格林公式完成闭环

格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。一般用于二元函数的全微分求积。设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。取正向的边界曲线公叫做格林公式。

在物理学与数学中， 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为�6�5C�6�5且平面区域为�6�5D�6�5的双重积分。 格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名。设闭区域D由分段光滑的曲线�6�5L�6�5围成，函数�6�5P(x,y)及�6�5Q(x,y)在�6�5D�6�5上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林第一公式、格林第二公式。p好q是�6�5P(x,y)及�6�5Q(x,y)在�6�5D�6�5上具有一阶连续偏导数

（接上文曲面积分） 正如最早提到的， 格林公式 描述了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的（第二类）曲线积分之间的关系。形式如下， 除了书上的证明方法以外，在此记录另一种理解思路（非严格证明）。 我们知道，右侧的曲线积分是可以跟 做功 相关联的。而左侧的二重积分是可以跟 面积 相关联的（ ）。但是做功和面积好像并不怎么相关联，和做功相关联的是长度（位移）。 因此，我们想到用面积来表示长度（位移），试试效果。 如上图，假设有力 ，我们想求力 绕闭区域 逆时针一圈所作的功，即 。 我们将这个大区域用平行于坐标轴的直线网分解为矩形小区域以及一些沿边界的非矩形区域。容易知，力 沿这些所有小区域逆时针一周 所做功的和 便是所求的功（中间用于划分区域的直线，都会求方向相反的两次功，相互抵消，最后只有沿边界的不为0）。我们取其中一块矩形区域来研究。 先研究水平方向做功 和 。我们令小区域的长宽 ， ，用 表示面积。 ， 在 之间（积分中值公式）。又因为 ，我们让 ， 相等。又因为 ，由偏导数的定义知 所以根据二重积分的定义，所有小区域x方向上做功的总和为 类似的，我们也可以得到另一部分的关系，在此就不再说明。（由于本人学识有限，数学推论很是不严谨，以上推理论证都仅供参考。仅为了简单说明一下将 做功 ， 面积 ， 偏导 ， 二重积分 联系在一起的一种理解方式。） 最后，正是因为以上原因，在用二重积分（与面积关联）求做功时会有偏导（使得面积变为长度）出现。x方向做功会有y出现，y方向做功会有x出现。又因为求x方向做功时，下方轨迹的位移方向（曲线积分方向）为正向，但y值小；上方轨迹的位移方向（曲线积分方向）为逆向，但y值大。使得求x方向做功时，偏导数需要加负号。对应的求y方向做功时，右侧的位移方向（曲线积分方向）为正向，同时x的值大；左侧轨迹的位移方向（曲线积分方向）为逆向，同时x的值小。使得求y方向做功时，偏导数不需要加负号。 （本来还想记录一点关于斯托克斯公式，高斯公式，散度，旋度的内容。但是发现自己一是好像没有什么新的奇怪的理解方式，二是基础太差了，这部分就暂告一段落。学习学习有新想法或者自己基础更扎实了再回来补一补。）

L曲线如图，把下面那个直径L*补齐，变成封闭曲线半圆L"然后应用格林公式其中I*可以直接积出原被积曲线是整个封闭半圆去掉直径

一,格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示.无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式.1,单连通区域的概念设为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于,则称为平面单连通区域;否则称为复连通区域.通俗地讲,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域.2,区域的边界曲线的正向规定设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边.简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手.3,格林公式【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有(1)其中是的取正向的边界曲线.公式(1)叫做格林(green)公式.【证明】先证 假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有因此 再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证综合有当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有, 同时成立.将两式合并之后即得格林公式注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.若取,, ,则格林公式为故区域的面积为 【例1】求星形线 所围成的图形面积.解:当从变到时,点依逆时针方向描出了整个封闭曲线,故【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线,证明证明:这里 , 从而 这里是由所围成的区域.二,平面曲线积分与路径无关的条件1,对坐标的曲线积分与路径无关的定义【定义一】设是一个开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,,等式恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关.定义一还可换成下列等价的说法若曲线积分与路径无关, 那么即: 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关.【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有.2,曲线积分与路径无关的条件【定理】设开区域是一个单连通域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式在内恒成立.证明:先证充分性在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立.由格林公式,有依定义二,在内曲线积分与路径无关.再证必要性(采用反证法)假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使不妨设 由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有由格林公式及二重积分性质有这里是的正向边界曲线,是的面积.这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式应恒成立.注明:定理所需要的两个条件缺一不可.【反例】讨论 ,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的.这里 , 除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且 .在内,作一半径充分小的圆周 在由与所围成的复连通域内使用格林公式有三,二元函数的全微分求积若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号或 来表示,而不需要明确地写出积分路径.显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且 ,则是的单值函数,这里为内一固定点,且亦即 【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分 与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数.下面证明 由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有类似地可证明 因此 【定理二】设是单连通的开区域,,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是在内恒成立.【证明】显然,充分性就是定理一下面证明必要性若存在使得 ,则由于 ,在 内连续, 则二阶混合偏导数适合等式从而 【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得则 其中,是内的任意两点.【证明】由定理1知,函数 适合 于是 或 因此 (是某一常数 )即 而 这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故 因此 □【确定的全微分函数的方法】因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域).

格林公式用法：1、积分曲线为闭曲线L。2、积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向。3、在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数。利用格林公式计算对坐标的曲线积分的基本思路与步骤：第一步：明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(dx前面的函数为P(x,y)，dy前面的函数为Q(x,y)，如果有负号，记得带上负号)。第二步：计算Q(x,y)关于x的偏导数，P(x,y)关于y的偏导数。如果两者之差比较简单且不等于0，则考虑使用格林公式计算曲线积分。第三步：判定问题中给出的条件是否满足格林公式的三个条件：封闭性、方向性和偏导数的连续性。如果封闭性和偏导数的连续性不满足，则可以考虑通过添加辅助线的方式将积分曲线封闭起来，或者将偏导数不存在的点隔离开来。然后使用格林公式在闭区域上计算二重积分。如果添加了辅助线，则最终结果应该用二重积分的结果减去辅助线上的曲线积分。

当曲线L围成的区域为闭区域时，就可以运用格林公式。格林公式的值不一定是零，但是当∂P/∂y = ∂Q/∂x时，曲线积分的结果与路径无关那么二重积分的值就是零。其实三题都是用格林公式，二重积分值都是零。只是第(2)题的曲线本身能围成闭区域，而第(3)(4)题需要添加直线才能围成闭区域。第(2)题的曲线是星形线，是个合区域，所以可直接用格林公式。∮L Pdx + Qdy = ± ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0第(3)题只是一个弧线，不能围成合区域，所以要使用格林公式要添加线段y = 0和x = π/2，所以这三条曲线使区域闭合并且取正向(逆时针)时，格林公式取 + 号，负向(顺时针)时，格林公式取 - 号然后用格林公式的二重积分结果减掉该两条直线的曲线积分，就得原式的结果。曲线L：x = (π/2)y²，(x，y)：(0，0) → (π/2，1)，顺时针添加L1：y = 0，dy = 0，x：π/2 → 0，顺时针添加L2：x = π/2，dx = 0，y：1 → 0，顺时针∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0∫L1 Pdx + Qdy = ∫(π/2，0) 0 dx = 0∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) [ 1 - 2y + 3(π/2)²y² ] dy = - π²/4既然三个线段围成闭区域，它们的积分也同样道理：L+L1+L2 = 闭曲线(L+L1+L2)∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)∫L = ∮(L+L1+L2) - ∫L1 - ∫L2即∫L Pdx + Qdy = 0 - 0 - (- π²/4) = π²/4第(4)题跟第(3)题同样原理，1/4个圆弧不足以围成闭区域，于是添加线段y = 0和x = 1那么就可以应用格林公式了。曲线L：y = √(2x - x²)，(x，y)：(0，0) → (1，1)，顺时针直线L1：y = 0，dy = 0，x：1 → 0，顺时针直线L2：x = 1，dx = 0，y：1 → 0，顺时针∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0∫L1 Pdx + Qdy = ∫(1→0) x² dx = - 1/3∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) - (1 + sin²y) dy = 3/2 - (1/4)sin(2)∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)∫L = 0 - (- 1/3) - [3/2 - (1/4)sin(2)] = - 7/6 + (1/4)sin(2)我这个方法跟你书上那个的道理是一样的。∫L(顺时针) + ∫L1(顺时针) + ∫L2(顺时针) = - ∮(L+L1+L2)(顺时针) = 0∫L(顺时针) = 0 - ∫L1(顺时针) - ∫L2(顺时针)∫L(顺时针) = ∫L1(逆时针) + ∫L2(逆时针)通常都选择用直线跟L绕成闭区域，因为直线的导数能简单求出，容易简化。另外，若被积函数上有奇点，就得绕开奇点部分，挖一个足够小的圆形或椭圆形，然后用格林公式减掉该部分的积分。

格林公式【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 (1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 其中是的取正向的边界曲线. 公式(1)叫做格林(green)公式.

格林公式把第二类曲面积分转换为二重积分。因为第二类曲线积分的积分路径是有方向的，所以格林公式需要考虑正、反向，书上公式是在正向也就是逆时针方向条件下给出的。如果积分曲线的路径是顺时针方向，那么最后结果得加个负号

∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy

一,格林公式 一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式 表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式. 1,单连通区域的概念 设为平面区域,如果内任一闭曲线所围的部分区域都属于,则称为平面单连通区域;否则称为复连通区域. 通俗地讲,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域. 2,区域的边界曲线的正向规定 设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边. 简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手. 3,格林公式 【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 (1) 其中是的取正向的边界曲线. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【证明】先证 假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点) 易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可. 另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有 因此 再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证 综合有 当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有 , 同时成立. 将两式合并之后即得格林公式 注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立. 格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛. 若取,, ,则格林公式为 故区域的面积为 【例1】求星形线 所围成的图形面积. 解:当从变到时,点依逆时针方向描出了整个封闭曲线,故 【例2】设是任意一条分段光滑的闭曲线,证明 证明:这里 , 从而 这里是由所围成的区域. 二,平面曲线积分与路径无关的条件 1,对坐标的曲线积分与路径无关的定义 【定义一】设是一个开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,,等式 恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关. 定义一还可换成下列等价的说法 若曲线积分与路径无关, 那么 即: 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关. 【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有 . 2,曲线积分与路径无关的条件 【定理】设开区域是一个单连通域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式 在内恒成立. 证明:先证充分性 在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立. 由格林公式,有 依定义二,在内曲线积分与路径无关. 再证必要性(采用反证法) 假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使 不妨设 由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有 由格林公式及二重积分性质有 这里是的正向边界曲线,是的面积. 这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式 应恒成立. 注明:定理所需要的两个条件 缺一不可. 【反例】讨论 ,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的. 这里 , 除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且 . 在内,作一半径充分小的圆周 在由与所围成的复连通域内使用格林公式有 三,二元函数的全微分求积 若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号 或 来表示,而不需要明确地写出积分路径. 显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理 【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且 ,则 是的单值函数,这里为内一固定点,且 亦即 【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分 与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数. 下面证明 由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有 类似地可证明 因此 【定理二】设是单连通的开区域,,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是 在内恒成立. 【证明】显然,充分性就是定理一 下面证明必要性 若存在使得 ,则 由于 ,在 内连续, 则二阶混合偏导数适合等式 从而 【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得 则 其中,是内的任意两点. 【证明】由定理1知,函数 适合 于是 或 因此 (是某一常数 ) 即 而 这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故 因此 □ 【确定的全微分函数的方法】 因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域).

设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 　　(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 　　其中是的取正向的边界曲线. 格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.

x2 + y2 = Rx ==> (x - R/2)2 + y2 = (R/2)2 ==> r = Rcosθ 这是在y轴右边,与y轴相切的圆形所以角度范围是有- π/2到π/2 又由于被积函数关于x轴对称由对称性,所以∫∫D = 2∫∫D(上半部分),即角度范围由0到π/2 ∫∫ √(R2 - x2 - y2) dxdy = ∫∫ √(R2 - r2) * r drdθ = 2∫(0,π/2) dθ ∫(0,Rcosθ) √(R2 - r2) * r dr = 2∫(0,π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(R2 - r2)^(3/2) |(0,Rcosθ) = (- 2/3)∫(0,π/2) [(R2 - R2cos2θ)^(3/2) - R3] dθ = (- 2/3)∫(0,π/2) R3(sin3θ - 1) dθ = (- 2/3)R3 * (2!/3!- π/2),这里用了Wallis公式 = (- 2/3)R3 * (2/3 - π/2) = (1/3)(π - 4/3)R3

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（X，Y） 及Q（X，Y） 在D上具有一阶连续偏导数，则有“格林公式，其中L是D的取正向的边界曲线斯托克斯公式设 为光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的下向与 的侧符合右手规则。P(x,y,z),Q((x,y,z),R((x,y,z)在包含 在内的一个空间区域内具有一阶连续编导数，则有（公式打不出来）

转换方法：格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换，而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换；而斯托克公式是格林公式的推广，把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来。注意斯托克公式中，若边界L在xoy面上，则有dz=0。即得到了格林公式。第 1 页在高数的曲线曲面积分部分，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是三个十分十分重要的公式，利用这三个公式可以将复杂的积分转化为我们比较熟悉的积分进行解决。看似是三个公式，实则互相关联。现在将这三个公式总结如下，并简单的介绍三者之间的关系，为此，提前引入散度、旋度和通量的概念。

当然有格林公式：格林公式的正方向是逆时针。添加的很小的闭曲线是顺时针，这是要求外面的曲线是逆时针。高斯公式：边界曲面是外侧，那么添加的曲面是内侧。高斯公式，原曲面不闭合，应该补面，但是补的这个面∑1要看原来的∑是内测或者外侧来定：如果∑是外侧，则∑1是外侧构成封闭；如果∑是内侧，则∑1是内测构成封闭，但这是用高斯公式加负号。

这题是格林公式的一个运用:设P(X,Y)=-Y,Q(X,Y)=X则有 δQ/δX=1, δP/δY=-1,2∫∫D DX DY=∮L XDY-YDX.上式左端是闭区域D的面积σ的两倍,因此我们又得到一个用曲线积分计算平面区域面积的公式σ=∫∫D DXDY=1/2 ∮XDY-YDX

您好，答案如图所示：（2）计算[L]∫(2a-y)dx-(a-y)dy,L；摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)从点O(0,0)到点B(2πa,0).原式=[0,2π]∫{[2a-a(1-cost)]a(1-cost)-[a-a(1-cost)](asint)]}dt=[0,2π]∫[a²(1-cos²t)-a²sintcost]dt=[0,2π]a²∫(sin²t-sintcost)dt=a²[(1/2)t-(1/4)sin2t-(1/2)sin²t]︱[0,2π]=πa².（3）写出椭圆的参数方程x=acost,y=bsint,则dy=bcostdt,代人积分表达式中,积分=∫[a^2(cost)^2+2ab^2sint(cost)^2]dt（积分限0到π）,计算这个定积分即可,结果等于(4/3)ab^2.很高兴能回答您的提问，您不用添加任何财富，只要及时采纳就是对我们最好的回报。若提问人还有任何不懂的地方可随时追问，我会尽量解答，祝您学业进步，谢谢。☆⌒_⌒☆ 如果问题解决后，请点击下面的“选为满意答案”

格林公式正向判断方法：边界曲线是逆时针的则为正向，顺时针则为负向。格林公式就是设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有∮cP（x，y）dx+Q（x，y）dy=∫∫D（dQ/dx-dP/dy）dxdy，该式子就是取正向的边界曲线。设是平面区域的边界曲线，规定的正向为：当观察者沿的这个方向行走时，平面区域（也就是上面的D）内位于他附近的那一部分总在他的左边。简言之，区域的边界曲线的正向应符合条件：人沿曲线走，区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。

加一段或几段直线段或简单曲线段，构成封闭区域，化成二重积分，用格林发求出结果，减去增加的线路上的积分值，就得到所要求的值。 ∫∫(D)(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮(L)(Pdx十Qdy)比如(0,0)沿y=x²到(1,1)，沿直线y=1到(0,1)，沿直线x=0到(0,0),P=x-y，Q=x十y∂Q/∂x=1,∂P/∂y=-1∫∫(D)(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=2∫∫(D)dxdy=2∫(0,1)dx∫(x²，1)dy=2∫(0,1)(1-x²)dx=2(x-x³/3)|(0,1)=2×2/3=4/3∫((1,1)，(0,1))(x-y)dx十∫((0,1),(0,0))(x十y)dy=∫(1,0)(x-1)dx十∫(1,0)ydy=[(1/2)x²-x](1,0)十(1/2)y²|(1,0)=-[1/2-1]十(1/2)(0-1)=1/2-1/2=04/3就是结果。

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I = ∮<L>x^2ydx+y^2xdy =∫∫<D>(y^2-x^2)dxdy =∫<-π/2,π/2>dt∫<0,2cost>r^2[(sint)^2-(cost)^2]rdr=∫<-π/2,π/2>(-cos2t)dt[r^4/4]<0,2cost> =∫<-π/2,π/2>4(cost)^4(-cos2t)dt= -2∫<0,π/2>(1+cos2t)^2(cos2t)dt= -2∫<0,π/2>[cos2t+2(cos2t)^2+(cos2t)^3]dt= -2∫<0,π/2>(cos2t+1+cos4t)dt -∫<0,π/2>[1-(sin2t)^2]dsin2t= -2[t+sin2t/2+sin4t/4]<0,π/2> - [sin2t-(sin2t)^3/3]<0,π/2>= -π

Py=1 Qx=-1 Qx-Py=-2 由格林公式： ∫+L（x+y)dx-(x-y)dy =∫∫（-2)dxdy =-2πab

对称性，xy关于x是奇函数，积分区域关于y轴对称，积分为0或者说，xy关于y是奇函数，积分区域关于x轴对称，积分为0

（除了对弧长的线积分，别的线积分都请注意方向！！！！） 1.（对弧长，对坐标）曲线积分 2.两类曲线积分之间的联系 3.格林公式 4.曲线积分与路径无关的条件 5.斯托克斯公式 6.已知某函数的全微分求一个函数（线积分，偏积分，凑微分） 注：只有线积分和面积分，可以把被积函数代入，因为线面积分就是沿着曲线做，曲面做；重积分不能代（二重，三重）。 注意：（类比走校园） 1.两个曲线积分的被积函数相同，起点终点也不相同，但沿着不同路径得出的积分值可以不相等。 2.沿着不同路径，曲线积分的值可以相等 使用格林公式注意以下两点: 1.P(x,y)，Q(x,y)在 闭区域D 上处处 连续的一阶偏导数 2.积分曲线L为 闭曲线 且取 正向 然后是个经典例题 直角坐标，参数方程，极坐标方程都可 对称性，形心公式都可 格林公式，补线 这题有坑，换种形式的坑，注意分母不为0，别随便换积分路径 这里卡了半天，加了个一瞥，那个定积分就不会求了，醉了。 平面形式用斯克托斯公式行列式形式 特征：一个曲面，平面，空间二型线积分，化空间为平面，用格林公式（方便） 做到这题，我意识到，自己的识图环节有多菜了 偷学两张图，终于会画了。。 还有上次遇到的星形线 还没复习空间解析几何，这题先记牢吧。。。 先补充一下刷到的问题。。。

降维格林公式统一公式叫做斯托克斯定理。根据查询相关信息显示降维格林公式统一公式叫做斯托克斯定理其实就是降维打击，这种降维是保持了面积体积这种性质不发生改变。在一个矩形上，可以去理解一下微分形式的话，这些公式的意义一目了然。当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理，斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。

在物理学与数学中， 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为�6�5C�6�5且平面区域为�6�5D�6�5的双重积分。 格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治·格林（George Green）命名。设闭区域D由分段光滑的曲线�6�5L�6�5围成，函数�6�5P(x,y)及�6�5Q(x,y)在�6�5D�6�5上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林第一公式、格林第二公式。p好q是�6�5P(x,y)及�6�5Q(x,y)在�6�5D�6�5上具有一阶连续偏导数

格林公式 【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 (1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 其中是的取正向的边界曲线. 公式(1)叫做格林(green)公式.

一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式 表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式. 1,单连通区域的概念 　　设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D,则D称为平面单连通区域;否则称为复连通区域. 　　通俗地讲,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域. 2,区域的边界曲线的正向规定 　　设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边. 　　简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手. 3,格林公式 　　【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 　　(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 　　其中是的取正向的边界曲线. 　　公式(1)叫做格林(green)公式. 　　【证明】先证 　　假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点) 　　易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可. 　　另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有 　　因此 　　再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证 　　综合有 　　当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有 格林公式 , 　　同时成立. 　　将两式合并之后即得格林公式 　　注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立. 　　格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛. 编辑本段二,平面曲线积分与路径无关的条件 1,对坐标的曲线积分与路径无关的定义 　　【定义一】设是一个开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,等式 　　恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关. 　　定义一还可换成下列等价的说法 　　若曲线积分与路径无关, 那么 　　即: 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关. 　　【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有 　　. 2,曲线积分与路径无关的条件 　　【定理】设开区域是一个单连通域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式 　　在内恒成立. 　　证明:先证充分性 　　在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立. 　　由格林公式,有 　　依定义二,在内曲线积分与路径无关. 　　再证必要性(采用反证法) 　　假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使 　　不妨设 　　由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有 　　由格林公式及二重积分性质有 　　这里是的正向边界曲线,是的面积. 　　这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式 　　应恒成立. 　　注明:定理所需要的两个条件 　　缺一不可. 　　【反例】讨论 ,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的. 　　这里 　　, 　　除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且 . 　　在内,作一半径充分小的圆周 　　在由与所围成的复连通域内使用格林公式有 编辑本段三,二元函数的全微分求积 　　若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号 　　或 　　来表示,而不需要明确地写出积分路径. 　　显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理 　　【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且 ,则 格林公式 是的单值函数,这里为内一固定点,且 　　亦即 　　【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分 与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数. 　　下面证明 　　由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有 　　类似地可证明 　　因此 　　【定理二】设是单连通的开区域,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是 　　在内恒成立. 　　【证明】显然,充分性就是定理一 　　下面证明必要性 　　若存在使得 ,则 　　由于 ,在 内连续, 则二阶混合偏导数适合等式 　　从而 　　【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得 　　则 　　其中,是内的任意两点. 　　【证明】由定理1知,函数 　　适合 　　于是 或 　　因此 (是某一常数 ) 　　即 　　而 　　这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故 　　因此 □ 　　【确定的全微分函数的方法】 　　因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域). 　　------------------------------------------------------- 　　【证明】先证 　　假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点) 　　易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可. 　　另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有 　　因此 　　再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证 　　综合有 　　当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有 　　, 　　同时成立. 　　将两式合并之后即得格林公式 　　注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.

？！？。？？？

由此类比，在平面区域 上的二重积分也可以通过沿区域 的边界曲线 上的曲线积分来表示，这便是我们要介绍的格林公式. 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域；否则称为复连通区域.通俗地讲，单连通区域是不含洞(包括点洞)与裂缝的区域. 设 是平面区域 的边界曲线，规定 的正向为：当观察者沿的这个方向行走时，平面区域(也就是上面的D)内位于他附近的那一部分总在他的左边.简言之：区域的边界曲线的正向应符合条件：人沿曲线走，区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则有其中 是 的取正向的边界曲线.公式⑴叫做格林(green）公式. 先证 假定区域 的形状如下（用平行于 轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点）易见，图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况，我们仅对图一所表示的区域 给予证明即可.另一方面，据对坐标的曲线积分性质与计算法有因此 　　　　假设将AB曲线上移，或EC曲线下移，使AE重合或者BC重合，便可以认为是一条常规的曲线。也可以认为某条常规曲线是由右图将AE或BC长度设为零形成的。再假定穿过区域 内部且平行于 轴的直线与 的边界曲线的交点至多是两点，用类似的方法可证综合有当区域 的边界曲线与穿过 内部且平行于坐标轴（ 轴或 轴）的任何直线的交点至多是两点时，我们有同时成立.将两式合并之后即得格林公式注：若区域不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立.格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛.

一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿,莱布尼兹公式 表明:函数在区间上的定积分可通过原函数在这个区间的两个端点处的值来表示. 无独有偶,在平面区域上的二重积分也可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式. 1,单连通区域的概念 　　设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D,则D称为平面单连通区域;否则称为复连通区域. 　　通俗地讲,单连通区域是不含"洞"(包括"点洞")与"裂缝"的区域. 2,区域的边界曲线的正向规定 　　设是平面区域的边界曲线,规定的正向为:当观察者沿的这个方向行走时,内位于他附近的那一部分总在他的左边. 　　简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手. 3,格林公式 　　【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 　　(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 　　其中是的取正向的边界曲线. 　　公式(1)叫做格林(green)公式. 　　【证明】先证 　　假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点) 　　易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可. 　　另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有 　　因此 　　再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证 　　综合有 　　当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有 格林公式 , 　　同时成立. 　　将两式合并之后即得格林公式 　　注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立. 　　格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛. 编辑本段二,平面曲线积分与路径无关的条件 1,对坐标的曲线积分与路径无关的定义 　　【定义一】设是一个开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,如果对于内任意两点,以及内从点到点的任意两条曲线,等式 　　恒成立,就称曲线积分在内与路径无关;否则,称与路径有关. 　　定义一还可换成下列等价的说法 　　若曲线积分与路径无关, 那么 　　即: 在区域内由所构成的闭合曲线上曲线积分为零.反过来,如果在区域内沿任意闭曲线的曲线积分为零,也可方便地导出在内的曲线积分与路径无关. 　　【定义二】曲线积分在内与路径无关是指,对于内任意一条闭曲线,恒有 　　. 2,曲线积分与路径无关的条件 　　【定理】设开区域是一个单连通域, 函数,在内具有一阶连续偏导数,则在内曲线积分与路径无关的充分必要条件是等式 　　在内恒成立. 　　证明:先证充分性 　　在内任取一条闭曲线,因单连通,故闭曲线所围成的区域全部在内.从而 在上恒成立. 　　由格林公式,有 　　依定义二,在内曲线积分与路径无关. 　　再证必要性(采用反证法) 　　假设在内等式不恒成立,那么内至少存在一点,使 　　不妨设 　　由于在内连续,在内存在一个以为圆心,半径充分小的圆域,使得在上恒有 　　由格林公式及二重积分性质有 　　这里是的正向边界曲线,是的面积. 　　这与内任意闭曲线上的曲线积分为零的条件相矛盾.故在内等式 　　应恒成立. 　　注明:定理所需要的两个条件 　　缺一不可. 　　【反例】讨论 ,其中是包围原点的一条分段光滑曲线且正向是逆时针的. 　　这里 　　, 　　除去原点外,在所围成的区域内存在,连续,且 . 　　在内,作一半径充分小的圆周 　　在由与所围成的复连通域内使用格林公式有 编辑本段三,二元函数的全微分求积 　　若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号 　　或 　　来表示,而不需要明确地写出积分路径. 　　显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理 　　【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且 ,则 格林公式 是的单值函数,这里为内一固定点,且 　　亦即 　　【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分 与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数. 　　下面证明 　　由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有 　　类似地可证明 　　因此 　　【定理二】设是单连通的开区域,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是 　　在内恒成立. 　　【证明】显然,充分性就是定理一 　　下面证明必要性 　　若存在使得 ,则 　　由于 ,在 内连续, 则二阶混合偏导数适合等式 　　从而 　　【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得 　　则 　　其中,是内的任意两点. 　　【证明】由定理1知,函数 　　适合 　　于是 或 　　因此 (是某一常数 ) 　　即 　　而 　　这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故 　　因此 □ 　　【确定的全微分函数的方法】 　　因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域). 　　------------------------------------------------------- 　　【证明】先证 　　假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点) 　　易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可. 　　另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有 　　因此 　　再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证 　　综合有 　　当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有 　　, 　　同时成立. 　　将两式合并之后即得格林公式 　　注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.

星形线面积格林公式：x=acos3t。格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。一般用于二元函数的全微分求积。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

格林公式顺时针和逆时针的区别：两者所指的方向不同。钟表时针转动的方向就是顺时针，与钟表时针转动的方向相反的就是逆时针。把手向上举，先向右摆，再向下摆，再向左摆，再向上回到开始的位置。这样转过的一圈，就是顺时针方向。反过来转，就是逆时针方向。在数学上，规定顺时针旋转的角为负角，逆时针旋转的角为正角。格林公式把第二类曲面积分转换为二重积分。因为第二类曲线积分的积分路径是有方向的，所以格林公式需要考虑正、反向，书上公式是在正向也就是逆时针方向条件下给出的。如果积分曲线的路径是顺时针方向，那么最后结果得加个负号。格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。一般用于二元函数的全微分求积。设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。

当曲线L围成的区域为闭区域时，就可以运用格林公式。格林公式的值不一定是零，但是当∂P/∂y = ∂Q/∂x时，曲线积分的结果与路径无关那么二重积分的值就是零。其实三题都是用格林公式，二重积分值都是零。只是第(2)题的曲线本身能围成闭区域，而第(3)(4)题需要添加直线才能围成闭区域。第(2)题的曲线是星形线，是个合区域，所以可直接用格林公式。∮L Pdx + Qdy = ± ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0第(3)题只是一个弧线，不能围成合区域，所以要使用格林公式要添加线段y = 0和x = π/2，所以这三条曲线使区域闭合并且取正向(逆时针)时，格林公式取 + 号，负向(顺时针)时，格林公式取 - 号然后用格林公式的二重积分结果减掉该两条直线的曲线积分，就得原式的结果。曲线L：x = (π/2)y²，(x，y)：(0，0) → (π/2，1)，顺时针添加L1：y = 0，dy = 0，x：π/2 → 0，顺时针添加L2：x = π/2，dx = 0，y：1 → 0，顺时针∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0∫L1 Pdx + Qdy = ∫(π/2，0) 0 dx = 0∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) [ 1 - 2y + 3(π/2)²y² ] dy = - π²/4既然三个线段围成闭区域，它们的积分也同样道理：L+L1+L2 = 闭曲线(L+L1+L2)∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)∫L = ∮(L+L1+L2) - ∫L1 - ∫L2即∫L Pdx + Qdy = 0 - 0 - (- π²/4) = π²/4第(4)题跟第(3)题同样原理，1/4个圆弧不足以围成闭区域，于是添加线段y = 0和x = 1那么就可以应用格林公式了。曲线L：y = √(2x - x²)，(x，y)：(0，0) → (1，1)，顺时针直线L1：y = 0，dy = 0，x：1 → 0，顺时针直线L2：x = 1，dx = 0，y：1 → 0，顺时针∮(L+L1+L2) Pdx + Qdy = - ∫∫D [ ∂Q/∂x - ∂P/∂y ] dxdy = 0∫L1 Pdx + Qdy = ∫(1→0) x² dx = - 1/3∫L2 Pdx + Qdy = ∫(1→0) - (1 + sin²y) dy = 3/2 - (1/4)sin(2)∫L + ∫L1 + ∫L2 = ∮(L+L1+L2)∫L = 0 - (- 1/3) - [3/2 - (1/4)sin(2)] = - 7/6 + (1/4)sin(2)我这个方法跟你书上那个的道理是一样的。∫L(顺时针) + ∫L1(顺时针) + ∫L2(顺时针) = - ∮(L+L1+L2)(顺时针) = 0∫L(顺时针) = 0 - ∫L1(顺时针) - ∫L2(顺时针)∫L(顺时针) = ∫L1(逆时针) + ∫L2(逆时针)通常都选择用直线跟L绕成闭区域，因为直线的导数能简单求出，容易简化。另外，若被积函数上有奇点，就得绕开奇点部分，挖一个足够小的圆形或椭圆形，然后用格林公式减掉该部分的积分。

格林公式计算曲线积分P(x，y)=2xy-x^2，Q(x，y)=x+y^2。格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。一般用于二元函数的全微分求积。在平面闭区域D上的二重积分，可通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达；或者说，封闭路径的曲线积分可以用二重积分来计算。如区域D不满足以上条件，即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时，可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域，使得每个部分区域适合上述条件，仍可证明格林公式成立。

通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示平面区域上的二重积分

格林公式是高数第七章。闭合曲线内有奇点不可以直接用格林公式。补充了顺时针绕奇点的微小椭圆后，才可以用格林公式，从而得到：原积分 = 沿逆时针绕奇点的微小椭圆的积分。现在原来的曲线加上小区域的边界一起构成了新的区域的边界。这个才可以用格林公式。相关概念设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。

格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换,而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换； 而斯托克公式是格林公式的推广,把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来.注意斯托克公式中,若边界L在xoy面上,则有dz=0.即得到了格林公式. 因为最近在准备考试,时间有点紧张,所以说的不是很详细,不知能不能明白.如果不行的话, 等明天或后天我会列出公式给你详细的补充.

（1）由于原积分满足Q"x=P"y。且含有一个奇点(1,0)。但是x^2+y^2-2y=0不包含这个奇点。所以原积分=0(2)因为L: 4x^2+y^2-8x=0是个中心在(1,0)，长半轴为a=2, 短半轴为b=1的椭圆，包含奇点。所以可以构造L2：(x-1)^2+y^2=1。因为L2是一个包含奇点，且在L内的一个圆，所以 ∫(L) Pdx+Qdy=∫(L2) Pdx+Qdy根据参数方程x=1+cosθ，y=sinθ, 0<=θ<=2π所以 ∫(L) Pdx+Qdy=∫(L2) Pdx+Qdy=∫ydx-(x-1)dy=∫sinθ d(1+cosθ)-cosθ dsinθ= -∫(0->2π) dθ= -2π

P=xy+e^(x^2)Q=x^2-ln(1+y)原曲线积分=二重积分(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=二重积分(2x-x)dxdy=积分(0到π)xdx*积分(0到sinx)dy=积分(0到π)xsinx*dx=sinx-xcosx|(0到π)=π

格林公式的条件是区域D必须是单连通的，也就是说区域D是连续的，通俗讲，区域D中没有洞；组成区域D的曲线必须是连续的；曲线L（可以是分段组成）具有正向规定；被积函数在D中具有连续一阶连续偏导数。设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有∮cP（x，y）dx+Q（x，y)）dy=∫∫D（dQ/dx-dP/dy）dxdy其中是的取正向的边界曲线。

格林公式及其应用是高等数学的重要内容之一，在多元积分学教学内容体系中处于承上启下、承前启后的地位。格林公式是英国著名的数学家、物理学家乔治·格林在1928年提出的。格林公式与牛顿-莱布尼茨公式、高斯公式、斯托克斯公式，都体现了整体运算与边界运算之间的联系，为二重积分的进一步理论研究和实际应用提供了新途径。在使用“曲线积分与路线的无关性”时，要求积分区域是单连通的，从而利用格林公式计算得到任意封闭曲线的积分为零，但如何计算复连通区域内的电线积分的问题却很少。

. 在基本电路中，最常见的三种基本元件分别是_(电源、导线、用电器)___,这类元件能够反映自身主要的电池=磁，被称为____.（不懂你的意思，这个填不了）4.( 我国市电的用户变压器)三相电源星形连接可以输出两种电压，即相电压为__(220v)__伏，线电压为__(380v)__伏。5. 电压源和电流源可以互换，但两电源内阻__(不同)（或填 特性不同）__,有关参考方向应当_____.(不懂你的意思) (注：电压源内阻较小且稳定，电流源内阻是随负荷大小而变化的)6. “KVL”指的是__(基尔霍夫电压定律)___,它确立了回路中各元件___(电压)___,之间的关系，此关系的数学表达式写为___（∑U=0）___.

到这步的时候格林公式已经使用完毕。∫∫dxdy就是椭圆的面积πab，即∫∫dxdy= πab

高斯公式是闭曲面积分与相对应的三重积分之间的关系；格林公式是闭曲线积分和对应的二重积分之间的关系；斯托克斯公式是三维的曲线积分与对应的重积分之间的关系。

物理学中的一个重要函数在数学物理方法中,格林函数又称为源函数或影响函数，是英国人G.格林于1828年引入的。　物理学中单体量子理论所使用的格林函数，其定义稍有扩充。它满足方程: (-)(,,)=(-),其中是单粒子哈密顿量,可以包括外场及杂质势等。单格林函数在无序体系研究中有重要应用,例如用平均矩阵近似、相干势近似求态密度。　多体量子理论的格林函数自20世纪60年代以来已成为凝聚态理论研究的有力工具。目前物理当中格林函数常指用于研究大量相互作用粒子组成的体系的多体格林函数。多体格林函数代表某时某地向体系外加一个粒子，又于它时它地出现的几率振幅。格林函数描写粒子的传播行为，又称为传播子。　为了研究多粒子体系在大于绝对零度时的平衡态行为，引入了温度格林函数。由于温度的倒数和虚时间有形式上的对应，温度格林函数也称为虚时间格林函数。为了研究0K的非平衡态行为,[kg2]引入了0K的时间格林函数及闭路格林函数。　在量子场论中计算具体物理过程的矩阵元时，也常出现格林函数，其物理意义也是代表粒子传播的几率振幅。由于多体格林函数=0K时对应于它，所以量子场论中的费因曼图解法（见费因曼图）也可用于多体格林函数。重正化群方法近十年来也用于凝聚态研究中，例如近藤效应、一维导体。

可以用格林公式。格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。一般用于二元函数的全微分求积。

好了好了，好了好了

首先要知道三个公式的区别了格林公式研究的是把平面第二类曲线积分转化为二重积分来做，但是要注意正方向的选取，以及平面单连通和平面复连通，有时需要取辅助线构成封闭曲线的，但是要计算辅助曲线的曲线积分，因为此时的格林公式值是由两条曲线叠加后产生的，这个很重要，因为积分与路径无关都要涉及到平面复连通和单连通的计算……斯托克斯公式就是格林公式在空间内的推广，既然格林公式研究的是平面内的第二类曲线积分，那么斯托克斯公式研究的就是空间内的第二类曲线积分，要知道边界曲线正方向和曲面正方向成右手定则关系的……区分什么是空间线单连通，什么是空间面单连通，这个考试不考，但是很重要，空心球的模型和圆环模型要注意区别了，把这两个弄懂了就好了高斯公式就是把第二类曲面积分转化成三重积分来做了，但是要注意正方向的选取，是取边界曲面外法线方向，从物理上说，就是流量从内向外……这3个公式在运用之前，有时要代换的，就是把曲线方程或者是曲面方程带入被积函数，达到化简计算的目的，但这只是对于一种曲面的情况，因为被积函数上的每一个点都在曲面、曲线方程上，可带入，对于多个曲面、曲线构成的分片或者分段的边界，不可以带入，因为不是每一个被积函数的点都满足曲面、曲线方程，这时曲面、曲线方程有很多的，有的点满足这个，有的点满足那个，不一定，所以不能带入……另外通过公式化成二重积分和三重积分后也不能带入，因为此时不是曲线积分或者曲面积分的题目了，转变为普通的二三重积分了，带入肯定出错的……希望写的对你要帮助……