陶小凡-
2010年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2010•海南）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
考点：绝对值。
分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解答：解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2．
故选B．
点评：本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为﹣2的绝对值是 ，而选择C．
2．（2010•广安）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．a2•a4=a6 C．a2+a2=a4 D．a6÷a3=a2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
分析：根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项等相关知识进行计算．
解答：解：A、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
B、a2•a4=a2+4=a6，故本选项正确；
C、应为a2+a2=2a2，故本选项错误；
D、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查整式的运算和幂的运算法则，要注意区分它们各自的特点，以避免出错．
3．（2010•广安）由四个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从上面看所得到的图形即可．
解答：解：从物体上面看，是三个正方形左右相邻，故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
4．（2010•广安）某同学午觉醒来发现钟表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不超过15分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式。
分析：让15除以一个整点的时间即为所求的概率．
解答：解：∵一个小时有60分钟，
∴他等待的时间不超过15分钟的概率是 = ．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
5．（2010•广安）等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是（ ）
A．17 B．17或22 C．20 D．22
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系。
专题：分类讨论。
分析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形得到第三边的长度，从而求解．
解答：解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9
∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去
4+9＞9，故4，9，9能构成三角形
∴它的周长是4+9+9=22
故选D．
点评：本题综合考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．常常利用两边和大于第三边来判断能否构成三角形．
6．（2010•广安）玉树地震后，某市人民献爱心为玉树捐人民币：203 000 000元，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．2.03×109 B．2.03×106 C．20.3×107 D．2.03×108
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：应用题。
分析：根据科学记数法的表示方法，将203 000 000用科学记数法表示即可得到答案．
解答：解：203 000 000用科学记数法表示为2.03×108．
故答案为D．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（2010•广安）如图，小明在扇形花台OAB沿O⇒A⇒B⇒O的路径散步，能近似地刻画小明到出发点O的距离y与时间x之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：应用题。
分析：由于小明行走的路线正好是一个扇形的周长，从圆心出发，经过半径OA，弧AB，半径OB回到圆心．
解答：解：小明在扇形花台OAB沿O⇒A⇒B⇒O的路径散步，在OA上时y随x的增大而增大，成正比例；在弧AB上时，y是定值为半径；在OB上时y随x的增大而减小，是一条直线．
故选C．
点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
8．（2010•广安）若|x﹣2y|+ =0，则xy的值为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．﹣6
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。
分析：首先根据非负数的性质，可列方程组求出x、y的值，再代入xy中计算即可．
解答：解：由题意，得： ，
解得 ，
所以xy=（﹣2）×（﹣4）=8．
故选A．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
9．（2010•广安）下列说法正确的是（ ）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式 B．某彩票设“中奖概率为 ”，购买100张彩票就﹣定会中奖一次 C．某地会发生地震是必然事件 D．若甲组数据的方差S2甲=0.1，乙组数据的方差S2乙=0.2，则甲组数据比乙组稳定
考点：方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义。
分析：根据用全面调查和抽样调查的条件，必然事件与随机事件的区别，方差的意义，分析判断即可．
解答：解：A、因为数量太大，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，故选项错误；
B、某彩票设“中奖概率为 ”，购买100张彩票中奖为随机事件，故选项错误；
C、显然是随机事件，故选项错误；
D、正确．
故选D．
点评：考用到的知识点为：不易采集到的数据的调查方式应采用抽样调查的方式；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；一组数据的方差越小，稳定性越好．
10．（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：二次函数图象与系数的关系。
分析：①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，﹣ =1＞0，b＞0，②令x=﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③﹣ =1，即2a+b=0，④把x=m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x=1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x=1时函数值最大，所以x=1对应的函数值大于x=m对应的函数值，化简得到不等式成立，故④正确．
解答：解：①根据图象，a＜0，b＞0，c＞0，故①错误；
②令x=﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵﹣ =1，
∴2a+b=0，
故③正确；
④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm=m（am+b），
故④正确．
故选B．
点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
11．（2010•广安）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用。
分析：应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
12．（2010•广安）不等式组 的整数解为 ﹣1，0，1 ．
考点：一元一次不等式组的整数解。
分析：先解不等式组，求出解集，再根据解集找出整数解．
解答：解：解不等式①，得x＜1.5，
解不等式②，得x≥﹣1．
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜1.5．
又∵x为整数，
∴x=﹣1，0，1．
点评：注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解，所以要找出在这范围内的整数．
13．（2010•广安）函数y= 中自变量x的取值范围是 x＞3 ．
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解．
解答：解：依题意，得x﹣3＞0，
解得x＞3．
点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．
14．（2010•广安）在一次女子体操比赛中，八名运动员的年龄（单位：岁）分别为：14、12、12、15、14、15、14、16，这组数据的中位数是 14 岁．
考点：中位数。
专题：应用题。
分析：此题首先把所给是数据按照由小到大的顺序排序，然后利用中位数的定义求出结果．
解答：解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为12、12、14、14、14、15、15、16，
∴中位数为（14+14）÷2=14．
故答案为14．
点评：熟练掌握中位数定义．数据按照由小到大的顺序排序，最中间一个数或两个数的平均数是中位数．
15．（2010•广安）如图，一个扇形纸片OAB．OA=30cm，∠AOB=120°，小明将OA、OB合拢组成一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计）．则烟囱帽的底面圆的半径为 10 cm．
考点：圆锥的计算。
分析：求得扇形的弧长后，除以2π即为圆锥底面圆的半径．
解答：解：扇形的弧长为： =20πcm，
∴烟囱帽的底面圆的半径为：20π÷2π=10cm．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
16．（2010•广安）在平面直角坐标系中，将直线y=﹣2x+1向下平移4个单位长度后．所得直线的解析式为 y=﹣2x﹣3 ．
考点：一次函数图象与几何变换。
分析：根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．
解答：解：由题意得：平移后的解析式为：y=﹣2x+1﹣4=y=﹣2x﹣3．
故填：y=﹣2x﹣3．
点评：本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后k值不变这一性质．
17．（2010•广安）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为 9 米．
考点：相似三角形的应用。
分析：由于人和地面是垂直的，即人和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．
解答：解：根据题意知，DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴ =
即 =
解得AB=9m．
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了方程的思想．
18．（2010•广安）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于 40 度．
考点：圆心角、弧、弦的关系。
分析：由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．
解答：解：△OAB中，OA=OB，
∴∠BOA=180°﹣2∠A=80°；
∵点C是弧AB的中点，即 = ，
∴∠BOC= ∠BOA=40°．
点评：此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．
19．（2010•广安）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，把△OAB沿AB所在的直线翻折．点O落在点C处，则点C的坐标为 （6，2 ） ．
考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等边三角形的性质。
分析：由折叠的性质知OA=BC，可先求出B点坐标，然后将B点坐标向右平移4个单位即可得到C点的坐标．
解答：解：过B作BD⊥x轴于D；
在Rt△OBD中，OB=4，∠BOD=60°，则：
OD=2，BD=2 ；
∴B（2，2 ）；
由折叠的性质知：BC=OB=4，∴C（6，2 ）．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形以及图象的翻折变换，能够根据折叠的性质得到BC的长是解答此题的关键．
20．（2010•广安）小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为 （ ）n ．
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：规律型。
分析：应得到每次折叠后得到的等腰直角三角形的边长与第一个等腰直角三角形的边长的关系，进而利用规律求解即可．
解答：解：每次折叠后，腰长为原来的 ；
故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（ ）2= ；
小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为（ ）n．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（共10小题，满分90分）
21．（2010•广安）计算：|﹣ |﹣ +（π+4）0﹣sin30°+ ．
考点：实数的运算。
分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、绝对值的化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：解：|﹣ |﹣ +（π+4）0﹣sin30°+
= ﹣3+1﹣ + +1
= ﹣1．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
22．（2010•广安）先化简再求值：（ ）• ，其中x= ．
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．
解答：解：（ ）•
=（ ﹣ ）•
= •
= ；
当x= 时，原式= = ．
点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
23．（2010•广安）如图，若反比例函数y=﹣ 与一次函数y=mx﹣2的图象都经过点A（a，2）
（1）求A点的坐标及一次函数的解析式；
（2）设一次函数与反比例函数图象的另一交点为B，求B点坐标，并利用函数图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
考点：反比例函数综合题。
专题：待定系数法。
分析：（1）把y=2代入反比例函数y=﹣ 可得x=﹣4，即A（﹣4，2）；把A（﹣4，2）代入一次函数y=mx﹣2解得m=﹣1，可得一次函数y=mx﹣2为y=﹣x﹣2．
（2）把反比例函数y=﹣ 代入一次函数y=﹣x﹣2即可得B（2，﹣4），一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围根据图象即可求出﹣4＜x＜0或x＞2．
解答：解：（1）把y=2代入反比例函数y=﹣
∴x=﹣4，
∴A（﹣4，2）．
把A（﹣4，2）代入一次函数y=mx﹣2
解得m=﹣1
∴一次函数y=mx﹣2为y=﹣x﹣2．
（2）根据题意把反比例函数y=﹣ 代入一次函数y=﹣x﹣2
∴ 和
∴B（2，﹣4）
利用函数图象可得使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围是﹣4＜x＜0或x＞2．
点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定及一次函数的值与反比例函数的值的比较等能力．
24．（2010•广安）已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE．
考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质。
专题：证明题。
分析：求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ABF≌△DCE即可．
解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°；
又∵BE=CF，即BF=CE，
∴△ABF≌△DCE；（SAS）
∴AF=DE．
点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
25．（2010•广安）某单位需招聘一名技术员，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，其成绩如下表所示：
根据录用程序，该单位又组织了100名评议人员对三人进行投票测评，其得票率如扇形图所示，每票1分（没有弃权票．每人只能投1票）
测试项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 80 85 95
面试 98 75 73
（1）请算出三人的民主评议得分；
（2）该单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按2：2：1确定综合成绩，谁将被录用？请说明理由．
考点：加权平均数；扇形统计图。
专题：图表型。
分析：（1）根据民主评议人员和所占的比直接求解；
（2）将笔试、面试、民主评议三项测试得分按2：2：1算出成绩，分最高的将被录取．
解答：解：（1）甲民主评议得分：100×25%=25分；
乙民主评议得分：100×40%=40分；
丙民主评议得分：100×35%=35分；
（2）甲的成绩：80× +98× +25× =76.2分；
乙的成绩：85× +75× +40× =72分；
丙的成绩：95× +73× +35× =74.2分．
∴甲将被录用，因为甲的成绩最好．
点评：此题是平均数的综合运用．正确理解题目含义是解题关键．
26．（2010•广安）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°．若新坡脚前需留2.5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除？请说明理由．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析：设建筑物处为E点．在Rt△ABC中，根据坡角∠ACB的度数和AB的长，可求出AC的长；同理可在Rt△ABD中求出AD的长，由此可求出CD的长，然后再判断DE的长是否小于2.5米即可，如果小于则说明建筑物需要拆除，反之则不用．
解答：解：如图：
Rt△ABC中，∠BCA=45°，AB=10，
∴AC=AB=10．
同理可得：AD=10 ≈17.32．
∴CD=AD﹣AC=7.32，
DE=CE﹣CD=10﹣7.32=2.68＞2.5．
故原建筑物不用拆除．
点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
27．（2010•广安）某学校花台上有一块形如图所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由．
考点：全等三角形的应用。
专题：方案型；操作型。
分析：只需测量出△ABC的任意两个角的度数和一边的长度，根据三角形全等的判定，即可知道符合要求．
解答：解：①用量角器量出∠A和∠B的度数，用尺子量出边AB的长度，
②根据这三个数据，按照原来的位置关系去加工地砖，
∵∠A=∠A′，AB=A′B′，∠B=∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′．
故形状和大小完全相同．
点评：本题考查全等三角形的应用，值得注意的是本题是方案设计问题，做题时要符合题目的要求．
28．（2010•广安）为了提高土地利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种三收”，现将面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，为保证主要农作物的种植比例．要求小麦的种植面积占总面积的60%，下表是三种农作物的亩产量及销售单价的对应表：
小麦 玉米 黄豆
亩产量（千克） 400 600 220
销售单价（元/千克） 2 1 2.5
（1）设玉米的种值面积为x亩，三种农作物的总售价为y元，写出y与x的函数关系式；
（2）在保证小麦种植面积的情况下，玉米、黄豆同时均按整亩数套种，有几种“三种三收”套种方案？
（3）在（2）中的种植方案中，采用哪种套种方案才能使总销售价最高？最高价是多少？
考点：一次函数的应用。
专题：方案型；图表型。
分析：（1）根据等量关系“总售价=小麦的售价+玉米的售价+黄豆的售价”列出函数关系式；
（2）玉米、黄豆同时均按整亩数套种，则x可取0＜x＜4，得出三种方案；
（3）由于函数随x的增大而增大，所以x取3时，总销售价最高．
解答：解：（1）∵面积为10亩的一块农田进行“三种三收”套种，设玉米的种植面积为x亩，
∵小麦的种植面积占总面积的60%，∴小麦的种植面积为6亩，黄豆的种植面积为4﹣x亩；
y=400×2×6+600x+220×2.5×（4﹣x）=50x+7000
（2）玉米、黄豆同时均按整亩数套种，则x可取0＜x＜4，得出三种方案：
①玉米1亩，黄豆3亩②玉米2亩，黄豆2亩③玉米3亩，黄豆1亩
（3）由于函数在0＜x＜4中随x的增大而增大，所以x取3时，即选第三种方案，总销售价最高；
y=50×3+7000=7150 （元）
点评：本题考查了一次函数与实际结合的问题，通过一次函数解决小麦、玉米、黄豆总售价的最大值以及分配套种情况．
29．（2010•广安）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？
（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．
考点：切线的判定；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵PC=PF，OA=OC，
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB
∴∠AHF=90°
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，
理由：连接AE，
∵点D在劣弧AC中点位置
∴∠DAF=∠DEA
∵∠ADE=∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD：ED=FD：AD
∴AD2=DE•DF．
（3）解：连接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3
DH=2 ，DA=2 ．
∵∠DOA=∠AOD
点D在劣弧AC中点位置
∴∠OGA=∠OHD=90°
∵OA=OD
∴△OGA≌△OHD
∴AG=DH
∴AC=4 ．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．
30．（2010•广安）如图，直线y=﹣x﹣1与抛物线y=ax2+bx﹣4都经过点A（﹣1，0）、C（3，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．
考点：二次函数综合题。
专题：压轴题。
分析：（1）已知抛物线图象上的两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）首先要弄清的是PE的长，实际是直线AC与抛物线函数值的差，可设出P点横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式表示出P、E的纵坐标，进而得到关于PE与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PE的最大值．
（3）此题要分作两种情况考虑：
①Rt△PCQ以P为直角顶点，根据直线AC的解析式，可求得直线PQ的斜率，已知了点P的坐标，即可求得直线PQ的解析式，联立抛物线的解析式，可求得Q点的坐标；
②当Rt△PCQ以C为直角顶点时，方法同上．
解答：解：（1）∵A（﹣1，0）、C（3，﹣4）在抛物线y=ax2+bx﹣4上，
∴ ，
∴a=1，b=﹣3，
∴y=x2﹣3x﹣4．
（2）设动点P的坐标为（m，﹣m﹣1），则E点的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），
∴PE=（﹣m﹣1）﹣（m2﹣3m﹣4），
=﹣m2+2m+3，
=﹣（m﹣1）2+4，
∴当m=1时，线段PE最大且为4．
（3）假设存在符合条件的Q点；
当线段PE最大时动点P的坐标为（1，﹣2），
①当PQ⊥PC时，设直线PQ的解析式为：y=x+b，
则有：﹣2=1+b，b=﹣3；
∴直线PQ的方程为y=x﹣3，
联立
得点Q的坐标为：（2+ ， ﹣1），（2﹣ ，﹣ ﹣1）．
②当CQ⊥PC时，同理可求得直线CQ的解析式为y=x﹣7；
联立抛物线的解析式得： ，
解得 ， （舍去），
∴Q（1，﹣6）；
综上所述，符合条件的Q点共有3个，坐标为：Q1（2+ ， ﹣1），Q2（2﹣ ，﹣ ﹣1），Q3（1，﹣6）．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识；需要注意的是（3）题中，点P、C都有可能是直角顶点，要分类讨论，以免漏解．
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