数学十字相乘法！

十字相乘法概念

  十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 基本式子：x^2;+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解.   上式的常数12可以分解为3*4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以   上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)   又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).

[编辑本段]例题

例1

  把2x^2-7x+3分解因式.   分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分   别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.   分解二次项系数(只取正因数)：   2＝1×2＝2×1；   分解常数项：   3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).   用画十字交叉线方法表示下列四种情况：   1 1   ╳   2 3   1×3+2×1   =5   1 3   ╳   2 1   1×1+2×3   =7   1 -1   ╳   2 -3   1×(-3)+2×(-1)   =-5   1 -3   ╳   2 -1   1×(-1)+2×(-3)   =-7   经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.   解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).   一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：   a1 c1   � ╳   a2 c2   a1c2+a2c1   按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即   ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).   像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.

例2

  把6x^2-7x-5分解因式.   分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种   2 1   ╳   3 -5   2×(-5)+3×1=-7   是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.   解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)   指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.   对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是   1 -3   ╳   1 5   1×5+1×(-3)=2   所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).

例3

  把5x^2+6xy-8y^2分解因式.   分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即   1 2   �╳   5 -4   1×(-4)+5×2=6   解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).   指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4

  把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.   分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.   问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?   答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.   解 (x-y)(2x-2y-3)-2   =(x-y)[2(x-y)-3]-2   =2(x-y) ^2-3(x-y)-2   1 -2   ╳   2 1   1×1+2×(-2)=－3   =[(x-y)-2][2(x-y)+1]   =(x-y-2)(2x-2y+1).   指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例5

  x^2+2x-15   分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)   (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。   =(x-3)(x+5)   总结：①x^2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解   这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋(p+q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)   ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解   如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么   kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)   a b   ╳   c d

[编辑本段]通俗方法

  先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写   1 1   ╳   二次项系数 常数项   若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。）   需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）   a b   ╳   c d   第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b   第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b   第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b   第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b   第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b   第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b   第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b   ......   依此类推   直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d)   例解：   2x^2+7x+6   第一次：   1 1   ╳   2 6   1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试   第二次   1 2   ╳   2 3   1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3)

[编辑本段]十字相乘法（解决两者之间的比例问题）

原理

  一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。   AX+B（1-X）=C   X=(C-B)/(A-B)   1-X=(A-C)/(A-B)   因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)   上面的计算过程可以抽象为：   A ………C-B   ……C   B……… A-C   这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时的注意

  第一点：用来解决两者之间的比例问题。   第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。   第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

例题

  某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有多少人？   十字相乘法   解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。   本科生：-2%………8%   …………………2%   研究生：10%……… 4%   本科生∶研究生=8%∶4%=2∶1。   7500×2/3=5000   5000×0.98=4900   答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。

[编辑本段]3.十字相乘法解一元二次方程

  (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0   (3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0   (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得   x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)   (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)   ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)   ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。   (2)解：2x^2+3x=0   x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)   ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)   ∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。   注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。   (3)解：6x^2+5x-50=0   (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)   ∴2x-5=0或3x+10=0   ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。   (4)解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）   (x-2)(x-2 )=0   ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

[编辑本段]例题

  x^2-x-2=0   解：(x+1)(x-2)=0   ∴x+1=0或x-2=0   ∴x1=-1,x2=2

x^x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x^x+(a-b)x-ab=(x+a)(x-b)

x^x-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)

x^x+(b-a)x-ab=(x-a)(x+b)

这是最简单的自己去玩吧

关键是二次和常数项的分解：二次项和常数项分解的四个数交叉相乘之和等于一次项系数（带上符号）如：2x平方-x-6=0:二次项分解：2和1;常数项：3和-2。满足：2乘-2加1乘3等于-1，就可以了。但前提是判别式＞或=0!