x²+6xy+6y²可知,C"(x)=-6x²,C(x)=-2x³+C於是v=-2x³+3x²y+6xy²-y³+C而f(0)=f(0+0i)=u(0,0)+iv(0,0)=0即0+iC=0,C=0∴f(z)=x³+6x²y-3xy²-2y³+i(-2x³+3x²y+6xy²-y³)

解决这个问题主要是运用公式w^z=exp(z*Lnw)=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}其中w、z是复数，注意Lnw是多值函数！所以下面的结果都是多值函数，不同的值通过不同的k来区别。令θ=arg(a+ib),R=√(a²+b²)，则(a+ib)^(a+ib)=exp{[i(θ+2kπ)+lnR]*(a+ib)}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*exp{i[(θ+2kπ)*a+blnR]}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*{cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]令φ=arg(cosa+icosb),K=√[r²(cos²a+cos²b)]，则(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))=exp{i(φ+2kπ+lnK)*r*(cosa+i*cosb)}=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*exp{i*r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*(cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]})=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}i^i=exp{i[(π/2)+2kπ]*i}=exp{-[(π/2)+2kπ]}，其中k∈Z

复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数[1] ，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)这个记号表示，ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv，那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明，函数一般指单值函数，即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，f(z)=是复平面上的复变函数。但f(z)=在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。对于z∈A,(z)的全体所成的数集称为A关于的像，记为(A)。函数规定了A与(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果(A)∈A*，称把A映入A*。如果(A)=A*，则称把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射，如果z1与z2相异必导致(z1)与(z2)也相异，则称是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为的反函数，记为z=ƒ-1(w)设(z)是A上的复变函数，α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时，|(z)-(α)|<ε恒成立，则称(z)在α处是连续的，如果在A上处处连续，则称为A上的连续函数或连续映射。设是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ，当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|(z1)-(z2)|<ε恒成立。这个性质称为(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。设(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D，如果极限存在且有限，则称(z)在z处是可导的，此极限值称为(z)在z处的导数，记为"(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数，而且可以展成一个收敛的幂级数（见解析函数）。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。希望我能帮助你解疑释惑。

复变函数负幂项是0。根据查询相关公开信息显示，复变函数解析点处的展开式没有负幂项，负幂项系数是零。

如图所示：

有点难，幸好有现成答案，而且推广开来了求 ：(a+i*b)^(a+i*b)和(r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))结果的一般形式解决这个问题主要是运用公式w^z=exp(z*Lnw)=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}其中w、z是复数，注意Lnw是多值函数！所以下面的结果都是多值函数，不同的值通过不同的k来区别。令θ=arg(a+ib),R=√(a²+b²)，则 (a+ib)^(a+ib)=exp{[i(θ+2kπ)+lnR]*(a+ib)}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*exp{i[(θ+2kπ)*a+blnR]}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*{cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]}=exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*cos[(θ+2kπ)*a+blnR]+i*exp{-(θ+2kπ)*b)+alnR}*sin[(θ+2kπ)*a+blnR]令φ=arg(cosa+icosb),K=√[r²(cos²a+cos²b)]，则 (r*(cosa+i*cosb))^(r*(cosa+i*cosb))=exp{i(φ+2kπ+lnK)*r*(cosa+i*cosb)}=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*exp{i*r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*(cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]})=exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*cos{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}+i*exp{-r*[(φ+2kπ)*cosb+cosa*lnK]}*sin{r*[(φ+2kπ)*cosa+cosb*lnK]}你的问题是a=0，b=1的特殊情况，结果如下：i^i=exp{i[(π/2)+2kπ]*i}=exp{-[(π/2)+2kπ]}，其中k∈Z

幂级数在其收敛半径内一致收敛 由一致收敛的连续函数项级数其和必连续这个定理在数学分析课程中有证日月

求对数，ln(i^i)=i lni=i (ln|i| + i arg i)=i (0+iπ)=-π；故i^i=e^(-π)；实部为e^(-π) 虚部为0。规定i=-1，并且i可以与实数在一起按照同样的运算律进行四则运算，i叫做虚数单位。虚数单位i的幂具有周期性，虚数单位用I表示，是欧拉在1748年在其《无穷小分析理论》中提出，但没有受到重视。1801年经高斯系统使用后，才被普遍采用。来源虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。“虚数”一词首先由笛卡儿提出。早在1800年就有人用(a，b)点来表示a+bi，他们可能是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞尔，并且由他第一个给出复数的向量运算法则。“i”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母，不是来源于英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。

厉害啊

一般采取间接法展开通常要记住书中的一些基本幂级数展开式，并将相关函数整理成类似的表达式后进行替代如：1/(1-x)=1+x^2+x^3+……+x^n+…… （-1<x<1) 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+……+(-1)^n * x^n+…… （-1<x<1) ……

？v

幂级数的展开必须有范围的|z|<1在单位圆盘内展开 你看看数学分析中的知识点

复变函数中，幂函数和指数函数都是多值函数(1+i)^i=[√2*e^(2kπ+π/4)i]^i=2^(i/2)*e^(-2kπ-π/4)=(e^ln2)^(i/2)*e^(2kπ-π/4)=e^(ln2/2)i*e^(2kπ-π/4)=e^(2kπ-π/4)*[cos(ln2/2)+i*sin(ln2/2)]，其中k是任意整数

z/(z+1)=1-1/(1+z)=1-∑(-z)^n＝∑(-1)^(n+1)×z^n，|z|＜1。其中n的取值从1到∞。

只要超出泰勒级数的收敛域，就是满足你要求的幂级数例如f(z)=1+z+z^2+...当|z|<1时，f(z)=1/(1-z)，是泰勒级数当z>1时，f(z)不收敛，不是泰勒级数，但是幂级数

定义域就是把在数学上没有意义或者不可能实现的情况排除，例如最起码的就是不论如何，分母不能为0；再例如，由于复自然指数函数exp(z)的值是不可能为0的，所以作为它的反函数，指数函数Ln(z)的自变量就不可能等于0对于(1)，作为幂函数(多项式、单项式函数)，它是通过四则混合运算定义出来的，而任何两个复数之间都可以进行加减乘除，因此它的定义域就是全体复数(2)同上(3)是一个分式函数(有理函数)，最最起码的就是分母不能为0，因此它的定义域就是复数域里抠掉3/2，即C{3/2}

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

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这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

ln(3+4i)=ln5+iarctg(4/3)

f(z)= - Sum[((z-1)^(2k+1) + (z-1)^2k) / (-4)^(k+1) ,{k,0,Infinity}] ;|z-1|<2; =(1/(z-1) + 1/(z-1)^2)Sum[(-1)^k (2 / (z-1))^2k ,{k,0,Infinity}] ;|z-1|>2

复数的概念 1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z ? 2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。 3）arg?z?与arctany之间的关系如下： x y ； x y??xy??x 当x?0, argz?arctan ? y?0,argz?arctan?? 当x?0,? ?y?0,argz?arctan?? ； 4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。 5）指数表示：z? (二) 复数的运算 1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法： 1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则 z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?； zei?，其中??argz。 z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1 ????i2222z2x2?iy2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2 z1ei?1,z2?z2ei?2, 。 2）

形式如下。指数函数，对数函数，幂函数，三角函数和双曲函数，复变函数，是指以复数作为自变量和因变量的函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。

这道题涉及到儒歇定理：设函数f(z),g(z)在闭路C及其内部解析（即内部处处可导）且在C上有不等式|f(z)|>|g(z)|，则在C的内部f(z)+g(z)和f(z)的零点个数相等这道题就是把2.5代入f(z)=z＾5,和g(z)=5z＾3+z-2|f(z)|>|g(z)|根据儒歇定理可知z＾5=0与z＾5+5z＾3+z-2=0的根相同因为z＾5=0在有|z|<5／2内有五阶零点z=0，即f(z)=z＾5有5个零点,所以z＾5+5z＾3+z-2=0有五个根。即五个零点。

根据v的表达式得到其对y的偏导数为vy=-2；根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。上式对y求导，得到uy=C"(y)；另外，根据v的表达式，对x的偏导数为vx=4x+1，根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即C"(y)=4x+1.这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。

　　解：分享一种解法。∵(sinz)^2=1/2-(1/2)cos2z，而cos2z=1-(z^2)/(2!)+……+=∑[(-1)^n][z^(2n)]/(2n)!（n=0,1,2……，∞）　　∴(sinz)^2=1/2-(1/2)cos2z=1/2-(1/2)∑[(-1)^n][z^(2n)]/(2n)!（n=0,1,2……，∞）。供参考。

0处泰勒级数收敛半径pi/2;0处罗伦级数收敛半径pi/2<R<pi*3/2;

复变函数就是以复数为研究对象的函数,可以看作是高数从实数域到复数域的扩充.它的部分内容,如函数可导和解析的判定、函数积分、幂级数的展开等,与高数相应部分内容是极为相似的.但也有部分内容与高数不同.至于作用,...

不难

第1章复数和复变函数1.1　复数与复平面习题1-11.2　复数的向量表示和极坐标表示习题1-21.3　黎曼球面和扩充复平面习题1-31.4复平面上的点集习题1-41.5复变函数的极限和连续性习题1-5第2章　解析函数2.1解析函数习题2-12.2　柯西一黎曼方程习题2-22.3　初等函数2.3.1指数函数、三角函数和双曲函数2.3.2对数函数2.3.3幂函数和反三角函数习题2-32.4　调和函数习题2-42.5　解析函数的物理意义2.5.1平面流速场的复势2.5.2静电场的复势2.5.3平面稳定温度场的复势习题2-5第3章　复变函数的积分3.1　逐段光滑曲线与复积分习题3-13.2　积分与道路的无关性习题3-23.3　柯西积分定理习题3-33.4　柯西积分公式习题3-43.5　解析函数的最大模原理习题3-5第4章　解析函数的级数展开4.1复数项级数习题4-14.2泰勒级数习题4-24.3幂级数习题4-34.4罗朗级数习题4-44.5零点和孤立奇点习题4-5第5章　残数理论5.1　残数定理习题5-15.2　残数定理在实积分计算中的应用……第6章　保形变换

[1]：无穷多项正幂次方项，为可去奇点[2]：有限负幂次方项，为极点[3]：无穷多项负幂次方项，为本性奇点

望采纳

调和函数的定义为∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0。对u(x,y)=x^2+xy-y^2，∂u/∂x=2x+y，所以∂^2(u)/∂x^2=2；∂u/∂y=x-2y，所以∂^2(u)/∂y^2=-2。所以∂^2(u)/∂x^2+∂^2(u)/∂y^2=0，u为调和函数设f(z)=u+iv为解析函数，则由Cauchy-Riemann方程知∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y。所以v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C，C为任意常数。所以f(z)=u+iv=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC=(1-i/2)(x+iy)^2+iC=(1-i/2)z^2+iC，再将f(i)=-1+i代入可求得C=1/2，所以f(z)=(1-i/2)z^2+i/2

如图所示：

复变函数中说的某个点是指该点的某个邻域,是区域不是纯粹一个点

　　解：∵[u+v]"x=u"x+v"x=(x^2+4xy+y^2)+(x-y)(2x+4y)-2①，[u+v]"y=u"y+v"y=-(x^2+4xy+y^2)+(x-y)(4x+2y)-2②，　　又，要求f(z)为解析函数，则在全平面满足C-R方程、且ux、uy、vx、vy连续。∴由①+②、利用C-R方程，有ux=3(x^2-y^2)-2，vx=6xy。　　对ux=3(x^2-y^2)-2，分别对x、y积分，有u(x,y)=x^3-3xy^2-2x，v(x,y)=3yx^2-y^3-2y。　　经验证，u(x,y)、v(x,y)满足解析函数的条件，∴f(z)=(x^3-3xy^2-2x)+i(3yx^2-y^3-2y)。供参考。

把复平面割开，使得在割开的区域成单值函数，然后就可以展开了

通过待定系数法进行裂项：设那么即对比系数得到反解得到下面可以求积分了，利用柯西积分公式和高阶导数公式：根据上面求得的即得到接下来可以通过二项式定理或者化为指数的形式进行幂运算。最后的结果如下（含代码）>>fork=1:1

不正确,相关定理是幂级数的和函数在其收敛圆内部是解析的,既然解析就一定没有奇点.正确的说法是,幂级数的和函数在其收敛圆的圆周上一定存在奇点,证明过程可以看教材.

通过待定系数法进行裂项：设那么即对比系数得到反解得到下面可以求积分了，利用柯西积分公式和高阶导数公式：根据上面求得的即得到接下来可以通过二项式定理展开或者化为指数的形式进行幂运算。最后的结果如下（含代码）>> for k=1:10a(k)=sym(1/(i+3)^k*(-1)^k/(1-i)^(11-k));end>> simplify(-2*pi*i*sum(a)-pi*i) ans = pi*(- 1441116905731794964539/92233720368547758080000 - 368933042112445954556233i/368934881474191032320000) >> - 1441116905731794964539/92233720368547758080000 - 368933042112445954556233i/368934881474191032320000ans =  -0.0156 - 1.0000i即

自变量是复数，并且对应的函数值也是复数的函数，就是复变函数。常用的初等函数（一次函数、二次函数、……等等）都是一样的，别的就不然了。例如，三角函数sin(ix)=(i/2)[e^x-e^(-x)],……复变函数在日常生活、工作、生产上没有什么用处，但是在电学、流体力学上有重要的应用。

i^i=e^(i*Argi)=e^(i*i(zkπ+π/2))=e^(-2kπ-π/2),取主值e^(-π/2)