北境漫步-
解：（1）求值域先求定义域，
5+4x-x^2>=0
x^2-4x-5<=0
(x-5)(x+1)<=0
x1=5,x2=-1
-1<=x<=5
[-1,5]
令t=5+4x-x^2
y=t^1/2
t=-x^2+4x+5
t=-(x^2-4x-5)
t=-[(x-2)^2-4-5]
t=-[(x-2)^2-9]
t=-(x-2)^2+9
a=-1<0,开口向下，
所以有最大值，
x=2,tmax=9,2属于[-1,5]
所以最大值tmax=9取得到
tmin=min{t(-1),t(5)}=min{0,0}=0
t属于[tmin,tmax]=[0,9]
y=t^1/2
这个是幂函数，
a=1/2,在[0,+无穷）上是增函数，
[0,9]真包含于[0,+无穷）
y在[0,9]上单调递增，
t=0,ymin=0^1/2=0
t=9,ymax=9^1/2=3
y属于[ymin,ymax]=[0,3]
值域为[0,3]
(2)y=(2x-1)/(3+x)(x<0且x/=-3)
解：求定义域：这个是分式，分母不为0
3+x/=0,x/=-3
x<0且x/=-3与x/=-3取交集，
x<0且x/=-3的条件限制比x/=-3多，多一个x<0
即范围比x/=-3小，
是x/=-3的真子集，
所以交集为x<0且x/=-3,
或者这样理解，x<0且x/=-3等价于（-无穷，-3）u(-3,0)
x/=-3等价于（-无穷，-3）u(-3,+无穷）
二者有个公共的区间（-无穷，-3），然后（-3,0）正包含于（-3，+无穷），左端点都是-3，然后都是开区间，即下即使完全相同的，然后商界都是开区间，但是一个是0，另外一个是+无穷，+无穷>0所以（-3，+无穷）的范围比（-3,0）大，则（-无穷，-3）u(-3，+无穷）的范围比（-无穷，-3）u(-3,0)大，x/=-3比x<0且x/=-3大，二者的交集=范围较小的那个，
即x/=-3且x<0
换元法：令t=3+x
x<0且x/=-3
3+x<0+3=3
3+x<3,t<3
x=-3,t=3-3=0,x/=-3,t/=0
t<3且t/=0
y=[2(t-3)-1]/t
=(2t-6-1)/t
=(2t-7)/6
=2t/6-7/6
=t/3-7/6
t<3且t/=0
1/3t<3x1/3=1
1/3t-7/6<1-7/6=-1/6
y<-1/6
t=0,y=-7/6,t/=0,y/=-7/6
y<-1/6且y/=-7/6
值域为（-无穷，-7/6)u(-7/6,-1/6)
(3)y=(x^2-3)/(x^2+1)
这个是分式，分母有未知数x,所以是分式
求定义域，分母不为0
x^2+1/=0
x^2+1=0的解，把这个解去除掉即可，
x^2=-1
x^2>=0,不可能<0
-1<0,不在它的取值范围内，则x^2=-1对应的解x是不存在的，即这个方程无解，解集为空集
x^2+1/=0的解集为x^2+1=0解集的补集，空集的补集是全集R
这个函数的定义域为R
方法一：换元法，令t=x^2+1,x:R
a=1>0,开口向上，有最小值,x=0,tmin=1,
t>=tmin=1,t>=1
t:[1,+无穷）
x^2=t-1
y=(t-1-3)/t=(t-4)/t=1-4/t(t>=1)
t>=1>0,t>0
0<1/t<=1
0<4/t<=4
-4<=-4/t<0
1-4<=1-4/t<0+1
-3<=y<1
y属于[-3,1)
方法二：反函数法，
定义域x:R
y=(x^2-3)/(x^2+1)
把y看成是已知数，x看成是未知数，把函数表示成关于x的一元二次方程，
y(x^2+1)=x^2-3
yx^2+y=x^2-3
yx^2-x^2+y+3=0
(y-1)x^2+y+3=0
这个是关于x的准一元二次方程，
y-1=0,y=1,二次项就没了，y+3=0
y=-3
y=1且y=-3,对于同一个参数y，y的值只能等于一个数值，不可能同时等于两个不相同的数值，所以要使者两个条件同时成李的y是不存在的，即空集，y=1推出y/=-3,y=-3推出y/=1,y=1成立，y=-3不成立，y=-3成立，y=1不成立，二者不可能同时成立，或者说是二者同时成立的y是不存在的，所以是空集
y-1/=0,y/=1,
这个是关于x的一元二次方程，
因为对于实数集内任意一个自变量x,有唯一确定的应变量y的值，
或者反过来理解，在值域范围内的应变量y的值，一定能确定使者个函数值成立的自变量x的值，函数是一一对应的，一个x对应一个y,反过来，在值域范围内的y的值，代入函数解析式，一定能得出在其定义域范围内的自变量x,(即这个关于x的方程一定存在实数解，
(y-1)x^2+y+3=0
一次项不存在，一次项系数b=0
0^2-4x(y-1)(y-3)>=0
0-4(y-1)(y-3)>=0
-4(y-1)(y-3)>=0
(y-1)(y-3)<=0
y1=1,y2=3
1<=y<=3
然后y/=1,y=1在[1,3]内，所以取交集要把y=1从这个区间内去除掉，
y:(1,3]
从[1,3]中去除掉1这个点，则左边的闭区间变成开区间（1,3]
综上：空集u(1,3]=(1,3](空集是任何集合的子集，（1,3]属于任何集合，所以空集是（1,3]的子集，空集包含于(1,3],空集U(1,3]=(1,3]
答：值域为(1,3],
两种方法计算得到的结果相同，说明两种方法计算结果都是正确的。
y=x+(2x-1)^1/2
解：求值域先求定义域
看作是y1=x和y2=(2x-1)^1/2的和函数，
y=y1+y2,所以自变量x既要满足y1的定义域，又要满足y2的定义域，所以y的定义域是y1的定义域和y2的定义域的交集，
因为和函数包括这两个函数，所以定义域是这两个函数定义域的交集，x既要满足y1的定义域，又要满足y2的定义域，x属于D1且x属于D2,则D=D1交D2
D1:R,D2:2x-1>=0,2x>=1,x>=1/2,[1/2,+无穷）
D1交D2=R交[1/2,+无穷）=[1/2,+无穷）
[1/2,+无穷）真包含于R,是R的真子集，是R的子集，真子集是子集，是R的子集，
换元法，令t=(2x-1)^1/2
x>=1/2,2x>=1/2x2=1.2x-1>=1-1=0,2x-1>=0,t>=0^1/2=0,t>=0
t^2=2x-1
t^2+1=2x
(t^2+1)/2=x
x=(t^2+1)/2
把x=(t^2+1)/2
y=x+(2x-1)^1/2
y=(t^2+1)/2+t
y=1/2t^2+t+1/2
y=1/2(t^2+2t+1)
y=1/2(t+1)^2
a=1/2>0,开口向上，y有最小值，
t=-1,ymin=0,-1不属于[0,+无穷）
所以ymin=0取不到，
对称轴t=-1,画图像，数形结合，
二次函数，开口向上，在（-无穷，-1）上单调递减，在（-1，+无穷）上单调递增，
[0,+无穷）真包含于（-1，+无穷），上线相同，下解0>-1,所以[0,+无穷）的范围比（-1,+无穷）小，（0，+无穷）比[0,+无穷）小，
[0,+无穷）真包含于（-1，+无穷）
是（-1，+无穷）的子区间，在[0,+无穷）上单调递增
t=0,ymin=1/2(0+1)^2=1/2x1=1/2
t趋向于无穷，t+1趋向于无穷，（t+1)^2=(t+1)(t+1)=无穷x无穷=无穷，1/2无穷=无穷
所以y趋向于无穷，趋向于+无穷，
y属于[1/2,+无穷）
西柚不是西游-
太多了