概率统计

P(B)=1/3P(A"|B")=1/4P(A"|B)=1/5-----------------P(B")=1-1/3=2/3P(A|B")=1-1/4=3/4P(A|B)=1-1/5=4/5P(A∩B")=P(A|B")P(B")=3/4 * 2/3 =1/2P(A∩B)=P(A|B)P(B)=4/5 * 1/3 =4/15------------------P(A)=P(A∩B")+P(A∩B)=1/2+4/15=23/30

P(B)=1/3P(A"|B")=1/4P(A"|B)=1/5-----------------P(B")=1-1/3=2/3P(A|B")=1-1/4=3/4P(A|B)=1-1/5=4/5P(A∩B")=P(A|B")P(B")=3/4 * 2/3 =1/2P(A∩B)=P(A|B)P(B)=4/5 * 1/3 =4/15------------------P(A)=P(A∩B")+P(A∩B)=1/2+4/15=23/30

这个真不好说，因为这要看你的知识储备及兴趣爱好。

随机分析和随机过程是两个不同的课程，随机分析更高级一些。随机过程论严格来讲的话需要高等概率论作为基础，而高等概率论需要测度论做基础。随机过程跟应用概率统计的难度根本不在一个层次上，相差非常多，应用概率统计本科生就可以学，随机过程（注意不是应用随机过程）研究生阶段才要求掌握，随机分析在北大数院也较多是博士生修～

实际上，报考的时候是不可能知道具体方向的，因为都是近来后才分导师，而且那几个导师几乎都是搞有限元的，只有一个是多方面都搞的。如果要学计算机，就不要读这个专业，但如果要想搞数学与计算机相结合的路子，就可以来读，至于方向，确实没什么区别。不用多去管它。以四川大学的数学学院为例：基础数学专业 研究方向：数论、代数学、微分几何、拓扑学、泛函分析、偏微分方程、微分方程与动力系统、函数论、机器证明。主干课程： 数论、抽象代数、现代微分几何、代数拓扑学、泛函分析、偏微分方程近代理论、一般拓扑学、集合论、 Banach代数技巧、非线性泛函分析、二阶椭圆型方程、非线性泛函分析、泛函微分方程理论、微分动力系统、多复变函数论、二次型引论、计算数论引论、局部域、模型式、有限群的构造、结合代数与模等。应用数学专业 研究方向：应用数论与组合论、模糊数学及其应用、应用非线性分析、数学物理偏微分方程、应用泛函分析、泛函微分方程、生物数学、金融数学、经济数学、最优化方法。主干课程：计算机高级语言、抽象代数、代数拓扑学、数理统计、随机分析、泛函分析、模糊数学、数理逻辑、量度理论、非线性泛函分析、运筹学决策分析、计量经济与技术经济、最优化计算方法、微分方程数值方法、工程数学方法、对策论与数理经济、决策支持系统、经济数学模型、系统辩识、组合最优化、随机运筹学等。计算数学专业 研究方向：微分方程数值解、有限元法、数值代数、数值逼近、应用软件。主干课程：有界解析函数、变分不等式和相补问题理论、拟微分算子、算子半群及其应用、偏微分方程的差分法、有限元法的数值分析、非线性方程组的数值解法、样条函数的理论及其应用、偏微分方程近代理论、非线性泛函分析、数理统计、文献导读、泛函分析。概率论与数理统计专业 研究方向：随机分析及应用、数理统计、应用概率统计、随机信号处理、统计判决与估计方法。主干课程：概率论、数理统计、随机过程、随机微分方程、随机信号分析、非参数统计、线性统计推断及其应用、测度与积分、生存分析、多元分析、计算机高级语言、文献选读。运筹学与控制论专业 研究方向：分布参数系统控制理论、模糊控制、运筹与优化、数学规划与网络流、决策分析理论与方法、非线性系统控制及其应用。主干课程有：泛函分析、矩阵论、抽象代数、自动控制理论基础、计算机高级语言、专业外语、凸分析与极值问题、线性控制系统理论、非线性分布参数控制理论、智能控制、凸分析、控制系统稳定性理论、最优控制与计算、数值优化、随机规划、数学规划

生活中，我们总会遇到大大小小的选择，如何才能做出符合实际情况的最优选择，而不是凭感觉去做选择呢？统计概率知识能够帮助我们理性思考进而做出最佳判断。有人可能会有困惑，统计概率是数学知识，真的能够指导生活方方面面吗？能的话又是怎么实现的呢？曾经我也有过同样的困惑，在上篇文章“建立统计概率思维 提升人生成功机率”中进行了简单概述。1、几个基本概念我们先从搞清概率、统计、统计概率思维这几个概念开始。概率，是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。越接近1，该事件更可能发生；越接近0，则该事件更不可能发生。其实质是客观论证，而非主观验证。统计科学，也称统计学，是指研究如何搜集、整理和分析统计资料的理论与方法。统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策提供依据和参考。概率统计是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性，使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。以上是度娘中给出的专业解释。通俗点说，统计和概率只是方法论上的区别，一个是推理，一个是归纳。概率论是统计推断的基础，在给定数据生成过程下观测、研究数据的性质；而统计推断则根据观测的数据，反向思考其数据生成过程，强调对于数据生成过程的研究。2、统计概率思维我们从统计学这门学科的发展源头说起。统计学是从旧时的赌博来的。当时的赌徒们通过历史数据的记录，逐渐总结出了描述性统计。利用这些描述性统计的数据，使得他们胜率直线上升。哪个有赚哪个稳赔，哪个波动大没规律，这些经验逐渐成为了知识，并在之后的各个领域里体现了这种智慧。赌博中的统计，就是要用以往的胜败估计下一次成功的大小。为什么能够这样做，为什么以往的数据能对下一次数据有较为准确的估计，这是概率论要说清楚的问题。大数定律的三个定理就是要说明为什么样本均值可以估计总体均值。这个估计的准确性却是要由统计学说的，对于各种分布的参数估计，之后的模拟估测，虽然与概率论看似完全无关，实际上却是由他们在支撑着统计学这个科目。由此可知，统计概率知识来源于生活，同时也必将指导生活实践。也许有人会说，我不赌博，这些知识对我用处不大。这只是片面的理解和认识。就好比哲学，这门学科对你生活看似毫无指导，但哲学真的是无用之学吗？事实上，每个行业处于金字塔顶端的人才都在运用哲学思维打破自己的认知瓶颈，开拓新的思维；再如每个人学钢琴就是为了成为演奏家吗，成为钢琴家的比例肯定很低，但学钢琴的过程中对音乐艺术思维的培养、左右手协调对左右脑的刻意训练，这些提高对你从事别的行业的事情大有益处。这大概是大多数家长给小孩学钢琴的目的吧。统计概率知识也同样如此，学习相关知识是为了建立统计概率思维，指导我们具体的生活。学不是为了学而学，而是为了用而学。这里引申出一个概念，统计概率思维。我给它定义为：统计概率思维即运用概率和统计学知识把不确定的预期根据数学知识进行量化，用数值表示某种可能性的大小，再根据具体量化值大小做出最优的选择和判断。它是统计概率知识在生活中的应用，而不是单纯的数学知识。如抛硬币游戏，有了相关概率知识后，你就知道每次抛硬币都是独立事件，即使你前面9次每次都是正面朝上，下一次正面朝上的概率还是50%。而不是很多人认为的，我都连续9次朝上了，下一次肯定是朝下的机率大了。3、统计概率知识在投资、人生抉择等方面的应用统计概率思维属于方法论范畴，是为了帮助我们理性判断、做出最优抉择。在选择正确的前提下，刻意锻炼自己的能力，成功的机率才会更大。（1）两个颠覆传统认知的概念投资理财中，我们经常说到要长期投资，而这个“长期”如何度量呢，是五年还是十年呢，相信很多人会很茫然，往往回答反正是很长时间就是了。我们来看看李笑来老师是如何计算这个“长期”的。以在投资理财领域中资金翻倍作为长期目标（翻倍的收益好有诱惑力啊），那么这个“长期”到底该如何定义呢。既然是长期投资，肯定少不了复利的累积效应，复利计算的核心当然是年化收益率的高低了。用复合年化收益率衡量达到预期目标所需长期时间，不同的人“长期”是不同的。投资获利越高，长期越短；投资获利越低，长期越长。这里就引申出第一层含义，你竟然可以通过提高能力缩短长期的长度。用金融学中的72法则（计算长期收益时的公式）可以清晰地看出来。公式：X≌72/年化复合收益率值（比如，你的年化复合收益率是10%的话，那么你需要72/10，即大约7年的时间让你的投资翻倍；如果你的年化复合收益率是25%，那么你需要72/25，即大约3年的时间让你的投资翻倍）。倒过来推演，就能明白巴菲特给自己定长期为十年，且每年要“买到年化复合增长率至少15%的股票”的内在原因了，他的目标原来就是投资资金翻倍后再翻倍啊。在一定程度上，策略可以弥补能力上的不足，这里引申出第二层含义，对能使用正确策略的人来说，“长期”更短。好的策略可量化为具体的方法，如选择成长性的公司、债券和股票组合投资、定投策略等等。根据复利的计算，如果投资资金有变化，特别是早期投资资金变动时，后期的收益会放大N个数量级。这里引申出第三层含义，你最好有除了投资以外的收入来源……因为这样你就“不用总是不得不把投资收益中的一部分拿出来花掉”。至此，李笑来老师把投资领域中的长期量化为三层含义，每层含义都可以量化为具体的行动目标，甚至可以通过概率知识量化为具体的值。三层含义总结如下：①对能力越强的人来说，“长期”越短…………如提高年化收益率；②对能使用正确策略的人来说，“长期”更短…………如定投或组合投资③对有能力在投资之外赚钱的人来说，“长期”更短…………如不支取投资资金投资领域的“长期”居然可以这样量化，是不是很颠覆认知。反正我初次看到时是被震撼到了。接下来我们看看另一个颠覆认知的概念：“凯利判据”。如果在赌博桌上，问你全部押上是多少，当然是翻遍口袋所有值钱东西押上了，至少我开始是这么认为的。但“凯利判据”却告诉了我们不同的答案。对于简单的投注与输赢两个结果，凯利判据可以计算最优单次下注占比。特别申明，该法则适用于赢了有收益，输了的话，下的注就一点都拿不回来的赌局；但不适用于股票等投资行为。因为股票投资决策失误并不会导致如同赌局下注那样“这次输了的话就下注的资金都拿不回来”的情况。公式如下：f=[p（b+a）-a]/b其中，f是合理下注占比（相对于总资金）；a是单次下注金额；b是每次下注a之后若是赢了的话能拿回的净利；p是赢的概率。现在假设有一种赌博机会，你可以不断重复下注。如果赢了，你用来投资的钱就翻倍；输了，钱就全部损失了。那么，你每次应该用你手中资金的多少去参与以便达到最好的回报？显然，一次就把全部钱都投进去不是一个好的策略，如果赌错了，根本就没有再捞回来的机会。假若你赢的概率是p=0.6，根据公式计算，正确的答案是：f=0.2，即一次投入20%的本金最为合适。也就是说，有6成把握的情况下，押上总资产的20%已经是全部了。（2）概率知识判断理财产品收益假设你在2004年在上述两家基金公司分别投资10000元和5000元，现在想知道哪家公司的收益高，以便今后重新做选择时参考。那么如何判断哪家基金公司收益高呢？分别算出每年的增长因子，用概率中的几何平均数可轻松算出Stivers基金公司的年平均回报率为7.62%，Trppi基金公司的年平均回报率为9.85%。该选择哪个进行投资，一目了然了。可能有朋友说这仅仅是个数学公式，算什么概率知识应用。我们来看下面的投资案例。（3）概率知识分析金融资产组合的收益率一位理财顾问认为来年的经济形势可能有四种情形。x表示大型股票基金的投资收益率，y表示政府长期债券基金的投资收益率。针对每种经济形势，理财顾问建立了x和y的概率分布众所周知，投资股票基金收益高但风险大，债券基金则相反，风险低却收益差。但股票风险究竟比债券高多少呢？以及如何建立金融资产组合投资，寻求风险最低而收益高的平衡点呢？这些都可以用二元经验离散型概率分布进行计算，具体方法不多累赘。通过计算金融资产组合的数学期望和方差（看上图），我们知道资产组合比单独投资于债券基金的收益高并且风险低，是不是又一次有点颠覆常理和认知啊。理财投资中，需要“把鸡蛋放在不同的篮子里”，进而降低投资风险。如果具有扎实的统计概率知识，能够对各种风险进行量化，以最佳比例去建立投资组合，收益绝对是杠杠的。专业的理财机构就是这么干的，如简七理财，长期投资的方法中有一种叫“止盈定投”，就是定投 + 一段时间获利后设置止盈点进行资产组合再平衡的策略。其核心引入了止盈机制，而止盈后的再平衡的投资组合如何设置当然是用相关公式算出来的了。（4）统计概率思维影响人生决策上面是纯概率数学知识在投资领域中的应用案例。生活中还有许许多多的案例，如保险公司的保费设定，都是有专业人士进行计算的，制定的保费当然不是为顾客着想了，其价格是为了实现保险公司的盈利最大化。生活中，我们做决定时如果拥有统计概率思维，将会有更理性的判断。如你想提高收入，究竟是该选择在现有公司努力、还是辞职去创业呢，相信也有很多人在纠结。运用决策树的思维，结合自己能力、优势、人脉、性格等方面去分析，相信最终的结果会理性很多。而人云亦云的跟随感觉或周边人的意见去做，往往会以惨痛的教训收场。因为你看到的别人成功，往往只是表面，背后的关键因素可能并不知晓。20多年前，两个美国人用计算机模拟开发的糖人实验游戏，说明了社会产生严重的贫富差距的原因。究竟为什么有人穷，为什么会有人富，到底是天注定还是靠打拼？实验告诉我们，“出身决定一切”并不是贫富分化产生的全部原因，“天赋秉异 + 出身位置 + 随机的运气”才是根本的原因。什么叫做“随机的运气”？即两个天赋秉异和出身都差不多的人，一个微不足道的选择差异，最终导致了其社会财富积累出现了天壤之别天赋秉异和出身位置，我们无法改变。但“随机的运气”属于后天可改变因素。看到这里，我们会明白，选择比努力更重要，而选择需要概率知识。因为多数人在面临选择甚至是人生的重大选择的时候，靠的是感觉而不是理性的思考和分析，可事实证明靠“感觉”的东西常常不准。因为靠感觉你依托的更多是以往的思维惯性。赌徒谬论、大数定律、用统计方法辨别政策与新闻真伪、投资领域中不靠直觉而是对大概率事件下注、量化金融产品的组合从而规避风险实现最大收益…………了解了这些，你还能说统计概率知识对你毫无用处吗？有时，只是我们不察觉而已，其实它就静静地藏在我们身旁的某个角落里，发现并拥有了这个超级武器，你就拥有了“开挂”的人生，无往而不胜。

应用概率统计方法需要足够长的水文资料，原因如下：概率统计方法需要大量数据才能进行可靠的分析和预测，因此需要足够长的水文资料。水文资料的长度对于确定概率分布函数、参数估计和模型验证至关重要。如果水文资料不足，则可能导致不准确的结果和预测。水文资料的长度还可以帮助确定水文变量之间的相关性和趋势，这对于制定有效的水资源管理计划和决策非常重要。在确定某些水文指标的极值时，需要使用极值分析方法。这种方法需要足够长的时间序列数据才能确定极值，并且需要对数据进行有效的筛选和处理，以确保结果的可靠性和准确性。因此，应用概率统计方法需要足够长的水文资料，以确保分析和预测的可靠性和准确性。

那看看历年的真题，一般不会有太大的变化

　　解：(1)根据概率分布函数的性质，有∫(-∞,∞)f(x)dx=1，∴k∫(-1,1)丨x丨dx=2k∫(0,1)xdx=kx^2丨(x=0,1)=1，∴k=1。　　(2)P(-1/2<X≤2)=∫(-1/2,2)丨x丨dx=∫(-1/2,1)丨x丨dx=∫(0,1)xdx+∫(0,1/2)xdx=5/8。　　(3)分布函数F(x)=∫(-∞,x)f(x)dx=∫(-∞,x)丨x丨dx。　　当x<-1时，F(x)=0；当-1≤x<0时，F(x)=-∫(-1,x)xdx=(-1/2)x^2丨(x=-1,x)=(1-x^2)/2；当0≤x<1时，F(x)=-∫(-1,0)xdx+∫(0,x)xdx=(1+x^2)/2；当x>1时，F(x)=F(x)=-∫(-1,0)xdx+∫(0,1)xdx=1。　　供参考。

感觉这个题还缺条件，就是X的各个样本之间独立同分布，Y的各个样本之间独立同分布。

12121221121211212121212121211211212121212121212121246541564544144569646474747447964747

AB非C∪A非BC∪非ABC∪ABC=AB非C∪A非BC∪非ABC∪ABC∪ABC∪ABC=（AB非C∪ABC）∪（A非BC∪ABC）∪（非ABC∪ABC）=[AB(C∪非C)]∪[A(B∪非B)C]∪[(A∪非A)BC]=AB∪AC∪BC

了

是为将来编写彩票软件打基础滴!

直接用积分计算期望如图如图，平方的期望可反用方差公式简单计算。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

<p>不费话，上图</p><p><img src="5316772234" /></p>望采纳

(90%*0.1%)/(99.9%*20% 90%*0.1%)

概率论是大二学的，其实也没有什么关系的。总之，统计学初步的话就是了解它给出的处理数据的方法；那么微积分下我不知道算不算定积分，它和概率关系是

有点难，不过我提供一下思路对所有的人来说,化验结果是阳性的概率是0.1，共1000个人，所以患病人数=1000×0.1=100二项分布公示C(k/n)Pkq(n-k)(抱歉我不会用上标下标，这个公式你知道吧）由题知n=1000 p=0.1 q=0.9 你把这个式子代入二项式分布列像课本上那样，ζ～B（n,p)E=n×p=1000×0.1=100第一种可能符合几何分布E=1/p=1/0.1=10所以第二种方法好次数不会

概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率统计，又称数理统计方法。概率统计主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。概率统计是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性;对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明;并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。 确定性确定性的现象:这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。 不确定性不确定性的现象:这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢?这是因为，我们说的"相同条件"是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

总体来说，所有的统计推断都要依赖概率知识，因而都是概率统计，分两大类就是包括参数估计和假设检验。再具体地说，方法就多了。假设检验包括：独立样本T检验、单样本T检验、配对样本T检验、相关系数检验、方差分析，以及众多的非参数假设，包括卡方检验、KS检验、Fridman检验，多了去了。

正态分布

根据中心极限定理，X近似服从期望为m，方差为d的正态分布，其中d=100*0.2=20，d=100*0.2*(1-0.2)=16则y=(x-20)/4服从标准正态分布P{16<=X<=24}=P(-1<=y<=1)=(0.8413-0.5)*2=0.6826

23/33

DX=10p(1-p)=2/5p=1/2±√21/10

你好！答案是1，可以根据下图中的关系计算。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

1、数据的采集。无论医学、经济学、社会科学、工业生产或是科学实验得到的都是数据，统计学就是对这些数据进行加工和提炼，找出规律、预测未知。概率统计是描述社会活动最简洁有力的语言。2、金融数据分析。金融市场需要分析数据、预测市场走向，具体的就是将收集到的数据经过加工处理后，形成有利于使用的内容，金融数据的特殊性使得对金融数据进行的处理也有其特殊的地方，有着特殊的要求。3、人才比例统计。美国数学会的研究报告指出，统计与生物统计的硕士、博士毕业生占数学科学毕业总数的1/3，这还不包括经济、工程、社会学等培养的统计人才。4、医药效果。药品在临床使用前，需要大量的实验数据分析，并且针对效果的稳定性需要长期的跟踪和记录，并且在临床使用时追踪记录，这就是医药统计。5、人口普查。在美国，每10年进行一次人口抽样普查，由于出生、死亡、迁移等原因，人口数是在随时变化的，所以人口普查必须以一个特定时点为标准，全国同时进行调查。参考资料来源：人民网-中国统计科学在创新中前行

1.若方差已知，则均值的90%置信区间为：[X的平均值-1.65*方差，X的平均值+1.65*方差]=[2.125-1.65*0.01,2.125+1.65*0.01]=[2.109,2.132]2.若方差未知，则须从已知数据中先估计方差：=根号[对i求和(X的平均值-Xi)^2]，然后用此方差带入。则均值的90%置信区间为：[X的平均值-1.65*方差，X的平均值+1.65*方差]。具体计算就请楼主自己摁计算器了。

很复杂：=>y6=98

放回0.2,因为每次抽到的是一样的如果不放回还是0.2(不好意思昨天脑子出问题了）

正态分布随机变量的线性函数仍然服从正态分布，且EY=E(2X+4)=2EX+4=2×2+4=8，DY=D(2X+4)=4DX=4×100=400，所以Y=2X+4~N(8,400)。

可以用期望的性质如下图计算。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

1 未坏=A P(A/5000)=3/4=B P(A/10000)=1/2=C P(C/B)=P(BC):/P(B) 注意事件 B C的交集合是事件C , 所以 为2/32 比如你是用户, 订拉日报.不一定顶晚报, 因为订日报的概率 ,75, 订晚报,50. 不是订拉日报就一定订晚报的.现在问你订拉日报的时候又订晚报的概率, 是交集的话3 求 P(B/A) 根据全概率公式 P(A)=P(A/知道)+ P(A/不知道)=,5+,25=0,75P(B/A)=2/3

Cov(X,X+1)=Cov(X,X)+Cov(X,1)=Var(X)+0 由于X服从N（2，4）分布 Var(X)=4所以答案为4 这里Var(X)表示X的方差 也可以写成D（X）其中用到公式 Cov(X,X)=Var(X)Cov(X,1)=0 协方差表示两个随即变量之间的线性关系的强弱，如果协方差等于0则表示两个随即变量之间没有线性关系，很显然随即标量X和常数1之间是没有线性关系的。

相关系数p_xy=cov(x,y)/√D(x)D(y)其中，D(x)=E(x^2)-E(x)^2容易求出f_X(x)=6(x-x^2)，x属于零到一，则有D(X)=1/20同理可得D(Y)=3/14-4/25而cov(X,Y)=两个从负无穷到正无穷积分(x-1/2)(y-2/5)f(x,y) dxdy代入在特定区域f(x,y)=6得到cov(x,y)=1/20最后p_xy=√35/38￣

太简单了不想写

脑子里乡下

概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a<m)局，另一个人赢了 b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。 　三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。 　概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。 概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。 　 概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。 数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？...... 就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。

5次中集中次数小于等于2

Scipy库提供了一组用于计算离散型随机变量PMF和连续型随机变量PDF的方法。 简记为：多次进行的抛硬币实验。 特点：只有两种结果，每次试验独立，每次成功的概率相同。 成功次数为x的概率 ： 可视化： 简记为：你搞了个抽奖活动，想知道一天内多少人中奖 特点：①事件在任意两个长度相等的区间内，发生一次的机会均相等。②事件在一个区间内发生与否与另一个区间没有关系，即相互独立。 在一段固定时间内，事件发生i次的概率 ： 比较泊松分布不同参数λ对应的概率质量函数，可以验证随着参数增大，泊松分布开始逐渐变得对称，分布也越来越均匀，趋近于正态分布 几何分布：0-1分布首次成功 负二项分布：0-1分布第k次成功 超几何分布：从n种里抽指定种类的k个（不放回） 简记为：天女散花，每个面积上落下花的概率相等 记为：X~U(a，b）x在[a,b]区间内概率密度函数相等，等于1/(b-a)。 正态分布X~N(u,d) u:均值，d:标准差，通过下式进行标准化，转化为均值为0，标准差为1 的标准正态分布X~Z(0，1)。 不同均值和标准差下的正态分布对比： 一个特定事件发生所需要的时间，例如：快递点服务的时间间隔。 理解：（1）泊松分布表示的是事件发生的次数，“次数”这个是离散变量，所以泊松分布是离散随机变量的分布。（2）指数分布是两件事情发生的平均间隔时间，“时间”是连续变量，所以指数分布是一种连续随机变量的分布 关系推导如下 不同参数下，指数分布的对比： Gamma分布：常用来描述某个事件总共要发生n次的等待时间的分布。 在Numpy库中，提供了一组random类可以生成特定分布的随机数 除了Numpy，Scipy也提供了一组生成特定分布随机数的方法 对于未知的总体分布，首先，提出假设，其次，根据统计量的显著性判定假设是否正确，最后得到答案。一般来说：原假设都为不存在差异，不存在关联。备择假设一般是存在差异，存在关联。 简单来说就是：显著接受备择假设，不显著接受原假设。 常用的统计检验包括：回归检验、比较检验、关联检验 简单先行回归、多重线性回归、Logistic回归 均值对比的假设检验方法主要有Z检验和T检验，它们的区别在于Z检验面向总体数据和大样本数据，而T检验适用于小规模抽样样本。 1.T-test T检验的三种形式： 单样本：一般来说将变量与均值相比较，看有没有差异。 配对样本：实验前与实验后变量有没有差异 独立样本：一个变量的两组类别有没有差异 判断age 的均值是否为30 （3）独立样本t检验 判断来自两个不同抽样组的age 的均值是否相等 2.方差分析（ANOVA） 用于一个变量>=2组的分类情况下均值是否相等。 常用的是卡方检验，判断两组类别变量是相关还是独立 1.一类错误：拒真（通过alpha设置，显著性水平95%时，alpha=0.05，说明有0.05的概率拒真） 2.二类错位：信伪（无法通过错误率直接控制，一般有小样本和高样本方差导致） 3.两者你大我小不可调和。

概率统计的应用如下：1、汽车摇号的几率：随着汽车数量增加，国内很多大城市开始限制汽车数量，采取摇号的方式来分发车牌。摇号根据个人参加摇号的累计次数设置阶梯中签率。累计参加摇号24次（含）以内未中签的，中签率为当期基准中签率；累计参加摇号25次至36次未中签的，中签率升为当期基准中签率的2倍。累计参加摇号37次至48次未中签的，中签率自动升为当期基准中签率的3倍，以此类推。以北京为例：基准中签率=当期指标数/（24个月以下未中签者+25至36个月未中签者×2+37个月以上未中签者×3）。2、彩票中的概率：如何把概率书的理论运用到实际彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。在这方面，概率主要有两方面的应用：一个方面是计算各种数字号码出现的概率值，然后选择最大概率值号码。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测中奖号码，一般这种方法为广大彩民所接受。3、保险工作中概率统计的应用：举个例子，保险公司承担汽车保险业务，假设第三责任险上限为20万，车主缴纳1.2万元保险费，如果投保车辆为1000。假设每次交通事故中保险公司理赔额为5万元，盈利40万意味被保险车辆出现事故的车次不超过16，正常情况下车辆出事的概率为0.005，如果盈利的概率为0.99998。由此可以得知，保险公司盈利40万元的概率非常之高。这种情况下保险公司就会继续推行这项业务。

高中概率统计公式的A是排列。C是组合。排列，一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation)。特别地，当m=n时，这个排列被称作全排列。组合（combination）是一个数学名词。一般地，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题。扩展资料排列、组合、二项式定理公式口诀：加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。参考资料来源：百度百科—排列组合

概率统计在生活中的应用：（一）古典概率基础应用概率中最简单的模型就是古典概型，同时它也是广泛应用的基本概型，在生活和工作中很多事物都可以转变成古典概率的模型然后简单解决。（二）概率统计与证券就有关风险证券组合而言，基础相关系数能够很好的显示证券组中不同证券的期望回报和风险损失联系成俗。在这全部的概率统计环节中，基础相关系数的绝对值是小于或者等于1的。概率统计与保险业（三）概率统计与保险业日常工作生活中我们常常接触或者听说社保“五险一金”，详细的五险指的是：医疗、失业、工伤、生育及养老保险；而一金指的是：住房公积金。现阶段，人们普遍关注自身和家庭的生命财产安全，工作以及精神生活享受，这个时候很多人就存在疑惑，这种投保到底是保险公司获益还是最终的投保人获益。（四）排队问题现实生活中，人们常常面临各种排队现象。过去认为，最早先分析研究排队问题的专家是欧洲数学家Eraling。上个世界三十年代，法国数学家Poelaczek和前苏联数学家Khintchin仍然开展排队问题研究。到五十年代，英国数学家Kendau使用MARKOV的方法链详细阐述排队问题研究。至此，排队问题概率理论得到深入发展。古典概率

题目1： 一个箱子中有10个不同颜色的球，在里面随机取2～9个球，取出的球可能的组合有______种(填数字) --949 思路：排列组合题 + + + + + + + = 949 种 题目2： 一个人做一件事出错的概率是0.3，如果做两件事，他都做对的概率为_______ 0.49 思路：概率统计 1件事出错概率=0.3 1件事做对概率=0.7 则两件事都做对概率=0.7 0.7 = 0.49 题目3： 抛一个硬币出现正面的概率为0.3，出现反面的概率为0.5，还有0.2的概率会立起来，抛2个硬币，出现一正一反的概率为______ 0.3 思路： 抛一个硬币 正面概率=0.3 反面概率=0.5 立起来概率=0.2 抛两个硬币 可能会出现一正一反或一反一正 则一正一反概率= 0.3 题目4： 如果在A发生的情况下B发生的概率为0.7，B发生的情况下C发生的概率为0.8，B不发生的情况下C发生的概率为0.3，则在A发生的情况下B、C至少有一个发生的概率为______ 0.79 思路：条件概率 0.7+0.3*0.3 = 0.79 题目5： 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成4250份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压850份订单未配货，预计第二天的新订单超过7000份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者______名 答案：72

知识点1：样本空间、随机事件的概念知识点2：事件的关系与运算知识点3：事件的运算律知识点4：概率的概念与性质知识点5：古典概型知识点6：几何概型知识点7：条件概率知识点8：全概率公式知识点9：贝叶斯公式（数一、三）知识点10：事件独立性的概念及计算方法知识点11：用事件独立性进行概率计算知识点1：样本空间、随机事件的概念

概率统计知识点归纳有：了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。简介“一次随机抽样”是统计学中用的词，它是让你不带主观偏见地从众多个对象中任意地取出一个（有的场合是把一批抽样统一作为一次实验）作为研究的样品。这里的抽样是仅进行一次，也不允许第一次不满意，再把另外的一次做样品。“最容易出现”这个词含义简单，它带有“实践”的品位。“概率”这个词含义抽象，带有“理性”的品位。

概率统计知识点归纳有：1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。2.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。3.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。数学：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

概率统计知识点归纳有如下：1、随机变量：对事件发生的各个结果联系数字进行定义，创造出一个随着结果不同而变化的实值单值函数就是随机变量。2、频率与概率：频率在试验趋于无穷时等于概率。概率具有非负性，可列可加性。3、中心极限定理：大量随机因素（变量）共同作用下（构成统计量）的分布近似于正态分布。4、区间估计：本质依然是通过样本估计未知参数，构造枢轴量（不依赖未知参数确定分布类型的统计量）。5、分布函数和概率密度：分布函数和分布率体现出随机变量取不同值时的概率，概率密度体现出随机变量取值的密集成程度。

概率统计知识点：1、随机事件和确定事件（1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。（2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。（3)必然事件与不可能事件统称为确定事件。（4)任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。2、古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。（4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。（5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示。3、频率与概率（1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的．比例fnn(A)=n为事件A出现的频率。（2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。4、互斥事件与对立事件（1)互斥事件：若AB为不可能事件（AB=?)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。（2)对立事件：若AB为不可能事件，而AB为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。5、概率的几个基本性质（1)概率的取值范围：01。（2)必然事件的概率：P(A)=1。（3)不可能事件的概率：P(A)=0。（4)互斥事件的概率加法公式：①P(AB)=P(A)+P(B)(A，B互斥）。②P(A1?An)=P(A1)+P(A2)+？＋P(An)(A1，A2，An彼此互斥）。（5)对立事件的概率：P(A)=1-P(A)。

　　当前我国正在推进基础教育改革，十分重视数学教学中运用数学史．概率统计教学可以通过解读史实，促进学生对概率定义的理解；剖析史情,培养学生正确的概率直觉；挖掘史料，让学生体会概率统计的思想方法；运用史例，启发学生的创新意识，从而提高学生理解和应用不确定性数学的能力． 　　数学史是学习数学、认识数学的工具．人们要认识数学概念、数学思想和方法的发展过程，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为指导．概率论与数理统计也有其自身不断发展和完善的历史，当前我国正在推进基础教育改革，十分重视数学史和数学文化的教育，在中学概率统计教学中运用数学史有助于学生理解数学知识之间的联系和不确定性数学特有的思想方法，从而提高学生的数学应用和创新能力． 　　 　　1解读史实，促进学生对概率定义的理解 　　 　　 概率的古典定义是拉普拉斯1812年给出的,它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形．教学中可结合“赌金分配”问题，体会古典概率的模型特征，加深对定义的理解．举该问题的一个简单情形：甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙胜的机会均等，都是12．约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌博，问这60元赌注该如何分给2人，才算公平．初看觉得应按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，还有人提出了一些另外的解法，结果都不正确，正确的分法应考虑到如在这基础上继续赌下去，甲、乙最终获胜的机会如何．其实，至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙．前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，二者之比为3∶1，故赌注的公平分配应按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元． 　　概率的古典定义具有可计算性的优点，但它也有明显的局限性．要求样本点有限，如果样本空间中的样本点有无限个，概率的古典定义就不适用了．把有限个样本点推广到无限个样本点的场合，人们引入了几何概型，由此形成了确定概率的几何方法．学习概率的几何定义的最典型的例子是“会面问题”和历史上著名的“蒲丰投针实验”：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于 a，向此平面任投一长度为L（L小于 a）的针，试求此针与任一平行线相交的概率．这个几何概型问题可运用积分运算求得P =2Lπa．由于“蒲丰投针实验”的理论概率中含有常数 π，教学中可以通过设计L和 a，经统计实验估计出概率P，然后运用以上给定的概率模型公式求出圆周率．这样将概率的几何定义和概率的统计定义的学习有机联系起来，同时学生又体验到求 π的方法的多样性和数学知识之间的广泛联系性． 　　概率的古典定义和几何定义都要求在随机实验中基本事件发生的可能性相等，但人们发现在相同的条件下做大量重复试验，一个事件发生的次数n和总的试验次数N之比，在试验次数N很大时，它的值将稳定在一个常数附近．N越大，这个比值“远离”这个常数的可能性越小，这个常数就称为这个事件的概率．这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的频率定义．这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具一般性．教学中可以在学生动手操作抛掷硬币的统计实验基础上，参照历史上著名科学家大数次地投掷硬币的结果，进一步感受频率概率的大数次实验要求以及概率统计的随机性和统计规律性． 　　由下表容易看出，当投掷次数较少时频率的波动较大，当投掷次数增大时频率呈现稳定性，即出现正面的频率在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5．概率的这三个定义属于描述性定义，在叙述中都用了“可能性”一词，而概率恰是关于“可能性”的概念，所以这些定义从理论上看是不严格的，有循环定义之嫌．由于缺乏严格的理论基础，常常被人找到一些可钻的空子，其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰提出的概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内接等边三角形边长 a的概率是多少?作者给出了三种不同的答案: 　　 　　第一种解答是假定弦中点H在直径PQ上均匀分布时P=12（图1）； 　　图1图2图3第二种解答是假定弦中点H在小圆周上均匀分布时P=13（图2）； 　　而第三种解答是假定弦中点H在小圆内均匀分布时P=14（图3）．这个悖论产生的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的，所对应的样本空间是不同的，它们是三个不同的随机试验．因此，在样本点为无限的情况下，必须对样本空间及样本点作具体限定，概率的公理化定义由此应运而生．教学中适时给学生传授这种概率统计发展中的焦点问题的产生和解决过程有助于学生对数学定义的内涵有更加科学的理解． 　　近年来随着数学发展的领域不断拓宽，主观概率日益受到人们的关注．概率的主观定义也称直觉定义，“它是指在一次性事件中，认识主体根据其所掌握的知识、信息和证据，而对某种情况出现的可能性大小所作的数量判断”（陈希孺2000、6）．英国学者贝叶斯提出的“贝叶斯公式”被认为是使用主观概率的第一个公式．问题在于，实践中对许多事物由于所考虑的过程还没有进行，因而往往无法得到概率．但实际上，如果人们根据以往的经验数据，甚至根据主观或客观上的某一要求而得到的数据予以分析，估计出一个最优值，作为研究总体的假设概率，最后在得到新的信息的基础上对假设概率重新予以修正，这样做是无可非议的．在现代愈来愈复杂的经济活动中，某些决策无法用理论概率或经验概率来判断时，如投资等经济决策问题中应用主观概率是可行的办法．教学中适当介绍主观概率可以丰富学生对概率的认识． 　　 　　2 剖析史情,培养学生正确的概率直觉 　　 　　 英国学者威尔斯说:“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将来有一天会成为效率公民的必备能力．”然而，概率统计不同于几何、代数等研究确定性现象的数学分支，在理论和方法上有其独特的风格，在概率统计的学习中，学生们会遇到许多随机数学理论．由于各种随机现象不能用“因果关系”加以严格控制和准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析找出规律性，所以培养学生正确的概率统计思维方法是必要的． 　　教学中我们经常发现许多学生在学习概率统计课程的时候，往往囿于确定性数学的思维方式，不能建立正确的概率直觉，在概率学习和问题解决中存在大量的错误认识．实际上，对于教师来讲，保持概率统计课程的逻辑严谨性并注重学生概率直觉能力的培养是必须处理好的重要问题．让学生尽早体验概率与实际事物的紧密联系，敏锐感受实际事物中的随机性，是建立正确概率直觉的必备条件．例如，在学习“生日问题”时，教师可以先引入以下史情：美国历史上至今已有42位总统，其中第11任的波尔克和第29任的哈定生日都是11月2日，还有亚当斯、杰斐逊、门罗三位总统都死于7月4日，这是一种历史的巧合，还是很正常的现象呢？ 　　“生日问题”也许令人十分困惑：50个人中有两人生日相同，你也许认为这只是巧合，其实几乎可以肯定至少有两人在同一天过生日．我们可以用概率的方法测算一下．为了简便，我们不记闰年，一年按365天算，那么该问题的理论概率为1－A5036536550≈0.97．这件事情发生的概率，并不是大多数人直觉中想象的那样小，而是相当大．这个例子告诉我们，通常的“直觉”并不很可靠，这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性．本例的错误直觉源于人们潜意识中把50个人中相互间有两人生日相同直觉成50个人中有人和自己的生日相同，而后一种情况的理论概率仅为：1－（364365）49≈0.13．所以形成“50个人中有2人生日相同”的概率不是很大的错觉．教学中可以通过统计调查或随机模拟实验让学生经历估计和验证随机事件发生概率的过程，逐步建立正确的概率直觉． 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　 　　3 挖掘史料，让学生体会概率统计的思想方法 　　 　　 概率统计是中学数学新课程的重要组成部分，它研究随机现象的统计规律性，具有独特的概念、方法和理论．教学中应更多地关注实验与统计过程，结合史例，及早培养学生的随机思想和统计观念． 　　3.1 随机思想 　　随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象的个别观察的偶然性与大量观察中的统计规律性之间的联系．必然性通过偶然性表现出来，偶然性背后总是隐藏着必然性，大量的随机现象正体现出事物发展过程中的必然性的一面．随机思想正是通过对这种偶然性的研究去发现其背后的必然性―即统计规律性，并通过这种必然性去认识和把握随机现象． 　　随机试验是随机思想中的一个重要方法，历史上为了研究随机现象呈现的统计规律性，进行过非常著名的随机试验，如蒲丰、皮尔逊等所做的掷硬币试验，高尔顿设计的高尔顿板试验模型等．例如，投掷硬币中，假如我们进行大量投掷，正面朝上的频率就非常接近一半，即正面朝上的理论概率为12，我们把这种个别结果不确定，但是多次重复之后，结果有规律的现象称为随机现象．“随机的”不是“偶然的”同义词，而是描述一种不同于确定性的秩序，概率统计是描述随机性和统计规律性的数学． 　　理解随机思想的关键是理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的．虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率．例如理论上事件“随意抛掷一枚硬币，落地后正面朝上”发生的概率为12，但试验100次，并不能保证恰好50次正面朝上，50次正面朝下．只要学生真正动手做试验，必能体会到这一点．事实上，做100次掷币试验恰好50次正面朝上，50次正面朝下的概率仅为C50100(12)100≈ 8%，远远低于投币二次有一次正面朝上的概率50%．教学中要防止学生把概率直觉地理解为“比率”，这样才算对某一事件发生的概率有较为深刻的认识． 　　随机思想还包括统计实验过程中抽样的随机性及模拟试验或随机抽样结果的随机性．只有学生认识到这一点，才能真正明白现实世界广泛存在的随机性，并主动地应用到生活中去．抽样的方法很多，但无论用什么方法抽样，都要坚持随机抽取的原则．这是避免人为的影响，保证样本客观、真实的基本要求． 　　3.2 统计推断思想 　　统计课程的核心目标是引导学生体会统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异．例如，在运用样本估计总体的学习中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定偏差．另一方面，如果抽样的方法比较合理，样本的信息还是可以比较好地反映总体的信息．例如著名数学家拉普拉斯对伦敦、彼得堡、柏林和法国的男婴和女婴出生规律进行研究，得到的统计资料显示：10年间，男孩出生的频率在2243附近摆动；我国历次人口普查总人口性别构成数据，与拉普拉斯所得到的结果非常的接近． 　　科学家发现，不仅在人类社会生活中，在大自然中，生命的繁殖、进化也莫不服从概率统计规律．早在1843年，捷克修道士孟德尔首先通过研究豌豆的遗传规律为世人揭示了大自然的奥秘．由于豌豆的两种遗传基因在进入下一代的杂种细胞时，彼此分离，互不干扰，最后在生物传粉过程中随机组合，所以这个规律又称“分离定律”．后来孟德尔经过艰苦的探索又发现了两对性状不同的植株进行杂交时，不同对的遗传基因自由组合，而且机会均等，这就是孟德尔第二定律，也称“自由组合定律”．孟德尔发现的分离规律和自由组合规律实质上就是概率统计规律在遗传过程中的体现． 　　统计推断的过程不同于数学中的逻辑推理，是带有概率性质的一种推理方法，其依据是“小概率事件原则”．小概率事件原则认为:概率很小的事件在一次试验中是几乎不会发生的．如假设检验问题的解法便是统计推断思想的体现．对于某个假设，给定一小概率水平标准，通过对抽样数据进行整理、计算，如果结果使得一小概率事件发生了(这与小概率事件原则矛盾)，我们作出拒绝接受原假设的推断；否则，认为原假设是可接受的．这种统计推断思想的实施使数理统计的实用性得到充分的展现．教学中可以利用药效检验等实例重点介绍统计推断思想． 　　 　　4 运用概率模型史例，启发学生的创新意识 　　 　　 随机数学有很大一部分可以用概率模型进行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正态分布等．应用概率模型方法就是根据随机问题的具体特点，模拟建构一个随机问题的现实原型或抽象模型，借以反映问题的内在规律，然后 选择相应的数学 方法对 求得的数学模型作出解答，表现出从实践到理论又回到实践的过程．概率统计教学中应重视对概率模型的理解和应用，淡化繁杂的计算，使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，培养学生识别模型的能力．美国普渡大学统计学教授大卫.s.莫尔曾经这样论述道:“学习组合学并不使我们增进对机遇概念的理解，也不比其他学科更能发展使用概率建模的能力．在大多数情况下，应该避免组合问题，除非是最简单的计数问题”．使用概率模型解决问题是归纳思维的一种典型方式，它离不开人们的观察、试验与合情推理，是数学化意识和思想方法的体现，有助于培养学生将数学理论应用于解决实际问题的能力和创新意识． 　　数学史在展现随机数学知识发展过程的同时，数学家也常给后人在数学方法的运用和解决实际问题的创新思维方面带来启示，例如利用概率模型求 π就是典型的史例，一部计算圆周率的历史，被誉为人类“文明的标志”．1872年英国学者威廉.向克斯已把 π的值算到了小数点后707位．此后半个多世纪，数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑，法格逊的疑问是基于以下奇特的想法:在 π的数值中，大约不会对一两个数码存有偏爱，也就是说各数码出现的概率都应当等于110．随着电子计算机的出现和应用，计算 π的值有了飞速进展，1973年，法国学者让.盖尤与芳旦娜小姐合作，对 π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了有趣的统计得出的结论是：尽管各数字出现也有某种起伏，但基本上平分秋色．看来，法格逊的想法应当是正确的，在 π的数值展开式中有: P(0)=P(1)＝P(2)=…＝P(9)＝0.1．但有时由于概率模型含有不确定的随机因素，分析起来比确定性的模型困难．在这种情况下，可以考虑采用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法．Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城――摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法――随机投针法，即著名的蒲丰投针问题．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支，它的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟统计试验，即多次随机抽样试验，统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率，最后利用建立的概率模型，求出要估计的参数即问题的解． 　　 　　参考文献 　　1 李文林.数学史概论［M］.北京:高等教育出版社,2002 　　2 张丹.统计与概率［M］.北京:高等教育出版社,2006 　　3 张远南.概率和方程的故事［M］.北京:中国少年儿童出版社,2005 　　 　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

由分布函数的定义 P(X <= x ) = F(x)，所以P(0<= X <=1) = P( X<= 1) - P(X<0) = F(1) - F(0-0)P(0< X <=1 ) = P(X<=1) - P(X<=0) = F(1) - F(0)P(0 < X < 1) =P(X<1) - P(X<=0) = F(1-0) - F(0)F(a-0)表示函数F(x)在a点处和左极限。 以上是一般的情况。如果随机变量X是离散型的，则P(0<= X <=1) = P( 0<X<= 1)+ P(X=0) = P(X<=1) - P(X<=0) + P(X=0) = F(1) - F(0) + P(X=0)P(0< X <=1 ) = P(X<=1) - P(X<=0) = F(1) - F(0)P(0 < X < 1) = P( 0<X<= 1) - P(X=1) =P(X<=1) - P(X<=0) - P(X=1) = F(1) - F(0) - P(X=1) 如果随机变量X是连续型的，则它的分布函数处处连续，则P(0<= X <=1) = P(0< X <=1 ) =P(0 < X < 1) = F（1）- F（0）

概率论与数理统计是基础，应用概率统计则侧重于应用，概率统计方面的应用。

例谈中学概率统计教学中数学史的运用3 挖掘史料，让学生体会概率统计的思想方法 概率统计是中学数学新课程的重要组成部分，它研究随机现象的统计规律性，具有独特的概念、方法和理论．教学中应更多地关注实验与统计过程，结合史例，及早培养学生的随机思想和统计观念． 3.1 随机思想 随机思想的核心是认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象的个别观察的偶然性与大量观察中的统计规律性之间的联系．必然性通过偶然性表现出来，偶然性背后总是隐藏着必然性，大量的随机现象正体现出事物发展过程中的必然性的一面．随机思想正是通过对这种偶然性的研究去发现其背后的必然性—即统计规律性，并通过这种必然性去认识和把握随机现象． 随机试验是随机思想中的一个重要方法，历史上为了研究随机现象呈现的统计规律性，进行过非常著名的随机试验，如蒲丰、皮尔逊等所做的掷硬币试验，高尔顿设计的高尔顿板试验模型等．例如，投掷硬币中，假如我们进行大量投掷，正面朝上的频率就非常接近一半，即正面朝上的理论概率为12，我们把这种个别结果不确定，但是多次重复之后，结果有规律的现象称为随机现象．“随机的”不是“偶然的”同义词，而是描述一种不同于确定性的秩序，概率统计是描述随机性和统计规律性的数学． 理解随机思想的关键是理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的．虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率．例如理论上事件“随意抛掷一枚硬币，落地后正面朝上”发生的概率为12，但试验100次，并不能保证恰好50次正面朝上，50次正面朝下．只要学生真正动手做试验，必能体会到这一点．事实上，做100次掷币试验恰好50次正面朝上，50次正面朝下的概率仅为C50100(12)100≈ 8%，远远低于投币二次有一次正面朝上的概率50%．教学中要防止学生把概率直觉地理解为“比率”，这样才算对某一事件发生的概率有较为深刻的认识． 随机思想还包括统计实验过程中抽样的随机性及模拟试验或随机抽样结果的随机性．只有学生认识到这一点，才能真正明白现实世界广泛存在的随机性，并主动地应用到生活中去．抽样的方法很多，但无论用什么方法抽样，都要坚持随机抽取的原则．这是避免人为的影响，保证样本客观、真实的基本要求． 3.2 统计推断思想 统计课程的核心目标是引导学生体会统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异．例如，在运用样本估计总体的学习中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定偏差．另一方面，如果抽样的方法比较合理，样本的信息还是可以比较好地反映总体的信息．例如著名数学家拉普拉斯对伦敦、彼得堡、柏林和法国的男婴和女婴出生规律进行研究，得到的统计资料显示：10年间，男孩出生的频率在2243附近摆动；我国历次人口普查总人口性别构成数据，与拉普拉斯所得到的结果非常的接近． 科学家发现，不仅在人类社会生活中，在大自然中，生命的繁殖、进化也莫不服从概率统计规律．早在1843年，捷克修道士孟德尔首先通过研究豌豆的遗传规律为世人揭示了大自然的奥秘．由于豌豆的两种遗传基因在进入下一代的杂种细胞时，彼此分离，互不干扰，最后在生物传粉过程中随机组合，所以这个规律又称“分离定律”．后来孟德尔经过艰苦的探索又发现了两对性状不同的植株进行杂交时，不同对的遗传基因自由组合，而且机会均等，这就是孟德尔第二定律，也称“自由组合定律”．孟德尔发现的分离规律和自由组合规律实质上就是概率统计规律在遗传过程中的体现． 统计推断的过程不同于数学中的逻辑推理，是带有概率性质的一种推理方法，其依据是“小概率事件原则”．小概率事件原则认为:概率很小的事件在一次试验中是几乎不会发生的．如假设检验问题的解法便是统计推断思想的体现．对于某个假设，给定一小概率水平标准，通过对抽样数据进行整理、计算，如果结果使得一小概率事件发生了(这与小概率事件原则矛盾)，我们作出拒绝接受原假设的推断；否则，认为原假设是可接受的．这种统计推断思想的实施使数理统计的实用性得到充分的展现．教学中可以利用药效检验等实例重点介绍统计推断思想． 4 运用概率模型史例，启发学生的创新意识 随机数学有很大一部分可以用概率模型进行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正态分布等．应用概率模型方法就是根据随机问题的具体特点，模拟建构一个随机问题的现实原型或抽象模型，借以反映问题的内在规律，然后 选择相应的数学 方法对 求得的数学模型作出解答，表现出从实践到理论又回到实践的过程．概率统计教学中应重视对概率模型的理解和应用，淡化繁杂的计算，使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，培养学生识别模型的能力．美国普渡大学统计学教授大卫.s.莫尔曾经这样论述道:“学习组合学并不使我们增进对机遇概念的理解，也不比其他学科更能发展使用概率建模的能力．在大多数情况下，应该避免组合问题，除非是最简单的计数问题”．使用概率模型解决问题是归纳思维的一种典型方式，它离不开人们的观察、试验与合情推理，是数学化意识和思想方法的体现，有助于培养学生将数学理论应用于解决实际问题的能力和创新意识． 数学史在展现随机数学知识发展过程的同时，数学家也常给后人在数学方法的运用和解决实际问题的创新思维方面带来启示，例如利用概率模型求 π就是典型的史例，一部计算圆周率的历史，被誉为人类“文明的标志”．1872年英国学者威廉.向克斯已把 π的值算到了小数点后707位．此后半个多世纪，数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑，法格逊的疑问是基于以下奇特的想法:在 π的数值中，大约不会对一两个数码存有偏爱，也就是说各数码出现的概率都应当等于110．随着电子计算机的出现和应用，计算 π的值有了飞速进展，1973年，法国学者让.盖尤与芳旦娜小姐合作，对 π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了有趣的统计得出的结论是：尽管各数字出现也有某种起伏，但基本上平分秋色．看来，法格逊的想法应当是正确的，在 π的数值展开式中有: P(0)=P(1)＝P(2)=…＝P(9)＝0.1．但有时由于概率模型含有不确定的随机因素，分析起来比确定性的模型困难．在这种情况下，可以考虑采用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法．Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支，它的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟统计试验，即多次随机抽样试验，统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率，最后利用建立的概率模型，求出要估计的参数即问题的解． 参考文献 1 李文林.数学史概论〔M〕.北京:高等教育出版社,2002 2 张丹.统计与概率〔M〕.北京:高等教育出版社,2006 3 张远南.概率和方程的故事〔M〕.北京:中国少年儿童出版社,2005

概率统计是一种研究自然界中随机事件统计规律的数学方法，它包括概率论和统计学。概率是概率论的基本概念，又可以称作或然率、机会率、机率（几率）或可能性。概率是对随机事件发生的可能性的一种估量。一般情况下，在0到1之间的实数代表着一个事件发生的可能性大小。该事件越接近1越有可能发生；越接近0越不可能发生。比如一个没有复习到位的人能有百分之多少的把握能顺利通过考试，或者抛硬币等这些都是属于概率问题。统计是一门以概率论为理论基础与数据有关的学问，它是一种通过描述数据特征从而探索数据规律的方法。一个学校的升学和就业情况、学生体能测试结果、公司的经营成本和收益等都是与统计有关系的。生活和工作中处处充满着概率数据，概率统计与人们的实际生活有着密切的联系，并对日常生活生产和科学研究等起着越来越重要的作用。生活中的概率统计问题有时出乎人们的预料，但了解概率统计在实际生活中的应用，根据概率统计透过事情现象看到本质，我们就可以简单地去解决生活中的一些问题。

R语言，SAS统计分析系统。1、R语言是一种广泛应用于统计分析和数据可视化的开源编程语言和软件环境，适用于各种概率统计领域的数据分析和建模任务。2、SAS是一种专业的统计分析软件，广泛应用于数据分析、统计建模和预测分析领域。

岩石力学是一门研究岩石在外界因素（如荷载、水流、温度变化等）作用下的应力、应变、破坏、稳定性及加固的学科。又称岩体力学，是力学的一个分支。研究目的在于解决水利、土木工程等建设中的岩石工程问题。它是一门新兴的，与有关学科相互交叉的工程学科，需要应用数学、固体力学、流体力学、地质学、土力学、土木工程学等知识，并与这些学科相互渗透。

参考 https://sciencing.com/how-to-explain-the-sum-and-product-rules-of-probability-12750588.html 1、加法原理,又称分类计数原理：如果做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。 加法原理中的每一种方法都是独立、完整且互斥的，只有满足这个条件，才能用加法原理。 2、乘法原理又称分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。 乘法原理中的每一步都 不能独立完成任务，且各步都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成一个独立事件，只有满足这个条件，才能用乘法原理。