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为啥当X趋于零时,X-ln(1+x)的等价无穷小为什么?

2023-05-20 03:27:48
共2条回复
马老四

有个等价无穷小是ln(1+x)~x,所以ln(1+x^n)~x^n。

ln函数的运算法则:ln(MN)=lnM+lnN,ln(M/N)=lnM-lnN,ln(M^n)=nlnM,ln1=0,lne=1,注意拆开后M,N需要大于0。没有ln(M+N)=lnM+lnN,和ln(M-N)=lnM-lnN,lnx是e^x的反函数。

对数函数的一般形式为y=㏒(a)x,实际上就是数函数的反函数(图像关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1)。

分式的反函数

求极限基本方法有:

1、分式中,分子分母同除以最高次,化无穷大为无穷小计算,无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时,分子有理化。

3、运用洛必达法则,但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大,或无穷小比无穷小,分子分母还必须是连续可导函数。

苏州马小云

1/2*x²

泰勒公式

ln(1+x)=x-1/2*x²+O(x²)

x-ln(1+x)~1/2*x²

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在高考试题及平时测试中,经常能碰到分式型函数求值域问题。其表现形式有一元一次式比一元一次式,一元二次式比一元一次式,一元一次式比一元二次式,一元二次式比一元二次式;三次以上的比较少见,如果碰到的话,技巧性也比较强;此外还有f(x)=x+m/x的形式。现在我们就对这些分式函数求值域的问题进行详细探究。一、一元一次式比一元一次式,一元一次式比一元一次式解法有三种:(1)极限法;(2)分离法;(3)反函数法。二、分子分母至少有一个是二元2.1、当x∈R时,或者x没有限制时,可用判别式法来求值域2.2、当x有取值范围限制时,可转化为对勾函数(形如f(x)=ax+b/x(a,b>0)的函数)来求值域三、一元三次式比一元四次式,方法技巧:一元三次式比一元四次式,先用换元法将其转化为一元一次式比一元二次式。四、形如f(x)=x+m/x的函数求值域(1)当m<0时,函数在(-∞,0)或(0,+∞)为均单调递增(2)当m>0时,可利用不等式的性质求解好了,今天的《高中数学:四种类型轻松学会分式函数求值域》就介绍到这里,欢迎继续关注,精彩还将继续!
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2023-02-01 19:22:071

高中的函数及其表示,解题方法。

我查的 可能和你要的有些不同 但也看看吧 也许有帮助一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。 ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( ) A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞) (答案:D)。 六.图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。 解:原函数化为 -2x+1 (x≤1) y= 3 (-1<x≤2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。 点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七.单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。 解:设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。 点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3}) 八.换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。 解:设t=√2x+1 (t≥0),则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 九.构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5}。 点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2}) 十.比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。 例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。 解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。 函数的值域为{z|z≥1}. 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。 练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1}) 十一.利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0,故y≠3。 ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2) 十二.不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。 解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)>0 1-x≠0 解得,0<x<1。 ∴函数的值域(0,1)。 点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用:求下列函数的值域1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})2.Y=2x/(2x-1)。 (y>1或y<0) 注意变量哦
2023-02-01 19:22:281

若y=ax+b(a≠0)有反函数且反函数就是y=ax+b(a≠0)本身,求a,b应满足条件

y轴x=0x=0,y=4*0-4=-4所以y=4x-4过(0,-4)则y=kx+b过(0,-4)且过点(-2,-8),所以-4=0+b-8=-2k+bb=-4,k=20
2023-02-01 19:22:493

函数的值域一定是它反函数的定义域吗??

不一定 这要具体情况具体分析 有时不满足
2023-02-01 19:24:133

反函数的二阶导数与原函数二阶导数的关系

没有太明白你问题的意思对函数进行二次求导得到的不就是二阶导数么二者结果相同而且都是表达的一次导数的变化情况意义应该也一样的
2023-02-01 19:24:354

二次函数如何配方,求最值,值域

一.观察法  通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。  例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。  点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。  解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,  故3+√(2-3x)≥3。  ∴函数的知域为  .  点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。  本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。  练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})  二.反函数法  当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。  例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。  点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。  解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。  点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。  练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})  三.配方法  当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域  例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。  点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。  解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]  ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]  点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。  练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为)  四.判别式法  若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。  例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。  点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。  解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0         (*)  当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3  当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。  点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。  练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。  五.最值法  对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。  例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。  点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。  解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),  ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。  当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。  ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。  点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。  练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为               (  )  A.(-∞,+∞)  B.[-7,+∞]  C.[0,+∞)  D.[-5,+∞)  (答案:D)。  六
2023-02-01 19:25:171

反函数的二阶导数

2023-02-01 19:26:012

反函数求二阶导数,结果是什么?

设dy/dx=y",则dx/dy=1/y",应视为y的函数则d2x/dy2=d(dx/dy)/dy(定义)=d(1/(dy/dx)) / dy=d(1/(dy/dx))/dx * dx/dy(复合函数求导,x是中间变量)=-y""/(y")^2 * (1/y")=-y""/(y")^3所以,反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数扩展资料结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导。3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方。4、如果有复合函数,则用链式法则求导。
2023-02-01 19:26:221

函数f(x)=ax-b/x(a>0,b>0)求值域问题

对于一次/一次型的分式型函数,可以先求其反函数,再求反函数的定义域,反函数的定义域就是原函数的值域如你上面的问题:令 y = (ax - b)/ x 则 yx = ax - b → (y - a)x = - b,即有: x = -b/(y - a) 故所求反函数是 y = - b/(x -a ) ,反函数的定义域是x∈R且x ≠ a所以,原函数的值域是:y ∈R且y ≠ a
2023-02-01 19:27:471

反函数的二阶导数

2023-02-01 19:28:092

原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系?

2023-02-01 19:29:124