因式分解换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元。【例】在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则　原式=(y+1)(y+2)-12　=y²+3y+2-12=y²+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x²+x+5)(x²+x-2)　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程。解高次方程有时在解方程时，可以选择方程中的相同的部分换成另一个未知数，达到降次的目的，然后进行新方程求新未知数，最后再转换回来求原未知数，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元。【例】解方程（x²-2x）²-3（x²-2x）-4=0解：设x²-2x=y，则原方程变为y²-3y-4=0(y-4)(y+1)=0y-4=0或y+1=0y1=4 y2=-1当y=4时，x²-2x=4 解得x1=1+√5 x2=1-√5当y=-1时，x²-2x=-1解得x1=x2=1所以，原方程的根为x1=1+√5 x2=1-√5 x3=1

化解 (X ²)²+2x²+1=?

在初中数学内容中，“因式分解”是很关键的一章．本章内容对以后数学学习起到至关重要的作用．在教材中主要讲解了四种方法，其中提取公因式法、公式法和十字相乘法介绍的较细，这里不再研究．下面主要对分组分解法和其他常见的方法归纳如下． 　　一、分组分解因式的几种常用方法． 　　1．按公因式分解 　　例1 分解因式7x2-3y+xy+21x． 　　分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)， 　　解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)． 　　2．按系数分解 　　例2 分解因式x3+3x2+3x+9． 　　分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组． 　　解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)． 　　3．按次数分组 　　例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2． 　　分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式． 　　解：原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)． 　　4．按乘法公式分组 　　 　　分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式． 　　 　　5．展开后再分组 　　例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)． 　　分析：将括号展开后再重新分组． 　　解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)． 　　6．拆项后再分组 　　例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3． 　　分析：把常数拆开后再分组用乘法公式． 　　解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)． 　　7．添项后再分组 　　例7 分解因式x4+4． 　　分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组． 　　解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2) 　　二、用换元法进行因式分解 　　用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成． 　　例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16． 　　分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了． 　　解：令y=x2+3x，则 　　原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)． 　　因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)． 　　三、用求根法进行因式分解 　　例9 分解因式x2+7x+2． 　　分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解． 　　 　　四、用待定系数法分解因式． 　　例10 分解因式x2+6x-16． 　　分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得 　　x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得 　　b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解． 　　解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2) 　　则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2 　　 ∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．。

正如数字分解质因数，要变成所有的质数相乘的等式，分解因式，就要彻底分解，尽可能降低各个因式的最高次数，具体方法，第一步，提公因式，这也是最简单的方法，公因式不仅有：系数、字母、单项式，这些我们都熟悉了，而且，公因式还可能是一个式子，例如(a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b)，公因式是 (a+b)= ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )= ( a + b )( 5m + 5n ) 这样再提系数 5= 5( a + b )( m + n )第二步，公式法，就是把整式乘法的公式倒过来用，a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差，a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和，a" - 2ab + b" = (a - b)" ——完全平方差，a"" + b"" = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和，a"" - b"" = (a - b)(a" + ab + b") ——立方差，熟悉公式，熟悉平方数、立方数是关键，平方差，还有两个完全平方相减的式子，例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )完全平方公式，或许因为 a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"公式就只有一个式子 (a + b)" = a" + 2ab + b"关于完全平方差，应该注意( a - b )" = [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"立方和、立方差，分解因式变成五个项，两个一次项、三个二次项，熟悉公式是难点，就拿具体数字算一算，2"" - 1 = 8 - 1 = 1 X 7 = ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )我就是利用“棋盘上的麦粒”问题，熟悉了立方差a"" - 1 = ( a - 1 )( a" + a + 1 )a"" - b"" = ( a - b )( a" + ab + b )立方差原来两个立方相减，两个一次项也是相减，三个二次项就都是相加，a"" + b"" = ( a + b )( a" - ab + b" )立方和，就只有中间一个二次项 -ab 是减，其余都是相加第三步，二次三项式，十字相乘分解，我的建议，使用分组分解法更好，正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )把单项式 mx = (a+b)x ，拆开变成 ax + bx ，就能够分组提公因式进行分解Q 关键是怎样把一次项一分为二，就由常数项的正负来决定，一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式x" + 10x + 24= x" + 4x + 6x + 24= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )= ( x + 4 )( x + 6 )还有x" - 10x + 24= x" - 4x - 6x + 24= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )= ( x - 4 )( x - 6 )Q 如果常数项是正数，一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；或者，完全平方式也可以这样分解再看x" - 10x - 24= x" - 12x + 2x - 24= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )= ( x - 12 )( x + 2 )还有x" + 10x - 24= x" + 12x - 2x - 24= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )= ( x + 12 )( x - 2 )Q 如果常数项是负数，一次项系数就是分开两个项的相差数；这样的二次三项式，一次项与常数项，绝对值不变，两项正负二二得四，就都有 4 种情况，x" ± 5x ± 6x" ± 10x ± 24x" ± 15x ± 54x" ± 20x ± 96x" ± 25x ± 150要么你也多做几个，这个方法也就是技巧最后，就要检验，确保分解彻底，因式分解变形正确，例如 x^6 - y^6，应该= ( x"" - y"" )( x"" + y"" )= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )相当于 64 - 1，= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )= 1 X 7 X 3 X 3如果先用立方差，做成= ( x" - y" )( x^4 + x"y" + y^4 )= ( x - y )( x + y )( x^4 + x"y" + y^4 )相当于= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )= 1 X 3 X 21还有 21 分解不彻底，也就不正确了正如现在的平方差，有两个完全平方相减，现在要求分解的式子都比较复杂，要想还原就不方便了，各种类型的式子，我们就都要熟悉两三种解答方式，这样才能够相互检验，确保解答正确。

设t=x^2-5x,则原式=（t+2）（t+8）+8=t^2+10t+24,再把t=x^2-5x代回，则原式=（x^2-5x）^2+10(x^2-5x)+24

你说的换元吧？有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

　　换元法：解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。　　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。　　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.2运用公式法①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.3分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.4拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。5配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。6换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。7待定系数法：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。END注意事项当然，以上只是因式分解的常用方法，还有很多方法都很不错，也能对我们的数学能力进行拓展，例如十字相乘法等等。我们在学习初中数学因式分解的时候，一定要多做题，题海战术虽然饱受诟病，但是对于初中数学确实是理解和熟练知识点的最佳途径，当然要适量，不可疲劳战，这是为了保持对学习的浓厚兴趣，长此以往，养成习惯，你会发现数学这么简单。

试根法

因式分解 ：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 3、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 3、 分组分解法 4、要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 6、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 7、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 8、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

分解什么？请出题。

x^8+x^6+x^4+x^2+1=x^8+x^4+1+2*x^6+2*x^4+2*x^2-(x^6+2*x^4+x^2)=(x^4+x^2+1)^2-(x^3+x)^2=(x^4+x^2+1+x^3+x)(x^4+x^2+1-x^3-x)=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)其中x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+1)^2+x(x^2+1)-x^2=[(x^2+1)+x/2]^2-5x^2/4=[x^2+(1+√5)x/2+1][x^2+(1-√5)x/2+1]同理x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2+1)^2-x(x^2+1)-x^2=[(x^2+1)-x/2]^2-5x^2/4=[x^2+(√5-1)x/2+1][x^2-(√5+1)x/2+1]解法2：x^8+x^6+x^4+x^2+1=(x^2-1)(x^8+x^6+x^4+x^2+1)/(x^2-1)=(x^10-1)/(x^2-1)=(x^5-1)(x^5+1)/(x^2-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)/(x^2-1)=(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)

先说一下，a^b表示a的b次方。-------------------------------------------------------------------------------其实可以直接分解，不用换元法。4(a+b-ab)·(a+b-1)+(1-ab)^2=4[(a+b)^2-ab·(a+b)-(a+b)+ab]+(1-ab)^2=4(a+b)^2-4(ab+1)·(a+b)+4ab+(1-ab)^2=[2(a+b)]^2-2·(ab+1)·[2(a+b)]+(ab+1)^2=[2(a+b)-(ab+1)]^2=(2a+2b-ab-1)^2-------------------------------------------------------------------------------初中所能接触到的绝大部分换元法并没有改变方法本身，只是让问题看起来更清晰。下面用换元法试一试吧。设a+b=x，ab=y于是，4(a+b-ab)·(a+b-1)+(1-ab)^2=4(x-y)·(x-1)+(1-y)^2=4(x^2-xy-x+y)+(1-y)^2=4x^2-4xy-4x+4y+y^2-2y+1=4x^2-4xy-4x+y^2+2y+1=(2x)^2-2·2x·(y+1)+(y+1)^2=[(2x)-(y+1)]^2=(2a+2b-ab-1)^2-------------------------------------------------------------------------------主元法其实也没啥意思。设a+b=x，ab=y那么，4(a+b-ab)·(a+b-1)+(1-ab)^2=4(x-y)·(x-1)+(1-y)^2=4(x^2-xy-x+y)+(1-y)^2=4x^2-4xy-4x+4y+y^2-2y+1=4x^2-4xy-4x+y^2+2y+1此时将x当做主元，=4x^2-4(y+1)·x+y^2+2y+1此时，令上式=0，其中，x是未知数，y是字母，4x^2-4(y+1)·x+y^2+2y+1=0用因式分解法解这个方程很容易，可是如果能因式分解就不需要解方程了是不是，那么我们直接用一元二次方程的求根公式，求到结果为x有两个相等的根：x=(y+1)/2因而，这个方程直接可以写成：[x-(y+1)/2]·[x-(y+1)/2]=0比较x^2的系数发现，上面的方程左边×4即为原方程的左边，因而，原因式分解=4[x-(y+1)/2]·[x-(y+1)/2]=(2x-y-1)^2=(2a+2b-ab-1)^2————————————————————————————————补充，其实还有其它路子，=4x^2-4(y+1)·x+y^2+2y+1=4x^2-4xy-4x+y^2+2y+1=4x^2-4xy+y^2-4x+2y+1=(2x-y)^2-4x+2y+1=(2x-y)^2-2(2x-y)+1=(2x-y-1)^2=(2a+2b-ab-1)^2————————————————————————————————【经济数学团队为你解答！】欢迎追问。

理论公式的灵活运用

1,x³-3x+2=(x-1)(x²+x-2)2,x³-48x+7=x³-49x+x+7=x(x-7)(x+7)+x+7=(x²-7x+1)(x+7)3,x³-5x²+5x-4=(x³-4x²)-x²+5x-4 =x²(x-4)-(x-4)(x-1) =(x-4)(x²-x+1) 4,x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x²+x)(x²+5x+6)+1 =x^4(四次方)+6x³+11x²+1 =(x+3x+1)^2 5，这题是不是打疏忽了？原题应为（xy-1)²+(x+y-2)(x+y-2xy) 不然无法分解（x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2=(y2-2y+1)x2-2(y2-2y+1)x+y2-2y+1=(y-1)2(x-1)2（跟在后的2为平方）

令x²+2x=m(x^2+2x-1)^2+2(x^2+2x)-10=(m-1)^2+2m-10=m²-2m+1+2m-10=m²-9=(m+3)(m-3)-------------------m=x²+2x代入=(x²+2x+3)(x+3)(x-1)二分之一x^2+x+二分之一=0两边同乘以2x²+2x+1=0(x+1)²=0x=-1

因式分解的十二种方法 :把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x^2=[(6x-1)(x-1)][(2x-1)(3x-1)]+x^2=(6x^2-7x+1)(6x^2-5x+1)+x^2设A=6x^2+1原式=(A-7x)(A-5x)+x^2=A^2-12Ax+36x^2=(A-6x)^2=(6x^2-6x+1)^2

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提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)； 完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3． 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。 （3）分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 [编辑本段]竞赛用到的方法⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x^3-x^2+x-1 解法：=(x^3-x^2)+(x-1) =x^2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。⑷十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 图示如下： × c d 例如：因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中⑸拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．⑹配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：x²+3x-40 =x²+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)²-(6.5)² =(x+8)(x-5)．⑺应用因式定理 对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数； 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数⑻换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1)这样可以么？

因式分解的一般步骤是:一提二套三分解一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则先提公因式;若没有,则套用公式.二套:即套用公式,在没有公因式的前提下,则套用公式,常用公式有:a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2十字相乘法:x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)举例: x^2+5x+6=(x+3)(x+2)三分解:即分组分解法.对于四项或四项以上的,一般都采用这种方法下面主要对分组分解法和其他常见的方法归纳如下．　　一、分组分解因式的几种常用方法．　　1．按公因式分解　　例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．　　分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x-3)，　　解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．　　2．按系数分解　　例2 分解因式x3+3x2+3x+9．　　分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．　　解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．　　3．按次数分组　　例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2．　　分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．　　解：原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．　　4．按乘法公式分组　　分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．　　5．展开后再分组　　例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．　　分析：将括号展开后再重新分组．　　解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．　　6．拆项后再分组　　例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．　　分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．　　解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．　　7．添项后再分组　　例7 分解因式x4+4．　　分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．　　解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)　　二、用换元法进行因式分解　　用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．　　例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．　　分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．　　解：令y=x2+3x，则　　原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．　　因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．　　三、用求根法进行因式分解　　例9 分解因式x2+7x+2．　　分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．　　　　四、用待定系数法分解因式．　　例10 分解因式x2+6x-16．　　分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得　　x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得　　b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．　　解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)　　则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2　　∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．希望能解决您的问题。

多做,熟能生巧

提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. 公式法 ①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. 分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. 拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ※多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。待定系数法：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x^2=[(6x-1)(x-1)][(2x-1)(3x-1)]+x^2=(6x^2-7x+1)(6x^2-5x+1)+x^2设A=6x^2+1原式=(A-7x)(A-5x)+x^2=A^2-12Ax+36x^2=(A-6x)^2=(6x^2-6x+1)^2

(1+x^2+2 x (-1+y)-y (2+y))^2

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4）

1千瓦=0.001兆瓦，1兆瓦=1000千瓦，1瓦=1000毫瓦。兆瓦是一种表示功率的单位，是功率基础单位瓦的数量级衍生单位，1兆瓦=1000千瓦；兆瓦的定义是每秒做功1,000,000焦耳，每小时做功3,600,000,000焦耳。所以兆瓦的意思又可认为每秒发电100万焦耳的电量。 功率 功率是指物体在单位时间内所做的功的多少,即功率是描述做功快慢的物理量。功的数量一定,时间越短,功率值就越大。求功率的公式为功率=功/时间。功率表示做功快慢程度的物理量。单位时间内所作的功称为功率,用P表示。故功率等于作用力与物体受力点速度的标量积。

1、同本义[sleep]寐,卧也。――《说文》夙兴夜寐。――《诗·卫风·氓》耿耿不寐。――《诗·邶风·柏舟》归寝不寐。――《国语·晋语》寡人夜者寝而不寐。――《公羊传·僖公二年》门卒方熟寐。――《资治通鉴·唐纪》人不寐。――宋·范仲淹《渔家傲》子灿寐而醒。――明·魏禧《大铁椎传》乃悟前狼假寐。――《聊斋志异·狼三则》又如:夜不能寐;梦寐(睡梦)以求;寐息(睡眠;卧息);寐寤(睡眠和觉醒);寐觉(睡醒)2、死[die]潜寐黄泉下,千载永不寤。――《古诗十九首》3、静谧无声[besilent]。如:寐寐(默默)

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或其中几份的数叫分数，分数也是日常生活中常用的一种计量方式，本次就三年级分数的思维导图怎么画进行介绍。

1000千瓦=1兆瓦=1000000瓦=1000000000毫瓦 1千瓦=0.001兆瓦 1兆瓦=1000千瓦 1瓦=1000毫瓦 1马力相当于735瓦

1、在画面顶部偏左的位置画成我们的标题数学思维导图。2、在画面中间画一个方形边框_在边框后面画一个将边框，在边框周围画一些数学符号_然后在方框两侧各画两个气泡框_四个框都连接在中间的方框上。3、在画面四周画一些云朵_然后在画面底部画一些植物和花朵即可作为拓展勾画导图即可。

拼 音 mèi 部 首 宀 笔 画 一二 五 行 水 词本 基本释义 详细释义 睡睡着（zháo）：～语假（jiǎ）～梦～求夙兴（xīng）夜～（早起晚睡）夜能～ 相关组词 梦寐 假寐 入寐 寐 讬寐 寐魇 潜寐 熟寐 寐 托寐寤寐 宵寐 寝

数学思维导图和数学绘本一样吗？不一样。数学思维导图的优点数学思维导图以某关键词为中心，将与之关联的内容连接起来，帮助理清各知识点之间的关系。在理清各知识点内容时，可以把零散的内容绘制到一起形成系统性思维。从不同方向或角度制作数学思维导图，绘制的内容与结果往往是大不相同的，可以充分体现制作这的思考方向、特点等，与此同时也便于查验知识点。阅读数学绘本，让数学知识更加生动化。数学绘本介绍的是世界万物的道理和规律；孩子能懂秩序和方法。

怎样滚得远 教学目标 1、让学生参与探索斜面与地面成怎样的角度时物体滚得最远的实验活动，进行收集数据、求平均数、角的测量等数学知识和方法的综合运用，体会数学的应用价值。 2、让学生感受做实验是研究事物的一种方法，培养学生实事求是的科学态度，进一步激发学生应用数学知识解决实际问题的兴趣。 教学准备：平滑的木板，圆柱形物体，卷尺，量角器，实验报告单。 　　利用木板斜坡和山的斜坡来运东西，既省钱又省力。 你能举一些像上面的例子吗？ 　　你知道斜坡和地面形成什么角度时，物体滚动得远一些吗？ 用木板搭一个斜坡，使斜坡与地面成30°角。 将圆柱形物体放在斜坡的顶上。 轻轻松开手，让物体自动往下滚。 等物体停止滚动后，量出它在地面上滚动的距离。 实 验 ⑴搭一搭???? 用30～50厘米的木板搭出一个与地面成30°角的斜坡。 ⑵滚一滚???? 圆形物体在轻轻放在斜坡顶上，让它自动往下滑落。 ⑶量一量???? 从木板底部量出物体在地面上滚动的距离。 第1次 第2次 第3次 平均数 物体滚动距离 是不是每次滚动距离都一样长？? 木板与地面的角度：30° 学生每8人一组，按刚才师

1、本意是指睡梦，睡着等。 2、寐是一个汉字，读作mèi， 3、该文字在《诗·邶风·柏舟》、《诗·卫风·氓》和《国语·晋语》等文献均有记载。 4、汉字笔顺：点、点、横撇/横钩、竖折/竖弯、竖、横、撇、横、横、竖、撇、捺。

1兆瓦等于1000千瓦。1千瓦＝1000瓦特。1瓦定义是每秒做功1焦耳，即每小时做功3600焦耳。而千瓦就是瓦的1000倍级衍生单位，意义是每秒做功1000焦耳，每小时做功3,600,000焦耳。同理，兆瓦的定义是每秒做功1,000,000焦耳，每小时做功3,600,000,000焦耳。所以兆瓦的意思又可认为每秒发电100万焦耳的电量。由于在计算用电量（发电量）时常使用”瓦时“作为发电量的主要计量单位，其中：千瓦时又是用电量（发电量）中最常用的计量单位，即度。因此兆瓦又可以理解为是每小时发电量1兆瓦时，或每小时发电量1000千瓦时（度）。

你要多做

寐字五行属水。寐字的起名属性：寐字的繁体字：寐（若无繁体，则显示本字）寐字的拼音：mèi寐字的部首：宀 寐字五行属什么：水 寐字用来取名的人多吗：50人次 (每千万人口)寐字用来取名字好么：凶 寐字是否为姓氏：否寐字在康熙字典多少划：12划 (姓名笔画数) 寐字在名字里的含义：睡，睡着。寐字是什么意思：寐 mèi<动>(1)当人呱呱坠地之时, 其星座、命盘、血型、四柱八字就已经确定了. 先天不足者何以更命？可行者唯姓名也. 按生辰八字起名才是正道..(2)静谧无声 [be silent]。如:寐寐(默默)(3)(形声。本义:睡着) (4)同本义 [sleep] (5)死 [die](6)又如:夜不能寐;梦寐(睡梦)以求;寐息(睡眠;卧息);寐寤(睡眠和觉醒);寐觉(睡醒)寐字的英文名：Marshall Marlon，Melvin，Maxwell，Murphy，Mustafa，Miller，Mitch，Murray，Major，Mariano，Milo。

寐 拼 音 mèi  部 首 宀 笔 画 12 五 行 水 [寐]基本解释 睡，睡着（zháo） ：～语。假（jiǎ）～。梦～以求。夙兴（xīng）夜～（早起晚睡）。夜不能～。 [寐]详细解释 〈动〉 (形声。本义:睡着) 同本义 寐卧也。——《说文》 夙兴夜寐。——《诗·卫风·氓》 耿耿不寐。——《诗·邶风·柏舟》 归寝不寐。——《国语·晋语》 寡人夜者寝而不寐。——《公羊传·僖公二年》 门卒方熟寐。——《资治通鉴·唐纪》 人不寐。——宋· 范仲淹《渔家傲》 子灿寐而醒。——明· 魏禧《大铁椎传》 乃悟前狼假寐。——《聊斋志异·狼三则》 又如:夜不能寐;梦寐(睡梦)以求;寐息(睡眠;卧息);寐寤(睡眠和觉醒);寐觉(睡醒) 死 潜寐黄泉下千载永不寐。——《古诗十九首》 静谧无声 。如:寐寐(默默) [寐]百科解释 汉语汉字，读音：mèi 更多→ 寐 [寐]英文翻译 Mei [寐]组词 梦寐 假寐 入寐 成寐 托寐 寐魇 潜寐 熟寐 无寐 托寐 寤寐 宵寐 寝寐 失寐 更多寐组词 [寐]相关搜寻 寐的成语 寐语 寐鱼 寐组词有哪些 寐寤 寐寐 寐觉 寐四个字成语 寐开头的词语 寐字结尾成语

兆瓦（英文：megawatt，通常缩略为mw），是一种表示功率的单位，常用来指发电机组在额定情况下单位时间内能发出来的电量。（注瓦的定义是：焦耳/秒，兆瓦的定义是：兆焦耳/秒）兆瓦是功率基础单位瓦的数量级衍生单位，而功率本身是对于单位时间内做功的描述，类似毫瓦、千瓦等名词。以瓦为例：1瓦定义是每秒做功1焦耳，即每小时做功3600焦耳。而千瓦就是瓦的1000倍级衍生单位，意义是每秒做功1000焦耳，每小时做功3,600,000焦耳。同理，兆瓦的定义是每秒做功1,000,000焦耳，每小时做功3,600,000,000焦耳。所以兆瓦的意思又可认为每秒发电100万焦耳的电量。由于在计算用电量（发电量）时常使用”瓦时“作为发电量的主要计量单位，其中：千瓦时又是用电量（发电量）中最常用的计量单位，即度。因此兆瓦又可以理解为是每小时发电量1兆瓦时，或每小时发电量1000千瓦时(度)。兆瓦与千瓦、瓦之间的换算关系是：1兆瓦=100万瓦；1兆瓦=1000千瓦；1兆瓦=0.1万千瓦；1兆瓦=0.01亿瓦.

球的表面积是4πr^2（r为球半径）。球体表面积公式S(球面）＝4πr^2运用第一数学归纳法：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份，每份等高，并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径，则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)×h。其中h=R/n，r(k)=√［R^2；-﹙kh^2；]=2πR^2；×√［1/n^2;-(k/n^2)^2；]，则S(1)+S(2)+……＋S(n)当n取极限（无穷大）的时候，半球表面积就是2πR^2，球体乘以2就是整个球的表面积4πR^2。球体的性质有：1、球心和截面圆心的连线垂直于截面。2、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2。3、球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。4、在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

1、米和千米的进率是1000。 2、1千米= 1,000 米（公尺）= 100,000厘米（公分）= 1,000,000毫米（毫米）= 0.621 英里= 1,094 码= 3,281 英尺 3、汽车和公路里程、速度限制等标志已全面以千米作单位。十进制推行初期曾以“千米”作单位，但由于“千米”的“千”字在说话时易与前面的数字混淆，近年已以“公里”取代。

只有学习精彩，生命才精彩，只有学习成功，事业才成功。每一门科目都有自己的 学习 方法 ，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲练的。下面是我给大家整理的一些 八年级 数学的知识点，希望对大家有所帮助。 八年级上册数学知识点 总结 归纳 一、全等形 1、定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。 2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。 二、全等多边形 1、定义：能够完全重合的多边形叫做全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、性质： (1)全等多边形的对应边相等，对应角相等。 (2)全等多边形的面积相等。 三、全等三角形 1、全等符号：≌。如图，不是为：△ABC≌△ABC。读作：三角形ABC全等于三角形ABC。 2、全等三角形的判定定理： (1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。(即SAS，边角边); (2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。(即ASA，角边角) (3)有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。(即AAS，角角边) (4)有三边对应相等的两三角形全等。(即SSS，边边边) (5)有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。(即HL，斜边直角边) 3、全等三角形的性质： (1)全等三角形的对应边相等、对应角相等; (2)全等三角形的周长相等、面积相等; (3)全等三角形对应边上的中线、高，对应角的平分线都相等。 4、全等三角形的作用： (1)用于直接证明线段相等，角相等。 (2)用于证明直线的平行关系、垂直关系等。 (3)用于测量人不能的到达的路程的长短等。 (4)用于间接证明特殊的图形。(如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等)。 (5)用于解决有关等积等问题。 初二上数学知识点 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也叫同类项。 判断几个单项式或项，是否是同类项的两个标准： ①所含字母相同。②相同字母的次数也相同。 判断同类项时与系数无关，与字母排列的顺序也无关。 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项步骤： ⑴.准确的找出同类项。 ⑵.逆用分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。 ⑶.写出合并后的结果。 合并同类项时注意： (1)如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0。 (2)不要漏掉不能合并的项。 (3)只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)。 (4)不是同类项千万不能进行合并。 初二上册数学一次函数知识点总结 一、函数： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数)，分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法及其优缺点 (1)关系式(解析)法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 (3)图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤 (1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 (3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量)。 特别地，当一次函数中的b=0时(即)(k为常数，k0)，称y是x的正比例函数。 2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数的图像是经过点(0，b)的直线;正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。 八年级数学课本知识点相关 文章 ： ★ 八年级上册数学课本的知识点归纳 ★ 人教版八年级上册数学课本知识点归纳 ★ 人教版八年级数学上册知识点总结 ★ 八年级下册数学知识点整理 ★ 人教版八年级上册数学课本知识点归纳(2) ★ 八年级数学知识点整理归纳 ★ 八年级数学上册知识点总结人教版 ★ 八年级下册数学书知识点 ★ 新人教版八年级数学上册知识点 ★ 初二数学上册知识点总结

高等数学（B）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设 是两个实数，且 ，满足不等式 的实数 的全体，称为点 的 邻域。绝对值——数轴上表示数 的点到原点之间的距离称为数 的绝对值。记为 。区间——数轴上的一段实数。分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。实数——有理数和无理数统称为实数。二、填空题1．绝对值的性质有 、 、 、 、 、 。2．开区间的表示有 、 。3．闭区间的表示有 、 。4．无穷大的记号为 。5． 表示全体实数，或记为 。6． 表示小于 的实数，或记为 。7． 表示大于 的实数，或记为 。8．去心邻域是指 的全体。用数轴表示即为9.MANZU 9．满足不等式 的数 用区间可表示为 。三、回答题1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。2．答：包括整数与分数。3．答：不对，可能有无理数。4．答：等价于 。5．答： 。四、计算题 1．解： 。。2．解： 。3．解： 为方程的解。函 数（P3）一、名词解释函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x }叫做函数的值域。奇函数——若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒有为奇函数。偶函数——若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒有，则称函数 为偶函数。定义域——自变量的取值范围，记作 。值域——所有函数值组成的集合，记作G={y|y=f(x),x }。初等数学——包括几何与代数，基本上是常量的数学。三角函数：称 为三角函数。指数函数——称函数 为指数函数。复合函数——设 若 的值域包含在 的定义域中，则 通过 构成 的函数，记作 ，称其为复合函数， 称为中间变量。对数函数——称函数 为对数函数。反函数——若函数 的值域为 ，若 ，都有一个确定的且满足 的 值与之对应。则由此得到一个定义在 上的以 为自变量、 为因变量的新函数，称它为 的反函数，记作 。幂函数——称函数 （ 为实数）为幂函数。常函数——称函数 为常函数。常量——在某一变化过程中，始终保持不变的量。变量——在某一变化过程中，可以取不同数值的量。二、填空题1．函数概念最早是由莱布尼兹引进的。有了函数概念，人们就可以从数量上描述运动。2．在历史上第一个给出函数一般定义的是狄里克雷，并给出了一个不能画出图形的函数。这就是著名的狄里克雷函数，其表达式是 。3．函数的三种表示法：解析法、图像法、列表法。4．函数表达了因变量与自变量之间的一种对应规则。5．单值函数是当自变量在定义域中取定了一数值时，与之对应的函数值是唯一的函数。6．奇函数的图像特点是关于原点对称，偶函数的图像特点是关于y轴对称。7．单调函数的图像特点是总是上升或总是下降。8．反函数的图像特点是关于直线y=x对称。三、回答题1．答：设函数 在集合 上有定义，如果存在一个正数 ，对所有的 ，恒有 ，则称函数 为有界函数。2．答：（1）当一个函数 在区间 有界时，正数 的取法不是唯一的。（2）有界性是依赖于区间的。3．答： ，则称函数 在区间 单调增加。否则，称为单调减少。4．答：若函数 在区间 单调，其值域是 ，则函数 存在反函数 其定义域是 ，值域是 。四、作图题（1） 解：是抛物线。（2） 解：是立方抛物线。（3） 解：是正弦曲线。（4） 解：是余弦曲线。（5） 解：是正切曲线。（6） 解：是半抛物线。（7） 解：是自然对数函数。（8） 解：是指数函数(a>1)。（9） 解：是对数函数(a>1)。（10） 解：是对数函数（a<1）。(11) 解：是指数函数(a<1)。(12) 解：是指数函数(a>1)。第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图第（4）题图 第（5）题图 第（6）题图第（7）题图 第（8）题图 第（9）题图第（10）题图 第（11）题图 第（12）题图五、计算题（1）解： 。（2）解：设长为 ，宽为 ，则 ，面积 。（3）解： ，所以定义域为 。（4）解： ， ， 。（5）解：由 解得 ，交换 和 ，得到 的反函数 ，由 ，故定义域为 。（6）解：复合函数为 六、讨论题答：（1）复合函数是函数之间的一种运算；（2）并不是任何两个函数都能构成一个复合函数；（3）复合函数可以是由多个（大于两个）函数复合而成；（4） 中，后者的值域正好是前者的定义域；（5）构成复合函数的各简单函数，除了最后一个外，都是基本初等函数。极 限（P9）一、名词解释极 限——一个数列或函数其变化趋势的终极状态。无穷小量——极限为零的变量或者常数0。连 续——设函数 在 及其一个邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 连续。数列极限——对数列 来说，若 时， ，则称数列 的极限为 记作 。函数极限——设函数 在 的附近有定义，当 时， ，则称函数 在 时的极限为A ，记作 无穷大量——若 ，则称 为该极限过程下的无穷大量。二、填空题1．从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分的基本问题：求面积，体积，弧长，瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。2．极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态。3．在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。4．公元3世纪，中国数学家刘徽的割圆术，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率 的。5．极限概念产生于求面积求切线两个实际问题。三、回答题1．简述连续性概念。答：设函数 在 及其一个邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 连续。 在（a,b）内连续是指函数 在（a,b）内的每个点处均连续。2．间断点分成几类？答： 3．什么是单侧连续？答：设函数 在 及其右邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 右连续。同理可定义左连续。4．什么是连续函数？答：若函数 在（a,b）内的每个点处均连续，且在左端点处右连续，右端点处左连续，则称函数 在[a,b]上连续。5．简述复合函数的连续性定理。答：设函数 在点 处连续，函数 在点 处连续，而 ，并设 在点 的某一邻域内有定义，则复合函数 在点 处连续。四、论述题极限思想的辩证意义是什么？答：极限概念描述的是变量在某一变化过程中的终极状态，是一个无限逼近的过程，是一个客观上存在但又永远达不到的数。在解决实际问题时，“无限”的过程标志着可以得到精确的答案，他是为解决实际问题的需要而产生的，反过来又成为解决实际问题的有力工具。五、计算题（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 六、讨论解： ， 函数在x=0处极限不存在。高等数学（B）（1）作业2导 数一、名词解释导数——设函数 在 及其邻域内有定义，若 存在，则称此极限值为函数 在 点处的导数值。记为， 等。平均变化率——称 为平均变化率。瞬时变化率——称 为瞬时变化率。导函数——对于区间（a,b）内的每一点x都有导数值，这样由这些导数值构成的函数称为 的导函数。高阶导数——二阶及二阶以上的导数。驻点——使得 的点。极值——设函数 在 及其邻域内有定义，且在 的邻域内 恒成立，则称 为极大值点，称 为极大值。同理可定义极小值。极大值与极小值统称为函数的极值。二、填空题1． 导数的物理意义是瞬时速度。2． 导数的几何意义是曲线在一点处切线的些率。3． 导数的第三种解释是变化率。4． 导数是一种特殊的极限，因而它遵循极限运算的法则。5． 可导的函数是连续的，但是连续函数不一定可导。三、回答题1． 什么是费马定理？答：设函数 在 的某邻域 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 （或 ），那么 。2． 什么是罗尔定理？答：设函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，并且满足 ，那么至少存在一点 ，使得 。3． 什么是拉格朗日定理？它的辅助函数是怎样构成的?答：设函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么至少存在一点 ，使得 。辅助函数为： 。4． 函数的性质有哪些？答：函数的性质有：有界性，奇偶性，周期性，单调性。5． 导数的绝对值大小告诉我们什么？它反映在函数曲线上情况又怎样？答：导数绝对值大小反映曲线的陡峭程度，导数的绝对值越大，则曲线越陡峭，否则，曲线越平缓。6． 什么是极大值（或极小值）?答：设函数 在 及其邻域内有定义，且在 的邻域内 恒成立，则称 为极大值点，称 为极大值。设函数 在 及其邻域内有定义，且在 的邻域内 恒成立，则称 为极小值点，称 为极小值。7． 请举例说明费马定理只给出了极值的必要条件而不是充分条件。答：例如：直线y=c(c为常数)，在任意一点都满足费马定理的条件，且导数值都是0，但是在任意一点处都不是极值点。8． 最大值与极大值是一回事吗？答：不是一回事。连续函数在某个闭区间上可能有多个极大值和极小值，但是最大值和最小值却各有一个。9． 求最大值或最小值通常要经过哪几个步骤？答：（1）找出驻点和那些连续但不可导的点来，并计算出这些点的函数值；（2）计算出比区间端点处的函数值；（3）将以上个函数值进行比较，可得到最大值与最小值。（4）如果是应用问题，则需先分析题意，设变量，列出函数关系，在求出唯一驻点，它就是答案。四、计算题1． 解： 2． 解： 。3． 解： 4． 解： 5． 解： 6． 解： 7． 解：当 时， 当 时， 综上所述， 8． 解： 9． 解： 10． 解： … …五、应用题1． 解： ， 当 时， ， ，答：体积V增加的速率为400 cm/s.2. 解：设一边长为x,则另一边长为1-x,矩形面积S=x(1-x)= , , 令 ，解得 。答：从中间截断，可得到最大矩形的面积。2． 解：设宽为 米，则长为 米，围墙长度为 。，令 ，即 ，解得 x舍掉 ， 512/x答：当宽为16米，长为32米时，才能使材料最省。微 分（P17）一、名词解释微分——设函数 处的微分，记作 函数的一阶微分形式的不变性——无论 是自变量也好，还是中间变量也好， 总是成立的。微分的线性化——由 知， ，其中 为线性主部，也就是微分。二、填空题1．微分有双重意义，一是表示微小的量，二是表示一种与求导密切相关的运算。2．微分学包括两个系统：概念系统与算法系统。3． 导数是逐点定义的，它研究的是函数在一点附近的性质。4．微分中值定理建立了函数的局部性质和整体性质的联系，建立了微积分理论联系实际的桥梁。三、回答题1．微分学基本问题是什么？答：求非均匀变化量的变化率问题。2．微分学的基本运算是什么？答：求导运算和求微分的运算。3．微分的线性化有什么应用？答：可进行近似计算等。四、计算题1． （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ， 2． 解： cm3． 解：设 则 ，五、证明题证明：令 ，则 ，，证毕。高等数学（B）（1）作业3不定积分一、名词解释原函数——如果函数 定义在同一区间 ，并且处处有： ，则称 是 的一个原函数。不定积分——若 是 的一个原函数，则称 为 的不定积分。记作 .不定积分几何意义——表示形状完全一样只是位置不同的一族曲线。二、填空题1． 在数学中必须考虑的运算有两类：正运算与逆运算。2．对应于加法运算的逆运算是减法，对应于乘法运算的逆运算是除法，对应于正整数次乘方运算的逆运算是开方，对应于微分运算的逆运算是积分。3．关于逆运算我们至少有两条经验：一是逆运算一般说比正运算困难，二是逆运算常常引出新结果。如减法引出负数，除法引出有理数，正数开方引出无理数，负数开方引出虚数。三、回答题1．什么叫函数f(x)在区间（a,b）的原函数？有多少个？它们彼此之间有什么关系？答：若 ，则称 是 的一个原函数，有无穷多个，彼此之间相差一个常数。2． 什么叫函数f(x)在区间（a,b）的不定积分？答：函数f(x)的原函数的全体，称为函数f(x)的不定积分。3． 两个函数的不定积分相等是什么意思？答：这两个函数相等。4． 说明数学运算中存在的正运算与逆运算。答：减法是加法的逆运算；除法是乘法的逆运算；开方是乘方的逆运算；不定积分是微分的逆运算；等等。5．说明原函数和不定积分的关系。答：原函数的全体就是不定积分。四、计算题1．求下列函数的原函数（1）解：因为 ， 所以该函数的原函数为 （2）解： （3）解： ，（4）解： （5）解： ，（6）解： （7）解： （8）解： （9）解： （10）解： 2．求下列各不定积分（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解 = 定 积 分（P26）一、名词解释定积分——设函数 在区间 内插入 个分点： ，把区间 分成 个小区间 ，其长度为 ，其中 0，1，2，3，…， ，在每个小区间 上任取一点 ： ，并作乘积 ，再求出部分和 ，令 ，若 （ 为常数），则称 为函数 的定积分，记作 定积分几何意义——若函数 ，则定积分 表示由曲线 、直线 轴所围的曲边梯形的面积。定积分中值定理——设函数 则在 ，使得 。微积分基本定理——设函数 则 = ，这里 牛顿—莱布尼兹公式——即微积分基本定理中的公式。二、填空题1．定积分是对连续变化过程总效果的度量，求曲边形区域的面积是定积分概念的最直接的起源。2．积分学的基本问题是非均匀变化量的求积问题。它的数学模型是 ，它的物理原形是求变速运动的路程，它的几何原形是求曲边梯形的面积。3．微分学的基本问题是求非均匀变化量的变化率问题，它的数学模型是 ，它的物理原形是求瞬时速度，它的几何原形是求切线斜率，它的基本运算是求导运算和求微分的运算。4．微分学研究的是函数的局部性态，无论是微分概念，还是微商概念，都是逐点给出的。数学家研究函数的局部性质，其目的在于以局部定整体。5．积分学包括不定积分和定积分两大部分，不定积分的目的是提供积分方法。三、回答题1．定积分有哪些应用？答：物理学应用，几何学应用等。例如，路程问题，曲边梯形面积问题等。2．定积分的性质有哪些？答：由以下9条：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）若在 ；（8）设 ,则： ；（9）设函数 则在 ，使得 。3．简述积分区间上限为变量时定积分定理。答：设函数 则 上可导，且 。4．建立定积分步骤有哪些？答：分为4步：（1）分割；（2）作积 ；（3）作和 ；（4）取极限 ，其中 。四、计算题1．利用定积分性质，比较下列积分值大小。（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， 2．求函数 的平均值。解：平均值A= .3．设 解： ， 。4．设 ，求 。解： = 。5．计算下列定积分（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解： （6） 解： 6．解：如下图, 体积V= 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图7．解：如上图，体积 8．解：如上图， ，面积 9．解：如上图，面积 高等数学（B）（1）作业4微积分简史注意：以下六题自己从书中相应位置的内容去概括，要抓住重点，言简意赅，写满所留的空地。1．论述微分学的早期史。答：见书P216——2172．简述费马对微分学的贡献。答：见书P217——2183．简述巴罗对微分学的贡献。答：见书P218——2204．论述积分学的早期史。答：见书P206——2105．论述微积分对人类历史的贡献。答：见书“一、前言”一开始的部分（前两段）。6．牛顿和莱布尼兹对微积分的发现做出了什么贡献？答：见书P222——225。微分方程(P33)一、回答题1．微分方程的定义。答：含有未知函数的导数或微分的方程。2．何为微分方程的通解、特解、初始条件？答：满足微分方程的所有函数，叫做微分方程的通解；满足微分方程的一个解或者部分解，称为微分方程的特解。微分方程最初所满足的条件，叫做初始条件。3．何为变量可分离的微分方程？答：把形如 的微分方程，称为微分方程。4．微分方程与建模有和关系。答：抛弃具体意义，只关心微分方程的形状，研究如何解方程，等这些工作做熟练了，反过来又可以用它解决实际问题。5．建模思想和步骤是什么？答：建模思想就是将各种各样的实际问题化为数学问题，通过建立数学模型，最终使实际问题得到解决。步骤：（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；（2）形成数学模型；（3）求解数学问题；（4）研究算法，并尽量使用计算机；（5）回到实际中去，解释结果。二、计算题1．求下列微分方程的解。（1）解： ，代入初始条件得 ，满足初始条件的特解为 （2）解： 代入初始条件得 ， 满足初始条件的特解为 （3）解： ，代入初始条件得 ，满足初始条件的特解为 2．解：由题意： ， ，代入初始条件得 ， 3．解：由题意： ， 代入初始条件得 ， 所求的函数关系是 4．解：由题意： ，分离变量： 两边积分： ，代入初始条件 得： ，这时： ，代入初始条件 得： ，代入 得，化简得： ，所以镭的量R与时间t的函数关系为 高等数学（B）（1）综合练习一、名词解释1．函数——设x与y是两个变量，若当x在可以取值的范围D内任意取一个数值时，变量y通过某一法则 f,总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数。其中D叫做函数的定义域，f称为对应法则，集合G={y|y=f(x),x }叫做函数的值域。2. 奇函数——若函数 的定义域关于原点对称，若对于任意的 ，恒有 为奇函数。3．连续——设函数 在 及其一个邻域内有定义，且等式 成立，则称函数 在 连续。 在（a,b）内连续是指函数 在（a,b）内的每个点处均连续。4．定积分——设函数 在区间 内插入 个分点： ，把区间 分成 个小区间 ，其长度为 ，其中 0，1，2，3，…， ，在每个小区间 上任取一点 ： ，并作乘积 ，再求出部分和 ，令 ，若 （ 为常数），则称 为函数 的定积分，记作 5． 微分方程——含有未知函数的导数或微分的方程。二、填空题1． 函数 的反函数是（ ）；2． 若函数 内可导且单调增加，则 ，有；3． ；4．若 ，则 ；5．若函数 的一阶导数为零，则在该点取得极值且为（a+b+c）；三、判断题1． 若f(x)在（a，b）内严格单调，则f(x)在（a，b）内存在反函数；（ ）2． 若f(x)与g(x)在 都是偶函数，则f(x)g(x)在实数范围内也是偶函数。（ ）3． 若数列 单调增加，则数列 存在极限；（ ）4． 若函数f(x)在点a可导，则函数f(x)在点a连续；( )5． 函数f(x)在（a，b）内的极大值必定大于它在该区间内的极小值。( )四、单选题1． 函数 内（ D ）。A．没有极大值点； B. 没有极小值点；C．既没有极大值点也没有极小值点 D . 既有极大值点也有极小值点2．设函数 连续，则 等于（ A ）A． ； B. ；C． ； D. .3．下列函数中，（ C ）为复合函数。A． ； B. ；C． ； D. .4．设函数 在点 处可导，则 ( B )。A．与 ，h都有关； B. 仅与 有关，而与h无关；C．仅与h有关，而与 无关； D. 与 ，h都无关。5．若在区间[a，b]上f(x)>0，在（a，b）内 ，根据定积分的几何意义，则 （ A ）。A．大于 ； B. 小于 ；C．等于 ； D. 大于 .五、计算题1．求函数 的定义域。解：由题意知 ， 函数的定义域为 .2． 用导数定义求函数 在点 的导数。解： 3．求 的近似值。解：令 ，取 ， ，则由近似公式： ，4．设函数 ，求其原函数。解： 所以原函数为： 5．求不定积分 解：令 ，则 ， ，如下图。六、论述题试简要论述微积分产生的历史背景。答：见书P205。

思维导图手抄报数学学生方案怎么写方法如下：1、数学课本中各个章节的知识点进行总结和梳理。2、找到思维导图模板。3、选择新建文件，新建一个导图。4、按下Tab键可依次添加二级节点、三级节点，双击该节点即可输入内容，具体内容根据数学知识进行总结。

球的表面积公式：s=4πR²，球的体积公式：V=4/3πR³。球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，也叫做球体。球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面，球的中心叫做球心。球的体积公式推导如下：球体性质：用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：1、球心和截面圆心的连线垂直于截面。2、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2。3、球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆，在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离。

1全等三角形的对应边、对应角相等 ­2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ­3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ­4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ­5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 ­6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ­7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ­8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 ­9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 ­10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） ­21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 ­22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ­23 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° ­24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ­25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 ­26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ­27 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 ­28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ­29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ­30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ­31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 ­32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 ­33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 ­34定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 ­35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 ­36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 ­37勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 ­38定理 四边形的内角和等于360° ­39四边形的外角和等于360° ­40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° ­41推论 任意多边的外角和等于360° ­42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 ­43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 ­44推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 ­45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 ­46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ­47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ­48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ­49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 ­50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 ­51矩形性质定理2 矩形的对角线相等 ­52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 ­53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 ­54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 ­55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ­56菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 ­57菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 ­58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ­59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ­60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 ­61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 ­62定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 ­63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 ­点平分，那么这两个图形关于这一点对称 ­64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 ­65等腰梯形的两条对角线相等 ­66等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ­67对角线相等的梯形是等腰梯形 ­68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 ­相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 ­69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 ­70 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 ­三边 ­71 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 ­的一半 ­72 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 ­一半 L=（a+b）÷2 S=L×h ­73 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc ­如果ad=bc,那么a:b=c:d ­74 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d ­75 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 ­(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b ­76 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 ­线段成比例 ­77 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 ­78 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 ­79 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 ­80 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ­81 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） ­82 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 ­83 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） ­84 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） ­85 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 ­角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 ­86 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 ­分线的比都等于相似比 ­87 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 ­88 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ­89 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 ­于它的余角的正弦值 ­90任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 ­于它的余角的正切值 ­91圆是定点的距离等于定长的点的集合 ­92圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 ­93圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 ­94同圆或等圆的半径相等 ­95到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 ­径的圆 ­96和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 ­平分线 ­97到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 ­98到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 ­离相等的一条直线 ­99定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 ­100垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 ­101推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ­②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ­③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ­102推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 ­103圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 ­104定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 ­相等，所对的弦的弦心距相等 ­105推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 ­弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 ­106定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ­107推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 ­108推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 ­对的弦是直径 ­109推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ­110定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 ­的内对角 ­111①直线L和⊙O相交 d＜r ­②直线L和⊙O相切 d=r ­③直线L和⊙O相离 d＞r ­112切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ­113切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 ­114推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ­115推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ­116切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， ­圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 ­117圆的外切四边形的两组对边的和相等 ­118弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 ­119推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 ­120相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 ­相等 ­121推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 ­两条线段的比例中项 ­122切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 ­线与圆交点的两条线段长的比例中项 ­123推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 ­124如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 ­125①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ­③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ­④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) ­126定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 ­127定理 把圆分成n(n≥3): ­⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ­⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 ­128定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 ­129正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n ­130定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 ­131正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 ­132正三角形面积√3a／4 a表示边长 ­133如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 ­360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 ­134弧长计算公式：L=n兀R／180 ­135扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 ­136内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)­

必修一：主讲函数 必修二：向量，立体几何的体积证明 必修三：算法 类似于电脑里的编程、统计、概率 必修四：三角形的角度和三角函数 必修五：数列、不等式、三角函数接下来就是选修了，具体要看你是文科和理科了！

S = 4π*r^2