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不等式解题技巧高中

2023-05-20 02:28:59
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分式不等式例题

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高中数学经典的解题技巧和方法(不等式)

【编者按】不等式是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试解答题的必选,无论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。因此,马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们,让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。

首先,解答不等式这方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题:

1.不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。

2.一元二次不等式

(1)会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

3.二元一次不等式组与简单线性规划问题

(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

(2)了解二地一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。

(3)会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

4.基本不等式:

(1)了解基本不等式的证明过程。[来源:学科网]

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

好了,搞清楚不等式的基本内容之后,下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。

一、不等式的求解问题

考情聚焦:1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现。

2.常考查一元二次不等及可转化为一元二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主,属中档题。

解题技巧:1.求解一元二次方程不等式的基本思路:先化为一般形式,再求相应一元二次方程的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集。

2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解。

3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。

例1:(2010·全国卷Ⅰ文科·T13))不等式的解集是 .

【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法

【思路点拨】首先将因式分解,然后将化为三个因式乘积的形式,

采用“序轴标根法”即穿根法求解集.

【规范解答】,

数轴标根得:

【答案】

二、不等式恒成立问题

考情聚集:1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点,在各省市高考中占较大比重且点重要的位置。

2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题,多以解答题的形式出现,属中档偏上题目。

解题技巧:求解不等式恒成立问题的常用思想方法:

1.分离参数法:通过分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题求解。

2.函数思想:转化为求含参数的最值问题求解。

3.数形结合思想:转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。

例2:已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.

(1)求f(1);

(2)求f(x)的表达式;

(3)设,定义域为D,现给出一个数学运算程序:

若xn∈D,则运算继续下去;若xnD,则运算停止.给出, 请你写出满足上述条件的

集合D={x1,x2,x3,…,xn}..(满分13分)

解析:(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,

∴f (1)=8.

(2)设f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.

又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,对x∈R恒成立,

∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.

(3)由g(x)=

由题意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5无意义,故D={,,-,-1}

三、线性规划问题

考情聚焦:1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能,是各省市高考的重点.

2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题,多以选择、填空题形式出现。

解题技巧:1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.

2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.

例3: (2010·安徽高考文科·T8)设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是( )

(A)3 (B) 4 (C) 6 (D)8

【命题立意】本题主要考查线性规划问题,考查考生的作图、运算求解能力。

【思路点拨】由约束条件画可行域确定目标函数的最大值点计算目标函数的最大值

【规范解答】选C.约束条件表示的可行域是一个三角形区域,3个顶点分别是,目标函数在取最大值6,故C正确.

【方法技巧】解决线性规划问题,首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域),则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值.

四、利用基本不等式求最值问题

考情聚焦:1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法,为近几年各省市高考的热点.

2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题,多以中档题形式出现.

例4: (2009江苏高考)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为

(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=;

(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?

(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。

【解析】(1)

当时,,

, =

(2)当时,

由,故当即时,

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。

(3)由(2)知:=

由得:,

令则,即:。

同理,由得:

另一方面,

当且仅当,即=时,取等号。由(1)知=时h甲=h乙

所以不能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立。

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2023-01-14 00:42:091

分式不等式急急急急急急!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-4/3>-1额。。。。。
2023-01-14 00:42:144

高中数学不等式公式总结,要很全的,最好有例题谢谢

看看这个能不能帮你
2023-01-14 00:42:242

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2023-01-14 00:42:391

如何解分式不等式? 例如(y+1)除以(y-1)大于0

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分式不等式和分式方程的解法的相同处和不同处各是什么?

⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。 口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c); a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意:把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b); 完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2; 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2); 立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2); 完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3. 公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 例如:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。 (3)分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握: ①等式左边必须是多项式; ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示; ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤: (1)找出公因式; (2)提公因式并确定另一个因式: ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母; ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式; ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。 [编辑本段]竞赛用到的方法⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。 比如: ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。 同样,这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题: 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法:=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。 2. x^3-x^2+x-1 解法:=(x^3-x^2)+(x-1) =x^2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。 3. x2-x-y2-y 解法:=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。⑷十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) . ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d). 图示如下: × c d 例如:因为 1 -3 × 7 2 -3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3). 十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中⑸拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b).⑹配方法 对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:x²+3x-40 =x²+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)²-(6.5)² =(x+8)(x-5).⑺应用因式定理 对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a. 例如:f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上,x²+5x+6=(x+2)(x+3).) 注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数; 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数⑻换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时,可以令y=x²+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1). 也可以参看右图。⑼求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) . 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0, 则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1. 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).⑽图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn). 与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。 例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6. 作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).⑾主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。⑿特殊值法 将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则 x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105, 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 . 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值, 则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。⒀待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1, ac+b+d=-5, ad+bc=-6, bd=-4. 解得a=1,b=1,c=-2,d=-4. 则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4). 也可以参看右图。⒁双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y为未知数,其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12. 分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解:图如下,把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6). 双十字相乘法其步骤为: ①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y); ②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6); ③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。 [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤: ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。” 几道例题 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2. 解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(补项) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y). 2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33: x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5. 解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y). (分解因式的过程也可以参看右图。) 当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。 3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。 分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0, ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0. ∴(a-c)(a+2b+c)=0. ∵a、b、c是△ABC的三条边, ∴a+2b+c>0. ∴a-c=0, 即a=c,△ABC为等腰三角形。 4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1). [编辑本段]因式分解四个注意: 因式分解中的四个注意,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考 例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。 解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2) 这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误 例2把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1) 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的错误。
2023-01-14 00:42:592

这几道题怎么做,要详细过程?

5题为例吧,分子有X,分母有X,令分子分母各为O,得X1=0,X2=1分析,形成三个区域,<0,0~1,>1,代进去,当x<0时,分子为负,分母为正,商为负,式子成了,所以<0时解,=0代入式子不对,=0不是解。0~1取一个值代入,分子为正,分母为正,正除正还是正,式子不成立了,0~1不是解。>1取一个值代入,分子为正,分母为负,正除负为负,式子成立,>1是解。如此看来,解为X>1或X<0
2023-01-14 00:43:042

分式不等式的否命题

命题的否定是对题目本身的否定,若题目中给出P的解集是X<2,则命题的否定中的解集就是x≥2,若题目中没给解集,则根据新得出的命题另算。例如:若题目是P:1/(X-2)<0,x<2则非P就是1/(x-2)≥0,x≤2;若题目是P:1/(X-2)<0,非P就是1/(x-2)≥0而它的解集就是x>2回答即可得2分,回答被采纳则获得悬赏分以及奖励20分
2023-01-14 00:43:131

一道不等式题:求分式不等式5x+1/2x-3

由有理数的除法法则“两数相除异号得负”,有(1){5x+1>0,2x-3<0或(2){5x+1<0,2x-3>0解不等式组(1)得-1/5<x<3/2解不等式组(2)得x<-1/5且x>3/2(不存在,舍去)所以原不等式的解集为-1/5<x<3/2
2023-01-14 00:43:181

不等式应用举例教学设计和方法手段

不等式应用举例教学设计和方法手段如下:教学目标(1)能熟练运用不等式的基本性质来解不等式;(2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,掌握分式不等式、高次不等式的解法;(3)能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式(组)来解;(4)通过解不等式,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想;(5)通过解各种类型的不等式,培养学生的观察、比较及概括能力,培养学生的勇于探索、敢于创新的精神,培养学生的学习兴趣。教学建议一、知识结构本节内容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上,进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法。求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则,将这些不等式等价转化为一次不等式(组)或二次不等式的求解,具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号,无理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化。二、重点、难点分析本节的重点和一个难点是不等式的等价转化。解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视。解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换。在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解。这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集。三、教学建议(1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等。特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视。(2)在研究不等式的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,启发学生运用换元思想将替换成,从而转化一元二次不等式组的求(3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组中的两个不等式的解集间的交并关系,两个不等式的解集间的交并关系。
2023-01-14 00:43:231

分式的不等式能不能直接约分母?

我是数学老师,我帮你解答,分两种情况,如果分母为零,就没有意义,如果分母不为零,分母可同时约去最小公约数,也可同时乘以一个正数,例如,1/6<a/2,可同时约去2,即1/3<a,也可两边同时乘以6变成整式,即1<3a,希望对你有帮助
2023-01-14 00:43:426

分式不等式右边为0解法

你其实没有理解,不等式含义,你可以将他看成是等式,但是一定注意,如果是负数一定要变号!我就一个例子给你看看!A/B>0,其实如果B>0;就相当于两边都乘以B,A/B*B>B*0 A>0 若是B
2023-01-14 00:43:511

分式不等式符号的变化

可以同时乘以分母的平方 因为分母不等于0,所以分母的平方大于0 所以这样就不用讨论了 这里两边乘X^2 X<5X^2 5X^2-X>0 X(5X-1)>0 X1/5
2023-01-14 00:43:571

高中数学不等式总结

(三)不等式选讲 (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; ∣a-b∣≤∣a-c∣+∣c-b∣; (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ∣ax+b∣≤c; ∣ax+b∣≥c; ∣x-c+∣x-b∣≥a (3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法 13.不等式 (1)不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ② 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ① 了解基本不等式的证明过程. ② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2023-01-14 00:44:022

解分式方程的不等式 变号问题 谁能具体说一下 举例子

两边同乘或除以一个负数,不等式方向改变(3-x)/(x-2)>0不等式两边同乘以-1,得(x-3)/(x-2)<02<x<3
2023-01-14 00:44:071

简单的分式不等式解法的个别步骤

∵(x+1)/(3x-2)≥0,∴x+1、3x-2 同号。 ∴两式相乘也≥0.
2023-01-14 00:44:162

,(x+2)/(2-x)>0、这一类的分式不等式怎么求。。

这一类的分式不等式与(x+2)(2--x)大于0整式不等式解法一样,只要注意一点:分母 (2--x)不能为0,即:x=2除外。考虑两种情况:(x+2)与(2--x)同正或同负就行了。
2023-01-14 00:44:212

解高次不等式用到的的穿线法详解,解分式不等式的方法详解,

“穿针引线法”,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法” 第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0.(注意:一定要保证x前的系数为正数) 例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步:将不等号换成等号解出所有根. 例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1 第三步:在数轴上从左到右依次标出各根. 例如:-1 1 2 第三步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的左上方穿过根,往右下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根. 第四步:观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿跟线以内的范围;如果不等号为“0的根. 在数轴上标根得:-1 1 2 画穿根线:由右上方开始穿根. 因为不等号威“>”则取数轴上方,穿跟线以内的范围.即:-1
2023-01-14 00:44:261

怎么求值域

值域求法:一.观察法  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。  例1:求函数y=3+√(2-3x) 的值域。  点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。  解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,  故3+√(2-3x)≥3。  ∴函数的值域为 .  点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5.y,x∈N)的值域。 (答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。  例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。 (答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域  例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。  点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。  解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]  点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域. (答案:值域为{y∣y≤2.5})四.判别式法  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域,但只适用于定义域为R或R除去一两个点。  例4:求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。  点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。  解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)  当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)+(y-3)≥0,解得:2<y≤10/3  当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。  点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。 (答案:值域为y≤-8或y>0)。五.最值法  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。  例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。  点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。  当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。  ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。  点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。  练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( ) A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞)   (答案:D)。六.图象法  通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。  例6:求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。  点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。  解:原函数化为 -2x+1 (x≤1)  y= 3 (-1<x≤2)  2x-1(x>2)  它的图象如图所示。  显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。  点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象  求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。  求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七.单调法  利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。  例1:求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。  点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。  解:设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x   在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。  点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。  练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3})八.换元法  以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。  例2:求函数y=x-3+√2x+1 的值域。  点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。  解:设t=√2x+1 (t≥0),则  x=1/2(t2-1)。  于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.  所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。  点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。  练习:求函数y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}九.构造法  根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。  例3:求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。  点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。  解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22  作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位  正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,  KC=√(x+2)2+1 。  由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共  线时取等号。  ∴原函数的知域为{y|y≥5}。  点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。  练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})十.比例法  对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。  例4:已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。  点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。  解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)  ∴x=3+4k,y=1+3k,  ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。  当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。  函数的值域为{z|z≥1}.  点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。  练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})十一.利用多项式的除法  例5:求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。  点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。  解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。  ∵1/(x+1)≠0,故y≠3。  ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。  点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。  练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)十二.不等式法  例6:求函数Y=3x/(3x+1)的值域。  点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。  解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],  由对数函数的定义知 x/(1-x)>0  1-x≠0 解得,0<x<1。  ∴函数的值域(0,1)。  点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。  以下供练习选用:求下列函数的值域  1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})  2.Y=2x/(2x-1)。 (y>1或y<0)   注意变量哦~
2023-01-14 00:44:311

怎样解分式不等式、一元二次不等式和二元一次不等式组?

(x^2-3x+2)/(x^2-2x-3)<0首先,x^2-2x-3不等于0,得到x不等于3且x不等于-1然后可以视分式为(x^2-3x+2)(x^2-2x-3)<0得到:第一种情况x^2-3x+2<0且x^2-2x-3>0第一个不等式,1<x<2,第二个不等式,得到x<-1或者x>3二者取交集,为空集。第二种情况,x^2-3x+2>0且x^2-2x-3<0第一个不等式,得到x<1或者x>2,第二个不等式,得到-1<x<3二者取交集,得到-1<x<1或者2<x<3这个就是解集
2023-01-14 00:44:413

高考数学不等式知识点归纳

  高考数学有些重点需要复习,其中包括不等式的内容。下面我给大家带来高考数学不等式知识点,希望对你有帮助。   高考数学不等式知识点   不等式概念   用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子,那它就是一个不等式.例如x+y≥xy,-2x≤1,x>0 ,x<3,3x≠5等 。根据解析式的分类也可对不等式分类,不等号两边的解析式都是代数式的不等式,称为代数不等式;也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式,就称为超越不等式。例如lg(1+x)>x是超越不等式。   不等式性质   ①如果x>y,那么yy;(对称性)   ②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)   ③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性)   ④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz   ⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z;   ⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)   ⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;   ⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数或负数) [1]   或者说,不等式的基本性质有:   ①对称性;   ②传递性:   ③加法单调性:即同向不等式可加性:   ④乘法单调性:   ⑤同向正值不等式可乘性:;   ⑥正值不等式可乘方:   ⑦正值不等式可开方::   ⑧倒数法则。 [2]   ……   如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证 大量的初等不等式,以上是其中比较有名的。   不等式原理编辑   主要的有:   ①不等式F(x)< G(x)与不等式 G(x)>F(x)同解。   ②如果不等式F(x) < G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含,那么不等式 F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。   ③如果不等式F(x)<G(x) 的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H( x )G(x) 同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H (x)F(x)>H(x)G(x)同解。   ④不等式F(x)G(x)>0与不等式同解;不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。   例题解析   例1:判断下列命题的真假,并说明理由. 若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假) 若,则a>b;(真) 若a>b且ab<0,则;(假) 若a若,则a>b;(真) 若|a|b2;(充要条件) 命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身 逻辑思维 的严密性. a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥) 说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.   例2:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.   练习: 1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>) 2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>) 3.判断下列命题的真假,并说明理由. (1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真) (3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真) 若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).   高考数学不等式易错知识点   1.利用均值不等式求最值时,你是否注意到:“一正;二定;三等”。   2.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?   3.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?   4.解含参数不等式的通法是“定义域为前提,函数的单调性为基础,分类讨论是关键”,注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是……”。   5.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。   6.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”。   高考 数学 学习 方法   (1)记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。   (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。   (3)熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。   (4)经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。   (5)阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。   (6)及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。   (7)学会从多角度、多层次地进行 总结 归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。   (8)经常在做题后进行一定的“ 反思 ”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解 其它 问题时,是否也用到过。
2023-01-14 00:44:461

怎样把分式不等式转化为整式不等式,有例题最好了,这块老迷糊,谢谢了、

能给个你不会的例子吗然后给你讲
2023-01-14 00:44:522

如何将分式不等式转换成一元二不等式?

以1/2<x/3为例(1)把不等式的一端移到另一端,注意此过程要变号:1/2-x/3<0(2)同分:(3-2x)/6<0(3)消除分母(分母为负数时,注意变号):3-2x<0(4)整理化简,得出最后结果不懂随时问,希望能帮到你
2023-01-14 00:44:562

分式不等式可以交叉相乘不?

不等号两边都是正数是可以的,如果有一边是负数活两边都是就不能简单的交叉相乘了。
2023-01-14 00:45:042

解分式不等式 先帮我解一下例题 x-1/x+2

提供2种解法 1.分类讨论 x>0时 x^2+2x-1<0 -1-根号2<x 0,所以0<x<-1+根号2 x<0时 x^2+2x-1>0 x>-1+根号2或x<-1-根号2,因为x<0,所以x<-1-根号2 取并集,x<-1-根号2或0<x<-1+根号2 2.参变分离 x-1/x<-2 左边的函数在x>0和x<0时都是单调递增的 x-1/x=-2时,易得x=-1加减根号2 根据单调性容易得到x<-1-根号2或0<x<-1+根号2 用参变分离可以避开讨论 打的我好辛苦- -</x<-1+根号2 </x<-1+根号2 </x<-1+根号2 </x
2023-01-14 00:45:071

分式不等式的解法?例子。

00
2023-01-14 00:45:101

如何解分式不等式? 例如(y+1)除以(y-1)大于0

第一先看Y-1是不是0,不是0再看Y-1是正数还是负数,如是正数将Y-1除到0的位置然后大于号(或小于号不变)那变成Y+1大于(或者小于)0乘以(Y-1);如果Y-1是负数,那大于号(或者小于号)改变方向后同上.
2023-01-14 00:45:171

分式的不等式能不能直接约分母? 最好能带上一道例题?

我是数学老师,我帮你解答,分两种情况,如果分母为零,就没有意义,如果分母不为零,分母可同时约去最小公约数,也可同时乘以一个正数,例如,1/6
2023-01-14 00:45:201

一道不等式题:求分式不等式5x+1/2x-3

由有理数的除法法则“两数相除异号得负”,有(1){5x+1>0,2x-3<0或(2){5x+1<0,2x-3>0解不等式组(1)得-1/53/2(不存在,舍去)所以原不等式的解集为-1/5评论00加载更多
2023-01-14 00:45:224

为什么求分式不等式时要将右边的数通分

假设分式不等式写成a/b+c/d≥e/f的形式(下面以大写字母表示的全是含有x的多项式,当然可能是常数),以下的讨论纯理论,最后再给出例子。①通分。和分式方程解法不太一样,一上来不能去分母,因为同时乘以分母以后不知道不等号会不会变方向。把所有分母通分变成一样的,不等式变成了a"/r+c"/r≥e"/r的形式,r是共同分母。②移向化简。把右边移过来,变成(a"+c"-e")/r≥0,上面a"+c"-e"可以合并同类项,化简成一个式子p。最终变为p/r≥0。③分解因式。p、r分别分解因式(一般来说分解因式很难,但是中学分式不等式的题目要不然就不用分解,要不然就很好分解,一般不会出现能分解但是很难分解的题),然后把分子分母能约分的全约掉,变成(p1p2…pm)/(r1r2…rn)≥0的形式。④转化为整式不等式。这一步思维很关键。我们知道a/b≥0和a×b≥0是一个道理,因为乘法除法对于正负号一样都是同号得正异号得负。因此(p1p2…pm)/(r1r2…rn)≥0等同于(p1×p2×…×pm)×(r1×r2×…×rn)≥0之后就和整式不等式一样的解法了。但是要特别注意,分式不等式和整式不等式是有区别的,解完以后一定要检验原来作为分母的那些r1~rn不为0,不能带等号(当然>号或者<号不用管,这个问题出现在≥号和≤号上,等会举例子的时候会看到)。整式不等式解法简单说一下,就是数轴标根法。先把p1×p2×…×pm×r1×r2×…×rn里面确定了一定大于等于0或者一定小于等于0的约掉(比如x²+1就一定大于0,可以直接约掉不改变不等号方向)最后化简为了(x-a[1])(x-a[2])……(x-a[n])≥0,假设a[1]到a[n]依次增大,那么x≥a[n]时候肯定左边大于等于0,满足,x在a[n-1]~a[n]之间肯定只有x-a[n]是负的其余都是正的,所以这个区间左边≤0;然后x在a[n-2]~a[n-1]之间又变成正的了……以此类推,最终可找出所有使得左边≥0的解集。例:(2x+7)/(x-1)≥1+1/(x+1)解:①通分得(公分母是(x-1)(x+1))(2x+7)(x-1)/(x²-1)≥(x²-1)/(x²-1)+(x-1)/(x²-1)②移向化简。(2x²+5x-7-x²+1-x+1)/(x²-1)≥0化简为(x²+4x-5)/(x²-1)≥0③分解因式。(x+5)(x-1)/[(x+1)(x-1)]≥0也就是(x+5)/(x+1)≥0④变为整式(x+5)(x+1)≥0得到整式不等式的解x≥-1或x≤-5。但是x+1原来出现在分母上因此x≠-1所以最终分式不等式的解是x>-1或x≤-5。我写得应该够详细吧……但是毕竟不是老师,所以很多语言都是自己组织的,可能和中学权威的教科书或者老师说的有偏差。其中难免有错,仅供参考。
2023-01-14 00:45:261

为什么求分式不等式时要将右边的数通分

不管左边右边,有分母都要通分。
2023-01-14 00:45:292

如何将分式不等式转换成一元二不等式

以1/2<x/3为例(1)把不等式的一端移到另一端,注意此过程要变号:1/2-x/3<0(2)同分:(3-2x)/6<0(3)消除分母(分母为负数时,注意变号):3-2x<0(4)整理化简,得出最后结果不懂随时问,希望能帮到你
2023-01-14 00:45:321

分式不等式的解集怎么取

等式两边同时乘以最小公倍数 然后解不等式a-2/6<±4/6 6a-2<±4 6a<6或-2
2023-01-14 00:45:352

先阅读理解下面的例题,再按要求作答:例题:解一元一次不等式x^2-9>0

分式不等式5x+1/2x-3<0 首先2x-3不等于0 即x不等于3/2由有理数的除法法则两数相乘,异号得负,有(1) 5x+1>0 2x-3<0 (2)5x+1<0 2x-3>0 解不等式组(1),得-1/5<x<3/2解不等式组(2),得x<-1/5 x>3/2 无解-1/5<x<3/2满足x不等于3/2所以5x+1/2x-3<0 的解集是-1/5<x<3/2
2023-01-14 00:45:386

不等式的解法

和登时一样,两边同时乘以负数时,不等号方向改变
2023-01-14 00:45:462

求证分式不等式什么时候要变成乘积的形式?什么时候可以两边乘以分母?请结合下面这个题详细解释

做辅助函数f(x)=-x(b-1)(c-1)+(b-1)(c-1),则由于0<b≤1,0<c≤1,所以(b-1)(c-1)≥0即一次函数f(x)是单调递减函数,又0<a≤1,所以f(1)≤f(a)<f(0),而f(1)=0,故-a(b-1)(c-1)+(b-1)(c-1)≥0,因而1+bc-b-c+ab+ac-a-abc≥0,即1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc 所以(1+ab+bc+ca)/(a+b+c+abc)≥1
2023-01-14 00:45:562

解分式不等式的方法 例如( x+1)分之(x-3) 还有一种穿针法一起解释一下

在X坐标轴上取两点-1,3,穿针法从3的开始右边画曲线穿过3 .-1 .在X轴上部就是大于0,下部就是小于0的即-1<X<3
2023-01-14 00:45:593

高中数学不等式的问题 高手进

两数相除大于0 就是说同正或同负,那么就表示两数相乘也为正。同时避免了失根的情况。
2023-01-14 00:46:025

高中不等式知识点总结

高中不等式知识点总结   在平日的学习中,是不是听到知识点,就立刻清醒了?知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。为了帮助大家更高效的学习,下面是我收集整理的高中不等式知识点总结,希望能够帮助到大家。   一、 知识点   1.不等式性质   比较大小方法:   (1)作差比较法   (2)作商比较法   不等式的基本性质   ①对称性:a > bb > a   ②传递性: a > b, b > ca > c   ③可加性: a > b a + c > b + c   ④可积性: a > b, c > 0ac > bc;   a > b, c < 0ac < bc;   ⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d   ⑥乘法法则:a > b > 0, c > d > 0 ac > bd   ⑦乘方法则:a > b > 0, an > bn (n∈N)   ⑧开方法则:a > b > 0,   2.算术平均数与几何平均数定理:   (1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)   (2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广:如果为实数,则   重要结论   1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;   (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。   3.证明不等式的常用方法:   比较法:比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。   综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。   分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。   4.不等式的解法   (1) 不等式的有关概念   同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。   同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。   提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形   去分母、去括号、移项、合并同类项   (2) 不等式ax > b的解法   ①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};   ②当a<0时不等式的解集是{x|x   ③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。   (3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系   (4)绝对值不等式   |x|0)的解集是{x|-a   o o   -a   0   a   |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:   o o   -a 0 a   小结:解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,通常有下列三种解题思路:   (1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;   (2)公式法:| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a   (3)平方法:| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。   (5)分式不等式的解法   (6)一元高次不等式的解法   数轴标根法   把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。   (7)含有绝对值的不等式   定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|   |a| - |b|≤|a+b|   中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立   |a+b|≤|a| + |b|   中当且仅当ab≥0等号成立   推论1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|   推广:|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|   推论2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|   二、常见题型专题总结:   专题一:利用不等式性质,判断其它不等式是否成立   1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是( C )   A、若a>b,则|a|>|b| B、若a>b,则1/a<1/b   C、若a>b,则a3>b3       D、若a>b,则a/b>1   2、已知a<0.-1   A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a   C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a   3、当0   A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b   C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b   4、若loga3>logb3>0,则a、b的关系是( B )   A、0a>1   C、0   5、若a>b>0,则下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是( A )   A、①②③④  B、①②③   C、①②    D、③④   (二)比较大小   1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则( A )   A、ab     C、ab<1 ab="">2   2、a、b为不等的正数,n∈N,则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是( C )   A、恒正            B、恒负   C、与a、b的大小有关      D、与n是奇数或偶数有关   3、设1lg2x>lg(lgx)   4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。   分析:要比较大小的式子较多,为避免盲目性,可先取特殊值估测各式大小关系,然后用比较法(作差)即可。   (三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件   1、设x、y∈R,判断下列各题中,命题甲与命题乙的充分必要关系   ⑴命题甲:x>0且y>0,  命题乙:x+y>0且xy>0 充要条件   ⑵命题甲:x>2且y>2,  命题乙:x+y>4且xy>4     充分不必要条件   2、已知四个命题,其中a、b∈R   ①a2   3、"a+b>2c"的一个充分条件是( C )   A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c  D、a>c且b   (四)范围问题   1、设60   2、若二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3,求f(2)的范围。   (五)均值不等式变形问题   1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是( D )   A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab   C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)   2、x、y∈(0,+∞),则下列不等式中等号不成立的是( A )   C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2   3、已知a>0,b>0,a+b=1,则(1/a21)(1/b21)的最小值为( D )   A、6       B、7       C、8       D、9   4、已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求证:1/a+1/b+1/c≥9   5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:   (六)求函数最值   1、若x>4,函数   5、大、-6   2、设x、y∈R, x+y=5,则3x+3y的最小值是( )D   A、10      B、      C、      D、   3、下列各式中最小值等于2的是( )D   A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x   4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。   5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。   (七)实际问题   1、98(高考)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为am,高度为bm,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60m2,问当a、b各为多少米时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。   解一:设流出的水中杂质的质量分数为y,   由题意y=k/ab,其中k为比例系数(k>0)   据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)   由a>0,b>0可得0   令t=2+a,则a=t-2从而当且仅当t=64/t,即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18   当a=6时,b=3,   综上所述,当a=6m,b=3m时,经沉淀后流出的.水中该杂质的质量分数最小。   解二:设流出的水中杂质的质量分数为y,由题意y=k/ab,其中k为比例系数(k>0)   要求y的最小值,即要求ab的最大值。   据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即a+2b+ab=30   即a=6,b=3时,ab有最大值,从而y取最小值。   综上所述,当a=6m,b=3m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。   2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为126  米2的厂房,工程条件是:①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用为a/4元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案:⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙费用最省?⑴⑵两种方案哪种方案最好?   解:设总费用为y元,利用旧墙的一面矩形边长为x米,则另一边长为126/x米。   ⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为x?a/4元,剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)?a/2元,其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元,故总费用 当且仅当x=12时等号成立,∴x=12时ymin=7a(6-1)=35a。   ⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为x?a/4元,建新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a元,故总费用   设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14,则f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)   =(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14,+∞)上递增,∴f(x)≥f(14)   ∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a   综上所述,采用方案⑴,即利用旧墙12米为矩形的一面边长,建墙费用最省。   (八)比较法证明不等式   1、已知a、b、m、n∈R+,证明:am+n+bm+n≥ambn+anbm   变:已知a、b∈R+,证明:a3/b+b3/a≥a2+b2   2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明:对任意实数p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)   (九)综合法证明不等式   1、已知a、b、c为不全相等的正数,求证:   2、已知a、b、c∈R,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1/3   3、已知a、b、c为不全相等的正数,且abc=1,求证:   4、已知a、b∈R+,a+b=1,求证:   (十)分析法证明不等式   1、已知a、b、c为不全相等的正数,求证:bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c   2、已知函数f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2),且x1≠x2,求证:   3、设实数x,y满足y+x2=0,0   (十一)反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式   1、设f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。   2、若x2+y2≤1,求证|x2+2xy-y2|≤.   3、已知a>b>c,求证:   4、已知a、b、c∈R+,且a+b>c求证:.   5、已知a、b、c∈R,证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立。   分析:整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2   ∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0   ∴f(a)≥0   6、已知:x2-2xy + y2 + x + y + 1=0,求证:1/3≤y/x≤3   7、在直角三角形ABC中,角C为直角,n≥2且n∈N,求证:cn≥an + bn   (十二)解不等式   1、解不等式:   2、解关于x的不等式:   拓展   高中数学不等式的基本性质知识点   1.不等式的定义:a-bb, a-b=0a=b, a-b0a   ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。   ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。   作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。   2.不等式的性质:   ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。   不等式基本性质有:   (1) abb   (2) acac (传递性)   (3) ab+c (cR)   (4) c0时,abc   c0时,abac   运算性质有:   (1) ada+cb+d。   (2) a0, c0acbd。   (3) a0anbn (nN, n1)。   (4) a0isin;N, n1)。   应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。   ② 关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:   (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。   (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。   (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。   不等式的基本性质知识点的相关内容就是这些,希望考生可以深入理解,全面把握。   高中数学关于集合不等式和简易逻辑知识点   重点知识归纳、总结   (1)集合的分类   (2)集合的运算   ①子集,真子集,非空子集;   ②A∩B={xx∈A且x∈B}   ③A∪B={xx∈A或x∈B}   ④ A={xx∈S且x A},其中A S.   2、不等式的解法   (1)含有绝对值的不等式的解法   ①x0) -a   x>a(a>0) x>a,或x<-a.   ②f(x)   f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).   ③f(x)<g(x) [f(x)]2<[g(x)]2 [f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]<0.   ④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式,利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式:x+3-2x-1<3x+2.   3、简易逻辑知识   逻辑联结词 “或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据,理解好四种命题的关系,对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。   (2)复合命题的真值表   非p形式复合命题的真假可以用下表表示.   p 非p   真 假   假 真   p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.   p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.   (3)四种命题及其相互之间的关系   一个命题与它的逆否命题是等价的.   (4)充分、必要条件的判定   ①若p q且q p,则p是q的充分不必要条件;   ②若p q且q p,则p是q的必要不充分条件;   ③若p q且q p,则p是q的充要条件;   ④若p q且q p,则p是q的既不充分也不必要条件. ;
2023-01-14 00:46:181

关于分式不等式的解法,例如:M/N>0转换成MN>0的依据是什么,谢谢。

若M除以N大于0也说明MN同号,自然MN大于0
2023-01-14 00:46:326

如何解分式不等式

解集是(-∞,-5)∪(3,+∞)
2023-01-14 00:46:422

解不等式组 ①3x-2/x-6 ≤1 ②2x^2-x-1>0 谁知道分式不等式要怎么解?求详细过程

两边同时乘上x化简即可
2023-01-14 00:46:463

求有关高中数学参数的题目

不等式复习不等式是继函数和方程之后的又一重点内容,不等式分性质、求解、证明三部分,作为解决问题的工具,与其他知识的综合运用的特点比较突出,该章难点是不等式证明及运用,解不等式是近几年高考热点。一不等式性质:1解不等式和证明不等式最重要的过程和步骤是根据不等式性质进行变形,因此,不等式性质是证明和解不等式的基础。 a ∨b 等价于 a- b∨ 0,学生往往把它们解释成移项法则,是比较法的基础。值得注意的在五个性质定理中,只有定理1(如果a>b那么b<a)及定理3(如果a>b那么a+c>b+c) 具有充要性的特征,条件和结论可以相互推出,解不等式依据这些性质,可以保证变形的同解性。而其它几条性质定理,只是具有充分性质,可以作为证明不等式的依据,不能作为解不等式的依据,必须和已知条件配合,才能保证同解性。2充分重视不等式性质成立的条件。五个定理,总结为两句话:“同向可加”“同向同正可乘”。至于异向不等式的加减乘除运算,还是让学生先化为同向不等式,减法先化为加法。(有些参考书总减了小减大到大减小之间,不必要,还有证明时不自觉的应用 a>b,c>d则ac>bd.我觉得我们这类学校应该重视格式要规范,其实质就是逻辑推理要严密.3对于常见的比较倒数大小,可以“弱化”为“同号”,也不要遗漏异号的情况二不等式的证明在新大纲的教学目标中,明确指出只要掌握三种证法,即比较法,分析法和综合法1比较法,可以用来比较两个实数大小,也可以用来证明不等式,再作差与作商两种(教科书上没有作商比作差简单的题目,指数、对数的弱化,使作商法几乎到了用不着的地步)其关键步骤是变形,要能灵活运用题中条件,结合不等式性质,配合作差法或因式分解,从而判断符号。应用此法必须注意变形到位与判断过程详细这两个问题。变形要变到每个因式都能明显判断符号为止,判断过程详细,说理要清楚。2综合法,也就是由因导果,运用此法的关键是判断要正证明以不等式能否从不等式的性质和定理简洁推得,教课书上用综合法的题目主要都是一个模式:“均值定理+不等式基本性质”这样的模式。3分析法,使用分析法时要保证“后一步”和“前一步”成立以充分条件。要求学生每一步骤都必须写“只须证”或写反箭头一边绝对值,一边非负数1)常见题型就是两边带根号的数或比较大小,或一边绝对值,一边非负数利用“非负数比较大小等价于比较它们平方大小”去掉根号或者转化。具体技巧有先移项,分子有理化等。2)分析法的好处在于不等式越来越简洁。执果索因,它的价值体现在是一种很有效的思维方法。证明时往往要联合使用分析法、综合法两面夹击。 4均值不等式无论选用哪种证法,都可能用到均值不等式,对于均值不等式,新大纲上要求只要求掌握两个数的均值定理,并会简单应用,就象99年填空17题,98年22大题(污水处理)中的一部分。强调应用以三个前提条件一正,二定,三相等。 ①“定值”学生往往看的最清楚。对于正数这个条件,就以x+(1/x) ≥2 或x+(1/x) ≤-2为例。②对于相等条件,以而不是大于等于2,在实数范围内无解。③求解过程中两次使用了均值不等式的情况,只有当两个均值不等式等号能够成立了,整个不等式的等号才能取到。三解不等式:在高考命题频繁内出现,是高考热点。但这几年高考这一块对考生总体要求并不高。是我们争分的题,大纲中要求掌握二次不等式,简单的绝对值不等式和简单的分式不等式的解法。其中一元二次不等式和符号法则是基础1一元二次不等式学生很熟悉,有一条就是首先把二次项系数先定为正数。否则大于取两边就变成了取中间了。关于一元二次不等式还有恒成立,来确定参数范围的问题,学生以养成解题策略定势:“凡是有关不等式恒成立,求参数范围问题,都用△去考虑。”以对不等式恒大于0为例,这对在整个实数域内,二次函数在区间内的最小值大于0(用参数表示),来求出各参数的范围。推而广之,其它一般的函数也适用。2分式不等式遇分式不等式先移项再说,通分以后再用穿根法(序轴标根法) ①当左边是分式,右边是一多项学生肯定会先移项,但当右边是个常数,例如,也一定先移项,②分母不能为0,主要是针对≤0或 ≥0这样的不等式。③有时隐蔽一点的题目是几个括号相乘中间有那么一个或两个括号中X的系数为负数,得首先把它们化为正数。3绝对值不等式 绝对值不等式的基本途径是去绝对值符号。具体有两种,第一种是零点分区间法,按绝对值定义去绝对值符号。第二种是利用最基本的含绝对值的不等式一边绝对值,一边非负数∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣理解两边取等号时条件。 由于无理不等式,指对数不等式不再考,解不等式将大多出现在小题中。 对于以选择题出现的不等式题。解不等式题的策略:(1)“等”或“不等”的启示+(2)特殊值法简单的2002.选择题(3),就可以端点值或差别值带入检验。 最简单:2000年选择题(7)比较P、Q、R值取a=100,b=10,再用对数性质得答案B:难:97选14解不等式组x>0, (3-x)/(3+x)> ∣(2-x)/(2+x) ∣2000.3《中学数学教学参考》“等”对“不等”的启示。讲到解集的一元二次不等式的求解,常用“两根之间”,“两根之外”这类减缩语来说明其结果,同时也表明了它的解法,这是用“等”来解决“不等”的典型例子。解不等式的实践告诉我们,不等式的解区间的端点值,就是它的对应等式(方程)的解,或者是定义区间的端点,如上题当(3-x)/(3+x)=(2-x)/(2+x)或(3-x)/(3+x)=-(2-x)/(2+x)得x=60.5或无解,很快得出答案C 四, 最后是不等式的应用贯穿于整个高中数学,诸如集合问题,(97选1)方程组的解的讨论,函数定义域、值域的确定、函数单调性的研究,三角数列,立几中的最值问题,解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等1大致分两类:一类是建立不等式解不等式 二是建立函数关系求最大小值2建立不等式主要途径①利用几何意义②利用式③利用函数有异性④利用函数单调性。 南京市高三数学单元过关质量检测B卷(不等式)一 选择题1, 下列命题正确的是(A) a,b,c∈R且a>b则 ac2>bc2 (B)a,b∈R,则a/b + b/a≥2(C)a>b且ab≠0,则1/a > 1/b (D)a,b∈R且a>∣b∣ 则a2>b22,”xy<0” 是 “∣x+y∣=∣x∣-∣y∣”的(A)充分不必要条件 (B) 必要非充分条件(C)充要条件 (D) 既不充分又不必要条件3,a,b∈R+ 则(A) (a+b)/2≥(ab)0.5≥[(a2+b2)/2]0.5≥2ab/(a+b)(B) 2ab/(a+b) ≥[(a2+b2)/2]0.5≥(ab)0.5≥(a+b)/2(C) [(a2+b2)/2]0.5≥(a+b)/2≥(ab)0.5≥2ab/(a+b)(D) (a+b)/2≥2ab/(a+b) ≥ [(a2+b2)/2]0.5≥(ab)0.54直角三角形ABC中,∠C=900,则(a+b)/c的取值范围是(A)0< (a+b)/c ≤20.5 (B)0< (a+b)/c <2(c)1< (a+b)/c ≤20.5 (D)1< (a+b)/c <25,不等式(x2-3x+2)(x-4)2/(x+3)≤0的解为(A)-3<x≤1 或x≥2 (B)x<-3或1≤x≤2(C)x=4或-3<x≤1或x≥2 (D)x=4或x<-3或1≤x≤26,已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5则f(3)的范围(A)[-1,20] (B)[-1,26] (C)[-7,26] (D)[-7,20]二,填空题7,b>a>0,m>0.A(b,a),B(b+m,a+m),O(0,0).则kOB______kOA(用“<”或”>”连接)8,x,y 均为正数,x+y+xy=2,则x+y的最小值是________________。9,全集U=R,A={x|log<sub>0.5</sub>(4-x) ≥-1},B={x| 1/(x-2) ≥1}则CuB∩A=_______________。10,已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|n<x<m,m>n>0}.则不等式cx2+bx+a<0的解集为______________。三,解答题11,解不等式(x+2)(x-a)/(x-3) ≤0 12,用定义法证明f(x)=1/(x-x0.5)在(1,+∞)上是减函数。 13,a>0,b>0,2c>a+b,求证:c-(c2-ab)0.5<a<c+(c2-ab)0.5 14,向量a=(-x,-2), 向量b=(x-4m,m+6),无论x取何值,a与b的(x+3)夹角都不是锐角,求关于x的方程mx=1根的范围。 参考答案一选择题1) D (2)A(3)C (4)C (5)D (6)A二填空题(7)> (8)2*30.5-2 (9){x|x=2或 3<x<4}(10){x|1/m < x< 1/n}三解答题(11)当a≤-2时,x≤-a或-2≤x<3当-2<a≤3时,x≤-2或a≤x<3当a>3时,x≤-2或3<x≤a(12)设1<x1<x2f(x1)-f(x2)=1/(x1-x10.5) – 1/(x2-x20.5)=(x10.5-x20.5)( x10.5+x20.5 -1 ) /(x1-x10.5) (x2-x20.5)因为1<x1<x2 所以x10.5-x20.5>0, ( x10.5+x20.5 -1 )>0, (x1-x10.5) >0,(x2-x20.5)>0 所以f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2) 所以f(x)在(1,+∞)上是减函数。(13)要证c-(c2-ab)0.5<a<c+(c2-ab)0.5只须证 (c2-ab)0.5<a-c< (c2-ab)0.5 只须证(a-c)2< c2-ab 只须证a2-2ac+c2<c2-ab 只须证 a2-2ac< -ab 因为a>0只须证a-2c<- b 只须证a+b<2c ,已知。所以原命题成立。(14)因为无论x取何值,a与b的(x+3)夹角都不是锐角所以,ab≤0恒成立。即x2-4mx+2m+12≥0恒成立.16m2-4(2m+12) ≤0,2m2-m-6≤0,(2m+3)(m-2) ≤0,-3/2 ≤m≤2,当m=0时,无解。当m≠0时,x≥1/2或x≤-2/3。
2023-01-14 00:46:502

解高次不等式用到的的穿线法详解,解分式不等式的方法详解,高中数学

保证x系数为证,求出零点,从右往左,从上往下,奇数次穿,偶数次不穿
2023-01-14 00:47:032

关于不等式的一个问题(高中内容)

这个我也不懂
2023-01-14 00:47:073

分式不等式是不是一元一次不等式

不是一元一次不等式是必须是整式
2023-01-14 00:47:113

如何解含绝对值的分式不等式?(高一数学)例如:1、|X-1|/X-2

1、要使|X-1|/X-2<4 这个式子成立的首要条件是:X不等于O 然后可以分三个条件来去绝对值A X大于1 B X等于1 就有-2<4 C X大于O 小于1D X小于1
2023-01-14 00:47:142

这种两边都有未知数且都是分式还带有根号的不等式怎么解?

求解不等式的方程有三个原则。 一个是在不等号两侧同时加或减相同个数,不等式成立; 二是不等号的两边同时乘以或除以相同的大于零的数,不等式成立; 第三,不等号的两侧同时乘以小于零的相同数或除以零,不等号的方向发生变化。 这就是解不等式方程的方法。不等式两者都加(或减)相同个数或相同整式,不等号方向不变。 不等式两侧都乘以(或除)相同的正数,不等号方向不变。不等式双方乘以(或除以)相同的负数后,不等号的方向发生变化。整式不等式整式不等式两侧都是整式(即分母中没有未知数例如X-3大于0时二项一次不等式:包含两个未知数,且未知数次数为一次的不等式。
2023-01-14 00:47:194