aspen plus有哪些算法

底数不同，指数相同的整式乘法算法：a^n×b^n=(a×b)^n这种运算称为幂运算。例如：1、2^3×3^3=（2×3）^3=2162、2^2×3^2=（2×3）^2=363、2^4×3^4=（2×3）^4=1296扩展资料当幂的指数为负数时，称为“负指数幂”。正数a的-r次幂(r为任何正数)定义为a的r次幂的倒数。如：2的6次方=2^6=2×2×2×2×2×2=4×2×2×2×2=8×2×2×2=16×2×2=32×2=643的4次方=3^4=3×3×3×3=9×3×3=27×3=81如上面的式子所示，2的6次方，就是6个2相乘，3的4次方，就是4个3相乘。如果是比较大的数相乘，还可以结算计算器、计算机等计算工具来进行计算。

相当于每一晨递归或循环计算pow（n/2），然后平方。分奇偶讨论

先倒数再求正数幂

幂函数的X前面的系数必须是1，否则不是幂函数，例如y=2x、y=-x^3等都不是幂函数，所以这里就有M²+2M-2=1，解出来就是m=1或者m=3，得到答案

10的次方相当于在10的后面加上10的次方减1的数用0补上，如10的3次方就是，3减1得到2，所以就在10的后面加上两个0就变成1000。同样10的0.25次方就是3/4个0，所以得到是7.5

因为随着数据量的增加，对数阶，幂函数阶的算法时间开销增加速度逐渐减小，而指数阶阶乘阶消耗时间增加速度太快，但数据量达到一定程度的时候，前者消耗的时间依然在可接受范围内，而后者将超出可接受时间。比如 log n 和n^3 当n=10^9时 一般的电脑按照每秒计算10^9次 。那么n^3的算法已经要消耗数万年的时间才能解决，而log n的算法只需要不到1s就能够出算法

采用Q-S曲线方程法进行外推计算时，其步骤有4:2.3.2.1建立各种类型QS曲线方程Q-S曲线的类型，可以归纳为4种。1)直线型:Q=qSw2)抛物线型:Sw=aQ+bQ23)幂函数型: 4)对数曲线型:Q=a+blgS5)抽水资料不可靠。2.3.2.2鉴别QS曲线类型鉴别Q-S曲线类型，有两种方法。1)伸直法。将曲线方程以直线关系式表示，并以直线关系式中两个相对应的变量建立坐标系，把抽水试验取得的涌水量和相对应的水位降深资料，放到表征各直线关系式的不同直角坐标中去，进行伸直判别。如其在Q-lgS直角坐标中伸直了，则表明抽水试验结果的Q-S关系，符合对数曲线类型。2)曲度法。用曲度n值进行鉴别，其形式如下:煤矿水害防治与管理式中:Q与S为同次抽水的水量和水位降深。当n=1时为直线;1＜n＜2时为幂曲线;n=2时为抛物线;n＞2时为对数曲线。如果n＜1则抽水资料有误。2.3.2.3测定方程参数a、b，外推预测设计降深时的涌水量测定方程参数a、b，有两种方法:(1)图解法利用相对应的直角坐标系图解进行测定。参数a，可看成是各直角坐标系图解中直线在纵坐标上所切的截距线段;参数b，是各直角坐标系图解中直线对水平倾角的正切。(2)最小二乘法精度要求较高时，通常用最小二乘法可获得各参数的计算公式。1)直线型:煤矿水害防治与管理2)抛物线型:煤矿水害防治与管理3)幂函数型:煤矿水害防治与管理4)对数曲线方程:煤矿水害防治与管理式中:n为降深次数。求出方程参数后，将其同设计水位降深值代入原方程式，即可求得预测涌水量。2.3.2.4换算井径由于抽水试验时钻孔的孔径远比开采井筒直径小，为消除井径对涌水量的影响，需进行井径的换算。现有换算公式以井流的水动力条件为依据。1)地下水呈层流时:煤矿水害防治与管理2)地下水呈紊流时:煤矿水害防治与管理

算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着 用系统的方法描述解决问题的策略机制 。对于同一个问题的解决，可能会存在着不同的算法，为了衡量一个算法的优劣，提出了<u>空间复杂度与时间复杂度</u>这两个概念。 一个算法是由 控制结构（顺序、分支和循环3种） 和 原操作（指固有数据类型的操作） 构成的，则算法时间取决于<u>两者的综合效果</u>。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是： <p>从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。</p> 参考文章： 算法的时间复杂度和空间复杂度-总结 时间复杂度，又称时间频度，即 一个算法执行所耗费的时间 。 <u>一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。</u>一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n) n称为 问题的规模 ，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，<i> 若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，*T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。简单来说，就是T(n)在n趋于正无穷时最大也就跟f(n)差不多大。</i> 算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)。常见的时间复杂度有：<p><b>常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(n log2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...。</b></p> <i><b>Log</b><u>2</u><b>8</b>：2为底N的对数，即2的几次方等于8，值为3</i> 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(n log2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) 即：常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 立方阶 < … < 指数阶 < 阶乘 如： 第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n1+n2+n3)=Ο(n3)。 Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。其中Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法。 <i>指数函数：y=ax，对数函数：y=logax，幂函数：y=xa x为变量，a为常量</i>

谨以此文，感谢我在这个学校最喜欢的两个老师之一——肖my老师。本文基本为老师上课说讲授内容加上一部分自己的感悟拼凑而来，写作文本的目的是为自己的算法课程留下一点点东西，站在老师肩膀上形成粗糙的框架，方便以后的复习以及深入。文笔有限，其中包含的错误还请多多包容，不吝赐教。 to do list： 时间复杂度中递归树法；动规，分治新的感悟； 点覆盖：一组点的集合，使得图中所有边都至少与该集合中一个点相连。 支配集：一组点的集合，使得图中所有的点要么属于该集合，要么与该集合相连。 最大团：在一个无向图中找出点数最多的完全图。 独立集：一组点的集合，集合中的顶点两两不相邻。（团转过来） SAT问题：也称布尔可满足性问题。给一组变 其中Ci被称为句子。 点覆盖<->独立集<->最大团 最小割：割是一组边集。如s-t割就是如果去掉这些边，将把原图划分为两个点集，其中一个点集包含s，一个点集包含t。（两个是指不相连，而不是代表不存在边相连，如反向边） decision problem: 是否存在。 search problem:找到一个解。 （这个还能扩展，比如decision problem在多项式时间内解决，所以他是P问题吗） 渐进符号： 注意以上三种都是紧的，对应的两个小写的符号是不紧的，即如下图所示： 概念：算法的时间复杂度是一个函数，用于定性描述算法的运行时间。注意，这个一个代表算法输入字符串长度的函数。 [注]输入字符串长度是一个比较关键的理解，比如在背包问题中，其时间复杂度为O(nW)，因为W不定，所以只能是一个伪多项式时间。 比较：c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! < n^n 大致：常数<对数<幂函数<指数函数<阶乘 对于指数是n相关的进行比较，优先比较指数，再比较底数。 记住一个特例：n (logn)<n!<n n 计算： 一般来说，计算采用主方法和递归树法，其中递归树技巧性比较强，主方法其实也是递归树推导归纳而来，且主方法能得到一个比较紧的结果。 主方法： f(n) = af(n-b)+g(n) =>O( a^(n/b) *g(n) ) P：decision problems有一个多项式算法。 NP（nondeterministic polynomial-time）：decision problems能够在多项式时间内验证。 NPC：NP完全问题，首先这个问题是NP的，其次，其他所有问题都可以多项式时间内归约到它。 NPH：如果所有NP问题都可以多项式时间归约到某个问题，则称该问题为NP困难。 因为NP困难问题未必可以在多项式时间内验证一个解的正确性（即不一定是NP问题），因此即使NP完全问题有多项式时间的解（P=NP），NP困难问题依然可能没有多项式时间的解。因此NP困难问题“至少与NP完全问题一样难”。 一些NP问题能在多项式时间内解决，因为 P∈NP NP难类型问题的证明： 先选好一个已知NP难的问题，然后将已知NP难问题多项式归约到要证明的问题上。先给出这个归约，然后再证明这个归约的正确性。 NPC类型问题的证明： 证明一个问题Y是NPC问题，先说明Y是NP的，然后找到一个NPC问题X，将这个问题X归约到问题Y上，即证明完成。 常见的NPC问题（重要，规约的时候有用！）： packing problems: set-packing，独立集 覆盖问题：集合覆盖问题，顶点覆盖问题 严格满足问题(constraint satisfaction problems)：SAT，3SAT 序列问题：哈密尔顿回路，旅行商问题 划分问题：3D-matching, 3着色问题 数字问题：子集合问题（子集元素之和为t），背包问题 其他：分团问题（是否存在一个规模为k的团） 规约的概念与理解 规约：意味着对问题进行转换，例如将一个未知的问题转换成我们能够解决的问题，转换的过程可能涉及到对问题的输入输出的转换。 自归约：search problem <=p decision problem 归约：A归约到B，也就是说，我们对A套一个函数f，在f函数的作用下形成一个新的问题，对这个问题运用B的黑盒解法，能够解决问题A。 (B <=p A)一般说来，B问题如果可以归约到A问题，也就是说，一个解决A问题的算法可以被用做子函数（子程序）来解决B问题，也就是说，求解B问题不会比求解A问题更困难。因此，如果B问题是困难的，那么A问题也就是困难的，因为不存在求解A问题的高效算法。(最后一句不懂) 我简单说一下我理解的规约，以X规约到Y为准，大概分成两个方面： 注：在 三 的一些实例中细品。 概念：在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。 贪心的证明：先假设贪心算法得到的解不是最优解，假设S1是贪心算法得到的解，而S2是所有最优解中和S1具有最多相同元素的解，然后比较S1和S2，观察S1和S2中第一个（最前面一个）不一样的元素，然后在贪心解S2中将不一样的元素换成S1中的那个元素得到另一个最优解S3，这样S3和S1比S2和S1有更多相同元素，和假设S2是与S1有最多相同元素的最优解矛盾，这样来推导S1是最优解。 我的理解：假设这个不是最优的，但是一定存在一个最优的解在某一个位置之前和我当前解结构是一样的，那么在这个位置，选最优解也可以选当前解，不影响最终答案。 [注]概念很简单，但是实际操作的时候，贪心的角度很重要，同样的贪心，方向对了，算法就是对的。 例子： 给你一系列活动，每个活动有一个起始时间和一个结束时间，要求在活动不冲突的情况下找到一种有最多活动的安排。 对于这个问题，我们有一下几种贪心的角度： ①将任务按照 开始时间 升序排列。 ②将任务按照 结束时间 升序排列。 ③将任务按照 任务时长 升序排列。 ④对于每一个任务，都记录与其他任务冲突的数量，按照 冲突数量 的升序排列。 其中1，3，4都是不可以的。 任务结束时间的贪心证明（反证法）： 假设贪心不是最最优的，那我们在最优解中找一个与当前解有最相似的解。 由图可以知道，贪心贪的就是最早结束，所以如果不是最优，那么最优的结束时间一定晚于贪心的结束时间。 由上图就可以证明。 最大流通常与最小割相联系。 f 为任意一个流，cap为容量，对于任意的s-t割出来的点集（A，B），v( f ) <= cap(A, B)。 当流增加到与割的容量相等时候，就不可能再有增长空间了，称为最大流。 对于割的容量来说，不同的割法会有不同流量，有些割法永远不会有流达到，比如部分A = {s}, B = {V - s}，这种把源点割出来的割法。 综上，通过这种感性的认识，如果能找到一个最小的割，那么这个割就一定是最大能跑到的流（如果流能更高的话在这个割上就会超过容量，反证。） 上图为一条增广路，一条增广路即为一条s-t的路径，在路径上仍有流可以跑，其曾广的流就是该条路径上最小的剩余容量。（相当于每找一条增广路，就至少有一条边达到满流。） 直到在图中找不到增广路，此时已经达到了最大流。 找ST集合：把满流的边去掉，从S出发走到能到的点，遍历的点就是S集合；剩下的点就属于T集合。注意，如果找到了在找S集合的时候找到了T点，说明还可以继续找增广路。 [补]有一个很有趣的延伸，如多源点多终点问题。问：如果我有两个源点s1，s2，两个终点t1，t2，我想求一组流，使得s1-t1，s2-t2的流达到最大，是否可以加一个源点S，S与s1，s2相连，边流无限大；加一个终点T，T与t1，t2相连，边流无限大，然后这组ST的最大流即可。——答案是No，无法保证是s1-t1，s2-t2，有可能交错。 例子讲的感觉不是特别好，对理解感觉起不到很大作用，希望以后有新的想法后进行补充。 规约是一个重要的概念和思想。 一个图的 最大独立集 与 最小点覆盖 是不相交的两个点集，它们的并就是整个点集。 个人理解：独立集和点覆盖都是从点的角度进行划分的，如果我们从边的角度来看，①一个最小的点覆盖即为我集合中的每一个点都尽可能与更多的边相连，②同时，一条边的两个端点中，只能有一个端点在最小点覆盖中[下注] [注]我们假设有一条边两个端点（u，v）都在点覆盖之中，首先显然u，v都不是端点，因为假设u是端点的话只需要选择v即可； 给一个集合S和一堆S的子集S1，S2，...，Sm，问是否存在存在k个子集，使它们的并集为S。 构造： 集合为点，集合中的元素为边，有相同元素的边相连。（注意如果某一元素只在一个子集中出现，应该怎么处理呢！） 规约：在构造的图中找最小的点覆盖，选中的点能覆盖所有的边即为对应集合的并集能包含所有的元素。所以就完成了集合覆盖到点覆盖的规约。 构造：每个句子构造一个三角形，把对应变量但是相反取值的点相连。 规约：3SAT的有一个特点就是，每一个句子中至少有一个为真即可，每个句子都必须是真。将相同变量相反取值相连的目的就是，在最大独立集中，比如选择x为真，则剩下所有句子中x-ba一定不会被选中，同时由独立集和构造出来三角形的性质可以知道，每一个句子，有且仅有一个会被选中（为真）。如上图，x1-ba为真，x2-ba和x3任选一个为真即可满足。 search problem <=p decision version 比如：如果能在多项式时间内找到一个哈密尔顿圈，那么就能在多项式时间内找到一个哈密尔顿圈（删边） 在此再谈P和NP： 我们知道有些问题是可以从搜索问题规约到判断问题的，也就是所该问题如果能在多项式内判断，那么久能在多项式中搜索到，那么我们只需要说，这个判断问题能在多项式时间内求解，就叫做P问题，也就是上图红字的意思；那NP问题呢，必须要给出一个解的实例，判断的是这个实例是否满足求解问题，这个才是上图中的红字。比如，我如果能在多项式时间内判断哈密尔顿圈是否（Yes/No）存在，那这个就是ploy-time algorithm，如果我给出了一系列点，能过多项式时间内判断这些点能否构成哈密尔顿圈，那这个就是poly-time certifier。 构造：把一个点拆分成三个点。 构造：（下面两个图要连在一起看） 从行的角度看，一行代表一个变量；从列的角度来看，每三列代表一个句子。两边中一边是两个点，一边是一个点，所以有k个句子的话，每一行有3k+3个节点。从哈密尔顿圈的答案转到3SAT的答案看这个圈在每一行是从左到右还是从右到左。 子集和问题：给一个集合S，问是否能在集合中选取元素，使得总和为W。 构造：如下图，按照前六行和前三列进行分割，可以分成4部分，其中1,3,4部分是固定的，即在第一部分，变量v列和 变量为v（包括变量及取反）的行对应的格子为0，其余为0；第三部分全为0；第四部分按照12依次写下来。第二部分，如果Ci句子中有变量v，则记为1，因为一个句子只有三个变量，可以简单通过第二部分每一列和为3进行判定。此时集合已经构造出来，W为111444，与上面的规约相似，可以通过3SAT的简单性质进行感性的认知。 近似的想法很简单，要解决一个问题，我们希望能够做到①求解结果是最优的 ②在多项式时间内解决 ③对于任意的实例都能够通过该算法解决。现在对于部分问题，无法完全满足以上要求，所以就牺牲了①，但是我们希望结果不是盲目的，所以就引入了近似的概念。 近似算法。比如2-近似，认为W为近似解，W 为最优解，在求最小值的情况下W<=2W ；在求最大值的情况下，W>=1/2W* 给m个机器和n个任务，每个任务有一个ti的执行时间，我们认为完成最后一个任务所需的时间为负载时间，希望能够让这个负载时间最短。 第一种：将任务依次放在机器上，当某个机器空闲时立即放入新任务。此时是2近似的。 证明： 引理1.最短时间安排是大于等于任务中时间最长的任务，L* >= max tj 我们在考虑放入最后一个任务前，根据我们放置的规则，该机器是耗时最短，也就是说，该机器此时的用时是低于除掉最后一个任务后的平均时长，更低于所有任务的平均时长（引理2）；再根据引理1，最后一个任务应该是小于最优解的。 补充： 在这里，我还想讨论一下这个近似算法的中等于符号，先上结论：等号不一定能够找到一个实例，但是可以构造出一种结构，通过取极限求得，我们认为这样 也算是紧的。 构造实例：有m个机器，其中m(m-1)个任务的用时为1，1个任务的用时为m。肯定有一种任务集合，可以按照以下方式进行安排，此时的贪心解为19。 此时最佳的解为10，如下图： 通过推广可以知道此时的比为（2m-1）/m，当m取极限，能够达到2倍。 第二种：将任务从大到小排序，然后依次放在机器上，当某个机器空闲时立即放入新任务。此时是2近似的。 引理3：如果有大于m个任务，那么L*>=2t(m-1)。证明：t(m+1)是目前最短的任务，且目前所有机器上都有任务了，所以该任务加入时最优的情况不过是加入设备的原有任务刚好和t(m+1)相等，即等号。 （2近似）在n个点中，选取k个中心点，使得这些中心点能够以半径R的圆包含所有的点，让其中最大的半径最小，如下图所示： 基础：距离需要满足的三个定理①(同一性)dist(x, x) = 0 ②(自反)dist(x, y) = dist(y, x) ③(三角不等式)dist(x, y) <=dist(x, z)+dist(z, y) r(C)为C集合中所有点的最大覆盖半径。（需要求min r(C)） 算法：在点集中任选一个作为中心点，然后重复以下步骤k-1次:选取距离已选点集中最远的点，加入点集。 证明：先假设r(C )< 1/2 * r(C)以选好的点画半径为1/2 * r(C)的圆，显然可知[注]，这个圆里有且仅有一个r(C )中的点。那么根据在下图中，根据三角不等式可以得出： [注]在每个点上r(c )一定会包含到c点，而r(C )<1/2 * r(C)，相当于大圆套小圆，所以c*一定在c的圆中。 （2近似）问题还是很好理解的，在点上加权值，要找一个点覆盖，使得权值最小。如下图左边就是一个带权的最小点覆盖。 算法： 任选一条边(i, j)加上代价，这个代价从零开始，且这个代价的最大值低于i和j节点的权值。显然，这个边权值的最大值取决于两个端点权值的最小值，我们认为当边权值与点权值相等时，对应的那个点是紧的。把所有紧的点找出来即为点覆盖。 流程： 证明： 引理：边权之和小于等于点覆盖的点权之和。这主要是由于涉及到一条边上两个点都被选（紧的）的情况，感性认知可以看上图，缩放证明如下： w(S)是等于所选的节点的权值之和的，等于所选节点节点所对应的边权之和，可以把它放大到所有节点对应边权之和，这样因为一条边(u, v)在u上算过一次后还要在v上算一次，所以等于边权和的两倍。再由上面引理可得。 主要为了线性规划和整数规划。 （2近似）没啥好说的，只需要把方程构造出来就行了。 由于求解出来结果不一定是整数，所以我们认为某一点的值大于1/2，就选入点集。 证明： 因为xi+xj >=1,且都是正数，那必至少一个点是大于1/2的（反证，两个都小于1/2则和小于1）。 给你n个物品和一个背包，每个物品有一个价值v和一个大小w，背包的容量是W，要求让背包装下尽可能大价值。 背包的时间复杂度：O(nW) 注意其中n表示物品的个数，无论是1个还是999个，他都是多项式的，这个很好理解。但是W就不一样了，这是一个数字。我理解的是这个数字会很奇特，比如1.00001，比如99999，这些有可能看起来不大但是实际在处理的时候很难处理的数字，统一的来说，如果我们把这些数字放在电脑上，都会以二进制的方式存储起来，有些数字用十进制表示很小，但是放在二进制上面就会很大，由W导致不能在多项式时间内解决（找不到一个范围/上界来框它）。 算法： 为了处理这个问题，我们改动了dp的状态转移方程，要让这个转移方程和W无关[注]。 此时还不是多项式的，然后我们再对value进行约。[注] [注]这两步中，我们把w改成v，并对v进行近似处理。OPT的含义变成了，在面对是否选择第i个物品时，要想让价值达到当前值，最少的weight。理由是更改后的误差是可以忍受的：对v进行近似，结果只会出现最大价值的上下误差，如果对w进行近似，则有可能出现该物品不能放入背包中，导致整个物品直接放弃的情况。

当n ->∞时,指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度,就是说指数函数趋近于无穷大的速度快于幂函数趋近于无穷大的速度 所以n ->∞ 时,2^n的增加速度在整个表达式中的增加速度中起主导作用,所以整个表达式的渐近表达式是 O(2^n) 希望可以帮到你

分裂的个数都是以2为底数的幂函数，把分裂的次数带到指数上进行计算就可以得出当时分裂后细胞的个数

1、被积函数是幂函数与指数函数的乘积，相信课本上应该说过这属于分部积分法的范畴，并且哪一部分作u，哪一部分作dv都有约定.∫lnx / x^n dx＝1/(1-n)×∫lnx d(x^(1-n))＝1/(1-n)×[lnx×x^(1-n)－∫x^(-n)dx]＝1/(1-n)×[lnx×x^(1-n)－1/(1-n)×x^(1-n)]＋C＝1/(1-n)×lnx×x^(1-n)－1/(1-n)^2×x^(1-n)＋C2、基本做法是一次性消去所有的根式，所以令t＝x^(1/6)，则x＝t^6，积分化为：∫6t^5/(t^2＋t^3)dt＝6∫t^3/(1＋t)dt＝6∫(t^3＋1－1)/(1＋t)dt＝6∫(1－t＋t^2－1/(1＋t))dt＝6[t－1/2×t^2＋1/3×t^3－ln|1+t|]＋C＝6×x^(1/6)－3x^(1/3)＋2×x^(1/2)－6ln(1＋x^(1/6))＋C

正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y"";y=y""""，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... 实用幂级数： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1) -------------------------------------------------------------------------------- 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx特殊值sin30=1/2 sin45=二分之根号二 sin60=二分之根号三 sin90=1 sin120=二分之根号三 sin135=二分之根号二 sin150=1/2 sin180=0 cos30=二分之根号三 cos45=二分之根号二 cos60=1/2 cos90=0 cos120=-1/2 cos135=-二分之根号二 cos150=-二分之根号三 cos180=-1 tan30=三分之根号三 tan45=1 tan60=根号三 非特殊值又不在公式范围内的题目不可能叫你空手算的，也不太可能算出来准确答案，732YY已说了，我就不多言了

Xn=P*D^n*inv(P)*X0，这句中D^n里面的n必须是整数（当然实数也可以）

如果只考虑时间复杂度，肯定选A2时间复杂度千万不能是指数增长的，你可以把指数函数和幂函数画图像比较一下

当n ->∞时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，就是说指数函数趋近于无穷大的速度快于幂函数趋近于无穷大的速度所以n ->∞ 时，2^n的增加速度在整个表达式中的增加速度中起主导作用，所以整个表达式的渐近表达式是 O(2^n)希望可以帮到你

书城里有。书城里的课本都是现在青岛学校用的版本

正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 vercosθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y"";y=y""""，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0 三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数. 泰勒展开式(幂级数展开法): f(x)=f(a)+f"(a)/1!*(x-a)+f""(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... 实用幂级数： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1) -------------------------------------------------------------------------------- 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx特殊值sin30=1/2 sin45=二分之根号二 sin60=二分之根号三 sin90=1 sin120=二分之根号三 sin135=二分之根号二 sin150=1/2 sin180=0 cos30=二分之根号三 cos45=二分之根号二 cos60=1/2 cos90=0 cos120=-1/2 cos135=-二分之根号二 cos150=-二分之根号三 cos180=-1 tan30=三分之根号三 tan45=1 tan60=根号三 非特殊值又不在公式范围内的题目不可能叫你空手算的，也不太可能算出来准确答案，732YY已说了，我就不多言了

必修一：集合，函数（指数函数，对数函数，幂函数，我的个感觉，必修一是最难的）必修二：立体几何（空间几何就是立体几何），平面解析几何（直线，圆 ，方程，高考重点难点，出题会很活啊！）必修三：算法，统计，概率（这本书较简单，在高考中差不多就考填空题）必修四：三角函数（sinx cosx图像等），平面向量，三角恒等变换（很多公式）必修五：解三角形，数列，不等式希望对你有所帮助啊！

做数值策划是为了加强个人思考能力。1、如果一个数值策划，不懂得一点点数据库结构，无法自己“参与规划”数据辞典，在具体工作方面会很吃力。例如：整个模块就建了一张表，不分动态，静态表，各种潜规则。作为执行方什么都不懂让别人定下来规则，自己硬着头皮去做，特别是如果程序以前没有做过游戏，作为执行方会很惨。2、如果一个数值策划，不会稍微会一点点语言，无论是lua，C,VBA，fortran最后自己去做战斗工具，脚本工具，光靠在excel表里拉数据，往往会感觉力有不及。例如：做数值常常会感触宝石，装备数据多加10点少加10点不痛不痒，等懂得利用战斗力，利用战斗模拟器数表联调，1点属性偏差都不可以有，否则战斗力会报错，数据会溢出。3、如果一个数值策划不懂得matlab工具，我在很多核心参数的掌握和模型控制上会非常薄弱。当别人问，为什么使用加法公式，为什么这里使用了幂函数，为什么这里要用这种算法的时候，总不能回他一句：“某某游戏，就是这样做的。”

上面我们学习了查表和用计算器求平方根的方法．或许有的同学会问：不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求 ，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=（30+a）2＝302＋2×30a＋a2，所以 1156－302＝2×30a＋a2，即 256=（3×20+a）a，这就是说， a是这样一个正整数，它与 3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将 256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到1156＝342，或上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11"56），分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（3×20除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求 的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．

这次高考考试说明主要对语文、数学和物理三门科目进行了相应的内容调整如下，其中语文科目在现代文阅读部分，将论述类文本和实用类文本均作为必考内容，考查文学类文本、论述类文本、实用类文本共3类文本，题量、题型及赋分也相应调整，同时，试卷分值结构进行微调，语言文字运用减少3分，古诗文阅读在不增加题量的情况下增加2分，现代文阅读增加1分；数学科目删去“几何证明选讲”，其余3个选考模块不变，由“4选2”改为“3选2”；物理科目上原选考“3-5”列为必考，其余两个选考模块不变，由“3选2”改为“2选1”。小高考方案调整以后呢，各个学校没有冲A的压力以后，变为过关性考试之后，各个学校都相应地减少了复习的课时，但是因为考试的内容并没有减少，所以我们在平时复习的时候应该重点关注核心考点和主干知识，强化对主干知识的理解和记忆，但是不求面面俱到，对于细枝末节的东西我们应该大胆地舍弃，第二个在态度上面我们的学生应该高度的重视，虽然过关性考试难度不大，但是如果态度不加重视的话，那么部分基础薄弱的考生呢很有可能最后不过关，影响高考的报名。第三个我们在复习策略上应该重组知识，注意知识点的归纳整合，理顺每节课的框架结构，构建每个单元的单元线索。第四个我们在平时的训练当中应该高度重视真题训练，降低训练的难度，确保基础知识不失分。

扯淡呢。。。。。。。。关键还是看拐点函数的凹凸性

《Maple 指令》7.0版本第1章 章数1.1 复数Re,Im - 返回复数型表达式的实部/虚部abs -绝对值函数argument - 复数的幅角函数conjugate - 返回共轭复数csgn - 实数和复数表达式的符号函数signum - 实数和复数表达式的sign 函数51.2 MAPLE 常数已知的变量名称指数常数（以自然对数为底）I - x^2 = -1 的根infinity 无穷大1.3 整数函数! - 阶乘函数irem, iquo - 整数的余数/商isprime - 素数测试isqrfree - 无整数平方的因数分解max, min - 数的最大值/最小值mod, modp, mods - 计算对 m 的整数模rand - 随机数生成器randomize - 重置随机数生成器1.4 素数Randpoly, Randprime - 有限域的随机多项式/首一素数多项式ithprime - 确定第 i 个素数nextprime, prevprime - 确定下一个最大/最小素数1.5 数的进制转换convert/base - 基数之间的转换convert/binary - 转换为二进制形式convert/decimal - 转换为 10 进制convert/double - 将双精度浮点数由一种形式转换为另一种形式convert/float - 转换为浮点数convert/hex - 转换为十六进制形式convert/metric - 转换为公制单位convert/octal - 转换为八进制形式1.6 数的类型检查type - 数的类型检查函数第2章 初等数学2.1 初等函数product - 确定乘积求和不确定乘积exp - 指数函数sum - 确定求和不确定求和sqrt - 计算平方根算术运算符+, -, *, /, ^add, mul - 值序列的加法/乘法2.2 三角函数arcsin, arcsinh, . - 反三角函数/反双曲函数sin, sinh, . - 三角函数/双曲函数2.3 LOGARITHMS 函数dilog - Dilogarithm 函数ln, log, log10 - 自然对数/一般对数，常用对数2.4 类型转换convert/`+`,convert/`*` - 转换为求和/乘积convert/hypergeom - 将求和转换为超越函数convert/degrees - 将弧度转换为度convert/expsincos - 将trig 函数转换为exp, sin, cosconvert/Ei - 转换为指数积分convert/exp - 将trig 函数转换为指数函数convert/ln - 将arctrig 转换为对数函数polar - 转换为极坐标形式convert/radians - 将度转换为弧度convert/sincos - 将trig 函数转换为sin, cos, sinh, coshconvert/tan - 将trig 函数转换为tanconvert/trig - 将指数函数转换为三角函数和双曲函数第3章 求值3.1 假设功能3.2 求值Eval - 对一个表达式求值eval - 求值evala - 在代数数（或者函数）域求值evalb - 按照一个布尔表达式求值evalc - 在复数域上符号求值evalf - 使用浮点算法求值evalhf - 用硬件浮点数算法对表达式求值evalm - 对矩阵表达式求值evaln - 求值到一个名称evalr, shake - 用区间算法求表达式的值和计算范围evalrC - 用复数区间算法对表达式求值value - 求值的惰性函数第4章 求根，解方程4.1 数值解fsolve - 利用浮点数算法求解solve/floats - 包含浮点数的表达式4.2 最优化extrema - 寻找一个表达式的相对极值minimize, maximize - 计算最小值/最大值maxnorm - 一个多项式无穷大范数4.3 求根allvalues -计算含有RootOfs的表达式的所有可能值isqrt, iroot - 整数的平方根/第n 次根realroot - 一个多项式的实数根的隔离区间root - 一个代数表达式的第n 阶根RootOf - 方程根的表示surd - 非主根函数roots - 一个多项式对一个变量的精确根turm, sturmseq - 多项式在区间上的实数根数和实根序列4.4 解方程eliminate - 消去一个方程组中的某些变量isolve - 求解方程的整数解solvefor - 求解一个方程组的一个或者多个变量isolate - 隔离一个方程左边的一个子表达式singular - 寻找一个表达式的极点solve/identity - 求解包含属性的表达式solve/ineqs - 求解不等式solve/linear - 求解线性方程组solve/radical - 求解含有未知量根式的方程solve/scalar - 标量情况（单变量和方程）solve/series - 求解含有一般级数的方程solve/system - 解方程组或不等式组第5章 操作表达式5.1 处理表达式Norm - 代数数 (或者函数) 的标准型Power - 惰性幂函数Powmod -带余数的惰性幂函数Primfield - 代数域的原始元素Trace - 求一个代数数或者函数的迹charfcn -表达式和集合的特征函数Indets - 找一个表达式的变元invfunc - 函数表的逆powmod - 带余数的幂函数Risidue - 计算一个表达式的代数余combine -表达式合并(对tan,cot不好用)expand -表达式展开Expand - 展开表达式的惰性形式expandoff/expandon - 抑制/不抑制函数展开5.2 因式分解Afactor - 绝对因式分解的惰性形式Afactors - 绝对因式分解分解项列表的惰性形式Berlekamp - 因式分解的Berlekamp 显式度factor - 多元的多项式的因式分解factors - 多元多项式的因式分解列表Factor - 函数factor 的惰性形式Factors - 函数factors 的惰性形式polytools[splits] - 多项式的完全因式分解第6章 化简6.1 表达式化简118simplify - 给一个表达式实施化简规则simplify/@ - 利用运算符化简表达式simplify/Ei - 利用指数积分化简表达式simplify/GAMMA - 利用GAMMA 函数进行化简simplify/RootOf - 用RootOf 函数化简表达式simplify/wronskian - 化简含wronskian标识符的表达式simplify/hypergeom - 化简超越函数表达式simplify/ln - 化简含有对数的表达式simplify/piecewise - 化简分段函数表达式simplify/polar - 化简含有极坐标形式的复数型表达式simplify/power - 化简含幂次的表达式simplify/radical - 化简含有根式的表达式simplify/rtable - 化简rtable表达式simplify/siderels - 使用关系式进行化简simplify/sqrt - 根式化简simplify/trig - 化简trig 函数表达式simplify/zero - 化简含嵌入型实数和虚数的复数表达式6.2 其它化简操作Normal - normal 函数的惰性形式convert - 将一个表达式转换成不同形式radnormal - 标准化一个含有根号数的表达式rationalize - 分母有理化第7章 操作多项式7.0 MAPLE 中的多项式简介7.1 提取coeff - 提取一个多项式的系数coeffs - 提取多元的多项式的所有系数coeftayl - 多元表达式的系数lcoeff, tcoeff - 返回多元多项式的首项和末项系数7.2 多项式约数和根gcd, lcm - 多项式的最大公约数/最小公倍数psqrt, proot - 多项式的平方根和第n次根rem,quo - 多项式的余数/商7.3 操纵多项式convert/horner - 将一个多项式转换成Horner形式collect - 象幂次一样合并系数compoly - 确定一个多项式的可能合并的项数convert/polynom - 将级数转换成多项式形式convert/mathorner - 将多项式转换成Horner矩阵形式convert/ratpoly - 将级数转换成有理多项式sort - 将值的列表或者多项式排序sqrfree - 不含平方项的因数分解函数7.4 多项式运算discrim - 多项式的判别式fixdiv - 计算多项式的固定除数norm - 多项式的标准型resultant - 计算两个多项式的终结式bernoulli - Bernoulli 数和多项式bernstein - 用Bernstein多项式近似一个函数content, primpart - 一个多元的多项式的内容和主部degree, ldegree - 一个多项式的最高次方/最低次方divide - 多项式的精确除法euler - Euler 数和多项式icontent - 多项式的整数部分interp - 多项式的插值prem, sprem - 多项式的pseudo 余数和稀疏pseudo 余数randpoly - 随机多项式生成器spline - 计算自然样条函数第8章 有理表达式8.0 有理表达式简介8.1 操作有理多项式numer,denom - 返回一个表达式的分子/分母frontend - 将一般的表达式处理成一个有理表达式normal - 标准化一个有理表达式convert/parfrac - 转换为部分分数形式convert/rational - 将浮点数转换为接近的有理数ratrecon - 重建有理函数第9章 微积分9.1 取极限Limit, limit - 计算极限limit[dir] - 计算方向极限limit[multi] - 多重方向极限limit[return] - 极限的返回值9.2 连续性测试discont - 寻找一个函数在实数域上的间断点fdiscont - 用数值法寻找函数在实数域上的间断点iscont - 测试在一个区间上的连续性9.3 微分计算D - 微分算子D, diff - 运算符D 和函数diffdiff, Diff - 微分或者偏微分convert/D - 将含导数表达式转换为D运算符表达式convert/diff - 将D(f)(x)表达式转换为diff(f(x),x)的形式implicitdiff - 由一个方程定义一个函数的微分9.4 积分计算Si, Ci … - 三角和双曲积分Dirac, Heaviside - Dirac 函数/Heaviside阶梯函数Ei - 指数积分Elliptic -椭圆积分FresnelC, … - Fresnel 正弦,余弦积分和辅助函数int, Int - 定积分和不定积分LegendreP, … - Legendre 函数及其第一和第二类函数Li - 对数积分student[changevar] - 变量代换dawson - Dawson 积分ellipsoid - 椭球体的表面积evalf(int) - 数值积分intat, Intat - 在一个点上积分求值第10章 微分方程10.1 微分方程分类odeadvisor - ODE-求解分析器DESol - 表示微分方程解的数据结构pdetest - 测试pdsolve 能找到的偏微分方程(PDEs)解10.2 常微分方程求解dsolve - 求解常微方程 (ODE)dsolve - 用给定的初始条件求解ODE 问题dsolve/inttrans - 用积分变换方法求解常微分方程dsolve/numeric - 常微方程数值解dsolve/piecewise - 带分段系数的常微方程求解dsolve - 寻找ODE 问题的级数解dsolve - 求解ODEs 方程组odetest - 从ODE 求解器中测试结果是显式或者隐式类型10.3 偏微分方程求解pdsolve - 寻找偏微分方程 (PDEs) 的解析解第11章 数值计算11.1 MAPLE 中的数值计算环境IEEE 标准和Maple数值计算数据类型特殊值环境变量11.2 算法标准算法复数算法含有0，无穷和未定义数的算法11.3 数据构造器254complex - 复数和复数构造器Float, … - 浮点数及其构造器Fraction - 分数及其的构造器integer - 整数和整数构造器11.4 MATLAB软件包简介11.5 “”区间类型表达式第12章级数12.1 幂级数的阶数Order - 阶数项函数order - 确定级数的截断阶数12.2 常见级数展开series - 一般的级数展开taylor - Taylor 级数展开mtaylor - 多元Taylor级数展开poisson - Poisson级数展开.26812.3 其它级数eulermac - Euler-Maclaurin求和piecewise - 分段连续函数asympt - 渐进展开第13章 特殊函数AiryAi, AiryBi - Airy 波动函数AiryAiZeros, AiryBiZeros - Airy函数的实数零点AngerJ, WeberE - Anger函数和Weber函数BesselI, HankelH1, … - Bessel函数和Hankel函数BesselJZeros, … - Bessel函数实数零点Beta - Beta函数EllipticModulus - 模数函数k(q)GAMMA, lnGAMMA - 完全和不完全Gamma函数GaussAGM - Gauss 算术的几何平均数JacobiAM, ., - Jacobi 振幅函数和椭圆函数JacobiTheta1, JacobiTheta4 - Jacobi theta函数JacobiZeta - Jacobi 的Zeta函数KelvinBer, KelvinBei - Kelvin函数KummerM, - Kummer M函数和U函数LambertW - LambertW函数LerchPhi - 一般的Lerch Phi函数LommelS1, LommelS2 - Lommel函数MeijerG - 一个修正的Meijer G函数Psi - Digamma 和Polygamma函数StruveH, StruveL - Struve函数WeierstrassP - Weierstrass P函数及其导数WhittakerM - Whittaker 函数Zeta - Zeta 函数erf, … - 误差函数，补充的误差函数和虚数误差函数harmonic - 调和函数hypergeom - 广义的超越函数pochhammer - 一般的pochhammer函数polylog - 一般的polylogarithm函数第14章 线性代数14.1 ALGEBRA（代数）中矩阵，矢量和数组14.2 LINALG软件包简介14.3数据结构矩阵matrices（小写）矢量vectors（矢量）convert/matrix - 将数组，列表，Matrix 转换成matrixconvert/vector - 将列表，数组或Vector 转换成矢量vectorlinalg[matrix] - 生成矩阵matrix（小写）linalg[vector] - 生成矢量vector（小写）14.4 惰性函数Det - 惰性行列式运算符Eigenvals - 数值型矩阵的特征值和特征向量Hermite, Smith - 矩阵的Hermite 和Smith 标准型14.5 LinearAlgebra函数Matrix 定义矩阵Add 加/减矩阵Adjoint 伴随矩阵BackwardSubstitute 求解 A . X = B，其中 A 为上三角型行阶梯矩阵BandMatrix 带状矩阵Basis 返回向量空间的一组基SumBasis 返回向量空间直和的一组基IntersectionBasis 返回向量空间交的一组基BezoutMatrix 构造两个多项式的 Bezout 矩阵BidiagonalForm 将矩阵约化为双对角型CharacteristicMatrix 构造特征矩阵CharacteristicPolynomial 构造矩阵的特征多项式CompanionMatrix 构造一个首一（或非首一）多项式或矩阵多项式的友矩阵（束）ConditionNumber 计算矩阵关于某范数的条件数ConstantMatrix 构造常数矩阵ConstantVector 构造常数向量Copy 构造矩阵或向量的一份复制CreatePermutation 将一个 NAG 主元向量转换为一个置换向量或矩阵CrossProduct 向量的叉积`&x` 向量的叉积DeleteRow 删除矩阵的行DeleteColumn删除矩阵的列Determinant 行列式Diagonal 返回从矩阵中得到的向量序列DiagonalMatrix 构造（分块）对角矩阵Dimension 行数和列数DotProduct 点积BilinearForm 向量的双线性形式EigenConditionNumbers 计算数值特征值制约问题的特征值或特征向量的条件数Eigenvalues 计算矩阵的特征值Eigenvectors 计算矩阵的特征向量Equal 比较两个向量或矩阵是否相等ForwardSubstitute 求解 A . X = B，其中 A 为下三角型行阶梯矩阵FrobeniusForm 将一个方阵约化为 Frobenius 型（有理标准型）GaussianElimination 对矩阵作高斯消元ReducedRowEchelonForm 对矩阵作高斯－约当消元GetResultDataType 返回矩阵或向量运算的结果数据类型GetResultShape 返回矩阵或向量运算的结果形状GivensRotationMatrix 构造 Givens 旋转的矩阵GramSchmidt 计算一个正交向量集HankelMatrix 构造一个 Hankel 矩阵HermiteForm 计算一个矩阵的 Hermite 正规型HessenbergForm 将一个方阵约化为上 Hessenberg 型HilbertMatrix 构造广义 Hilbert 矩阵HouseholderMatrix 构造 Householder 反射矩阵IdentityMatrix 构造一个单位矩阵IsDefinite 检验矩阵的正定性，负定性或不定性IsOrthogonal 检验矩阵是否正交IsUnitary 检验矩阵是否为酉矩阵IsSimilar 确定两个矩阵是否相似JordanBlockMatrix 构造约当块矩阵JordanForm 将矩阵约化为约当型KroneckerProduct 构造两个矩阵的 Kronecker 张量积LeastSquares 方程的最小二乘解LinearSolve 求解线性方程组 A . x = bLUDecomposition 计算矩阵的 Cholesky，PLU 或 PLU1R 分解Map 将一个程序映射到一个表达式上，对矩阵和向量在原位置上进行处理MatrixAdd 计算两个矩阵的线性组合VectorAdd 计算两个向量的线性组合MatrixExponential 确定一个矩阵 A 的矩阵指数 exp(A)MatrixFunction 确定方阵 A 的函数 F(A)MatrixInverse 计算方阵的逆或矩阵的 Moore-Penrose 伪逆MatrixMatrixMultiply 计算两个矩阵的乘积MatrixVectorMultiply 计算一个矩阵和一个列向量的乘积VectorMatrixMultiply 计算一个行向量和一个矩阵的乘积MatrixPower 矩阵的幂MinimalPolynomial 构造矩阵的最小多项式Minor 计算矩阵的子式Multiply 矩阵相乘Norm 计算矩阵或向量的p-范数MatrixNorm 计算矩阵的p-范数VectorNorm 计算向量的p-范数Normalize 向量正规化NullSpace 计算矩阵的零度零空间OuterProductMatrix 两个向量的外积Permanent 方阵的不变量Pivot 矩阵元素的主元消去法PopovForm Popov 正规型QRDecomposition QR 分解RandomMatrix 构造随机矩阵RandomVector 构造随机向量Rank 计算矩阵的秩Row 返回矩阵的一个行向量序列Column 返回矩阵的一个列向量序列RowOperation 对矩阵作初等行变换ColumnOperation 对矩阵作出等列变换RowSpace 返回矩阵行空间的一组基ColumnSpace 返回矩阵列空间的一组基ScalarMatrix 构造一个单位矩阵的数量倍数ScalarVector 构造一个单位向量的数量倍数ScalarMultiply 矩阵与数的乘积MatrixScalarMultiply 计算矩阵与数的乘积VectorScalarMultiply 计算向量与数的乘积SchurForm 将方阵约化为 Schur 型SingularValues 计算矩阵的奇异值SmithForm 将矩阵约化为 Smith 正规型StronglyConnectedBlocks 计算方阵的强连通块SubMatrix 构造矩阵的子矩阵SubVector 构造向量的子向量SylvesterMatrix 构造两个多项式的 Sylvester 矩阵ToeplitzMatrix 构造 Toeplitz 矩阵Trace 计算方阵的迹Transpose转置矩阵HermitianTranspose 共轭转置矩阵TridiagonalForm 将方阵约化为三对角型UnitVector 构造单位向量VandermondeMatrix 构造一个 Vandermonde 矩阵VectorAngle 计算两个向量的夹角ZeroMatrix 构造一个零矩阵ZeroVector 构造一个零向量Zip 将一个具有两个参数的程序作用到一对矩阵或向量上LinearAlgebra[Generic] 子函数包 [Generic] 子函数包提供作用在场，欧几里得域，积分域和环上的线性代数算法。命令列表和详细信息见帮助系统。LinearAlgebra[Modular] 子函数包 [Modular] 子函数包提供一组工具用于完成在 Z/m 稠密线性代数计算，整数模m。

乍看一下比较简单，仔细做比较难，填空题还好，计算题真是一言难尽。总之做起来比较伤心。考试发完卷后，先做的是选择题，状态一般般，20分钟解决完选择题，其中有道线代题出的比较好，很有区分度，主要考查了矩阵相似的定义和基本运算和公式，其他的题都不太难，仅需要很少计算和推理，因为草稿纸有限，这些题目我都是在试题卷上完成的草稿。不太理解抱怨后面题太难的同学，实话说，选择题出的都很好，知识点考查得很全面，但是经典题都已经出烂了，除了那道线代题外，这次几乎没有原创题，我都能看到以前题目的影子。但无论怎样，考查的都是最基础最基本的知识，几乎全是定义定理的深刻理解。简介到了填空题，除了一道高阶导数那题，其它题也是几乎没难度，我失误就失误在死磕了一道计算量特别大求高阶导数的题，这道题也许会有简单算法，但我拿到这题想都没想，看了带有变限积分方程第一想法就是求导算出方程，之后再用莱布尼兹公式或者用函数的幂函数展开式的唯一性解决。但意外的是，求导后发现这是个一阶微分方程，用公式法解的时候计算量太大了，但我之前做的考研题这种计算量的考题很常见，所以目测是能算出来的，经过大概15分钟左右的奋战，求出了一个系数复杂、幂函数和一次函数混合的函数表达式，这根本不要用莱布尼兹和麦克劳林什么的啊，直接是能看出答案的，虽然我在答题卷上写上了答案，但心里没底，想再算一遍，一看时间，45分钟了，被迫之下只能继续。（后来对答案时发现这题算对了）但是因为这题导致突然紧张，后面的两道填空题都失误算错了，其中一道求变化速率的题，数是算对了，但忘记加系数V0，另外一道线代填空题太着急没有舍去一个不符合条件的解，最后我也是没时间检查，结果选择填空一共是错了那两道很容易的填空题。

高中数学必修一：主要是基本函数。1.集合与函数的概念；2.基本初等函数：指数函数，对数函数，幂函数；3.函数的应用高中数学必修二：主要是空间几何。1.空间几何体；2.点、直线、平面之间的位置关系；3.直线与方程；4.圆与方程高中数学必修三：主要是概率和统计。1.算法初步；2.统计；3.概率高中数学必修四：主要是三角函数和平面向量。1.三角函数；2.平面向量；3.三角恒等变换高中数学必修五：主要是数列和不等式。1.解三角形；2.数列；3.不等式高中数学选修2-1：1.常用逻辑用语；2.圆锥曲线与方程； 3.空间向量与立体几何高中数学选修2-2：1.导数及其应用；2.推理与证明；3.数系的扩充与复数的引入高中数学选修2-3：1.计数原理；2.随机变量及其分布；3.统计案例

1）红包大小服从截尾正态分布，其好处是减少抽取红包大小分布的方差，让更多的人抽取的红包在均值附近，同时仍给一小部分人抽取大红包的机会，总体来说增加了红包抽取人的积极性和游戏的公平性；2）抽取红包大小与抽取红包先后无相关性。一种可能的红包产生机制是：当发红包者<准备红包>的时候，程序自动依照截尾分布产生了相应大小，相应个数的红包，然后随机发给抽取红包的人。同样，这样的一个随机过程有助于增加游戏的公平性，也减少了红包抽取人投机操作。钱包钱数满足截尾正态随机数分布。大致为在截尾正态分布中取随机数，并用其求和数除以总价值，获得修正因子，再用修正因子乘上所有的随机数，得到红包价值。这种分布意味着：低于平均值的红包多，但是离平均值不远；高于平均值的红包少，但是远大于平均值的红包

数列，函数……

那要看看你用的是什么函数了

同学们首先要弄清楚:定积分与微积分的区别，我们学习的是定积分，要用微积分基本定理来解决。下面我们先来看看微积分的发展史。一、微积分的发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。2.建立成型时期。3.成熟完善时期。4.现代发展时期。早期萌芽时期：1、 古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。2. 古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。），对于微积分的雏形的形成影响深远。此外解析几何创始人——法国数学家笛卡尔的代数方法对于微积分的发展起了极大的推动。法国大数学家费马在求曲线的切线及函数的极值方面贡献巨大。其中就有关于数学分析的费马定理：设函数f(x)是在某一区间Χ内定义的，并且在这区间的内点c取最大（最小）值。若在这一点处存在着有限导数f"(c),则必须有f"(c)=0。2. 十七世纪下半叶：英国科学家牛顿开始关于微积分的研究，他受了沃利斯的《无穷算术》的启发，第一次把代数学扩展到分析学。1665年牛顿发明正流数术（微分），次年又发明反流数术。之后将流数术总结一起，并写出了《流数简述》，这标志着微积分的诞生。接着，牛顿研究变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此，他把变量叫作流量，把变量的变化率叫做流数。在牛顿创立微积分后期，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合，不再强调数学量是由不可分割的最小单元构成，而认为它是由几何元素经过连续运动生成的，不再认为流数是两个实无限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最后比，这就从原先的实无限小量观点进到量的无限分割过程即潜无限观点上去。同一时期，德国数学家莱布尼茨也独立创立了微积分学，他于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫，符号的发明使得微积分的表达更加简便。此外他还发现了求高级导数的莱布尼茨公式，还有牛顿莱布尼茨公式，将微分与积分运算联系在一起，他在微积分方面的贡献与牛顿旗鼓相当。牛顿与莱布尼茨对于微积分学的创立起了举足轻重的作用，我们无须去争辩谁是真正的微积分创始人，在数学领域来说，这真的是一件极其无聊的事情，因为每一次的数学发现都是全人类共同的财富，真正的数学家也绝不会有心思去谈论这种问题单的！成熟完善时期：1.第二次数学危机的开始：微积分学在牛顿与莱布尼茨的时代逐渐建立成型，但是任何新的数学理论的建立，在起初都是会引起一部分人的极力质疑，微积分学同样也是。由于早期微积分学的建立的不严谨性，许多不安分子就找漏洞攻击微积分学，其中最著名的是英国主教贝克莱针对求导过程中的无穷小（Δx既是0，又不是0）展开对微积分学的进攻，由此第二次数学危机便拉开了序幕。2.第二次数学危机的解决：危机出现之后，许多数学家意识到了微积分学的理论严谨性，陆续的出现大批杰出的科学家。在危机前期，捷克数学家布尔查诺对于函数性质作了细致研究，首次给出了连续性和导数的恰当的定义，对序列和级数的收敛性提出了正确的概念，并且提出了著名的布尔查诺——柯西收敛原理（整序变量Χn有有限极限的充要条件是：对于每一个ε＞0总存在着序号N，使当n＞N及n＇＞N时，便能成立不等式∣Χn－Χn＇∣﹤ε）。之后的大数学家柯西建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋近于0的变量，从而结束了百年的争论，并定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性（与布尔查诺同期进行），柯西在微积分学（数学分析）的贡献是巨大的：柯西中值定理、柯西不等式、柯西收敛准则、柯西公式、柯西积分判别法等等，其一生发表的论文总数仅次于欧拉。另外阿贝尔（其最大贡献是首先想到倒过来思想，开拓了椭圆积分的广阔天地）指出要严格限制滥用级数展开及求和，狄利克雷给出了函数的现代定义。在危机后期，数学家魏尔斯特拉斯提出了病态函数（处处连续但处处不可微的函数），后续又有人发现了处处不连续但处处可积的函数，使人们重新认识了连续与可微可积的关系，他在连续闭区间内提出了第一、第二定理，并引进了极限的ε～δ定义，基本上实现了分析的算术化，使分析从几何直观的极限中得到了“解放”，从而驱散了17——18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾。继而在此基础上，黎曼与1854年和达布于1875年对有界函数建立了严密的积分理论，19世纪后半叶，戴金德等人严格的实数理论。至此，数学分析（包含整个微积分学）的理论和方法完全建立在牢固的基础上。

乍看一下比较简单，仔细做比较难，填空题还好，计算题真是一言难尽。总之做起来比较伤心。考试发完卷后，先做的是选择题，状态一般般，20分钟解决完选择题，其中有道线代题出的比较好，很有区分度，主要考查了矩阵相似的定义和基本运算和公式，其他的题都不太难，仅需要很少计算和推理，因为草稿纸有限，这些题目我都是在试题卷上完成的草稿。不太理解抱怨后面题太难的同学，实话说，选择题出的都很好，知识点考查得很全面，但是经典题都已经出烂了，除了那道线代题外，这次几乎没有原创题，我都能看到以前题目的影子。但无论怎样，考查的都是最基础最基本的知识，几乎全是定义定理的深刻理解。简介到了填空题，除了一道高阶导数那题，其它题也是几乎没难度，我失误就失误在死磕了一道计算量特别大求高阶导数的题，这道题也许会有简单算法，但我拿到这题想都没想，看了带有变限积分方程第一想法就是求导算出方程，之后再用莱布尼兹公式或者用函数的幂函数展开式的唯一性解决。但意外的是，求导后发现这是个一阶微分方程，用公式法解的时候计算量太大了，但我之前做的考研题这种计算量的考题很常见，所以目测是能算出来的，经过大概15分钟左右的奋战，求出了一个系数复杂、幂函数和一次函数混合的函数表达式，这根本不要用莱布尼兹和麦克劳林什么的啊，直接是能看出答案的，虽然我在答题卷上写上了答案，但心里没底，想再算一遍，一看时间，45分钟了，被迫之下只能继续。（后来对答案时发现这题算对了）但是因为这题导致突然紧张，后面的两道填空题都失误算错了，其中一道求变化速率的题，数是算对了，但忘记加系数V0，另外一道线代填空题太着急没有舍去一个不符合条件的解，最后我也是没时间检查，结果选择填空一共是错了那两道很容易的填空题。

基本的集合论，逻辑语言（命题），初等函数论以及介绍幂指对三角反三角五个基本初等函数，三角运算，数列（主要是等差等比，并介绍数学归纳法），初等线性代数（二维三维实欧式空间），复数，立体几何（不含空间解析几何），平面解析几何。以上。

1基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数，其中要区分各函数的图像、定义域、函数的单调性与运算性质等2函数的应用（主要是求零点，要记住零点是一个数不是一个点，利用函数y=f(x)的零点求方程f(x)=0的实数根，还有用二分法求方程的近似解等） 3包括《统计初步》、《算法》、《概率》。除了算法外，其他内容我们在初中都已经接触过。

必修一：主讲函数 必修二：向量，立体几何的体积证明 必修三：算法 类似于电脑里的编程、统计、概率 必修四：三角形的角度和三角函数 必修五：数列、不等式、三角函数接下来就是选修了，具体要看你是文科和理科了！

高等数学（B）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设 是两个实数，且 ，满足不等式 的实数 的全体，称为点 的 邻域。绝对值——数轴上表示数 的点到原点之间的距离称为数 的绝对值。记为 。区间——数轴上的一段实数。分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。实数——有理数和无理数统称为实数。二、填空题1．绝对值的性质有 、 、 、 、 、 。2．开区间的表示有 、 。3．闭区间的表示有 、 。4．无穷大的记号为 。5． 表示全体实数，或记为 。6． 表示小于 的实数，或记为 。7． 表示大于 的实数，或记为 。8．去心邻域是指 的全体。用数轴表示即为9.MANZU 9．满足不等式 的数 用区间可表示为 。三、回答题1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。2．答：包括整数与分数。3．答：不对，可能有无理数。4．答：等价于 。5．答： 。四、计算题 1．解： 。。2．解： 。3．解： 为方程的解。函 数（P3）一、名词解释函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x }叫做函数的值域。奇函数——若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒有为奇函数。偶函数——若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒有，则称函数 为偶函数。定义域——自变量的取值范围，记作 。值域——所有函数值组成的集合，记作G={y|y=f(x),x }。初等数学——包括几何与代数，基本上是常量的数学。三角函数：称 为三角函数。指数函数——称函数 为指数函数。复合函数——设 若 的值域包含在 的定义域中，则 通过 构成 的函数，记作 ，称其为复合函数， 称为中间变量。对数函数——称函数 为对数函数。反函数——若函数 的值域为 ，若 ，都有一个确定的且满足 的 值与之对应。则由此得到一个定义在 上的以 为自变量、 为因变量的新函数，称它为 的反函数，记作 。幂函数——称函数 （ 为实数）为幂函数。常函数——称函数 为常函数。常量——在某一变化过程中，始终保持不变的量。变量——在某一变化过程中，可以取不同数值的量。二、填空题1．函数概念最早是由莱布尼兹引进的。有了函数概念，人们就可以从数量上描述运动。2．在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷，并给出了一个不能画出图形的函数。这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是 。3．函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法。4．函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则。5．单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时，与之对应的函数值是唯一的函数。6．奇函数的图像特点是关于原点对称，偶函数的图像特点是关于y轴对称。7．单调函数的图像特点是总是上升或总是下降。8．反函数的图像特点是关于直线y=x对称。三、回答题1．答：设函数 在集合 上有定义，如果存在一个正数 ，对所有的 ，恒有 ，则称函数 为有界函数。2．答：（1）当一个函数 在区间 有界时，正数 的取法不是唯一的。（2）有界性是依赖于区间的。3．答： ，则称函数 在区间 单调增加。否则，称为单调减少。4．答：若函数 在区间 单调，其值域是 ，则函数 存在反函数 其定义域是 ，值域是 。四、作图题（1） 解：是抛物线。（2） 解：是立方抛物线。（3） 解：是正弦曲线。（4） 解：是余弦曲线。（5） 解：是正切曲线。（6） 解：是半抛物线。（7） 解：是自然对数函数。（8） 解：是指数函数(a>1)。（9） 解：是对数函数(a>1)。（10） 解：是对数函数（a<1）。(11) 解：是指数函数(a<1)。(12) 解：是指数函数(a>1)。第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图第（4）题图 第（5）题图 第（6）题图第（7）题图 第（8）题图 第（9）题图第（10）题图 第（11）题图 第（12）题图五、计算题（1）解： 。（2）解：设长为 ，宽为 ，则 ，面积 。（3）解： ，所以定义域为 。（4）解： ， ， 。（5）解：由 解得 ，交换 和 ，得到 的反函数 ，由 ，故定义域为 。（6）解：复合函数为 六、讨论题答：（1）复合函数是函数之间的一种运算；（2）并不是任何两个函数都能构成一个复合函数；（3）复合函数可以是由多个（大于两个）函数复合而成；（4） 中，后者的值域正好是前者的定义域；（5）构成复合函数的各简单函数，除了最后一个外，都是基本初等函数。极 限（P9）一、名词解释极 限——一个数列或函数其变化趋势的终极状态。无穷小量——极限为零的变量或者常数0。连 续——设函数 在 及其一个邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 连续。数列极限——对数列 来说，若 时， ，则称数列 的极限为 记作 。函数极限——设函数 在 的附近有定义，当 时， ，则称函数 在 时的极限为A ，记作 无穷大量——若 ，则称 为该极限过程下的无穷大量。二、填空题1．从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题：求面积，体积，弧长，瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。2．极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。3．在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。4．公元3世纪，中国数学家刘徽的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率 的。5．极限概念产生于求面积求切线两个实际问题。三、回答题1．简述连续性概念。答：设函数 在 及其一个邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 连续。 在（a,b）内连续是指函数 在（a,b）内的每个点处均连续。2．间断点分成几类？答： 3．什么是单侧连续？答：设函数 在 及其右邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 右连续。同理可定义左连续。4．什么是连续函数？答：若函数 在（a,b）内的每个点处均连续，且在左端点处右连续，右端点处左连续，则称函数 在[a,b]上连续。5．简述复合函数的连续性定理。答：设函数 在点 处连续，函数 在点 处连续，而 ，并设 在点 的某一邻域内有定义，则复合函数 在点 处连续。四、论述题极限思想的辩证意义是什么？答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态，是一个无限逼近的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数。在解决实际问题时，“无限”的过程标志着可以得到精确的答案，他是为解决实际问题的需要而产生的，反过来又成为解决实际问题的有力工具。五、计算题（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 六、讨论解： ， 函数在x=0处极限不存在。高等数学（B）（1）作业2导 数一、名词解释导数——设函数 在 及其邻域内有定义，若 存在，则称此极限值为函数 在 点处的导数值。记为， 等。平均变化率——称 为平均变化率。瞬时变化率——称 为瞬时变化率。导函数——对于区间（a,b）内的每一点x都有导数值，这样由这些导数值构成的函数称为 的导函数。高阶导数——二阶及二阶以上的导数。驻点——使得 的点。极值——设函数 在 及其邻域内有定义，且在 的邻域内 恒成立，则称 为极大值点，称 为极大值。同理可定义极小值。极大值与极小值统称为函数的极值。二、填空题1． 导数的物理意义是瞬时速度。2． 导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率。3． 导数的第三种解释是变化率。4． 导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。5． 可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导。三、回答题1． 什么是费马定理？答：设函数 在 的某邻域 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 （或 ），那么 。2． 什么是罗尔定理？答：设函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，并且满足 ，那么至少存在一点 ，使得 。3． 什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的?答：设函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么至少存在一点 ，使得 。辅助函数为： 。4． 函数的性质有哪些？答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。5． 导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？答：导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越陡峭，否则，曲线越平缓。6． 什么是极大值（或极小值）?答：设函数 在 及其邻域内有定义，且在 的邻域内 恒成立，则称 为极大值点，称 为极大值。设函数 在 及其邻域内有定义，且在 的邻域内 恒成立，则称 为极小值点，称 为极小值。7． 请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。答：例如：直线y=c(c为常数)，在任意一点都满足费马定理的条件，且导数值都是0，但是在任意一点处都不是极值点。8． 最大值与极大值是一回事吗？答：不是一回事。连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值，但是最大值和最小值却各有一个。9． 求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；（2）计算出比区间端点处的函数值；（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。（4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出唯一驻点，它就是答案。四、计算题1． 解： 2． 解： 。3． 解： 4． 解： 5． 解： 6． 解： 7． 解：当 时， 当 时， 综上所述， 8． 解： 9． 解： 10． 解： … …五、应用题1． 解： ， 当 时， ， ，答：体积V增加的速率为400 cm/s.2. 解：设一边长为x,则另一边长为1-x,矩形面积S=x(1-x)= , , 令 ，解得 。答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。2． 解：设宽为 米，则长为 米，围墙长度为 。，令 ，即 ，解得 x舍掉 ， 512/x答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省。微 分（P17）一、名词解释微分——设函数 处的微分，记作 函数的一阶微分形式的不变性——无论 是自变量也好，还是中间变量也好， 总是成立的。微分的线性化——由 知， ，其中 为线性主部，也就是微分。二、填空题1．微分有双重意义，一是表示微小的量，二是表示一种与求导密切相关的运算。2．微分学包括两个系统：概念系统与算法系统。3． 导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近的性质。4．微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系，建立了微积分理论联系实际的桥梁。三、回答题1．微分学基本问题是什么？答：求非均匀变化量的变化率问题。2．微分学的基本运算是什么？答：求导运算和求微分的运算。3．微分的线性化有什么应用？答：可进行近似计算等。四、计算题1． （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ， 2． 解： cm3． 解：设 则 ，五、证明题证明：令 ，则 ，，证毕。高等数学（B）（1）作业3不定积分一、名词解释原函数——如果函数 定义在同一区间 ，并且处处有： ，则称 是 的一个原函数。不定积分——若 是 的一个原函数，则称 为 的不定积分。记作 .不定积分几何意义——表示形状完全一样只是位置不同的一族曲线。二、填空题1． 在数学中必须考虑的运算有两类：正运算与逆运算。2．对应于加法运算的逆运算是减法，对应于乘法运算的逆运算是除法，对应于正整数次乘方运算的逆运算是开方，对应于微分运算的逆运算是积分。3．关于逆运算我们至少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算困难，二是逆运算常常引出新结果。如减法引出负数，除法引出有理数，正数开方引出无理数，负数开方引出虚数。三、回答题1．什么叫函数f(x)在区间（a,b）的原函数？有多少个？它们彼此之间有什么关系？答：若 ，则称 是 的一个原函数，有无穷多个，彼此之间相差一个常数。2． 什么叫函数f(x)在区间（a,b）的不定积分？答：函数f(x)的原函数的全体，称为函数f(x)的不定积分。3． 两个函数的不定积分相等是什么意思？答：这两个函数相等。4． 说明数学运算中存在的正运算与逆运算。答：减法是加法的逆运算；除法是乘法的逆运算；开方是乘方的逆运算；不定积分是微分的逆运算；等等。5．说明原函数和不定积分的关系。答：原函数的全体就是不定积分。四、计算题1．求下列函数的原函数（1）解：因为 ， 所以该函数的原函数为 （2）解： （3）解： ，（4）解： （5）解： ，（6）解： （7）解： （8）解： （9）解： （10）解： 2．求下列各不定积分（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解 = 定 积 分（P26）一、名词解释定积分——设函数 在区间 内插入 个分点： ，把区间 分成 个小区间 ，其长度为 ，其中 0，1，2，3，…， ，在每个小区间 上任取一点 ： ，并作乘积 ，再求出部分和 ，令 ，若 （ 为常数），则称 为函数 的定积分，记作 定积分几何意义——若函数 ，则定积分 表示由曲线 、直线 轴所围的曲边梯形的面积。定积分中值定理——设函数 则在 ，使得 。微积分基本定理——设函数 则 = ，这里 牛顿—莱布尼兹公式——即微积分基本定理中的公式。二、填空题1．定积分是对连续变化过程总效果的度量，求曲边形区域的面积是定积分概念的最直接的起源。2．积分学的基本问题是非均匀变化量的求积问题。它的数学模型是 ，它的物理原形是求变速运动的路程，它的几何原形是求曲边梯形的面积。3．微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题，它的数学模型是 ，它的物理原形是求瞬时速度，它的几何原形是求切线斜率，它的基本运算是求导运算和求微分的运算。4．微分学研究的是函数的局部性态，无论是微分概念，还是微商概念，都是逐点给出的。数学家研究函数的局部性质，其目的在于以局部定整体。5．积分学包括不定积分和定积分两大部分，不定积分的目的是提供积分方法。三、回答题1．定积分有哪些应用？答：物理学应用，几何学应用等。例如，路程问题，曲边梯形面积问题等。2．定积分的性质有哪些？答：由以下9条：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）若在 ；（8）设 ,则： ；（9）设函数 则在 ，使得 。3．简述积分区间上限为变量时定积分定理。答：设函数 则 上可导，且 。4．建立定积分步骤有哪些？答：分为4步：（1）分割；（2）作积 ；（3）作和 ；（4）取极限 ，其中 。四、计算题1．利用定积分性质，比较下列积分值大小。（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， 2．求函数 的平均值。解：平均值A= .3．设 解： ， 。4．设 ，求 。解： = 。5．计算下列定积分（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解： （6） 解： 6．解：如下图, 体积V= 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图7．解：如上图，体积 8．解：如上图， ，面积 9．解：如上图，面积 高等数学（B）（1）作业4微积分简史注意：以下六题自己从书中相应位置的内容去概括，要抓住重点，言简意赅，写满所留的空地。1．论述微分学的早期史。答：见书P216——2172．简述费马对微分学的贡献。答：见书P217——2183．简述巴罗对微分学的贡献。答：见书P218——2204．论述积分学的早期史。答：见书P206——2105．论述微积分对人类历史的贡献。答：见书“一、前言”一开始的部分（前两段）。6．牛顿和莱布尼兹对微积分的发现做出了什么贡献？答：见书P222——225。微分方程(P33)一、回答题1．微分方程的定义。答：含有未知函数的导数或微分的方程。2．何为微分方程的通解、特解、初始条件？答：满足微分方程的所有函数，叫做微分方程的通解；满足微分方程的一个解或者部分解，称为微分方程的特解。微分方程最初所满足的条件，叫做初始条件。3．何为变量可分离的微分方程？答：把形如 的微分方程，称为微分方程。4．微分方程与建模有和关系。答：抛弃具体意义，只关心微分方程的形状，研究如何解方程，等这些工作做熟练了，反过来又可以用它解决实际问题。5．建模思想和步骤是什么？答：建模思想就是将各种各样的实际问题化为数学问题，通过建立数学模型，最终使实际问题得到解决。步骤：（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；（2）形成数学模型；（3）求解数学问题；（4）研究算法，并尽量使用计算机；（5）回到实际中去，解释结果。二、计算题1．求下列微分方程的解。（1）解： ，代入初始条件得 ，满足初始条件的特解为 （2）解： 代入初始条件得 ， 满足初始条件的特解为 （3）解： ，代入初始条件得 ，满足初始条件的特解为 2．解：由题意： ， ，代入初始条件得 ， 3．解：由题意： ， 代入初始条件得 ， 所求的函数关系是 4．解：由题意： ，分离变量： 两边积分： ，代入初始条件 得： ，这时： ，代入初始条件 得： ，代入 得，化简得： ，所以镭的量R与时间t的函数关系为 高等数学（B）（1）综合练习一、名词解释1．函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x }叫做函数的值域。2. 奇函数——若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒有 为奇函数。3．连续——设函数 在 及其一个邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 连续。 在（a,b）内连续是指函数 在（a,b）内的每个点处均连续。4．定积分——设函数 在区间 内插入 个分点： ，把区间 分成 个小区间 ，其长度为 ，其中 0，1，2，3，…， ，在每个小区间 上任取一点 ： ，并作乘积 ，再求出部分和 ，令 ，若 （ 为常数），则称 为函数 的定积分，记作 5． 微分方程——含有未知函数的导数或微分的方程。二、填空题1． 函数 的反函数是（ ）；2． 若函数 内可导且单调增加，则 ，有；3． ；4．若 ，则 ；5．若函数 的一阶导数为零，则在该点取得极值且为（a+b+c）；三、判断题1． 若f(x)在（a，b）内严格单调，则f(x)在（a，b）内存在反函数；（ ）2． 若f(x)与g(x)在 都是偶函数，则f(x)g(x)在实数范围内也是偶函数。（ ）3． 若数列 单调增加，则数列 存在极限；（ ）4． 若函数f(x)在点a可导，则函数f(x)在点a连续；( )5． 函数f(x)在（a，b）内的极大值必定大于它在该区间内的极小值。( )四、单选题1． 函数 内（ D ）。A．没有极大值点； B. 没有极小值点；C．既没有极大值点也没有极小值点 D . 既有极大值点也有极小值点2．设函数 连续，则 等于（ A ）A． ； B. ；C． ； D. .3．下列函数中，（ C ）为复合函数。A． ； B. ；C． ； D. .4．设函数 在点 处可导，则 ( B )。A．与 ，h都有关； B. 仅与 有关，而与h无关；C．仅与h有关，而与 无关； D. 与 ，h都无关。5．若在区间[a，b]上f(x)>0，在（a，b）内 ，根据定积分的几何意义，则 （ A ）。A．大于 ； B. 小于 ；C．等于 ； D. 大于 .五、计算题1．求函数 的定义域。解：由题意知 ， 函数的定义域为 .2． 用导数定义求函数 在点 的导数。解： 3．求 的近似值。解：令 ，取 ， ，则由近似公式： ，4．设函数 ，求其原函数。解： 所以原函数为： 5．求不定积分 解：令 ，则 ， ，如下图。六、论述题试简要论述微积分产生的历史背景。答：见书P205。

二元制君主立宪制,简称二元君主制,是资产阶级与封建统治者妥协的产物.其主要特征是：世袭君主为国家元首,拥有实权,由君主任命议会成员,政府对君主负责,议会行使立法权但君主有否决权.1871年～1918年的德意志帝国和1889年～1945年的日本是二元君主制的典型国家.20世纪80年代,约旦、沙特阿拉伯、摩洛哥等少数国家仍保留这种制度. “二元”即世袭君主与议会 ,他们都有权掌管法律. 君主专制的国王是在法律之上的.

公式：C(n+1)=(n+2)/(n+1)*Cn+ 1/(n^2+n)。=(n+2)/(n+1)*Cn+ 1/n - 1/(n+1)。C(n+1)/(n+2)=Cn/(n+1) +1/[n(n+2)] -1/[(n+1)(n+2)]。=Cn/(n+1) +1/2*[1/n -1/(n+2)] -[1/(n+1) -1/(n+2)]。=Cn/(n+1) +1/2*[1/n +1/(n+2)] -1/(n+1)。=Cn/(n+1) +1/2*[1/n -1/(n+1)] - 1/2*[1/(n+1) -1/(n+2)]。=Cn/(n+1) +1/2* 1/[n(n+1)] -1/2* 1/[(n+1)(n+2)]。C(n+1)/(n+2) - Cn/(n+1)=1/2* 1/[n(n+1)] -1/2* 1/[(n+1)(n+2)]。连加。Cn/(n+1) - C1/(1+1)=1/2 *1/[1(1+1)] -1/2 *1/[n(n+1)]。Cn/(n+1) -1/2=1/4 -1/2 *1/[n(n+1)]。Cn=3(n+1)/4 -1/(2n) (n>=2)。n=1时成立。排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

设S是一个非空集合，R是关于S的元素的一个条件。如果对S中任意一个有序元素对（a，b），我们总能确定a与b是否满足条件R，就称R是S的一个关系（relation）.如果a与b满足条件R，则称a与b满足条件R，则称a与b有关系R，记做aRb;否则称a与b无关系R。关系R也成为二元关系。

莫字可以组词为：莫名、莫名其妙、一筹莫展、莫逆之交。

二元线性方程的知识点二元线性方程的知识点二元线性方程是指含有两个未知数(如X和Y)的方程，每个未知数的度数为1。以下是边肖编写的二元线性方程组的知识点，仅供参考。让我们来看看。首先，二元线性方程1.二元线性方程：有两个未知数，且未知项的最高次数为1的方程。这样的积分方程叫做二元线性方程。

1. 1米= 0.001千米。1公里= 1000。“米”是国际单位制中长度的基本单位，符号m。可用于测量长、宽、高。“米”的定义起源于法国。1米的长度最初定义为经过巴黎的子午线上地球赤道到北极长度的千分之一，然后确定了国际计量仪器。 2. 随着人们对计量认识的不断加深，米长度的定义几经修订。从1983年开始，米的长度被定义为“光在真空中1 / 299 792458秒内所走的距离”。

1米应该等于0.001千米。

　　二元分析法就是在一元分析法的基础之上加入对资金流向的分析，帮助投资者能够更好的认清市场面貌，提高炒股成功率。

1、【莫找出21个字】分别是艹、古、日、大、旦、十、人、一、二、三、亖、丨、天、冂（jiōng）、匚（fāng）、凵（kǎn）、兰、亘、贝、口、莫、士2、莫可以拆分为草字头、日和大，日中包含一、二、三，三下面加一横是亖；日下面加一横是旦，上下各加一横是亘，大上面加一横是天；3、艹去掉一竖再加一横是士，加口是古；艹去掉横，下面再加三横是兰。口字中的冂（jiōng）、匚（fāng）、凵（kǎn）也可以提交

S球的表面积=4πr2 V球=4πr3÷3球体积计算在数学史上是一个很重要的问题，尤其在古代，这个问题解决得如何，从某种意义上讲，标志着某个国家、某个民族的数学水平的高低。我们中华民族在这个方面的杰出成就，是足可引以为豪的。早在公元前1世纪，我国对球体积计算是通过实测来完成的，其结果引出球体积计算公式： ，其中V——球体积，D——球直径，为什么？非常简单。用黄金分别制作一个立方寸的方块和直径1寸的球丸，用秤一称，一个16两，一个9两，球体积计算的近似公式就出来了。直到《九章算术》成书的年代还保留着上述公式。这可以说，是我国球体积计算的第一阶段：实测。公元3世纪，刘徽在注《九章算术》时，对这个公式提出了异议。为了说明刘徽的观点，我们先引入以下几个模型，如图1，所示。V1——正方体且边长为D，V2——V1的内切圆柱，V3——V1的两个内切圆柱的相贯体，V——直径等于D的球，V3是刘徽专门引入的，并命名为“牟合方盖”，即两个相同的方伞上下而合为一体。刘徽分析 的不准确是由以下推理所致：但他马上提出其中V2：V=4：π是错误的，因为V3：V=4：π（V3与V的任意等高截面均为4：π）。刘徽的论断非常正确，他实际上双指出了计算球体积的一条有效途径，那就是设法求出“牟合方盖”的体积。可惜的是，刘徽当时还没有找到求“牟合方盖”体积的办法。他说：“我们来观察立方体之内，合盖之外这块立体体积吧。它从上而下地逐渐瘦削，在数量上是不够清楚的。由于它方圆混杂，各处截面宽窄极不规则，事实上没有规范的模型可与之比较。若不尊重图形特点而妄作判断，恐怕有违正理。岂敢不留阙疑，街能言者来讲解吧。”由此，刘徽这种不迷信前贤，实事求是的治学精神可见一斑。这是我国球体积计算的第二阶段：改进。 ] “牟合方盖” （图2）到公元6世纪，我国球体积计算进入严密推导的第三阶段。著名数学家祖冲之的儿子祖 取 ，再将它填充成 ，所填充的那部分体积，正是当年刘徽不知如何中处置的“合盖之外，立方之内”的 。由水平截面在高为Z处截这个填充后的立方体，可截得正方形，由F1，F2，F3 ，F4组成。其中 （由勾股定理知），而 。由此，祖 提出“缘幂势既同，则积不容异”的著名论断，后人称之为“祖 原理”。并推出：如图3， ，因为F2+F3+F4=F*=Z2。而B*为倒立的正方体阳马，为B的体积的 ，显然，B1为B的体积的 ，再利用刘徽的结论V3：V=4：π，即可得球体积计算公式： ，其中D为球直径。至此，我们可以说，在球体积计算方面，刘徽的方法确实妙不可言，而祖 的推导则完美无缺。而在西方，公元前3世纪阿基米德在《论球与圆柱》卷I中，曾以33个命题为准备，用穷举法在命题34个中才得出结论： 。到公元前17世纪卡瓦利里利用了与“祖 原理”相同的所谓“不可分量原理”，得出了 的结论，只不过他所采用的形式，这也是现行中学课本中所采用的方法。同学们可以自行比较这些方法的特点。

排列组合计算公式A公式，表示从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A（n,m）表示。A（n,n)=n!    A(n,m)=n!÷(m-n)!    0!=1C公式，表示从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C（n,m） 表示。C(n,n)=1      C(n,m)=A(n,m)÷m!参考资料：百度百科—排列组合

二元论认为世界的本原是意识和物质两个实体,试图调和唯物主义和唯心主义的哲学观点；但二元论实质上坚持意识离开物质而独立存在,归根结底还是唯心的. 概念 二元论(dualism)自古希腊就存在,提出者是柏拉图. 主张世界有意识和物质两个独立本原的哲学学说,强调物质和精神是同等公平地存在的.认为世界的本原是意 识和物质两个实体.二元论实质上坚持意识离开物质而独立存在.它和一元论相对立.哲学史上典型的二元论者是17世纪法国哲 学家R.笛卡尔.他认为,意识和物质是两种绝对不同的实体,意识的本质在 于思想,物质的本质在于广袤；物质不能思想,意识没有广袤；二者彼此完 全独立,不能由一个决定或派生另一个.事实上两者都存在着差别. 哲学史上还有一些哲学家的思想体系中包含有二元论的因素.如17世纪荷兰的B-斯宾诺莎认为,“神”即自然,是世界的唯一实体,它有无限多的属性,其中可以为人类所知的只有广袤（物质性）和思维（意识性）两种,二者绝对独立,不能相互影响. [补充] 二元论中的“意识”不是人类出现后的“意识”,而是指自然法则.在人类出现以前的物质和意识就是指物质和自然法则,譬如数学就是一种自然法则,数学并不是因为人类出现才有的“意识”. 编辑本段一元论与二元论的分歧 一元论认为世界的本原是物质或者意识,两者中之一,二元论认为精神也是世界本原之一.到底谁对谁错,弄清了物质与精神的关系问题也就澄清了. 物质和精神是哲学所要研究的基本问题之一.弄清这两个概念的含义及其相互关系,在理论研究和社会实践方面都有重要意义.但随着人类认识的发展,传统哲学中的一些不实之词必须予以彻底纠正或清除.否则,哲学就不可能得到发展.下面谨就这两个概念及其相互关系略陈一二以供参考. 在当代人看来,所谓物质,就是构成事物本体的诸要素的统称.各种事物都是物质存在的不同形态.所谓精神,就是指人类所特有的思维运动及其产物（即认识）的总和. 在讨论物质与精神的关系时,必须限定所讨论的物质是自然界的物质,还是人类世界的物质.为使讨论严谨起见,首先必须对“自然界”和“人类世界”这两个概念加以限定.在当代科学看来,所谓自然界,就是指其运动演变不受人类实践制约的那个物质世界.所谓人类世界,就是指其运动演变受人类实践制约的那个物质世界.可见,自然界和人类世界是不同的两个物质世界. 辨析 【这里对“自然界”和“人类世界”的概念设定并不科学,这两个世界都是物质世界的一部分；这里指的所谓“人类世界”只是人类活动涉及到的世界而已,它是物质世界的很小一部分,如果没有人类活动它将与“自然界”没有区别,因此这里对“人类世界”和“自然界”的界定根本上是以人类是否接触到来区别的,而据此说“自然界和人类世界是不同的两个物质世界”是明显的不科学,因为人类可以不用前往另一个世界,在同一个世界里就能轻易地把“自然界”的某一部分转化成“人类世界”.所以说,“自然界”和“人类世界”是同一个物质世界的两部分,把它们按照这种概念区分开只是一种单纯的实际操作性区分,不能反映本质性的道理.】 显然,自然界的物质与人类的精神互不相干.只有处于人类实践领域里的,已经成为人类实践直接或间接的实践对象的物质,即人类世界的物质才和人类精神有关.因此,只有在人类实践领域来讨论物质与精神的关系才有意义.那么,两者有什么关系呢?由于人类实践有认识世界的实践和改造世界的实践两种,因而又要看所讨论的物质是处于人类认识世界的实践领域呢,还是处于人类改造世界的实践领域. 影响 通过以上分析和限定,我们就可以清晰地看到,在人类认识世界的实践中,是物质通过人类实践决定了人类的精神.这也就是传统哲学所说的认识源于实践.而在改造世界的实践中,则是人类的精神通过人类实践决定了物质——因为人类世界的事物都是人类改造世界实践的产物.各种产品都是人类生产实践的产物,各种社会制度的确立和变革都是人类社会革命和改革实践的产物,无一例外.而人类改造世界的实践,无论是生产劳动还是社会革命,都是在人类精神的支配和制约下进行的.人类总是在认识世界的实践中获得对客观世界的认识,然后再运用这些认识来指导自己改造世界的实践去改造客观世界的. 由上述物质与精神的关系可以明显看出：物质和精神的关系只有在人类实践中才能发生.在认识世界的实践中强调唯心主义是完全错误的,在改造世界的实践中强调唯物主义也是极其错误的.要想科学地改造世界,必须科学地认识世界. 二元论逻辑理论 所谓二元论（Dualism）,在哲学上可分两方面说：第一是形上学的（Metaphysical）二元论；第二是知识论上的（Epistemological）二元论.前者是说,在任何既有的领域之内,都有两个独立而不可相互还元的实体（Substance）.换言之,宇宙最根本的实在是二而非一.例如,柏拉图的二元论,他划分感性世界和睿智世界（The Sensible World and Intelligible World）之同,我们不能把前者还元成后者,或把后者还元成前者.近代的笛卡儿及其学派（Cartesian）的二元论是说,根本的实在有二：一为思惟性的（Thinking）实体,一为具有扩延性的（Extended）实体,即通常所谓的精神与物质之二分.笛氏之后的理性论大师莱布尼兹（Leibnizn）及其学派也有其特殊的二元论,他们把世界分成现实的和可能的,但认为我们的这个世界是所有可能世界当中最好的一个世界.至於近代最伟大的德国哲学家康德（I.Kant）,他的二元论是说,我们所能认识的只是现象（Phenomenal）,即经验及可能经验的事物,而物自体（ThingInItself）或本体（TheNoumenal）不可知.其次,所谓知识论上的二元论是说,而人的认识对象(被知觉或记忆的事物)和内容(呈现在认识主体心中的感觉与料、记忆或概念等)是截然不同的.

球体表面积的计算公式为S=4πr²=πD²，该公式可以利用求体积求导来计算。球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。