黄金分割是在几年级的数学书里讲的

这属于简单加法计算题目，结果是也是9/2一、思考：思考是数学学习方法的核心。在学这门课中，思考有重大意义。解数学题时，首先要观察、分析、思考。思考往往能发现题目的特点，找出解题的突破口、简便的解题方法。在我们周围，凡是真正学得好的同学，都有勤于思考，经常开动脑筋的习惯，于是脑子就越用越灵，勤于思考变成了善于思考。　　二、动手试一试：动手有助于消化学习过的知识，做到融会贯通。课下，我常常把老师讲过的公式进行推导，推导时不要看书，要默记。这样就能使自己对公式掌握滚瓜烂熟，可为公式变形计算打下扎实的基础。　　三、培养创造精神：所谓创造，就是想出新办法，做出新成绩，建立新理论。创造，就要不局限于老师、课本讲的方法。平时，有一些难度高的题目，我在听懂了老师讲的方法后，还要自己去找一找有没有另外的解法，这样能加深对题目的理解，能比较几种解法的利弊，使解题思维达到一个更高的境界。

常规来说，写教师听课评语要兼顾到以下几点:1、教学环节;2、教学重难点的突出与突破、是否达到教学目标;3、是否体现了教师的主导地位和学生的主体地位(特别是新课改思想下的评价体系，尤其注重学生的合作能力、探究能力、活动能力等);4、教学语言(包括口头语言、图形语言、符号语言、肢体语言等)与板书;5、教学效果等方面。如果你是评委中的一人，也可以选择其中之一点详细评价。例如:3月6日听了曹国华老师的《第二次鸦片战争》一课，认为本堂课知识点明确，条理清晰，板书大方，教师注意归纳总结，能联系书本以外的知识，扩大学生听闻。教学语言形象、丰富、生动，浅入深出，但与学生互动交流稍显欠缺。3月8日听了李春涛老师的《分式的加减法》，认为该课语言幽默、风趣，生动形象，着力于学生积极性的调动，引导学生动手、动口，注意矫正反馈，注重双基训练。3月12日听了顾惠芳老师的《我的老师》一课，认为教师语言语调抑扬顿挫，普通话过硬，板书优美，基本功扎实，能循循善诱，逐步引导学生思考问题及分析事件与人物，解决讨论要点有成效。并注重学生的诵读能力、口头表达能力的培养，学生的学习习惯较好。3月13日听了狄永伟老师的《鸟(专题)》一课，认为该专题内容丰富多彩，一定程度上积淀了学生的文学素养，学生参与多，课件精美，涉及知识范围广，开阔学生眼界，点面结合加练笔，让学生对鸟的认识逐步深入，效果较好。3月13日听了季艳芳老师的《曹刿论战》，认为教师能让学生在理解中背诵，逐步掌握本文的重点、难点，但气氛少活泼。教师注意引导学生积累一些文言虚词和固定用法，能一定程度上自译成文。做到讲练结合，联系疏通新旧知识，分析精当。

在日常生活或是工作学习中，说到评语，大家肯定都不陌生吧，评语能够帮助被评价对象不断地接近于目标、达到目标，使取向目标的行为得到强化，背离目标的行为得到弱化。那么问题来了，到底什么样的评语才是好的评语呢？以下是我精心整理的教师听课评课评语优秀，仅供参考，希望能够帮助到大家。 教师听课评课优秀评语1 今天上午有幸听了施老师的讲课，讲了一节一年级数学上册关于“6、7、8加几”的课程，从听课中可以总结出一下几点： 1、教师对知识的复习充分，了解到9加几的加法计算利用凑十法来进行计算，复习巩固了算法的原理以及方法，让学生明白9如何凑十，如何分解两一个数，这完全为本节课计算6、7、8加几做了很好的铺垫，学生也能够很快的从中领会到计算原理。 2、还有一个非常突出的特点那就是，施老师对学生的语言表达训练到位，学生从课堂的说凑十法的过程非常熟练，在课堂上也做到了不断练习，充分让学生反复说，准确说，流利说。 3、对课本的教学用图充分挖掘，从例题中发现数学问题，让学生明白题意，知道给出的数学信息，引导学生的会利用信息发现问题，解决问题，知道从不同的方向进行解决问题，有前后人数相加，有不同衣服颜色的人数相加，锻炼学生的思维能力。 4、注重计算的方法练习，例如在计算85=的时候强调可以看8分5，也可以看5分8，从两个方面进行解决问题，拓展学生的思考能力，让学生明白凑十法的灵活应用。 5、从一个儿歌帮助学生解决凑十法的口诀要点，抓住特点进行计算，提供学生快速计算的小诀窍，利用减法计算结果，很得出结果。可以说是整节课教师都把握住了重点内容，强调方法练习，讲解细节重点内容，让学生明白抓住关键内容进行计算。 对本节课意见和建议： 1、能否在写课本例题时，让学生说说算式可以怎么列，或许有85或58，76或67的不同列法，这样可以结合到最后一题，为下节课渗透。 2、摆小棒时可以让学生上台圈一圈或摆一摆，感受过程，计算结果也可以做到进行验算。 教师听课评课优秀评语2 《小乌龟找工作》是一篇童话，通过生动的想象，讲述了小乌龟找工作的过程和结果，形象地刻画了小乌龟鲜明的特点，也揭示了一定的道理。 首先，让学生说出看到题目知道什么？想知道什么？使学生从题目、中知道了主人公是小乌龟，主要事是找工作，并抓主了题目中的字眼“找”，知道了是一篇童话故事；提出了小乌龟到哪儿找工作？怎么找的工作？找到了没有等问题。明确地提示了课堂教学目标和重点。在处理每段的问题时也解决得很清楚，但是从培养学生能力的角度看，应该把四个结构相同的段落，详讲一段，其他三段的学习，应让学生在总结学习方法后，自行汇报。我是牵着学生走的，以后要引以为戒。 其次，在活动中体现了从思想内容到语言文字这一过程的训练，如抓住数字“3”和数字“100”，体现小乌龟送信速度慢，找到没被录取的原因。抓住“转圈圈”一词，让学生演示，理解了小乌龟不是不努力工作，而是不会爬树造成的。 再次，对朗读进行了有效指导。不但分析了语气、语调，而且对长句子的读法也作了指导。 不足： 出示课文最后一段，应该随机让学生说说自己的长处与不足，今后该怎样做。 教师听课评课优秀评语3 今天，又一次聆听了顾老师的课——《船长》，感受到了一种全新的风格。我们和学生一样，如同船上的乘客，一起经历了一场惊心动魄的事件，感受到了一个伟大的灵魂，经历了一种人格和精神的洗礼。这堂课，值得我们回味学习的地方有很多，现着重抓住几点来谈谈感受。 课堂上，顾老师就如同一位船长，引领着学生自主研读课文，感悟语言文字的魅力，感受船长人格精神的魅力。 一、学习主动权的下放。 课开始，老师让板书课题“船长”，并让学生选择一种颜色的粉笔来板书。学生各有想法，通过选择不同的颜色表现着学生对文本、对船长精神独特的理解，体现了个性化的阅读教学。 二、朗读指导的到位和细腻。 课文的第2第5自然段描述了当时撞船时的惊险可怕，教学时，老师没有刻意地说该怎么读，而是通过语言的渲染和描述来激发学生的阅读兴趣。师：这是一组惊心动魄的画面，谁能通过朗读再现当时的情景。学生在朗读不到位时，老师又及时地评价指导：轮船撞过来了吗？我觉得还不足以造成灾难。响声大吗？口子还不够大。再如读船长的话时，指导学生读出吼的感觉。学生读得不到位，老师问：你觉得他吼得怎么样？“吼”要有震撼力。在一次次追问和范读中，学生不仅领会了该怎么读，而且领会了文本的语言之精妙和船长的精神之伟大。学生完全沉浸在教师、文本所创设的情境之中，主动阅读、主动体验和主动感受。 三、写作方法指导的润物细无声。 这篇课文是雨果的大作节选，教学中，顾教师时刻注意引导学生体会大作的风范，吸收语言的精华。如第二段中通过范读让学生体会短句给人带来紧张害怕的感觉。如通过改写哈尔威船长和大副的对话，体会文中对话描写的精炼，明白语言的描写是要符合当时的情景。 四、学生道德情感的培养恰到好处。 文中主人公哈尔威成为了英雄，他成为英雄其实很简单，只是“运用了他船长的权利”。作为船长，哈尔威必须选择死亡。那么，到底是他的什么精神值得我们肃然起敬呢？我想，应该在那么几个字眼上：忠于职守，履行做人之道。 忠于职守，做人之道，看起来平常，真正做到又是何等的困难。在利益面前，特别在死亡面前，更是能够考验一个人的敬业精神和为人之道。我们的社会，最需要宏扬的应该是这样的精神。我想，这才是我们所需要在这篇课文挖掘与学习的东西。 但这样的字眼如果直白地灌输给学生，何来说服力？顾老师抓住了船长的二道命令研读，体会船长伟大的"灵魂:：英勇果断、镇定自若、临危不惧、沉着冷静、舍己为人等优秀品质。 此时再配上音乐和图片，营造了一种浓浓的氛围，学生的内心油然而生起对哈尔威船长的仰慕之情。而此时，老师设计了说话练习：透过阴森可怖的薄雾，凝视着这尊徐徐沉入大海的黑色雕像，我想说：——学生的情感达到了沸点，情自心扉，出现了一句句感人的对话。如：哈尔威船长，你在我们心中树立起一座永远的丰碑；你的威严是无人能比的，你的精神永垂不朽；您用您的精神书写了一个伟大的“人”字，筑起了一座伟大的人格长城。 相信在一句句激情洋溢的对话中，哈尔威船长的伟大人格也一定悄悄地在同学们的心中扎下了根，不久的将来，又怎么不会有花开的惊喜呢？ 总之，这堂课值得我们去学习、回味和思考。 教师听课评课优秀评语4 翁xx老师这节课先复习了图形的几种变换，再展示老师所化的位似图形，让学生感受不同，归纳出概念，期间过渡朴实自然符合学生的认知规律，而后让学生观察书本中的三种图形引导学生对位似图形以及位似中心的概念进行进一步的解读，让学生经历了有数学思考含量的数学化过程，这符合新课程的理念，接着翁老师通过让学生绘图让学生体会利用位似，可以将一个图形放大或缩小。在练习过程中加深对概念和性质的解读。整堂课有讲有练，学生参与积极性较高，翁老师还通过展示学生的练习，让学生体验成功的乐趣。课堂中有一定的师生互动和生生互动，板书设计良好，教师驾驭教材的能力较强，教师教学基本功娴熟，教学效果好。 建议： 1、对学生提出的质疑要及时解决。 2、最好在最后注意相关知识的横向比较（如位似与平移、旋转、轴对称等变换进行比较）。 教师听课评课优秀评语5 一、情景设计，导入正文 这是一首科学诗，课文的重点是通过诗诗意化的语言介绍深奥的科学知识，。对于七年级的学生来说，在理解上有一定地难度，高瑞波的情景设计的巧妙。高老师说，同学们，现在听我给你们讲一个故事：我是亿年前的一匹猛犸，我们的家族在拼命地寻找食物，因为，能吃的东西越来越少了，在这个时候，我趁大家不注意，悄悄地溜到了一边，自以为可以找到可口的美食，却不料，当家人们渐渐看不见的时候，我的危险来临了，我的脚踩在了一片软软乎乎的地上，却拔不出蹄子来，而且越陷越深，当我呼喊“救命”的时候家人已经走远了，我再也无法从这一片沼泽里走出来了，我不知道多少年过去了，今天，你们看到的我，就是这个化石。学生们听的入了迷，老师们也都被这个精彩的故事深深地吸引了。 高瑞波老师的故事把所有的人都带到了一个美妙的境界，然后，高老师说，今天，我们一起来学习《化石吟》。 故事新奇，巧妙导入。 二、目标明确，重点突出 高瑞波老师巧妙地将知识点、重点贯穿在课堂教学的每一个环节，听录音朗读课文时，让学生们注意听录音，然后找出录音中读错的字音，并纠正。听写词语，及时纠正书写，学生自主展示，课堂评价及时适度。老师调空有度，学生在整个课堂环节中，都积极参与，兴趣浓厚。 三、评价及时，点拨适度，气氛浓厚， 在高瑞波老师的课堂上，小组合作探究紧张有序，讨论积极踊跃，老师评价及时，点拨适度而到位，给予学生鼓励和夸奖，老师的评价给学生增强了自主学习的信心。借助于多媒体的视觉效果和音频效果，极大地拓宽了课堂教学的多角度，通过生动形象的画面，更增添了课堂教学手段的多样化，在一定程度上，丰富了课堂文化，集知识性与趣味性于一。 四、爱，渗透整个课堂 这节课上，书声不断，讨论声不断，掌声不断。高瑞波老师字正腔圆地为学生示范朗读课文，学生齐读课文，分组朗读课文，掌声鼓励学生，小组自主展示学习成果，老师用掌声鼓励学生，学生将诗文的每一个章节所描绘的情景，都用自己的语言编辑成精美的小故事，主动站起来讲述给大家听，那一个个的传奇般的故事，引起一阵一阵的笑声。 爱，是无声的语言，一个和蔼的眼神，一句亲切的鼓励，一个微不足道的手势。都是爱的音符。高瑞波老师用她那特有的慈母般的声音，时时赞美学生在课堂的表现；并用她那圣母般的眼神，时时关注每一个学生的反应，及时提醒和鼓励，师爱笼罩整个课堂。 教师听课评课优秀评语6 各位专家，各位数学同仁们： 上午好！今天我们齐聚水头四小共同参与以“项目评价”为核心的教研活动，一起倾听由董xx老师和陈xx老师围绕“人人过关、善学乐学、学力取向、习惯养成”这16字原则而进行的教学活动，肯定各有所思，也必然有诸多收获。接下来，我根据董老师执教的《搭配二》一课，愿与大家分享一些浅薄的想法，若有不成熟之处，还望大家多多指教。 本次董老师执教的《搭配二》里呈现的内容是第一次以新课的形式出现在课堂里，在我们去年任教的时候还只是在新课后面的“做一做”出现，解决这个问题对大部分学生而言并不难，所以董老师把重心放在让所有学生积极参与整个课堂，并明里暗里培养学生解决问题注重策略的习惯养成上。从课一开始，董老师就以“今天我们去数学乐园挑战有关数字的搭配问题，你们有信心接受挑战吗？”“有没有信心？”这样鼓动性的语言让全体学生以热情高涨的态度进入课堂，深切激起学生的学习性和斗志欲。在董老师层层紧扣的各环节里，也处处显示全体学生参与的痕迹，他让学生认真审题，独立思考写下组成的没有重复数字的两位数，好似漫不经心经过每个小孩身边，实则关注了每一个小孩的学习状况。在每一个反馈环节，他也积极带动学生参与评价和思考，在认真阐述自己解题方法的同时关注其他同学的想法，并能有效地吸纳更加优越的做法。在整节课里，我们总能看到董老师和学生们积极互动的欢快场面，学生学得开心，教师引得巧妙。 同时，在这节课里，我们也能清晰看到董老师非常注重带动学生利用方法的迁移来解决新问题学习新知识，他在挑战一里用简实、朴素的引导语让学生回顾了组成没有重复数字的两位数的多种方法，学生自然而然利用小结出来的比较优越的方法解决了0、1、3、5这个环节，此时老师没有过多言语，水到渠成。在以后类似的学习中，学生也必然会利用这种有序的思考方式来解决问题 在这节课里，我们也看到董老师精心准备的教学材料的呈现，“多一个数呢”、“换一个数呢”、“还是这四个数，换一个问题呢”就把这节课串成串，学生觉得有趣，老师又能授予学生解决问题的策略，看似简简单单，却蕴含诸多朴实的智慧。 这节课虽以挑战为线，学生乐学，场面欢快，却也不难看出董老师一直稳稳拿捏“人人过关”这个尺度。在解决问题的多种方法中，他有意无意引导学生发现先确定十位的优越性，他又以多种形式，或独立思考或说或听或写，来巩固此种思考方式，尽可能让每一位小孩都掌握思考问题的有序性和完整性。 我们从这节课看到董老师精心的设计和三（3）班学生的精彩表现，但我们也知道真实的课堂必然存在遗憾，所以，这节课还是有很多值得我们思考的地方。比如，让一直从教初中数学的董老师来调控一个小学三年级的课堂，怎么样给予更轻快的节奏？如何让我们的课堂里多一些对学生有激励作用的有效评价？在一个学生层次差异很大的课堂里如何既不抹杀尖子生的兴趣，又能关注后进生的学习？等等。希望各位专家、领导能给予指点帮忙解惑。 以上是我听完这节课后一些不尽成熟的想法，还望各位多多指点，谢谢！ 教师听课评课优秀评语7 《军神》一课是一篇歌颂军魂的典范之作，赞扬了刘伯承将军超人的坚强意志。文字朴实细腻感人至深。文章讲述的是88年以前的事，离学生的生活实际太久远，而且又是让三年级的孩子来学，学生理解起来会有一定难度。卢老师也知道这一点，所以以自己精心的设计，巧妙的构思，使文章与学生拉近了距离，让学生的思维在老师的启发下得以发展。 卢老师在本节课的教学中非常注重情感和态度，处处遵循学生的身心发展规律和语文学习规律，使语文学习成为一种学生自主探究的事。从整个教学环节的设计到引导学生读书、思考、讨论交流等，都充分体现了以人为本以文为本的思想，老师尊重学生人格，尊重学生的独创性，充分肯定学生的答案与做法，既尊重学生，又给学生发挥的空间，使得师生之间的交流变得畅通、积极、有效。教学过程中，卢老师紧紧扣住“为什么称刘伯承将军为军神？”以及沃克医生前后态度的变化这两条主线，允许学生自由地读、问、讨论，既体现了民主，又很好地体现了“导”的作用。让学生带着问题边读书边思考，在教学中引导学生体会刘伯承将军豪迈气概与不屈的精神，虽然学生的思维是自由的，学习的内容是自主的，但由于紧扣主题，所以课堂教学活而不乱。 在整堂课的教学中，卢老师通过“以读带讲，以对话代讲”的方法，由疑导入，读中有悟。读，不是漫无目的，而是层层递进，一步步让学生抓住语言文字进行感悟，甚至细小到标点，其中有一个让我印象颇深：“了不起！你是一个真正的男子汉，一块会说话的钢板！你是一位军神！”在讲解这句的时候，卢老师并没有直接告诉学生可以用什么感情朗读，而是让学生自己从三个感叹号中体会朗读的语气，体会人物的坚韧不拔。整个过程非常注重学生自读、自悟，让学生在积极主动思维和情感中加深体验与理解，从而有所感悟，并且，在朗读中体现这种感悟。这堂课还有一个闪光点，在课堂上卢老师总是以不急不躁的教学态度对待每一个学生，使学生即使遇到再难以回答的问题时也能坦然面对，这不仅对培养学生的自信很有好处，还能建立良好的师生关系。 教师听课评课优秀评语8 一、教学设计思路清晰，知识由浅入深： 谆谆诱导，创设情景：引发学生思维，促进师生互动，课堂气氛活跃;引导学生归纳总结，体现教师主导，学生 主体地位，培养学生例子，解决问题的能力，较好体现新课程的“三 维目标”;教学过程逻辑性较强，教学思路严谨，作为一名新教师来说教学基本功较 扎实。 建议： 1、可以给学生更充分的时间讨论，适当控制教学节奏; 2、创设的例可以增加一些难度，更好训练学生的思维; 3、备课要考虑多种因素，上课要灵活(遇到例，可以让学生讨论)。 二、引课能跟生活实际相结合，引发学生讨论，激发学生学习兴趣并培养学生 合作精神;能创设例情景，引发学生思考讨论，促进师生互动，但应留有充分的时间 让学生动手、动脑，训练基本技能及培养学生的思维能力;教学设计思路较清晰，教学目标能体现课程标准的“三维目标”。 这是一节整合课，应充分利用网络的优势实现师生互动，成果分享，培养 学生数据的能力，在这一点上老师还应加强; 较成功的一节课。 教师听课评课优秀评语9 3月12日听了顾惠芳老师的《我的老师》一课，认为教师语言语调抑扬顿挫，普通话过硬，板书优美，基本功扎实，能循循善诱，逐步引导学生思考问题及分析事件与人物，解决讨论要点有成效。并注重学生的诵读能力、口头表达能力的培养，学生的学习习惯较好。 处理好智能培养与情感教育的关系，着眼于全面素质的落实。提高课堂教学效率的出路，在某种意义上来说，就在于真正发挥学生的主观能动性。因为学生在课堂上除了接受知识，还带着自身的情感。动机、需要等一并投入了课堂，他们是一个个活生生的个体。在课堂上，他们除教师评语了与教师交往以外，还有与同伴之间的相互交往。因此，学生课堂学习远不只是学习知识，还有提高自己的能力、学习审美情操、培养个性等。他们是把整个生命投入课堂的，这就要求教师能立足于生命的高度来看待课堂教学，要把学生良好的意志品格、群体工作合作能力、行为习惯及交往意识与能力等的培养也作为教学目标，并贯穿于整个教学过程，处理好智能培养与情感教育的关系，着眼于全面素质的培养和提高。 3月8日听了李春涛老师的《分式的加减法》，认为该课语言幽默、风趣，生动形象，着力于学生积极性的调动，引导学生动手、动口，注意矫正反馈，注重双基训练。 3月13日听了狄永伟老师的《鸟（专题）》一课，认为该专题内容丰富多彩，一定程度上积淀了学生的文学素养，学生参与多，课件精美，涉及知识范围广，开阔学生眼界，点面结合加练笔，让学生对鸟的认识逐步深入，效果较好。 处理好尊重教材与灵活处理教材的关系，做到源于教材，又不拘泥于教材。教材是落实教学大纲，实现教学计划的重要载体，也是教师进行课堂教学的主要依据。但教材内容和教学内容并不是等值对应。因为教学内容来自于师生对课程内容与教材内容及教学实际的综合加工，不仅包括教材内容，而且还包括了师生在教学过程中的实际活动的全部，教材内容只不过是教学内容的重要成分。况且，教材本身还有一个不断完善的过程。因此，在处理教材上，教师的任务在于用教材教学，而不只是教学教材。必须充分发挥自身的创造性，做到尊重教材与灵活处理教材相结合。

额这个真没有

初一数学是整个初中数学的基础，学生们一定要掌握扎实，我整理了一些重要的知识点。 整式的加减 1、单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式； 2、单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数； 单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数； 3、多项式：几个单项式的和叫多项式； 4、多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。 分数的加减法 1、通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形。约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一。 2、通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变。 3、一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。 4、通分的依据：分式的基本性质。 5、通分的关键：确定几个分式的公分母。 通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 6、类比分数的通分得到分式的通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 周长公式 常见的有以下几类： 1、长方形周长＝（长＋宽）×2，C=2(a+b) 2、正方形周长＝边长×4，C=4a 3、圆周长＝直径×圆周率，C=2π 面积公式 常见的有以下几类： 1、长方形面积＝长×宽，S=ab 2、正方形面积＝边长×边长，S=a² 3、三角形面积＝底×高÷2，S=ah/2 4、平行四边形面积＝底×高，S=ah 5、梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，S=1/2(a+b)h 6、圆形面积＝半径×半径×圆周率，S=πr 7、扇形面积＝半径×半径×圆周率×圆心角度数（n)÷360，S=nπr²/360 以上是我整理的数学知识点，希望能帮到你。

　　初三九年级上册数学的知识点归纳1 　　九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。本册书内容分析如下： 　　第21章 二次根式 　　学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。二次根式 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 　　在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： 　　注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。二次根式的乘除一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。 　　二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 　　第22章 一元二次方程 　　学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 一元二次方程。一元二次方程一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 　　本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， 　　22.2降次解一元二次方程一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 　　(1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了公式法以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 　　(2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程 的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 　　(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。 　　22.3实际问题与一元二次方程一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 　　第23章 旋转 　　学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。旋转一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。 　　23.1旋转一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。 　　23.2中心对称一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。 　　23.3课题学习 图案设计一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)，灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。 　　第24章 圆 　　圆是一种常见的图形。在圆这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。 　　24.1圆一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。 　　24.2与圆有关的位置关系一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明在同一直线上的三点不能作圆引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。 　　24.3正多边形和圆一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。 　　24.4弧长和扇形面积一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。 　　第25 章 概率初步 　　将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了概率一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。 　　25.1概率一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。 　　25.2用列举法求概率一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。 　　25.3利用频率估计概率一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。 　　25.4课题学习 键盘上字母的排列规律一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。 　　初三九年级上册数学的知识点归纳2 　　一、圆周角定理 　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 　　①定理有三方面的意义： 　　a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点 如何证明四点共圆 ) 　　b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧 　　c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半. 　　②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 　　二、圆周角定理的推论 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 　　推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径 　　推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 　　三、推论解释说明 　　圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。 　　①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个. 　　②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中” 　　③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件 　　④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理. 　　初三九年级上册数学的知识点归纳3 　　知识点一： 二次根式的概念 　　形如a(a0)的式子叫做二次根式。 　　注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)， 　　(x-1) (x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。 　　知识点二：取值范围 　　1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 　　2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。 　　知识点三：二次根式a(a0)的非负性 　　a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。 　　注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。 　　知识点四：二次根式(a) 的性质 　　(a)2=a(a0) 　　文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 　　注：二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a0，则 　　a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2. 　　知识点五：二次根式的性质 　　a2=|a| 　　文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 　　注： 　　1、化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即a2=|a|=a (a若a是负数，则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a (a﹤0); 　　2、a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义; 　　3、化简a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。 　　知识点六：(a)2与a2的异同点 　　1、不同点：(a)2与a2表示的意义是不同的，(a)2表示一个非负数a的算术平方根的平方，而a2表示一个实数a的平方的算术平方根;在(a)2中，而a2中a可以是正实数，0，负实数。但(a)2与a2都是非负数，即(a)20，a20。因而它的运算的结果是有差别的，(a)2=a(a0) ，而a2=|a|。 　　2、相同点：当被开方数都是非负数，即a0时，(a)2=a﹤0时，(a)2无意义，而a2=|a|=-a. 　　初三九年级上册数学的知识点归纳4 　　单项式与多项式 　　仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。 　　单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。 　　当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。 　　一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 　　如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项。 　　1、多项式 　　有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。 　　多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。 　　单项式可以看作是多项式的特例 　　把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。 　　在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。 　　2、多项式的值 　　任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。 　　3、多项式的.恒等 　　对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。 　　性质1如果fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。 　　性质2如果fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等。 　　4、一元多项式的根 　　一般地，能够使多项式fx的值等于0的未知数x的值，叫做多项式fx的根。 　　多项式的加、减法，乘法 　　1、多项式的加、减法 　　2、多项式的乘法 　　单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式。 　　3、多项式的乘法 　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加。 　　常用乘法公式 　　公式I平方差公式 　　a+ba—b=a^2—b^2 　　两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 　　初三九年级上册数学的知识点归纳5 　　一、等腰三角形 　　1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 　　2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 　　2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”） 　　3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 　　4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。 　　5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 　　6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证) 　　7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 　　3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 　　特殊的等腰三角形 　　等边三角形 　　1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。 　　（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 　　2、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。 　　⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。 　　⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 　　3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。 　　⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 　　⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 　　⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。 　　二、直角三角形全等 　　1、直角三角形全等的判定有5种： 　　（1）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（asa） 　　（2）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（sas） 　　（3）、三边对应相等的两个三角形全等；（sss） 　　（4）、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（aas） 　　（5）、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等；（hl） 　　2、在直角三角形中，如有一个内角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 　　3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 　　4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。 　　性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 　　判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 　　5、三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，交点为三角形的外心。 　　6、角平分线上的点到角两边的距离相等。 　　7、在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 　　8、角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 　　9、三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 　　10、三角形三条中线交于一点，交点为三角形的重心。 　　11、三角形三条高线交于一点，交点为三角形的垂心。 　　三、平行四边的定义 　　1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形， 　　2、性质：（1）平行四边形的对边相等,（2）对角相等,（3）对角线互相平分。 　　3、判定：（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 　　（2）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 　　（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 　　（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 　　（5）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 　　（6）一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。 　　两个假命题：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。 　　（2）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。 　　四、矩形 　　1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 　　2、性质：（1）具有平行四边形的性质，（2）对角线相等，（3）四个角都是直角。 　　（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 　　3、判定：（1）有三个角是直角的四边形是矩形。 　　（2）对角线相等的平行四边形是矩形。 　　五、菱形 　　1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 　　2、性质：（1）具有平行四边形的性质,（2）四条边都相等,（3）两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。（4）菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 　　3、判定：（1）四条边都相等的四边形是菱形。 　　（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 　　(3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。 　　六、正方形 　　1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 　　2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 　　3、判定：（1）有一个内角是直角的菱形是正方形； 　　（2）有一组邻边相等的矩形是正方形； 　　（3）对角线相等的菱形是正方形； 　　（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。 　　七、梯形定义： 　　一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 　　八、等腰梯形 　　1、定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 　　2、性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 　　3、同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 　　九、三角形的中位线 　　定义：连接三角形两边中点的线段。 　　性质:平行于第三边，并且等于第三边的一半。 　　十、梯形的中位线 　　定义：连接梯形两腰中点的线段。 　　性质:平行于两底，并且等于两底和的一半。

0.124=124/1000=31/250

其实初二下的数学很明显就比初一提升了至少一个level，至少在知识量和计算量两个方面。内容增多了，难度也增大了。 真正要说难点，几何方面就是三角形和平行四边形（每个版本不一样，北师大版中平行四边形属于初三的内容，但是绝大部分的学校都会在初二学期末的时候将这个部分讲完了）。在三角形中，除了要熟练掌握之前所学的三角形全等的方法以及勾股定理之外，要熟练掌握的就是等腰三角形的性质与判定，特殊直角三角形的一些结论以及中垂线和角平分线性质与判定。说起来三角形的部分就只有这些，但是这个部分考试时是全部结合起来的，因此需要熟练掌握。 三角形全等的判定是需要掌握的，在之前的基础上，又增加了直角三角形判定的方法（HL）：三角形的性质及判定（这个是重难点） ，其中“ 三线合一” 的表述要能够理解并进行熟练运用，很多题目中都会用到，另外还有等边三角形的性质以及判定：直角三角形的性质，在此前所学的勾股定理及其逆定理之外，又新增了其它的一些性质，尤其是 特殊三角形的性质 ，在做题时要熟练使用，可以使问题简化很多： 这是一般直角三角形所具有的性质： 45度角和30度角的特殊直角三角形的性质 ，这个完全没什么可说的，要熟练到看到相关的数字就会条件反射一样的想到它们：垂直平分线（中垂线）的性质及角平分线的性质：注意在这个地方会有尺规作图，即作出线段的垂直平分线和一个角的角平分线。同时还有一个延伸的知识点，即三角形三条边的中垂线的交点到三角顶点的距离都相等，这个交点叫做三角形的外心，是三角形外接圆的圆心，三角形三个角的角平分线的交点到三边的距离都相等，这个交点叫做三角形的内心，是三角形内切圆的圆心。上面就是三角形的部分，要说注意的地方，这些知识点都是注意的地方，很多题目的考点都是其中几个知识点的结合，单独考查某一个知识点的比较少。 而至于代数的部分，就是一元一次不等式和分式的乘除了。在一元一次不等式中，解法不是难点，只要会解一元一次方程，基本都不会有太大问题，重点在于解集的理解。 这一部分的重难点落在了分式的乘除部分，综合起来就是分式的化简了。这里面的因式分解是一个重难点，另外一个重点难就是分式的计算，中间涉及到因式分解，二次根式，约分通分，幂的运算，同时计算量比较大，要求计算能力过关，同时还需要细心和耐心，还要掌握一些常规的解题方法。 其实没必要纠结什么重难点，你要学得要，自然哪个部分都不怕，要是学得不好，整本书都是重难点。所以你只需要脚踏实地地做好每天的学习任务就好了。如果目前成绩不如意，那就自己再努点力就好，不要好高骛远。 初二数学相比初一，内容增多了，难度也增大不少。几何方面会重点学习三角形、全等三角形，等腰三角形，等边三角形，下册还会学习勾股定理，平行四边形的知识；代数方面会学习整式的乘法与因式分解，分式，二次根式，一次函数等知识。每一部分都是知识点众多，可以说占据了初中数学的半壁江山，学好初二数学的重要性由此可见一斑。 难点主要有这么几块，几何部分：1用全等的思想证明线段和角相等，一次不行两次全等；2全等条件判定的灵活使用，要善于发现题中隐含条件；3等腰三角形的性质（等边对等角，三线合一）与判定的结合全等三角形的几何题；4两条重要线（角平分线和垂直平分线）的性质与判定在几何题中的运用；5平行四边形及特殊平行四边形（矩形，菱形，正方形）性质与判定的综合运用；6直角三角形有关重要定理（30 角所对直角边等于斜边一半；斜边中线等于斜边一半，勾股定理及逆定理）的运用。 代数部分：1整式的乘法公式较多，包括（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，平方差公式、完全平方公式）的准确识别与熟练运用；2对因式分解的准确理解与使用最佳方法进行因式分解；3分式的约分、通分以及分式加减乘除混合运算与化简是难点；4零指数幂和负指数幂的理解和运算；5分式方程的解法及最后检验以及正确列分式方程解应用题；6对最简二次根式的理解与化简；7对函数概念的理解以及一次函数图像与性质的准确记忆和待定系数法求一次函数解析式8从实际问题中抽象出一次函数模型并用相关知识解决问题。 以上就是我总结出来的初二数学重难点知识，望同学们重点掌握。 三角形那章只要理解三角形三边关系，角平分线，中线，高的定义，内角、外角定理，直角三角形两锐角互余，多边形内角和公式即可，内容简单。 希望我的回答对你有帮助。 欢迎来到初中数学乐园！ 这个问题有些笼统，因为现在的版本不同，学的内容不同，自然重难点也就不同。现以八年级华师版来说一下，一共学10章内容：数的开方、整式的乘除、全等三角形、勾股定理、数据的收集和整理、分式、函数及其图像（一次函数反比例函数）、平行四边形、数据的整理和初步处理。 在这些内容中就是一次函数和反比例函数有些难，平行四边形的几何证明有难的。其他都是基础性的内容，记忆、理解、应用做题就是了。 对于三角形哪章，就是三角形的全等，四种判定方法，直角三角形有一种特殊的判定方法，从一开始按照课本的要求和进度，一种一种的学习，一种一种的练习，基础问题，记忆--理解---练习，就完全没有问题，在全等的证明中注意两个三角形的对应情况，要写在对应的位置，否则会不对应，就搞乱了。 总之，这样说一句两句也说不清楚，在具体的内容中才可以，详细的说明注意事项的。 一点拙见，欢迎批评指正。 #教育# 初二数学相比初一，知识内容有明显增加，在学生渐渐适应初中的学习基本模式上，代数部分的数学符号语言更多、内容更抽象。几何部分的逻辑推理证明要求更高、内容更广更多。概括地说初二学习的难点主要有两个：其一，数学知识的记忆储存，如何形成大脑中的知识体系？大凡觉得初二数学难的学生，都有一个共同点‘对所学过的知识，刚学完的印象清楚，之前学完的章节模模糊糊，在数学测验中一些评估双基的试题都觉得解答不了"。故首难就是记忆知识！许多人以为记忆知识很简单，记忆是人的天生能力，多看看书多做做题就能搞定。其实不然，每个人的记忆天赋有差异，就算你天赋最高，记忆信息的长度能达到8个字符以上，在面对海量的不断推陈出新的数学知识，也只能望洋兴叹！该怎么办呢？数学知识间有其内在的逻辑联系，这决定了学习者需要去找到这些逻辑联系。比如一元一次方程与一元二次方程之间的联系，你有思考过吗？后者因式分解后可以得到两个一元一次方程。又如一一元一次不等式、一元一次方程及一次函数，这三者之间的联系你考虑过吗？我称这类思考活动为知识的加工处理，更可以形象地称作：打上自己的烙印。在神话世界里，别人的法宝或法器要能为自己所用，必须要打上自己的烙印。在数学世界里也是如此，海量的数学知识是人类的公共财富，要想成为你自己的，须打上自己的烙印。在我所接触的初中生中普遍存在‘重视刷题，忽视知识的加工整理"现象。忽视或缺少知识的加工整理，感觉数学知识难记、记不住、记不准，这就不足为奇！其二，解题难。体现在练习题量大，解题速度慢。感觉数学难得初中生往往解题速度慢，出错率较高。事实上我们的学习过程分为新知学习、复习巩固、综合测验三个环节，数学的任何一章节都是这种循序渐进的学习模式。新知学习时学生往往翻书做题，练习题大都能做对，到了复习巩固阶段往往会出现新旧知识相结合的习题，学生的出错率会递增，最后到了综合测验，辐射的知识章节更多，完全可能出现一道综合题涉及到三个及以上章节的知识 ，需要准确调用这些知识方能得到解答。我对初二学生平时做练习的建议如下：不要为了做题而做题，要知道做题的真正目的——巩固知识、综合知识！有了这个认识，接下来就会去设计自己的练习策略。我的策略分享如下：耐心地先把所有作业练习题目都阅读一遍，将这些练习题分类‘基础知识基础能力类，简单综合类，复杂综合类"，基础类坚持不翻书闭卷做，综合类若已想不起所涉及的知识须停下来耐心地去查阅记忆。以上两难正是学生获得数学素养与数学能力的练兵场，解决两难的办法是有了，可功夫还得学生们自己去下！希望我的这两点见解能对您有所帮助！ 1.将知识串联起来，把基础打牢，定理公式多记忆 2.三个点，三条边，三个角。再加上几个特殊三角形。其实就这些东西 你不会的，就是难点；写在书上的，都是你要注意的。 作为大一的数学系学生，提及初二在脑海里已经是遥远的事情了。 总体来说，我那时的初中数学还算是比较简单的，它对于学生们的数学素养的要求还没有那么的高，更看重的应该是学生们对知识的接受能力和运用其去解决简单的问题。 但毕竟一切都会有所变化，我也了解到现在的初中数学也很灵活，角度也刁钻了许多。要说现在的初二数学难点在哪，我想更多方面是涉及一些抽象，不具体的知识点，那是的学生只有13.14岁，也没有过高的能力去解答难题。初二更多的还是要上课好好听讲，下课好好做题，中考不是很困难的。 而对于三角形这一章节的内容，更多的还是全等三角形和相似三角形以及三角形内特殊的点，如重心，中心，垂心等。能够利用判别三角形全等（相似）的判定定理来进行证明，然后得出一些角或边的关系，进一步解决题目。 总之，三角形要说难难就难在有它的一些心的性质以及在具体题目里有多个三角形公用角或边，从而给学生们解题带来很大的困扰，标记角和边都很乱，这就需要学生们仔细认真。就比如我当年中考压轴题，我记得很清楚是一道三角形的题目，许多三角形的那个角和边都在一个图形里，找着找着就乱完了，因此这是三角形里最容易困扰学生们的了。 最后，祝你学习进步，中考好好加油，只要你努力学习，难点终会被攻破的，加油！ 要灵活撑握全等相似三角形符合条件，也就是证明论证时的满足条件。 判断全等相似的条件，要和实际联系起来。

　含有未知数的等式叫方程。方程式对客观世界守恒的表达。

解答：（1）(a+b)(a-b)=a^2-b^2（2）(a+b)^2=a^2+2ab+b^2（3）(a-b)^2=a^2-2ab+b^2（4）(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3（5）(a-b)((a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

　　在实施素质教育的过程中，如何更有效地提高课堂效率已成为众多教师探索的问题。在数学课堂教学中，激发与引导学生的思维更是提高课堂效率的有效手段。那么，学生的思维是怎样发生的？思维是客观事物在人脑中概括和间接的反映，它是借助言语实现人的理性认识过程。亚里士多德说过：“思维从对问题的惊讶开始。”为了培养学生的思维能力，古今中外的教育家无不注重问题的设计。教师如何在教学过程中精心创设问题情景，诱发学生思维的积极性；如何卓有成效地启发引导，促使学生思维活动的持续发展，从而更有效地达到素质教育的要求。 　　 一、精心创设问题情境，诱发学生思维的积极性。 　　学习的兴趣和求知欲是学生能否积极思维的动力。要激发学生学习数学的兴趣和求知欲，行之有效的方法是创设合适的问题情境。在数学问题情境中，新的.需要与学生原有的数学水平之间存在着认识冲突，这种冲突能诱发学生数学思维的积极性。如分式的化简，可设计如下的诱发过程： 　　化简 　　大多学生对分式的加减运算都懂得先通分后加减。可问学生能否用其它方法对它进行化简。这一问题便激起了学生的兴趣，思维活跃起来，对该式进行观察、分析。原来可化为，从而达到了化简的目的。 　　教师在创设问题时，衡量问题情境设计的标准有两个：（一）有利于激发学生思维的积极性。（二）要直接有利于教学目的。 　　 二、启发引导，保持思维的待续性。 　　在合适的问题情境中，学生思维的积极性被充分调动起来，但怎样保持这种积极性，使其持续下去而不中断呢？ 　　1、要给学生思考的时间 　　数学学习是通过思考进行的，没有学生的思考就没有真正的数学学习，而思考问题是需要一定的时间的。值得研究的是，教师提出问题后，应该给学生多少思考时间。实验表明，思考时间若非常短，学生的回答通常也很简短，但若把思考时间延长一点时间，学生就会更加全面和较为完整的回答问题，这样，合乎要求和正确的回答率就会提高。当然，思考时间的长短，是与问题的难易程度和学生的实际水平密切相关的。目前在课堂学习中，教师提出问题后，不给思考时间，要求学生立刻回答。当学生不能立刻回答时，便不断重复他的问题，或者另外提出一些问题来弥补这个"冷场"。其实，这是干扰学生的思考，"冷场"往往是学生正在思考，表面冷静，实际上思维活动却很活跃。 　　2、启发要与学生的思维同步 　　教师提出问题后，一般要让学生先作一番思考，必要时教师可作适当的启发引导。教师的启发要遵循学生思维的规律，因势利导，循序渐进，不要强制学生按照教师提出的方法和途径去思考问题，喧宾夺主。 　　例如：初中学生在学习“三角形相似的判定”这一内容时，教师可选用如下的例题： 　　已知：BE和CF是△ABC的中线，它们相交于G， 　　求证： 　　有的教师没有认真揣摩学生的思路，图（一） 　　径直提出连结EF（如图一），强行让学生证明△EFG∽△BCG。这样，教师就可能脱离了学生的实际，没有与学生的思维同步，有经验的教师在备课时，认真揣摩学生的心理，估计学生可能发生的各种情况，先将不正确的思路排除，再将学生引入正途。对于这道例题，学生可能会去证明△BGF和△CGE相似，教师要让学生议论，先说明这两个三角形不一定相似，即使相似，也不符合求证的要求，这就为学生释去了疑虑，这时学生不须启发，学生也会利用E，F分别为AC、AB的中点的条件，想到连结EF。 　　3、要不断向学生提出新的教学问题 　　问题是教学的心脏，是教学思维的动力，且是思维的方向；数学思维的过程也就是不断地提出问题和解决问题的过程。因此，在数学课堂学习中，教师要不断地向学生提出新的数学问题，为更深入的数学思维活动提供动力和方向，使数学思维活动持续不断的向前发展。合适的数学问题必须符合下列条件： 　　①问题要有方向性。这是指问题要有明确的目的，要使学生的思维趋向于教学目标。 　　②问题的难度要适中。这是指问题不宜太难和太易，难易之间要有一定的坡度。 　　③问题要有启发性。有的教师往往把启发式误认为提问式，认为问题提得越多越好，其实，问题并不在多少，而在于是否具有启发性，是否是关键性的问题，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考。如图二：用一块打破成三块的三角形玻璃引入全等三角形的判定时，教师问：“若带I去，带去了三角形的几个元素？若带II去，带去了三角形的几个元素？若带Ⅲ去，带去了三角形的几个元素？”这就是一个极为关键性的 富有启发性的问题，它引起了学生的深入思考，并为学生学习用“角边角公理”奠定了基础。 　　总之，在课堂教学中，精心创设问题情境，激发与引导学生思维是能调动学生学习积极性，提高学习成绩的。

一. 仔细辨别词义 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义。如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分。例：“3除a”，“被3除得a”，“a与b两数的平方差”，“a与b两数差的平方”，分别为“3/a、3a、a2-b2、(a-b)2”。 二. 分清数量关系 要正确列代数式，只有分清数量之间的关系。如比m大3的数应为m+3；比一个数大3的数是m，则这个数为m-3；一个数是a的3位，这个数为3a；a是这个数的3倍，这个数为a/3。不要见多就加，见小就减，见倍就乘。 三. 注意运算顺序 列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，如a的2倍与b的3倍的差，为2a-3b，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来，如a与b的差的3倍，为3（a-b）。 四. 规范书写格式 列代数时要按要求规范地书写。像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带 分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号。注意代数式括号的适当运用。 五. 正确进行代换 列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换。

2a/xyay/3x^2最简公分母：3x^2y2a/xy=6ax/3x^2yay/3x^2=ay^2/3x^2y

解:27.31-(8.9-2.69)=27.31-8.9+2.69=27.31+2.69-8.9=30-8.9=21.1，这是最简单的计算方法。请参考，希望对你有帮助。含有未知量的等式就是方程了，数学最先发展于计数，而关于数和未知数之间通过加、减、乘、除和幂等运算组合，形成代数方程：一元一次方程，一元二次方程、二元一次方程等等。然而，随着函数概念的出现，以及基于函数的微分、积分运算的引入，使得方程的范畴更广泛，未知量可以是函数、向量等数学对象，运算也不再局限于加减乘除。方程在数学中占有重要的地位，似乎是数学永恒的话题。方程的出现不仅极大扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对后来整个数学的进展产生巨大的影响。特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关。中学阶段接触到方程基本都在这个范畴，方程中的未知数，可以出现在方程中的分式、整式、根式以及三角函数、指数函数等初等函数的自变量中。在中学阶段遇到方程求解问题，一般地，可将方程转换为整式方程；一般都是转换为一元二次方程，或者多元一次方程组的求解问题。区别于上述方程，方程中的未知量是函数本身，而非函数的自变量；运算涉及到加减乘除以及函数复合。针对函数方程的求解问题，还没有统一的理论和一般的方法。自从数学从常量数学转变为变量数学，方程的内容也随之丰富，因为数学引入了更多的概念，更多的运算，从而形成了更多的方程。其他自然科学，尤其物理学的发展也直接提出了方程解决的需求，提供了大量的研究课题。

基础要打好。掌握正确学习方法，学懂原理理论知识，多做练习题，多思考。

1.m/-m-n=-m/m-n 2.a+x/b+x=a+1/b+1 3.1/x=3/2x+1

aaaa

三个分数的乘除法一般都是把除法变乘法，然后将三个分数的连乘算式里能约分的先约分，再把所有的分子相乘作分子，分母相乘作分母，最后结果是假分数的要化成带分数。

分式的化简求值主要分为三大类： 1、所给已知值是非常简单的数值，无须化简或变形，但所给的分式却是一个较复杂的式子。如： 例1、先化简、后求值： ，其中x=3。 分析：本题属于“所给已知值‘x=3"是非常简单的数值，无须化简或变形，但是，所给出的分式‘ "却是一个较复杂的式子”的类型，所以在求值前只需要将“所给分式进行化简后，再把已知值代入化简后的式子便可求出原式的值。 解：原式= ∴当时x=3，原式= 。 点评：分式的乘除法运算或化简应该先将能分解因式的分子、分母进行因式分解，然后再进行约分，达到计算或化简的目的。 2、所给已知值是一些比较复杂甚至是非常复杂的数值，但所给的分式却是一个非常简单的式子。如： 例2、当时a2b+ab2-5a2b2=0，求 的值。 分析：本题就属于“所给已知值‘a2b+ab2-5a2b2=0"是一些比较复杂的数值”，而“所给的分式‘ "却是一个非常简单的式子。因此，在求值前只需要将“所给已知值‘a2b+ab2-5a2b2=0" 进行化简或变形后，再代入所给分式中便可求值” 。 解法一：既然要求分式 的值，说明分母ab≠0，否则分式 没有意义。 ∴在式子a2b+ab2-5a2b2=0的两边同时除以a2b2， 得 ，即，∴ 。 解法二：既然要求分式 的值，说明分母ab≠0，否则分式 没有意义。 ∵a2b+ab2-5a2b2=0，∴ab(a+b-5ab)=0，则a+b-5ab=0，即a+b=5ab，当a+b=5ab时，原式 。 点评：求一个分式的值，往往只要利用分式的性质“ ”或称之为约分的方法而求得。 例3、已知：x2-7x+1=0，求 的值。 分析：本题在题型上与“例2”基本相同，但解题的方法略有不同。 解：既然要求分式 的值，说明分母x≠0，否则分式 没有意义。 在x2-7x+1=0的两边同除以x，得： ，则有 ，即x-7+ =0，∴x+ =0 。 点评：通过变形，将已知式子转化为所要求值的式子而自然地得到所求分式的值是分式求值题一个重要的解题方法。 3、所给已知值是一些比较复杂甚至是非常复杂的数值，化简或变形后更有利于准确地求出所给分式的值，不仅如此，而且所给的分式也是一个较复杂的式子。如： 例4、已知： 求 的值。 分析：本题属于“所给已知值 是比较复杂的数值，变形后更有利于准确地求出所给分式 的值，不仅如此，而且所给的分式 也是一个较复杂的式子”。因此，先将 进行变形，可得x-y=-3xy，再将所给式子 进行变形，可得 = ，然后将已知式子变形后的式子代入，便得到了所要求的式子的值。 解：∵ ，∴x≠0，y≠0，则xy≠0。 ∴在 的两边同时乘以xy，得：y-x=3xy，即x-y=-3xy， 又∵ ， ∴当x-y=-3xy时，原式 。 注意：本题也可以把它看作是上述第1种类型的题目来解，解法如下： ∵ ，∴x≠0，y≠0，则xy≠0．在的 分子、分母同时除以xy，得： ∴当 时，原式 。 点评：由本题的两种解法可以看出，不同的变形思路会带来繁、简不同的求值过程。 总之，在分式的化简求值过程中，特别应该讲究的是化简求值过程中的方式方法、技能技巧，当然，无论是“方式方法”也好，“技能技巧”也罢，其关键还在于“基础知识”的掌握。如果“基础知识”的掌握是非常过硬的，那么在分式的化简求值过程中就能够将相关的“方式方法”、“技能技巧”运用自如，自然，在“基础知识”、“方式方法”、“技能技巧”的运用方面有了一定程度的能力的时候，如果能够再通过一定题量来进行训练的话，那么分式化简求值中的“方式方法”、“技能技巧”的运用就“如虎添翼”、“熟能生巧”，反之，一切皆为空谈。请采纳。

　　七年级上册数学整式课件1 　　 教学目标: 　　 知识与技能: 　　1、理解单项式、单项式的系数、单项式的次数的概念； 　　2、能判断一个代数式是否为单项式； 　　3、会指出单项式的系数、单项式的次数。 　　 过程与方法 : 通过单项式、多项式和整式的概念，知道他们与代数式之间的关系和区别。 　　 情感态度与价值观 : 经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程，发展符号感。 　　 教学重点: 单项式、单项式的系数、单项式的次数的概念。 　　 教学难点: 单项式、单项式的系数、单项式的次数的概念。 　　 教学用具 : 电脑， Powerpoint幻灯片， 实物展示台 　　 教材分析: 人们对具体事物的认识，一般要经历从具体到抽象，在从抽象到具体，不断往复，逐步提高的过程。本节中，整式的概念、单项式的概念和次数，既是由数到式的抽象与升华，又是以后学习同类项，整式加减，乘除等知识的基础。同时也为以后学习分式运算、一次方程和函数等知识奠定了基础。另外，通过以往学习的经验，学生对单项式、单项式的系数、单项式的次数等概念的理解和掌握都有一定的难度。更重要的是通过单项式的系数的不同表现形式的教学，培养学生的符号意识和有条理地思考和语言表达能力 。 　　 教学方法 : 讲练结合法 　　 教学过程设计 　　设问题情景 　　活动1：（出示幻灯片） 　　请根据下列情境书 写代数式： 　　1、一辆汽车以60千米/时的速度行驶了c千米，则这辆汽车的行驶时间为______小时。 　　2、长方形的长为m，宽为n，则两个这样的长方形的面积是______。 教师出示幻灯片，学生思考，然后回答。 　　学生回答： 或 都正确，教师充分给予肯定。 　　学生解答，教师点评，并给予鼓励。 运用贴近学生生活的实例激发学生探究的兴趣。感受代数式的实际背景。同时启迪学生实际生活离不开数学。 　　3、电冰箱包装箱的形状是长方体，如果包装箱的底面形状是边长为a米的正方形，包装箱的高为h米，那么它的体积是______米3。 　　4、x的立方的相反数是______。 　　引入新课 　　我们看， 是 和 的积， 时2、m、n的积， 是a2与b的积， 是 与x3的积，他们都是数字与字母的积， 这样的代数式叫做单项式。 教师给出单项式的概念，引导学生理解概念。 　　学习单项式的定义。 　　通过讨论，让学生体验获得数学知识的感受。 　　讲授新课 　　请同学们分析一下， 是单项式吗？ 是单项式吗？ 　　请同学们分析x-y，x+y是单项式吗？  师生讨论，因为 可以看作 ，是 和 的积，所以是单项式，但是 是s与t的商，所以不是单项式。 　　总结：单项式的分母不允许出现字母。 　　师生讨论，他们是和、差不是积，所以不是单项式。 　　总结：单项式中只能由乘法运算，不能有其他运算。 激发学生热爱科学勇于探索的精神。 　　做一做 　　例1 下列各代数式是不是单项式？ 　　⑴ ；    ⑵ ； 　　⑶ ；       ⑷ 。 　　解：（略） 学生讨论给出答案，教师点评，并给予鼓励。 深化对单项式定义的理解。 　　探究活动一 　　单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 　　比如，2mn中2是数字因数，所以，这个单项式的系数是2。 　　请指出下列各式的系数： 　　教师举例。 　　学生解答，教师点评。 　　学生讨论，教师指导。 　　学习单项式的系数的定义。培养学生有条理的语言叙述能力。通过实例，认识系数。加深对系数的理解。同时增强符号感。 　　“1”省略不写。 　　是数不是字母。 　　分数系数可以变形。 　　探究活动二 　　单项式中所有字母的次数的和叫做单项式的次数。 　　教师和学生共同探讨 总结，学生复述。 　　学习单项式的次数的定义。 　　比如 中a的次数是2，b的次数是1，所以， 的次数是3。 教师举例，引导学生得出结论。 通过实例，认识次数。 　　请同学们说出下列单项式的次数： 　　学生回答，教师点评。 加深对次数的认识。 　　a的次数是0 吗？ 学生 讨论，教师点评。 当指数为1时省略，不是没有。 　　做一做 　　例2 请指出下列各单项式的系数和次数： 　　⑴ ；⑵ 。 学生解答，教师点评，并给予鼓励、在此，应重点关注符号。 加深对系数、次数的理解。 　　回顾与反思 　　活动4 　　1、什么是单项式？ 　　2、单项式的系数有哪些特殊的变化方式？ 　　3、没写指数的字母的指数是多少？ 　　学生总结，教师点评并给予鼓励。 　　整理单项式的有关概念。 　　巩固 　　1、 请同学们做课后练习（P173）第1、2题。 　　2、 作业：(p173) 第1、2题。 　　3、 复习巩固本节知识，并预习下一节。 学生解答，教师巡视。 巩固练习。 　　课堂反馈 　　课堂检查：（小测试试卷） 　　综合考查，学以致用。 锻炼学生综合运用知识，独立解决问题的能力。 　　板书设计: 　　6、 1、 1    整 式 　　1、单项式的概念： 　　注意：（1）单项式的分母不允许出现字母。 　　（2）单项式中只能有乘法运算，不能有其他运算、 　　2、单项式的系数和系数： 　　注意：（1）符号不能丢； 　　（2） 系数和次数是1时省略不写。 　　教学反思：本节从一组学生熟悉的生活中的具体问题出发，通过列代数式，既复习了旧知识，又为单项式概念的学习作好了铺垫，符合七年级学生的认知规律。同时，学生 经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程，发展了符号感。培养了学生的符号意识。在教学过程中，教师还注重培养了学生有条理地思考和语言表达能力。但在系数和指数的强化训练方面还有待加强。 　　七年级上册数学整式课件2 　　 一、教材分析 　　本节课内容属于“数与代数”领域，是在学习了用字母表示数、简单的列式表示实际问题中的数量关系和简易方程的基础上，进一步研究用含有字母的式子（整式）表示实际问题中的数量关系.整式是初中数学的重要概念，是今后学习分式、二次根式、方程以及函数等知识的基础。用含有字母的式子表示数量关系，经历由数到式的过程，体现由特殊（具体）到一般（抽象）的数学思想，对发展符号意识有非常意义。 　　本节课的核心内容是进一步理解用字母表示数的意义，正确分析实际问题中的数量关系并列式表示。由于字母表示数，因而字母可以和数一样参与运算，这正是理解用整式表示数量关系的核心。用含有字母的式子表示数量关系时，需结合具体的情境，分析问题中的数量，寻找数量之间的关系，并依据数量关系用运算符号把数和表示数的字母连接起来。 　　 二、学情分析 　　在前面的学习中，主要学习的是数的有关概念和运算学生习惯用书的相关知识解决实际问题。由“数”到“式”的过程，是一个抽象的过程。虽然小学学过用字母表示数，但是七年级学生符号意识薄弱，分析问题能力有待提高。在具体的问题情境中，对于如何分析问题、寻找相关数量、确定数量之间的关系、用数学符号表达数量关系，学生会感到困难。再者我校学生基本素质不高，应在学生自主预习的基础上留有充分时间思考，讨论。 　　 三、教学目标 　　（1）进一步理解字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系； 　　（2）经历用含有字母的式子表示实际问题数量关系的过程，体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识。 　　 三、教学重点 　　进一步理解字母表示数的意义，正确分析实际问题中的数量的关系，并用含字母的式子表示数量关系感受其中“抽象”的数学思想。 　　 四、教学难点 　　正确分析实际问题中的数量关系，用式子表示数量关系 　　 五、教学过程 　　（一）创设情景 　　展示青藏铁路的一张图片，感受那里寒冷的天气引出青藏铁路冻土地段的行程问题 　　师：同学们有谁去过西藏吗？你听说过青藏铁路吗？青藏铁路是世界上线路最长、海拔最高的高原铁路。 　　设计意图：吸引学生注意力，激发学生自豪感。引出课题。 　　（二）初步感受 　　问题：青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段、列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h、列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程. 　　（1）2 h行驶多少千米？3 h呢？t  h呢？ 8 h呢？ 　　（2）如果用v表示速度，列车 t  h 行驶的路程是多少？ 　　（3）回顾以前所学的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 　　师生活动：学生独立回答后在教师引导下归纳：字母可以表示数用来表示数 　　注意：（1）数与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“· ”或省略不写; （2）数与字母相乘时数字在前； 　　设计意图： 　　学生通过范例感受字母可以表示数，字母可以参与运算，进一步激发学生思考我们以前还学习过哪些这样的字母表示的运算律。使学生加深对公式和运算律的理解并通过对比使学生充分感受字母表示数的优点。 　　（三）重难点突破 　　问题:怎样分析数量关系，并用含有字母的式子表示数量关系呢？ 　　例一 　　（1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价； 　　（2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量； 　　（3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是h cm，用式子表示它的体积； 　　（4）用式子表示数n的相反数. 　　解：（1）现价是每千克0.8p元； 　　（2）去年的产量是mn件； 　　（3）包装盒的体积是：a·a·h cm3 即a2h  cm3 　　（4）数n的相反数是－n 　　师生活动：学生先思考，然后和同桌交流，学生代表板演展示，再有学生互评。 　　设计意图：熟悉用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系，理解字母可以像数一样参与运算，为形成单项式的概念做铺垫。 　　例二 　　（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度； 　　（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数； 　　（3）如左下图（图中长度单位：cm）,用式子表示三角尺的面积； 　　（4）右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积。 　　解：(1)顺水行驶和逆水行驶的速度分别是（v+2.5）km/h, 　　(v-2.5)km/h； 　　(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要（3x+5y+2z）元； 　　（3）三角尺的面积（单位：cm2）为（1/2 ab-∏r2）cm2 　　(4)这所住宅的建筑面积（单位：m2）为（x2+2x+18）元. 　　师生活动：教师引导下各个击破。 　　师生共同归纳：字母可以和数一样进行运算 　　注意：（3）带单位时，适当加括号. 　　（4）除法写成分数的形式。 　　设计意图： 　　进一步熟悉用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系，体会字母的含义，进一步理解字母可以象数一样进行运算，为形成多项式的概念进行铺垫。 　　例三 　　观察下列各式：x ,2x2,3x3,4x4，… ， 　　按此规律，第n个式子是              。 　　师生活动：学生通过观察，分析，归纳发现规律，并用含字母的式子表示一般结论。 　　设计意图：进一步理解字母表示数的意义，理解用含有字母的数学式子表示实际问题中的数量关系的简洁性、必要性和一般性。 　　（四）巩固提升 　　问题：你能给以上这些式子赋予新的含义吗？ 　　师生活动：教师举例说明比如：如果p表示我们班的人数，我们班80%的同学喜欢上数学课，那么0.8p 就可以表示我们班喜欢数学课的人数。学生思考、交流后发言 　　五、练习检测 　　（1）5箱苹果重m kg，每箱重          kg ； 　　（2）一个数比a的   倍小5，则这个数为                  ； 　　（3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则女生人数是                 ，男生人数是            ； 　　（4）某校前年购买计算机 x 台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，则学校三年共购买计算机                               台； 　　（5）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共               本； 　　（6）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字b，则这个两位数为                  . 　　师生活动：学生板演，师生共同评价总结注意（5）带分数化假分数 　　设计意图：进一步提高用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系的能力。 　　六、小结作业 　　小结（1）本节课学了哪些主要内容？ 　　（2）为什么用字母表示数？ 　　（3）用含有字母的式子表示数量关系时要注意什么？ 　　设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容。

（1）（-4，4） 12（*2）（3，-3）求采纳

1 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长 S面积 a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 长度单位换算1千米=1000米 1米=10分米1分米=10厘米 1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升

增根通常出现在带根号的等式中.这类等式解时通常要进行平方,于是出现增根.增根代表着在复数范围内方程的解,而通常方程解要求为实根,于是要舍去增根.

初三学习的知识是初中三年学习的汇总，为了方便大家更好地复习，数学好教师整理了初三数学关于圆的知识点，希望对大家的学习有所帮助。1.不在同一直线上的三点确定一个圆。2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交 d②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d>r13.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r③.两圆相交 R-rr)④.两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦22.定理 把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形23.定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n25.定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长27.正三角形面积√3a/4 a表示边长28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=429.弧长计算公式：L=n兀R/18030.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/231.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)32.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等34.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径35.弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

1.分解因式 2.解分式方程 3.分式化解 4. 锐角三角函数 5。实际应用题 6。规律探究题 7。新运算题 8.表格信息题 9.解不等式（组） 10.分析说明题 11.统计与概率的计算 12.分类讨论题 13.与圆有关的合体 14.图形的变换 15.图形的位似 16.图形的相似 17.解直角三角形 18.四边形与多边形 19.方程与函数题 20.数形结合 21.探究性与开放性题目

解方程： 1 2-x = 1 x-2 - 6-x 3x2-12 ．初中数学解分式方程解答方程变形为：- 1 x-2 = 1 x-2 - 6-x 3(x-2)(x+2) ，方程两边都乘以3（x-2）（x+2）得：-3（x+2）=3（x+2）-（6-x），解得：x=- 6 7 ，检验：把x=- 6 7 代入3（x-2）（x+2）≠0，∴x=- 6 7 是方程的解，原方程的解是x=- 6 7 ．

一、基本知识一、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。幂的运算：AM+AN=A（M+N） （AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式两条：平方差公式/完全平方公式整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。分式的运算：乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。加减法：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。B、方程与不等式1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用5）一元一次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diao ta”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）2、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C<B*C（C<0）如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 3、函数变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。②当B=0时，称Y是X的正比例函数。一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。二空间与图形A、图形的认识1、点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。视图：主视图，左视图，俯视图。多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。2、角线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出2点。垂直平分线定理：性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上正方形：一组邻边相等的矩形是正方形性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形一、常用数学公式公式分类 公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。例如:设方程A(x)=0是由方程B(x)=0变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果x=a是方程A(x)=0的根但不是B(x)=0的根,称x=a是方程的增根;如果x=b是方程B(x)=0的根但不是A(x)=0的根,称x=b是方程B(x)=0的失根.

阅读与思考用正负数表示加工允许误差数学教师教学用书有理数的加减法。《初中数学》内容简介：作为一名具有丰富心理学、教育学、课程与教学理论知识的研究人员，李亦菲博士在本次基础教育课程改革中，参与了课程标准编制、实验教材编写、教学资源开发、评价与考试制度改革、学科教师培训、学校制度建设和管理等多方面的研究和实践工作，并长时期关注“三维目标统整”这一核心理念的理论基础以及操作落实问题。2007年9月以来，李亦菲进入中央教育科学研究所博士后工作站，与我合作攻克这一重要的理论与实践难题。代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论。解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程。

锐角三角函数的定义(1)正弦函数(Sine)：(2)余弦函数(Cosine)：        (3)正切函数(Tangent)：(4)余切函数(Cotangent)：               (5)正割函数(Secant)：(6)余割函数(Cosecant)：             30º，45º及60º的特别角三角函数值 函数 角度θsinθcosθtanθcotθsecθcscθ2112任意角三角函数的定义令，则    0º，90º，180º及270º的六个三角函数值角度θ函数90º180º270º90º180º270ºsinθ0101101cosθ1010010tanθ0无意义0无意义无意义0无意义cotθ无意义0无意义00无意义0secθ1无意义1无意义无意义1无意义cscθ无意义1无意义11无意义1余角公式 负角公式                       补角公式                                           三角恒等式(1)平方关系(2)倒数关系(3)商数关系                   三角函数的值域与周期 函数值的范围（值域）周期三角函数是周期函数的缘由sinx2πcosx2πtanx任意实数πcotx任意实数πsecx或2πcscx或2π正余弦复角公式设α,β为任意二角，则和角的余弦公式差角的余弦公式和角的正弦公式差角的正弦公式                                          正切复角公式和角的正切公式差角的正切公式两倍角公式(1)(2)(3)三角形的面积公式在△ABC中，若以a,b,c分别代表的对应边，表△ABC的面积，则  正弦定理△ABC中，若以a,b,c分别代表及的对应边，R为△ABC的外接圆半径，则                             余弦定理                             Heron定理(海龙公式)已知△ABC的三边长分别为a,b,c，且令，表△ABC的面积，则坐标几何一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是(0,0)，称为原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。　　一条直线可以用方程式y＝mx＋c来表示，m是直线的斜率（gradient）。这条直线与y轴相交于(0,c)，与x轴则相交于(–c/m,0)。垂直线的方程式则是x＝k，x为定值。　　通过(x0,y0)这一点，且斜率为n的直线是y–y0＝n(x–x0)一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为–1/n。通过(x1,y1)与(x2,y2)两点的直线是y＝(y2–y1／x2–x1)(x–x2)＋y2　　x1≠x2若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于tanθ＝m–n／1＋mn半径为r、圆心在(a,b)的圆，以(x–a)2＋(y–b)2＝r2表示。三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a,b,c)的球，以(x–a)2＋(y–b)2＋(z–c)2＝r2表示。三维空间平面的一般式为ax＋by＋cz＝d。三角学边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦（sine）、余弦（cosine）、正切（tangent）、余割（cosecant）、正割（secant）和余切（cotangent）。sinθ＝b/c　　cosθ＝a/c　　tanθ＝b/acscθ＝c/b　　secθ＝c/a　　cotθ＝a/b若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。a＝cosθ　　　　b＝sinθ依照勾股定理,我们知道a2＋b2＝c2。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式：cos2θ＋sin2θ＝1三角恒等式根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式（identity）：tanθ＝sinθ/cosθ，cotθ＝cosθ/sinθsecθ＝1/cosθ，cscθ＝1/sinθ分别用cos2θ与sin2θ来除cos2θ＋sin2θ＝1，可得：sec2θ–tan2θ＝1　　及　　csc2θ–cot2θ＝1对于负角度，六个三角函数分别为：sin(–θ)＝–sinθ　csc(–θ)＝–cscθcos(–θ)＝cosθ　　sec(–θ)＝secθtan(–θ)＝–tanθ　cot(–θ)＝–cotθ当两角度相加时，运用和角公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ–sinαsinβtan(α＋β)＝tanα＋tanβ／1–tanαtanβ若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式：sin2α＝2sinαcosα　sin3α＝3sinαcos2α–sin3αcos2α＝cos2α–sin2α　cos3α＝cos3α–3sin2αcosαtan2α＝2tanα／1–tan2αtan3α＝3tanα–tan3α／1–3tan2α二维图形下面是一些二维图形的周长与面积公式。圆：半径＝r　　　　直径d＝2r圆周长＝2πr＝πd面积＝πr2　(π＝3.1415926…….)椭圆：面积＝πaba与b分别代表短轴与长轴的一半。矩形：面积＝ab周长＝2a＋2b平行四边形（parallelogram）：面积＝bh＝absinα周长＝2a＋2b梯形：面积＝1/2h(a＋b)周长＝a＋b＋h(secα＋secβ)正n边形：面积＝1/2nb2cot(180°/n)周长＝nb四边形（i）：面积＝1/2absinα四边形（ii）：面积＝1/2(h1＋h2)b＋ah1＋ch2三维图形以下是三维立体的体积与表面积（包含底部）公式。球体：体积＝4/3πr3表面积＝4πr2方体：体积＝abc表面积＝2(ab＋ac＋bc)圆柱体：体积＝πr2h表面积＝2πrh＋2πr2圆锥体：体积＝1/3πr2h表面积＝πr√r2＋h2＋πr2三角锥体：若底面积为A，体积＝1/3Ah平截头体（frustum）：体积＝1/3πh(a2＋ab＋b2)表面积＝π(a＋b)c＋πa2＋πb2椭球：体积＝4/3πabc环面（torus）：体积＝1/4π2(a＋b)(b–a)2表面积＝π2(b2–a2)

充分的数学学习兴趣是中学生学好数学的基础，可以使学生学得生动活泼、兴味不衰。通过创设趣味性的问题情景，增强学生的注意力，调动学生学习的主动性和积极性，每堂课开始，由于课间活动，学生的注意力往往不够集中，还没有完全从课间的喧闹中转移过来，学习主动性比较低。针对学生这一心理精心设计富有情趣的导入。下面专门分享了一份关于初中数学重要的基础知识和公式定理,希望父母可以为孩子收集,情况查缺补漏，将没有吃透的知识点加以巩固，相信对成绩的提升将会有很大的帮助。小编希望，每位同学，都能够从自己最薄弱的学科入手，毕竟，“短板效应”在学习甚至是高考中，都是很关键的。其实，对于初中生而言，掌握学习方法，明显要比"题海战术"的提分效果明显的多！

这样是不行的记是应该的关键还是理解

分母不能为零，logn中的n不为零，a^n中n不为零，m(向量a+向量b)=m向量a+m向量b(m不为0）

分析法两个根号都是增函数因此没有最大值x=1时最小值为y=2

函数的最值求解 一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值 二、判别式法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于Fx 的二次型 由于 为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值.但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回） 三、单调性法： 如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界无下界或只有下界无上界），可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域，从而求得函数的最值. 四、均值不等式法：若、∈，＋=，=.当是定值，则当且仅当=时，有最小值；当是定值，则当且仅当=时，有最大值. 五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换.如：＋ =（＞），可令；＋≤（＞），可令 （）； －=，可令等. 六、数形结合法：将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，也是解决最值问题的一种常用方法. 七、巧设坐标法：对于无理函数最值的求解，可利用直角坐标系中的某些特殊点的位置加以解决.八、利用复数的模：将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复数模的不等式，也是解决某些无理函数最值的有效方法.但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数.

如何求函数的最小值

如何求函数的最小值

分式函数求定义域,即使分母不为零,建立不等式,可结合图象求解直接应用函数奇偶性的定义进行判定,判定时需要先求定义域先对函数关系式进行化简,可因式分解成与分母约分后可转化成关于的二次函数求值域解:由得,(分)解得,所以的定义域为,且,(分)因为的定义域关于原点对称,且,所以是偶函数.(分)当,,,即(分)(分)当时,取最大值;当时,的最小值函数的最大值最小值本题考查了函数的定义域,奇偶性以及函数的值域.

常见的求最值方法有:1.配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.2.判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性,再求最值.4.利用均值不等式,形如的函数,及,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立.5.换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值.还有三角换元法,参数换元法.6.数形结合法形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值.求利用直线的斜率公式求形如的最值.7.利用导数求函数最值.

一.求函数最值常用的方法 最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点,它涉及到高中数学知识的各个方面,解决这类问题往往需要综合运用各种技能,灵活选择合理的解题途径,而教材中没有作出系统的叙述.因此,在数学总复习中,通过对例题,习题的分析,归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程. 常见的求最值方法有: 1.配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值. 2.判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验. 3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性,再求最值. 4.利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立. 5.换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值. 还有三角换元法,参数换元法. 6.数形结合法 形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值. 求利用直线的斜率公式求形如的最值. 7.利用导数求函数最值

(a^2+b^2)(c^2+d^2)　(a,b,c,d∈R) 　　=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2 　　=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2 　　=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2 　　≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.

由于方程x²y-x+y=0是由分式函数变换得到的，那么x一定是有解的（就是定义域），△≥0的意思是使x有解的y的取值范围，△>0相当于给定一个y，有两个x对应这个y，△=0相当于只有一个x能够对应这个y

先求出导数在令导数为零，求出x，在根据题目给出的条件看x是否包含在里面，最后将x的值带入原函数，求出最值

呵呵，这个你可以问百度试试看

如果导数也觉得麻烦的话，可以考虑找特殊点做出图像，当然选取的点要有代表性才能较真实的反应图像

算术平均大于等于几何平均，a+b>=2*sqrt(ab)所以6x+(37000/x)>=2*(6x*37000/x)^(1/2)= 2*sqrt(222000).学过高数的话，就用求导，y"=6-37000/x^2=0,最值在x=sqrt(37000/6)处取到。

如z=x+1/y+2这个怎么求? 1 先求1/z=(y-(-2))/(x-(-1)) 这是可行域内的动点P(x,y)到平面内的定点（-1,-2）的斜率的范围 2 将此范围B再代到1/z中去求出z的范围；

这是函数的最值问题，高一学的。【==新学校作业一直很坑爹的】额，你这是2个问题么.....第一个问题的用到基本不等式，也是高一学的y=x^2+(2/x)^2+1=x^2+4/(x^2)+1设x^2=t,则t大于等于0y≥2√4+1=5所以，最小值为5无最大值。第二题设1/x=t,则y=t^2+(1/t)^2-1≥2√1-1=1所以，最小值为1，无最大值。

常见的求最值方法有:1.配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.2.判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于,0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性,再求最值.4.利用均值不等式,形如的函数,及,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立.5.换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值.还有三角换元法,参数换元法.6.数形结合法形如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值.求利用直线的斜率公式求形如的最值.7.利用导数求函数最值.

最小值是当x=4/x时,此时x=2,最小值为y=4