导数的公式

（x∧2-1）有括号也一样，（x∧2-1）的导数是2x我认为你2xInx中间这个x应该是乘号吧？不然就该和分母约分了。F"(X)=2+[2/x*(x^2-1)-2lnx*(2x)]/（x∧2-1）^2，化简一下即可x的一次项求导得一个数，x的0次项（即常数项）求导为0，只有中间那项求导麻烦点。分子分母都有x，分式求导公式：(v/u)"=(v"*u-v*u")/u^2

有很多的同学是非常的想知道，导数公式及运算法则是什么，我整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！1 基本初等函数的导数公式 1 .C"=0(C为常数); 2 .(Xn)"=nX(n-1) (n∈Q); 3 .(sinX)"=cosX; 4 .(cosX)"=-sinX; 5 .(aX)"=aXIna (ln为自然对数) 特别地，(ex)"=ex 6 .(logaX)"=(1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1) 特别地，(ln x)"=1/x 7 .(tanX)"=1/(cosX)2=(secX)2 8 .(cotX)"=-1/(sinX)2=-(cscX)2 9 .(secX)"=tanX secX 10.(cscX)"=-cotX cscX 导数的四则运算法则： ①(u±v)"=u"±v" ②(uv)"=u"v+uv" ③(u/v)"=(u"v-uv")/ v2 ④复合函数的导数 [u(v)]"=[u"(v)]*v" (u(v)为复合函数f[g(x)]) 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。 导数是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。 1 导数的求导法则 由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下： 1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。 2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。 3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。 4、如果有复合函数，则用链式法则求导。 高阶导数的求法 1．直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 一般用来寻找解题方法。 2．高阶导数的运算法则：

方法如下，请作参考：

lny=sinxlnx对x求导(1/y)*y"=cosx*lnx+sinx*1/xy=x^sinx所以y"=x^sinx*(cosx*lnx+sinx/x)扩展资料：导数的计算计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

指数函数的求导公式：(a^x)"=(lna)(a^x)，实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。 推导过程 指数函数的求导公式：(a^x)"=(lna)(a^x) 求导证明： y=a^x 两边同时取对数，得：lny=xlna 两边同时对x求导数，得：y"/y=lna 所以y"=ylna=a^xlna，得证 对于可导的函数f(x)，x↦f"(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。 导数的求导法则 1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。 2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。 3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。 4、如果有复合函数，则用链式法则求导。 部分导数公式 1.y=c(c为常数) y"=0 2.y=x^n y"=nx^(n-1) 3.y=a^x；y"=a^xlna；y=e^x y"=e^x 4.y=logax y"=logae/x；y=lnx y"=1/x 5.y=sinx y"=cosx 6.y=cosx y"=-sinx 7.y=tanx y"=1/cos^2x 8.y=cotx y"=-1/sin^2x

导数也叫导函数值，导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。接下来分享三角函数所有求导公式。 所有三角函数的求导公式 正弦函数：(sinx)"=cosx 余弦函数：(cosx)"=-sinx 正切函数：(tanx)"=sec²x 余切函数：(cotx)"=-csc²x 正割函数：(secx)"=tanx·secx 余割函数：(cscx)"=-cotx·cscx 反正弦函数：(arcsinx)"=1/√(1-x^2) 反余弦函数：(arccosx)"=-1/√(1-x^2) 反正切函数：(arctanx)"=1/(1+x^2) 反余切函数：(arccotx)"=-1/(1+x^2) 其他函数求导公式 常函数：y=c(c为常数) y"=0 幂函数：y=x n  y"=nx^(n-1) 指数函数：①y=a x  y"=a x lna ②y=e x   y"=e x 对数函数：①y=loga x   y"=1/xlna ②y=lnx y"=1/x 常用导数的记忆口诀 常为零，幂降次。 对倒数(e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna)。 指不变(特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna)。 正变余，余变正。 切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方)。 割乘切，反分式。

=lnxdlnx=1/2 (lnx)lnx

东华帝君逗你的呢含笑半步癫吧好滴吧。多开心

总结不定积分的运算方法如下：1、公式法公式法，顾名思义就是一些常用的不定积分的公式。如果遇到这样的形式可以直接套用。当然，这些不定积分都可以一步步求解得到结果。2、换元法换元法有两类，第一类换元积分法又称为凑微分法，第二类换元积分法又称为变量代换法。凑微分法的关键是”凑“，其目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量一致，即把dx凑成du。∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f[φ（x）]dφ（x）=∫f（u）du，u=φ（x）。变量代换法则是先换元，再积分，最后回代。相比而言，凑微分的步骤是先凑微分后换元（熟练以后也可以直接计算，省略换元的过程）。3、分部积分法前面两种方法可以解决大量的不定积分的计算问题，但是对于被积函数是两个不同函数乘积的这种形式采用上述两种方法就失效了。此时需要使用分部积分法来进行求解。换元积分法是在复合函数求导法则的基础上得到的，而分部积分法则是利用两个函数乘积的求导法则来推导的。4、有理函数积分法f（x）=Pn（x）Qm（x） ，其中 、Pn（x）、Qm（x） 分别为x的n次多项式和m次多项式。当m>n时，f（x）为真分式，反之，则为假分式。

∫1/(a²+x²)dx=(1/a²)×∫1/[1+(x/a)²]dx=(1/a)×∫1/[1+(x/a)²]d(x/a)=(1/a)×[arctan(x/a)＋C]=(1/a)×arctan(x/a) ＋ C

本题的解题思路，就是要把分式化简成为可以利用已知积分公式的形式，为此首先把分子进行变换，把分式变形为两个分式之和，其中前面的分式的分子成为分母的微分，即利用d(x^2-6x+13)=2x-6，先使分子成为2x-6继而使待积函数的分子为1，利用原函数是对数函数的积分公式解决第一个分式的积分问题；第二个分式通过化成可积分为反正切函数的形式，这样解决原题要求的分式不定积分问题。

用到cscx和cotx的原函数公式。sinxdx=-d(cosx)，用换元法请见下图：扩展资料：分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" d,这就是分部积分公式也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv常用积分公式：1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

q

原式=∫(0，1) x arcsinx √(1-x) d(arcsinx) 令y=arcsinx，y∈(0，π/2) 上式变为 ∫(0，π/2) siny y √(1-siny) dy =∫(0，π/2)siny y (cos(y/2)-sin(y/2)) dy ∫(0，π/2) 2y sin(y/2) cos²(y/2)dy- ∫(0，π/2)2y cos(y/2) sin²(y/2)dy =∫(0...

∫dx/(1-x^2)=∫dx/(1+x)(1-x)=∫dx(1/(1+x)+1/(1-x)=∫dx/(1+x)+∫dx/(1-x)=∫d(x+1)/(1+x)-∫d(x-1)/(x-1)=ln(x+1)-ln(x-1)+C=ln[(x+1)/(x-1)]+C

楼上那个太复杂了吧，直接分子1加x方减x方，分式分开计算就行了

由于分母是三次，所以你直接可以令a=t^3，带入其中，然后用立方和公式，把分母变成一个一次式和一个二次式之积，然后拆项，按照有理分式的求积分思路来求解就可以了。

求不定积分的方法总结首先要熟记那些基本的不定积分（跟导数的公式对应着记）以及不定积分的性质（满足加法与数乘）方法的话用的最多的是换元法，有第一换元法（适用于可整体代换的）与第二换元法（一般在含根式的不定积分中用的较多），还有分部积分法（带n的需要递推的一般都用这个方法）基本的方法就是这三个。对于特殊的函数：（1）有理函数均可化成最简真分式之和的形式，（2）三角函数有理式均可用万能变换化成有理函数，（3）无理函数一般采用尤拉变换或三角换元，主要目的是把分母上的根号转化到分子上（一般用1／t代换x），把无理化有理。在变换中，可通过化简、拆项，使被积函数更接近于我们熟悉的形式，在三角函数中，要充分利用1的代换（1=sin^2x+cos^2x）以及二倍角公式、和差化积与积化和差等公式。1、第二类换元积分法令t=√(x-1)，则x=t^2+1，dx=2tdt原式=∫(t^2+1)/t*2tdt=2∫(t^2+1)dt=(2/3)*t^3+2t+C=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√(x-1)+C，其中C是任意常数2、第一类换元积分法原式=∫(x-1+1)/√(x-1)dx=∫[√(x-1)+1/√(x-1)]d(x-1)=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2√(x-1)+C，其中C是任意常数3、分部积分法原式=∫2xd[√(x-1)]=2x√(x-1)-∫2√(x-1)dx=2x√(x-1)-(4/3)*(x-1)^(3/2)+C，其中C是你任意常数

f(x)的一个原函数-sinx+Cx+C1。C和C1均为常数。分析过程如下：f(x)的导函数是sinx可得：f"（x）=sinxf（x）=∫sinxdx=-cosx+C∫f（x）dx=-sinx+Cx+C1出现两次积分的原因是f(x)的导函数是sinx，而不是f(x)是sinx。扩展资料：分部积分：(uv)"=u"v+uv"得：u"v=(uv)"-uv"两边积分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" d,这就是分部积分公式也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv常用积分公式：1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

将分子拆为x×（3x+5），设原式＝A/x+B/（3x+5)，求出AB后，然后利用分式来求积分。并不难，供参考

利用分部积分可以把这个积分归结到e^{x^2}的积分，而后者不是初等函数（已经证明了不可能性，而不是尚未找到） 一般来讲这种问题可以用级数表示，也可以引进新的函数类（比如erf(x)）

具体回答如下：∫(secx)^3dx=∫secx(secx)^2dx=∫secxdtanx=secxtanx-∫tanxdsecx=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx=secxtanx+ln│secx+tanx│--∫(secx)^3dx所以∫(secx)^3dx=1/2（secxtanx+ln│secx+tanx│）不定积分的意义：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分，实际上是两次积分。有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。不定积分的公式：1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -13、∫ 1/x dx = ln|x| + C4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 15、∫ e^x dx = e^x + C6、∫ cosx dx = sinx + C7、∫ sinx dx = - cosx + C8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

∫(1+x^4)^(1/2)dx=xF(-1/2,1/4,5/4,-x^4)+C。分部积分法：不定积分设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu。两边积分，得分部积分公式。∫udv=uv-∫vdu。称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。一般来说，u,v选取的原则是：积分容易者选为v，求导简单者选为u。例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x。分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分。可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

奥斯特洛夫斯基定理，有理函数积分，化为整式部分和纯分式部分，纯分式部分分部分式，整式部分可以用整式的除法求得，分部分式的方法用待定系数法或者长除法，整式部分的积分仍然为整式，分部分式后，所有分式的分子都是常数，所有分数的分母最高为二次多项式（二次多项式时 △<0）分母为一次多项式的积分是对数函数，分母为二次多项式（△<0）的积分是反正切函数，所以有理函数的积分一定可解，而且就是由整式、对数函数、反正切函数所构成，以上是有理函数积分的基本理论和操作要点，

高数中，一个分数，比如f(x)/1,能够上下同时积分吗当分母不等于1时，就不能下同时积分。

secx^6的不定积分=S(secx)^2 *(secx)^4*dx=S(1+(tanx)^2)^2*dtanx=S(1+2(tanx)^2+(tanx)^4)dtanx=tanx+2/3*(tanx)^3+1/5*(tanx)^5+c扩展资料：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，根据原函数的性质可以知道，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。

积分里面的可以化简成x^10*（1/（x-1）-1/(x+2)）/3，，就分成了两个积分的差，然后每个积分都直接除，得到几个次数大于等于0的多项式和一个次数分式，而且这个分式的分母是常数所以可以直接积分。

①凑微元法，将分子凑到d内，然后利用Ln函数的积分公式即可得到答案；②根据题目的特点，拆分成两项积分；把分式函数拆成三项分别积分。

23岁

地位很高，作用很大...数学是用来分析的科学方法，级数可以使问题由复杂变简单，在很多领域都需要用到。

微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。 它是数学的一个基础学科。 内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。 微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。 积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。 我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分"就是微分，‘无限求和"就是积分。 无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。 比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。 微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 极限和微积分的概念可以追溯到古代。 到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。 他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。 直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。 特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。 因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。 作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。 比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。 ”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。 为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。 他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。 牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止 *** 。 他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。 牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。 就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。 他以含有现代的微分符号和基本微分法则。 1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。 他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。 现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。 微积分也是这样。 不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然 *** ，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。 英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。 比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。 他们的研究各有长处，也都各有短处。 那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。 他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。 牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。 这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。 才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。 在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。 微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。 微积分的基本内容 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。 这种方法叫做数学分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。 微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与科学应用联系着发展起来的。 最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。 此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。 并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 一元微分 定义： 设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。 如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。 于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f"(x)dx。 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。 因此，导数也叫做微商。 几何意义 设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。 当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 [编辑本段]多元微分 同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。 在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。 其中：[F(x) + C]" = f(x) 一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。 它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。 一阶微分与高阶微分 函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分; ....... n阶微分的微分称为(n+1)阶微分 即:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数,d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方) 一起来学微积分 国内最早探讨微积分知识的网站，也是人气最旺的微积分fans的交流网站。

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。随着当今科技的发展，一些计算器也能对微积分（微分和定积分）进行求解。以下是能解微积分的函数计算器（以下型号仅供参考）:casioMS系列：fx-100MS fx-115MS fx-570MS fx-991MSES系列（自然书写显示）：fx-115ES fx-570ES fx-991ESES PLUS系列（自然书写显示）：fx-115ES PLUS fx-570ES PLUS fx-991ES PLUS fx-991ES PLUS C编程系列：fx-3650p fx-3950p fx-4800p fx-5800p fx-7400G fx-9750G fx-9860G以及其升级版本

微分+积分

微积分学是微分学和积分学的总称. 客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着.因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了. 由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学.微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造. 微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了. 公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想.作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述.比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣.”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念. 到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归结起来,大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题.第二类问题是求曲线的切线的问题.第三类问题是求函数的最大值和最小值问题.第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论.为微积分的创立做出了贡献. 十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题（微分学的中心问题）,一个是求积问题(积分学的中心问题). 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源.牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的. 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合.他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数.牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径,求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法). 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》.就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义.他以含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献.他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的. 微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力. 前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的.微积分也是这样. 不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立.英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年. 其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的.比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年.他们的研究各有长处,也都各有短处.那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年. 应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的.他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊.牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说.这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生. 直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础.才使微积分进一步的发展开来. 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者.在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命.微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩. 微积分的基本内容 研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法.这种方法叫做数学分析. 本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分.微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学. 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等. 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等. 微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律.此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展.并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展.

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艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律[1]  。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。在经济学上，牛顿提出金本位制度。力学成就1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论。他将自己的成果归结在《物体在轨道中之运动》（1684年）一书中，该书中包含有初步的、后来在《原理》中形成的运动定律。《自然哲学的数学原理》（现常简称作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓励和支持下出版于1687年7月5日。该书中牛顿阐述了其后两百年间都被视作真理的三大运动定律。牛顿使用拉丁单词“gravitas”（沉重）来为现今的引力（gravity）命名，并定义了万有引力定律。在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。由于《原理》的成就，牛顿得到了国际性的认可，并为他赢得了一大群支持者：牛顿与其中的瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒建立了非常亲密的关系，直到1693年他们的友谊破裂。这场友谊的结束让牛顿患上了神经衰弱。牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律（牛顿三定律）：第一定律（即惯性定律）任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时（Fnet=0），总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。第二定律①牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。力和加速度同时产生、同时变化、同时消逝。②F=ma是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。③根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。牛顿第二定律的六个性质：①因果性：力是产生加速度的原因。②同体性：F合、m、a对应于同一物体。　③矢量性：力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。牛顿第二定律数学表达式∑F = ma中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表示方向一致，即物体加速度方向与所受合外力方向相同。④瞬时性：当物体（质量一定）所受外力发生突然变化时，作为由力决定的加速度的大小和方向也要同时发生突变；当合外力为零时，加速度同时为零，加速度与合外力保持一一对应关系。牛顿第二定律是一个瞬时对应的规律，表明了力的瞬间效应。⑤相对性：自然界中存在着一种坐标系，在这种坐标系中，当物体不受力时将保持匀速直线运动或静止状态，这样的坐标系叫惯性参照系。地面和相对于地面静止或作匀速直线运动的物体可以看作是惯性参照系，牛顿定律只在惯性参照系中才成立。⑥独立性：作用在物体上的各个力，都能各自独立产生一个加速度，各个力产生的加速度的失量和等于合外力产生的加速度。适用范围：①只适用于低速运动的物体（与光速比速度较低）。②只适用于宏观物体，牛顿第二定律不适用于微观原子。③参照系应为惯性系。两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等，方向相反。（详见牛顿第三运动定律）第三定律表达式　F=-F"　（F表示作用力，F"表示反作用力，负号表示反作用力F"与作用力F的方向相反）这三个非常简单的物体运动定律，为力学奠定了坚实的基础，并对其他学科的发展产生了巨大影响。第一定律的内容伽利略曾提出过，后来R.笛卡儿作过形式上的改进，伽利略也曾非正式地提到第二定律的内容。第三定律的内容则是牛顿在总结C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的结果之后得出的。牛顿是万有引力定律的发现者。他在1665～1666年开始考虑这个问题。万有引力定律（Law of universal gravitation）是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。1679年，R·胡克在写给他的信中提出，引力应与距离平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是像牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。牛顿把地球上物体的力学和天体力学统一到一个基本的力学体系中，创立了经典力学理论体系。正确地反映了宏观物体低速运动的宏观运动规律，实现了自然科学的第一次大统一。这是人类对自然界认识的一次飞跃。牛顿指出流体粘性阻力与剪切率成正比。他说：流体部分之间由于缺乏润滑性而引起的阻力，如果其他都相同，与流体部分之间分离速度成比例。在此把符合这一规律的流体称为牛顿流体，其中包括最常见的水和空气，不符合这一规律的称为非牛顿流体。在给出平板在气流中所受阻力时，牛顿对气体采用粒子模型，得到阻力与攻角正弦平方成正比的结论。这个结论一般地说并不正确，但由于牛顿的权威地位，后人曾长期奉为信条。20世纪，T·卡门在总结空气动力学的发展时曾风趣地说，牛顿使飞机晚一个世纪上天。关于声的速度，牛顿正确地指出，声速与大气压力平方根成正比，与密度平方根成反比。但由于他把声传播当作等温过程，结果与实际不符，后来P.-S.拉普拉斯从绝热过程考虑，修正了牛顿的声速公式。数学成就牛顿微积分大多数现代历史学家都相信，牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，在大约1820年以后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。牛顿与瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒（Nicolas Fatio de Duillier）的联系十分密切，后者一开始便被牛顿的引力定律所吸引。1691年，丢勒打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》，但从未完成它。一些研究牛顿的传记作者认为他们之间的关系可能存在爱情的成分。不过，在1694年这两个人之间的关系冷却了下来。在那个时候，丢勒还与莱布尼茨交换了几封信件。在1699年初，皇家学会（牛顿也是其中的一员）的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布，一项调查表明了牛顿才是真正的发现者，而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来，发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写，因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战，并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟，并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理，它适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量的三次多项式），为有限差理论作出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转（revert）幂级数。他还发现了π的一个新公式。他在1669年被授予卢卡斯数学教授席位。在那一天以前，剑桥或牛津的所有成员都是经过任命的圣公会牧师。不过，卢卡斯教授之职的条件要求其持有者不得活跃于教堂（大概是如此可让持有者把更多时间用于科学研究上）。牛顿认为应免除他担任神职工作的条件，这需要查理二世的许可，后者接受了牛顿的意见。这样避免了牛顿的宗教观点与圣公会信仰之间的冲突。17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题，例如：如何求出物体的瞬时速度与加速度？如何求曲线的切线及曲线长度（行星路程）、矢径扫过的面积、极大极小值（如近日点、远日点、最大射程等）、体积、重心、引力等等；尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题。当时笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大。牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。他说的“差率”“变率”就是微分。与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了和拉长的S作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学在大陆各国迅速推广。微积分的出现，成了数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析（牛顿称之为“借助于无限多项方程的分析”），并进一步进进发展为微分几何、微分方程、变分法等等，这些又反过来促进了理论物理学的发展。例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲线的解答，这是变分法的最初始问题，半年内全欧数学家无人能解答。1697年，一天牛顿偶然听说此事，当天晚上一举解出，并匿名刊登在《哲学学报》上。伯努利惊异地说：“从这锋利的爪中我认出了雄狮”。微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为"流数术"。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿前已经得到人们的研究了。但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的结论加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。牛顿没有及时发表微积分的研究成果，他研究微积分可能比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨所采取的表达形式更加合理，而且关于微积分的著作出版时间也比牛顿早。在牛顿和莱布尼茨之间，为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。1707年，牛顿的代数讲义经整理后出版，定名为《普遍算术》。他主要讨论了代数基础及其（通过解方程）在解决各类问题中的应用。书中陈述了代数基本概念与基本运算，用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行了深入探讨，引出了方程论方面的丰硕成果，如：他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数，即“牛顿幂和公式”。牛顿对解析几何与综合几何都有贡献。他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心，给出密切线圆（或称曲线圆）概念，提出曲率公式及计算曲线的曲率方法。并将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》，于1704年发表。此外，他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。牛顿在前人工作的基础上，提出“流数（fluxion）法”，建立了二项式定理，并和G.W.莱布尼茨几乎同时创立了微积分学，得出了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，为数学的发展开辟了一个新纪元。二项式定理在一六六五年，刚好二十二岁的牛顿发现了二项式定理，这对于微积分的充分发展是必不可少的一步。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具。在今天我们会发觉这个方推广形式法只适用于n是正整数，当n是正整数1，2，3，....... ，级数终止在正好是n+1项。如果n不是正整数，级数就不会终止，这个方法就不适用了。但是我们要知道那时，莱布尼茨在一六九四年才引进函数这个词，在微积分早期阶段，研究超越函数时用它们的级来处理是所用方法中最有成效的。光学成就牛顿曾致力于颜色的现象和光的本性的研究。1666年，他用三棱镜研究日光，得出结论：白光是由不同颜色（即不同波长）的光混合而成的，不同波长的光有不同的折射率。在可见光中，红光波长最长，折射率最小；紫光波长最短，折射率最大。牛顿的这一重要发现成为光谱分析的基础，揭示了光色的秘密。牛顿还曾把一个磨得很精、曲率半径较大的凸透镜的凸面，压在一个十分光洁的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接触点是一个暗点，周围则是明暗相间的同心圆圈。后人把这一现象称为“牛顿环”。他创立了光的“微粒说”，从一个侧面反映了光的运动性质，但牛顿对光的“波动说”并不持反对态度。1704年，牛顿著成《光学》，系统阐述他在光学方面的研究成果，其中他详述了光的粒子理论。他认为光是由非常微小的微粒组成的，而普通物质是由较粗微粒组成，并推测如果通过某种炼金术的转化“难道物质和光不能互相转变吗？物质不可能由进入其结构中的光粒子得到主要的动力（Activity）吗？牛顿还使用玻璃球制造了原始形式的摩擦静电发电机。提出光的微粒说从1670年到1672年，牛顿负责讲授光学。在此期间，他研究了光的折射，表明棱镜可以将白光发散为彩色光谱，而透镜和第二个棱镜可以将彩色光谱重组为白光。牛顿他还通过分离出单色的光束，并将其照射到不同的物体上的实验，发现了色光不会改变自身的性质。牛顿还注意到，无论是反射、散射或发射，色光都会保持同样的颜色。因此，我们观察到的颜色是物体与特定有色光相合的结果，而不是物体产生颜色的结果。从这项工作中，他得出了如下结论：任何折光式望远镜都会受到光散射成不同颜色的影响，并因此发明了反射式望远镜（现称作牛顿望远镜）来回避这个问题。他自己打磨镜片，使用牛顿环来检验镜片的光学品质，制造出了优于折光式望远镜的仪器，而这都主要归功于其大直径的镜片。1671年，他在皇家学会上展示了自己的反射式望远镜。皇家学会的兴趣鼓励了牛顿发表他关于色彩的笔记，这在后来扩大为《光学》（Opticks）一书。但当罗伯特·胡克批评了牛顿的某些观点后，牛顿对其很不满并退出了辩论会。两人自此以后成为了敌人，这一直持续到胡克去世。牛顿认为光是由粒子或微粒组成的，并会因加速通过光密介质而折射，但他也不得不将它们与波联系起来，以解释光的衍射现象。而其后世的物理学家们则更加偏爱以纯粹的光波来解释衍射现象。现代的量子力学、光子以及波粒二象性的思想与牛顿对光的理解只有很小的相同点。牛顿使用过的望远镜在1675年的著作《解释光属性的解说》（Hypothesis Explaining the Properties of Light）中，牛顿假定了以太的存在，认为粒子间力的传递是透过以太进行的。不过牛顿在与神智学家亨利·莫尔（Henry More）接触后重新燃起了对炼金术的兴趣，并改用源于汉密斯神智学（Hermeticism）中粒子相吸互斥思想的神秘力量来解释，替换了先前假设以太存在的看法。拥有许多牛顿炼金术著作的经济学大师约翰·梅纳德·凯恩斯曾说：“牛顿不是理性时代的第一人，他是最后的一位炼金术士。”但牛顿对炼金术的兴趣却与他对科学的贡献息息相关，而且在那个时代炼金术与科学也还没有明确的区别。如果他没有依靠神秘学思想来解释穿过真空的超距作用，他可能也不会发展出他的引力理论。热学成就牛顿确定了冷却定律，即当物体表面与周围有温差时，单位时间内从单位面积上散失的热量与这一温差成正比。天文成就牛顿1672年创制了反射望远镜。他用质点间的万有引力证明，密度呈球对称的球体对外的引力都可以用同质量的质点放在中心的位置来代替。他还用万有引力原理说明潮汐的各种现象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有关，而且同太阳的方位有关。牛顿预言地球不是正球体。岁差就是由于太阳对赤道突出部分的摄动造成的。哲学成就牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主义，他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物一样，牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献，但他也不能不受时代的限制。例如，他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念；他对那些暂时无法解释的自然现象归结为上帝的安排，提出一切行星都是在某种外来的“第一推动力”作用下才开始运动的说法。《自然哲学的数学原理》牛顿最重要的著作，1687年出版。该书总结了他一生中许多重要发现和研究成果，其中包括上述关于物体运动的定律。他说，该书“所研究的主要是关于重、轻流体抵抗力及其他吸引运动的力的状况，所以我们研究的是自然哲学的数学原理。”该书传入中国后，中国数学家李善兰曾译出一部分，但未出版，译稿也遗失了。现有的中译本是数学家郑太朴翻译的，书名为《自然哲学之数学原理》，1931年商务印书馆初版，1957、1958、2006年三次重印。

微积分 1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列 0，1，4，9 16，… 的性质，例如它的第一阶差为 1，3，5，7，…， 第二阶差则恒等于 2，2，2，… 等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列． 1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和 莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的： 初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性发生了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献． 对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx，dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线，而且是T点的切线的一部分”．如图1，T是曲线y=f(x)上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值． 利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题： (1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx． (2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和． 有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理” 根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的．他将特征三角形的斜边PQ用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形(differential triangle)其中 ds2=dx2+dy2． 利用特征三角形，莱布尼茨早在1673年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式 这一公式是从几何图形中推导出来的，经常被他用来求面积． 1673—1674年，他给出了求一条曲线y=y(x)绕x轴旋转一周所形成的旋转体的表面积A的公式 同时，他还给出了曲线长度公式 在求面积问题方面，莱布尼茨深受卡瓦列里“线由无穷多个点构成，面由无穷多条线构成”思想的影响，认为曲线下的面积是无穷多的小矩形之和．1675年10月29日，他用“∫”代替了以前的和符号“Omn”(“∫”是Sum 和)的第一个字母“s”的拉长)，用∫ydx表示面积，在这份手稿中，他还从求积出发，得到了分部积分公式 1676年11月，他得出了公式 其中n是整数或分数(n≠-1)． 莱布尼茨的积分方面的工作是与微分方面的工作交叉进行的． 由于研究巴罗的著作，以及引入特征三角形，莱布尼茨越来越强烈地意识到，微分(主要是导数、求切线)与积分(求和)必定是相反的过程．在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面积被微分时必定给出长度，因此他开始探讨“∫”的运算(积分)和“d”的运算(微分)之间的关系，认识到要从y回到dy，必须做出y的微差或者取y的微分．经过这种不充分的讨论，他断定一个事实：作为求和的过程的积分是微分的逆．这样，莱布尼茨就第一次表达出了求和(积分)与微分之间的关系． 莱布尼茨于1675—1676年给出了微积分基本定理(后来又称为牛顿-莱布尼茨公式) (A为曲线f下的图形的面积．) 于1693年给出了这个定理的证明．以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别地加以研究的．卡瓦列里、巴罗、沃利斯等许多人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的．虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系，然而只有莱布尼茨和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者的内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算．而这正是建立微积分学的关键所在．只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学．并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则． 莱布尼茨于1684年10月发表在《教师学报》(Acta erudito-rum)上的论文，题目是“一种求极大值与极小值和求切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”(Nova Methodus pro Maximis et Minimis，itemque tangentibus，quae necfractas，necirrationales quantitates moratur，et singularepro illis Calculi genus)，在数学史上被公认为是最早发表的微积分文献． 早在1677年7月11日前后及11月左右，莱布尼茨明确定义了dy为函数微分，给出了dy的演算规则： “如果a是给定的常数，则da=0，dax=adx； 加法和减法 v=z—y＋w＋x，dv=dz-dy+dw＋dx； 乘法 y=vx，dy=vdx+xdv 在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况：对于曲线v=v(x)，当dv与dx之比为无穷大时，切线垂直于坐标轴(x轴)．当dv与dx之比等于0时，切线平行于x轴，当dv=dx≠0时，则切线与坐标轴成45°角，他指出，对于曲线v，当dv=0时，“在这个位置的v，明显地就是极大值(或极小值)”，他详细讨论了当dv＜0，而变成dv=0后又dv＜0时取极大值，反之则取极小值的情形．他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0． 以后，莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数)．1686年，给出了对数函数，指数函数的微商．1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx)，等等． 他引入了n阶微分的符号dn，并且给出了高阶微分的“莱布尼茨法则”： 其中 n！=1×2×3×…×(n-1)×n． 莱布尼茨在积分方面的成就，后来比较集中地写在1686年5月发表在《教师学报》上的一篇论文中，题为“潜在的几何与不可分量和无限的分析”(De Geometria recondita et Analysi Indivisi-bilium atque Infinitorum)． 品中出现了积分符号．同年，他引入了空间曲线的“密切”(osculating)这一术语，并给出了曲率ρ公式： 其中R为曲率半径． 1692年和1694年，他给出了求一族曲线 f(x，y，α)=0(α为曲线族参数)包络的普遍方法：在 中消去α．实际上，用微积分方法研究几何在微积分奠基者(牛顿、莱布尼茨等)那里已经开始了．切线、包络等几何问题在莱布尼茨手中是与微积分连在一起的． 无穷级数 在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效．因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分．有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如莱布尼茨曾用无穷级数表达式计算π(圆周率)． 在求面积的过程中，通过无穷级数表示圆在第一象限的面积，他得到了π的一个十分漂亮的表达式 1673年左右，他独立地得到了sinx，cosx和arctgx等函数的无穷级数展开式．还得到了圆面积和双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与反正切、余割、正弦函数、自然对数函数、指数函数联系起来了．他经常利用级数展开式研究超越函数．有时还将多项式定理用于分式函数或超越函数的展开式． 无穷级数展开式，得到了如下的式子： 误的．直到1734—1735年，L．欧拉(Euler)才得到 在1713年10月25日写给约翰•伯努利(John Bernoulli)的信中，莱布 “莱布尼茨判别法”，但他当时的证明却错了．在考虑级数 还相当混乱． 微分方程 微分方程在微积分创立之初就为人们所关注．1693年，莱布尼茨称微分方程为特征三角形的边(dx，dy)的函数．在微分方程方面，他进行了一系列工作．其中有些工作是十分独特的． 1691年，他提出了常微分方程的分离变量法，解决了形如 型方程的求解问题．方法是，先写成 然后两边积分． 这一年，他还提出了求解一次齐次方 的方法： 因此经过这种变换，原来的一次齐次方程就变成了 1694年，他证明了把一阶线性常微分方程y′＋P(x)y=Q(x)化成积分方程的正确方法，他的方法使用了因变量替换．同时，他还给出了(y′)2+p(x)y′＋q(x)=0的解法．1694年，他和约翰•伯努利引进了找等交曲线或曲线族的问题，并求出了一些特殊问题的解． 1696年，他证明了，利用变量替换z=y1-n，可以将伯努利方程 变换x=P11u+P12v，y=P21u+P22v可以将微分方程 a00＋a10x＋(a01＋a11x)y′=0 进行简化． 通过求解微分方程，莱布尼茨解决了许多具体问题．例如，1686年，他解决了这样的问题：求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动，都用相等的时间，而无论摆所经历的弧长怎样(即等时问题)．他指出， 证明，并认识到了圆函数、三角函数的超越性，弄清了许多超越函数的基本性质．此外，他还考虑过概率方程．这一时期，他还求出了十分重要的曳物线方程： 1691年，他给出了自达•芬奇(L．Da Vinci)时代就考虑过的悬链线(catenary，这个名称是莱布尼茨给出的)方程为 1696年，约翰•伯努利提出了著名的最速降线问题： 求从一给定点到不是在它垂直下方的另一点的一条曲线，使得一质点沿这条曲线从给定点P1下滑所用的时间最短；其中摩擦和空气阻力都忽略． 这是约翰•伯努利向全欧洲数学家发出的挑战．1697年，莱布尼茨和I．牛顿(Newton)、G．F．A．洛比达(L"Hospital)、约翰•伯努利分别解决了最速降线问题，指出这是由方程 表示的上凹的旋轮线，并由此开始了变分法的研究． 数学符号、代数 莱布尼茨在微积分方面的贡献突出地表现在他发明了一套适用的符号系统．1675年引入dx表示x的微分，“∫”表示积分，ddv，dddy表示二阶、三阶微分．1695年左右用dmn表示m阶微分．他比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一．他自觉地和格外慎重地引入每一个数学符号，常常对各种符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号．他创设的符号还有 此外还有对数符号、函数符号、行列式符号等等．很多符号的普遍使用与他的提倡和影响密切相关．他还引入了“函数”(function)、“常量”(constant quantity)、变量”(variate)、“参变量”(para-meter)等术语． 在代数学方面，莱布尼茨不仅强调引入符号的重要性，而且还讨论了负数、复数的性质，认为复数的出现是无害的，断言复数的对数是不存在的，为此曾在当时的数学界掀起了一场关于负数、虚数的对数之争论．在研究复数时，他还得出过这样的结论：共轭复数的和是实数 用一般的复数表示．他把虚数看作是存在(being)与非存在(not-being)的中介． 在1678年以前，莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究，对消元法从理论上进行了探讨．在1693年4月28日致洛比达的信中他提出了行列式概念：“我引进方程： 此处，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母(未知数)．”这样，他创设了采用两个数码的系数记号，相当于现在的aik，为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具．

第1章　绪论　11.1　程序设计语言概述　11.1.1　机器语言　11.1.2　汇编语言　21.1.3　高级语言　21.1.4　C语言　31.2　C语言的优点和缺点　41.2.1　C语言的优点　41.2.2　C语言的缺点　61.3　算法概述　71.3.1　算法的基本特征　71.3.2　算法的复杂度　81.3.3　算法的准确性　101.3.4　算法的稳定性　14第2章　复数运算　182.1　复数的四则运算　182.1.1　[算法1]　复数乘法　182.1.2　[算法2]　复数除法　202.1.3　【实例5】 复数的四则运算　222.2　复数的常用函数运算　232.2.1　[算法3]　复数的乘幂　232.2.2　[算法4]　复数的n次方根　252.2.3　[算法5]　复数指数　272.2.4　[算法6]　复数对数　292.2.5　[算法7]　复数正弦　302.2.6　[算法8]　复数余弦　322.2.7　【实例6】 复数的函数运算　34第3章　多项式计算　373.1　多项式的表示方法　373.1.1　系数表示法　373.1.2　点表示法　383.1.3　[算法9]　系数表示转化为点表示　383.1.4　[算法10]　点表示转化为系数表示　423.1.5　【实例7】　系数表示法与点表示法的转化　463.2　多项式运算　473.2.1　[算法11]　复系数多项式相乘　473.2.2　[算法12]　实系数多项式相乘　503.2.3　[算法13]　复系数多项式相除　523.2.4　[算法14]　实系数多项式相除　543.2.5　【实例8】　复系数多项式的乘除法　563.2.6　【实例9】　实系数多项式的乘除法　573.3　多项式的求值　593.3.1　[算法15]　一元多项式求值　593.3.2　[算法16]　一元多项式多组求值　603.3.3　[算法17]　二元多项式求值　633.3.4　【实例10】　一元多项式求值　653.3.5　【实例11】　二元多项式求值　66第4章　矩阵计算　684.1　矩阵相乘　684.1.1　[算法18]　实矩阵相乘　684.1.2　[算法19]　复矩阵相乘　704.1.3　【实例12】 实矩阵与复矩阵的乘法　724.2　矩阵的秩与行列式值　734.2.1　[算法20]　求矩阵的秩　734.2.2　[算法21]　求一般矩阵的行列式值　764.2.3　[算法22]　求对称正定矩阵的行列式值　804.2.4　【实例13】 求矩阵的秩和行列式值　824.3　矩阵求逆　844.3.1　[算法23]　求一般复矩阵的逆　844.3.2　[算法24]　求对称正定矩阵的逆　904.3.3　[算法25]　求托伯利兹矩阵逆的Trench方法　924.3.4　【实例14】 验证矩阵求逆算法　974.3.5　【实例15】 验证T矩阵求逆算法　994.4　矩阵分解与相似变换　1024.4.1　[算法26]　实对称矩阵的LDL分解　1024.4.2　[算法27]　对称正定实矩阵的Cholesky分解　1044.4.3　[算法28]　一般实矩阵的全选主元LU分解　1074.4.4　[算法29]　一般实矩阵的QR分解　1124.4.5　[算法30]　对称实矩阵相似变换为对称三对角阵　1164.4.6　[算法31]　一般实矩阵相似变换为上Hessen-Burg矩阵　1214.4.7　【实例16】 对一般实矩阵进行QR分解　1264.4.8　【实例17】 对称矩阵的相似变换　1274.4.9　【实例18】 一般实矩阵相似变换　1294.5　矩阵特征值的计算　1304.5.1　[算法32]　求上Hessen-Burg矩阵全部特征值的QR方法　1304.5.2　[算法33]　求对称三对角阵的全部特征值　1374.5.3　[算法34]　求对称矩阵特征值的雅可比法　1434.5.4　[算法35]　求对称矩阵特征值的雅可比过关法　1474.5.5　【实例19】 求上Hessen-Burg矩阵特征值　1514.5.6　【实例20】 分别用两种雅克比法求对称矩阵特征值　152第5章　线性代数方程组的求解　1545.1　高斯消去法　1545.1.1　[算法36]　求解复系数方程组的全选主元高斯消去法　1555.1.2　[算法37]　求解实系数方程组的全选主元高斯消去法　1605.1.3　[算法38]　求解复系数方程组的全选主元高斯-约当消去法　1635.1.4　[算法39]　求解实系数方程组的全选主元高斯-约当消去法　1685.1.5　[算法40]　求解大型稀疏系数矩阵方程组的高斯-约当消去法　1715.1.6　[算法41]　求解三对角线方程组的追赶法　1745.1.7　[算法42]　求解带型方程组的方法　1765.1.8　【实例21】 解线性实系数方程组　1795.1.9　【实例22】 解线性复系数方程组　1805.1.10　【实例23】 解三对角线方程组　1825.2　矩阵分解法　1845.2.1　[算法43]　求解对称方程组的LDL分解法　1845.2.2　[算法44]　求解对称正定方程组的Cholesky分解法　1865.2.3　[算法45]　求解线性最小二乘问题的QR分解法　1885.2.4　【实例24】 求解对称正定方程组　1915.2.5　【实例25】 求解线性最小二乘问题　1925.3　迭代方法　1935.3.1　[算法46]　病态方程组的求解　1935.3.2　[算法47]　雅克比迭代法　1975.3.3　[算法48]　高斯-塞德尔迭代法　2005.3.4　[算法49]　超松弛方法　2035.3.5　[算法50]　求解对称正定方程组的共轭梯度方法　2055.3.6　[算法51]　求解托伯利兹方程组的列文逊方法　2095.3.7　【实例26】 解病态方程组　2145.3.8　【实例27】 用迭代法解方程组　2155.3.9　【实例28】 求解托伯利兹方程组　217第6章　非线性方程与方程组的求解　2196.1　非线性方程求根的基本过程　2196.1.1　确定非线性方程实根的初始近似值或根的所在区间　2196.1.2　求非线性方程根的精确解　2216.2　求非线性方程一个实根的方法　2216.2.1　[算法52]　对分法　2216.2.2　[算法53]　牛顿法　2236.2.3　[算法54]　插值法　2266.2.4　[算法55]　埃特金迭代法　2296.2.5　【实例29】 用对分法求非线性方程组的实根　2326.2.6　【实例30】 用牛顿法求非线性方程组的实根　2336.2.7　【实例31】 用插值法求非线性方程组的实根　2356.2.8　【实例32】 用埃特金迭代法求非线性方程组的实根　2376.3　求实系数多项式方程全部根的方法　2386.3.1　[算法56]　QR方法　2386.3.2　【实例33】　用QR方法求解多项式的全部根　2406.4　求非线性方程组一组实根的方法　2416.4.1　[算法57]　梯度法　2416.4.2　[算法58]　拟牛顿法　2446.4.3　【实例34】 用梯度法计算非线性方程组的一组实根　2506.4.4　【实例35】 用拟牛顿法计算非线性方程组的一组实根　252第7章　代数插值法　2547.1　拉格朗日插值法　2547.1.1　[算法59]　线性插值　2557.1.2　[算法60]　二次抛物线插值　2567.1.3　[算法61]　全区间插值　2597.1.4　【实例36】 拉格朗日插值　2627.2　埃尔米特插值　2637.2.1　[算法62]　埃尔米特不等距插值　2637.2.2　[算法63]　埃尔米特等距插值　2677.2.3　【实例37】 埃尔米特插值法　2707.3　埃特金逐步插值　2717.3.1　[算法64]　埃特金不等距插值　2727.3.2　[算法65]　埃特金等距插值　2757.3.3　【实例38】 埃特金插值　2787.4　光滑插值　2797.4.1　[算法66]　光滑不等距插值　2797.4.2　[算法67]　光滑等距插值　2837.4.3　【实例39】 光滑插值　2867.5　三次样条插值　2877.5.1　[算法68]　第一类边界条件的三次样条函数插值　2877.5.2　[算法69]　第二类边界条件的三次样条函数插值　2927.5.3　[算法70]　第三类边界条件的三次样条函数插值　2967.5.4　【实例40】 样条插值法　3017.6　连分式插值　3037.6.1　[算法71]　连分式插值　3047.6.2　【实例41】 验证连分式插值的函数　308第8章　数值积分法　3098.1　变步长求积法　3108.1.1　[算法72]　变步长梯形求积法　3108.1.2　[算法73]　自适应梯形求积法　3138.1.3　[算法74]　变步长辛卜生求积法　3168.1.4　[算法75]　变步长辛卜生二重积分方法　3188.1.5　[算法76]　龙贝格积分　3228.1.6　【实例42】 变步长积分法进行一重积分　3258.1.7　【实例43】 变步长辛卜生积分法进行二重积分　3268.2　高斯求积法　3288.2.1　[算法77]　勒让德-高斯求积法　3288.2.2　[算法78]　切比雪夫求积法　3318.2.3　[算法79]　拉盖尔-高斯求积法　3348.2.4　[算法80]　埃尔米特-高斯求积法　3368.2.5　[算法81]　自适应高斯求积方法　3378.2.6　【实例44】 有限区间高斯求积法　3428.2.7　【实例45】 半无限区间内高斯求积法　3438.2.8　【实例46】 无限区间内高斯求积法　3458.3　连分式法　3468.3.1　[算法82]　计算一重积分的连分式方法　3468.3.2　[算法83]　计算二重积分的连分式方法　3508.3.3　【实例47】 连分式法进行一重积分　3548.3.4　【实例48】 连分式法进行二重积分　3558.4　蒙特卡洛法　3568.4.1　[算法84]　蒙特卡洛法进行一重积分　3568.4.2　[算法85]　蒙特卡洛法进行二重积分　3588.4.3　【实例49】 一重积分的蒙特卡洛法　3608.4.4　【实例50】 二重积分的蒙特卡洛法　361第9章　常微分方程(组)初值问题的求解　3639.1　欧拉方法　3649.1.1　[算法86]　定步长欧拉方法　3649.1.2　[算法87]　变步长欧拉方法　3669.1.3　[算法88]　改进的欧拉方法　3709.1.4　【实例51】 欧拉方法求常微分方程数值解　3729.2　龙格-库塔方法　3769.2.1　[算法89]　定步长龙格-库塔方法　3769.2.2　[算法90]　变步长龙格-库塔方法　3799.2.3　[算法91]　变步长基尔方法　3839.2.4　【实例52】 龙格-库塔方法求常微分方程的初值问题　3869.3　线性多步法　3909.3.1　[算法92]　阿当姆斯预报校正法　3909.3.2　[算法93]　哈明方法　3949.3.3　[算法94]　全区间积分的双边法　3999.3.4　【实例53】 线性多步法求常微分方程组初值问题　401第10章　拟合与逼近　40510.1　一元多项式拟合　40510.1.1　[算法95]　最小二乘拟合　40510.1.2　[算法96]　最佳一致逼近的里米兹方法　41210.1.3　【实例54】 一元多项式拟合　41710.2　矩形区域曲面拟合　41910.2.1　[算法97]　矩形区域最小二乘曲面拟合　41910.2.2　【实例55】 二元多项式拟合　428第11章　特殊函数　43011.1　连分式级数和指数积分　43011.1.1　[算法98]　连分式级数求值　43011.1.2　[算法99]　指数积分　43311.1.3　【实例56】 连分式级数求值　43611.1.4　【实例57】 指数积分求值　43811.2　伽马函数　43911.2.1　[算法100]　伽马函数　43911.2.2　[算法101]　贝塔函数　44111.2.3　[算法102]　阶乘　44211.2.4　【实例58】　伽马函数和贝塔函数求值　44311.2.5　【实例59】　阶乘求值　44411.3　不完全伽马函数　44511.3.1　[算法103]　不完全伽马函数　44511.3.2　[算法104]　误差函数　44811.3.3　[算法105]　卡方分布函数　45011.3.4　【实例60】　不完全伽马函数求值　45111.3.5　【实例61】　误差函数求值　45211.3.6　【实例62】　卡方分布函数求值　45311.4　不完全贝塔函数　45411.4.1　[算法106]　不完全贝塔函数　45411.4.2　[算法107]　学生分布函数　45711.4.3　[算法108]　累积二项式分布函数　45811.4.4　【实例63】　不完全贝塔函数求值　45911.5　贝塞尔函数　46111.5.1　[算法109]　第一类整数阶贝塞尔函数　46111.5.2　[算法110]　第二类整数阶贝塞尔函数　46611.5.3　[算法111]　变型第一类整数阶贝塞尔函数　46911.5.4　[算法112]　变型第二类整数阶贝塞尔函数　47311.5.5　【实例64】　贝塞尔函数求值　47611.5.6　【实例65】　变型贝塞尔函数求值　47711.6　Carlson椭圆积分　47911.6.1　[算法113]　第一类椭圆积分　47911.6.2　[算法114]　第一类椭圆积分的退化形式　48111.6.3　[算法115]　第二类椭圆积分　48311.6.4　[算法116]　第三类椭圆积分　48611.6.5　【实例66】　第一类勒让德椭圆函数积分求值　49011.6.6　【实例67】　第二类勒让德椭圆函数积分求值　492第12章　极值问题　49412.1　一维极值求解方法　49412.1.1　[算法117]　确定极小值点所在的区间　49412.1.2　[算法118]　一维黄金分割搜索　49912.1.3　[算法119]　一维Brent方法　50212.1.4　[算法120]　使用一阶导数的Brent方法　50612.1.5　【实例68】　使用黄金分割搜索法求极值　51112.1.6　【实例69】　使用Brent法求极值　51312.1.7　【实例70】　使用带导数的Brent法求极值　51512.2　多元函数求极值　51712.2.1　[算法121]　不需要导数的一维搜索　51712.2.2　[算法122]　需要导数的一维搜索　51912.2.3　[算法123]　Powell方法　52212.2.4　[算法124]　共轭梯度法　52512.2.5　[算法125]　准牛顿法　53112.2.6　【实例71】　验证不使用导数的一维搜索　53612.2.7　【实例72】　用Powell算法求极值　53712.2.8　【实例73】　用共轭梯度法求极值　53912.2.9　【实例74】　用准牛顿法求极值　54012.3　单纯形法　54212.3.1　[算法126]　求无约束条件下n维极值的单纯形法　54212.3.2　[算法127]　求有约束条件下n维极值的单纯形法　54812.3.3　[算法128]　解线性规划问题的单纯形法　55612.3.4　【实例75】　用单纯形法求无约束条件下N维的极值　56812.3.5　【实例76】　用单纯形法求有约束条件下N维的极值　56912.3.6　【实例77】　求解线性规划问题　571第13章　随机数产生与统计描述　57413.1　均匀分布随机序列　57413.1.1　[算法129]　产生0到1之间均匀分布的一个随机数　57413.1.2　[算法130]　产生0到1之间均匀分布的随机数序列　57613.1.3　[算法131]　产生任意区间内均匀分布的一个随机整数　57713.1.4　[算法132]　产生任意区间内均匀分布的随机整数序列　57813.1.5　【实例78】　产生0到1之间均匀分布的随机数序列　58013.1.6　【实例79】　产生任意区间内均匀分布的随机整数序列　58113.2　正态分布随机序列　58213.2.1　[算法133]　产生任意均值与方差的正态分布的一个随机数　58213.2.2　[算法134]　产生任意均值与方差的正态分布的随机数序列　58513.2.3　【实例80】　产生任意均值与方差的正态分布的一个随机数　58713.2.4　【实例81】　产生任意均值与方差的正态分布的随机数序列　58813.3　统计描述　58913.3.1　[算法135]　分布的矩　58913.3.2　[算法136]　方差相同时的t分布检验　59113.3.3　[算法137]　方差不同时的t分布检验　59413.3.4　[算法138]　方差的F检验　59613.3.5　[算法139]　卡方检验　59913.3.6　【实例82】　计算随机样本的矩　60113.3.7　【实例83】　t分布检验　60213.3.8　【实例84】　F分布检验　60513.3.9　【实例85】　检验卡方检验的算法　607第14章　查找　60914.1　基本查找　60914.1.1　[算法140]　有序数组的二分查找　60914.1.2　[算法141]　无序数组同时查找最大和最小的元素　61114.1.3　[算法142]　无序数组查找第M小的元素　61314.1.4　【实例86】　基本查找　61514.2　结构体和磁盘文件的查找　61714.2.1　[算法143]　无序结构体数组的顺序查找　61714.2.2　[算法144]　磁盘文件中记录的顺序查找　61814.2.3　【实例87】　结构体数组和文件中的查找　61914.3　哈希查找　62214.3.1　[算法145]　字符串哈希函数　62214.3.2　[算法146]　哈希函数　62614.3.3　[算法147]　向哈希表中插入元素　62814.3.4　[算法148]　在哈希表中查找元素　62914.3.5　[算法149]　在哈希表中删除元素　63114.3.6　【实例88】　构造哈希表并进行查找　632第15章　排序　63615.1　插入排序　63615.1.1　[算法150]　直接插入排序　63615.1.2　[算法151]　希尔排序　63715.1.3　【实例89】　插入排序　63915.2　交换排序　64115.2.1　[算法152]　气泡排序　64115.2.2　[算法153]　快速排序　64215.2.3　【实例90】　交换排序　64415.3　选择排序　64615.3.1　[算法154]　直接选择排序　64615.3.2　[算法155]　堆排序　64715.3.3　【实例91】　选择排序　65015.4　线性时间排序　65115.4.1　[算法156]　计数排序　65115.4.2　[算法157]　基数排序　65315.4.3　【实例92】　线性时间排序　65615.5　归并排序　65715.5.1　[算法158]　二路归并排序　65815.5.2　【实例93】　二路归并排序　660第16章　数学变换与滤波　66216.1　快速傅里叶变换　66216.1.1　[算法159]　复数据快速傅里叶变换　66216.1.2　[算法160]　复数据快速傅里叶逆变换　66616.1.3　[算法161]　实数据快速傅里叶变换　66916.1.4　【实例94】　验证傅里叶变换的函数　67116.2　其他常用变换　67416.2.1　[算法162]　快速沃尔什变换　67416.2.2　[算法163]　快速哈达玛变换　67816.2.3　[算法164]　快速余弦变换　68216.2.4　【实例95】　验证沃尔什变换和哈达玛的函数　68416.2.5　【实例96】　验证离散余弦变换的函数　68716.3　平滑和滤波　68816.3.1　[算法165]　五点三次平滑　68916.3.2　[算法166]　α-β-γ滤波　69016.3.3　【实例97】　验证五点三次平滑　69216.3.4　【实例98】　验证α-β-γ滤波算法　693

量变达到质变……积少成多……

微积分要学好的确不容易，内容很繁杂，我个人认为主要是看书，一字不差的看，有疑问就翻书，肯定能找到答案，并且要做题，因为我们即使很仔细的看，也有很多知识没有理解，但题不用太多，每一道题多想想，书上的内容也要联想，比如说微分和积分只是通过一个定理就联系在一起了，可道理是为什么，会了定理后你是否懂了，真要是做到懂了，感觉没有疑问，想问题的时候没有阻塞那你真的学的非常好了

牛顿根本没有二项公式,也许有,但,英国人可能知道.

数列的解法主要有这么几种：求通项公式：1.叠加法通常是形如An-（An-1）=k的形势，其中后面的k要么是常数，要么就是可以求和的例如：已知数列An，An-（An-1）=n，A1=1，求An；就可以这么写：A2-A1=2A3-A2=3……An-An-1=n全部加起来，就得到An-A1=（2+3+……+n），即可解出An。这个办法的关键在于后面的k要可以求和。这里的2，3，4……是可以求和的。等比数列当然也可以，比如An-An-1=2^n。2.叠乘法形如An/An-1=k的递推公式可以用叠乘法，思路和上面一样，不过同样的，k要能够求积。3.前项后项之间的线性关系形如An=k【（An-1）】+b的递推关系属于此类。解决方法是把它弄成一个等比数列。弄的办法是，把原式两遍加上m，使其满足：An+m=k【（An-1）+（b+m）/k】其中，（b+m）/k应该等于m（因为我们想要把它弄成等比数列），解出m=b/（k-1），然后的事情你就会了吧。先把数列An+m的通项公式搞定，然后减去m就可以了。4.构造辅助数列在高考范围内，这个一般不会太难，主要的思想是把递推公式中不好处理、带n的东西弄成常数，然后剩下的事情是自然的事。例如：An=-An-1+3^n，A1=0,求通项公式这里面我们就可以把烦人的3^n除下去，让它变成常数。然后是An/3^n=-An-1/3^n+1这时有个思想：An和n一拨，An-1和n-1一拨。右边的An-1和n一拨，这不对，所以乘一个1/3出来，得到：An/3^n=-1/3（（An-1）/3^n+1）+1看明白了吧，你不觉得眼熟吗？“前后项的线性关系”没错吧。按照那个思路，这道题就解决了。其实一般的辅助数列他都给你造好了，那就更简单了。记住：只要在题目中看见“设Bn=……”，那么它再难也是简单题。原则就是一个：凑，方法是：看谁跟谁一拨。方法跟上面的一样。求和主要就是列项和错位相减，列项适用于形如（1×2）分之1+（2×3）分之1这样，可以对消掉中间项的分式；而错位相见适用于一个等差数列与一个等比数列的乘积数列。如An=n*(2^n），就可以用错位相减。方法是：先写几项，然后乘上公比，做差，计算中间等比数列的和，整理答案。例如求上面的数列前N项和：Sn=1×2+2×4+3×8+……+n×2^n2Sn=1×4+2×8+……+（n-1）×2^n+n×2^(n+1)上减下：-Sn=2+（4+8+……+2^n）-n×2^（n+1）把中间的等比数列之和求出来，题目即可解出。现在主要就是考察这些，知道这些方法后，他难不住你的。

公式描述] 公式表示当n趋近于无穷大时，Xn收敛于a，Xn的极限为a。

顶啊～～～

这个???还真难办!!!

如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式（fraction）。 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 a^-n=1/a^n (a≠0) 这就是说，a^-n (a≠0)是a^n的倒数。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

·第一章一元一次不等和一元一次不·1、不等关系·2、不等式的基本性质·3、不等式的解集·4、一元一次不等式·5、一元一次不等式与一次函数·6、一元一次不等式组·第二章分解因式·1、提公因式法·2、运用公式法·第三章分式·1、分式的乘除法·2、分式的加减法·3、分式方程·第四章相似图形·1、线段的比·2、黄金分割·3、形状相同的图形·4、相似多边形·5、相似三角形·6、探索三角形相似的条件·7、测量旗杆的高度·8、相似多边形的周长比和面积比·9、图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理·1、每周干家务活的时间·2、数据的收集·3、频数与频率·4、数据的波动·5、证明(一)·6、你能肯定吗·7、定义与命题·8、为什么它们平行·9、如果两条直线平行·10、三角形内角和定理的证明·11、关注三角形的外角