开普勒第二定律可以数学推导或证明吗?

开普勒第二定律,因为观测的时间间隔相比行星周期很小,所以在这么小的时间间隔内,将运动的弧形用起点与终点连接的直线近似代替,三角行的面积代替真正的面积,三角行的面积很容易算了吧.
开普勒第三定律,开普勒不见得是推导的,可能就是通过对数据进行分析而发现的,要说推导,量纲分析能起到帮助的作用,但是,开普勒那时候也还没搞出来量纲分析啊.

一般来说是不同的.开普勒第二定律在理论上是由“角动量守恒定律”得出的,角动量是指动量与位矢（参考点到物体的向量）的矢量积,即：
角动量大小=动量*距离*速度与物体到参考点连线的夹角的正弦值.
也等于物体相对与参考点扫过的面积的2倍.
举个例子：
两个行星相对于同一恒星做匀速圆周运动（速度与连线夹角是90度）,一个半径是另一个的2倍在除以物体质量.有：
v1=(GM/R)(开平方)
v2=(GM/2R)（开平方）
单位时间内扫过的面积分别为：
2*L1/m1=2*v1*R*1=2*(GMR)(开平方)
和
2*L2/m1=2*v2*2R*1=2*(2*GMR)(开平方)
也就是说圆周运动半径越大,单位时间内扫过的面积越大

.楼主什么学历?为什么会看到这些问题?
L=mvr指的是角动量
Jo上面不是说了是个常数么.应该是指扫过面积的大小
还有你那个公式里面的e2是指e的平方吧.
应该是有图的吧,如果我猜的没错β和α应该是不同的两个位置扫过的夹角吧.
GML是一个东西还是三个量?如果是三个量的话就是应该是引力常数,质量和角动量吧,不过我觉得角动量里面已经有质量了,所以是恒星的质量和行星质量...

这题选c,那个天文竞赛吧?,刚找到答案

你假设绕日运行半径不变是不合理的,开普勒第三定律是行星周期的平方与轨道的半长轴的三次方之比是常数,而不是什么“不变的r0”.要辨清楚这个问题,应该将行星轨道视为椭圆.开普勒第二定律说A对时间求导为常数可以直接推出行星的动量矩守恒,由此可知行星受到有心力,太阳是力心.而因为是椭圆轨道,上面求T那个两边积分就不对了,T的表达式分数线上面是A的量纲,dA的积分应该是abπ而不是r²π.
再有,开普勒三定律并不是可以相互推倒的,他们是由观察总结得到的经验规律,是彼此独立的.我们可以把开普勒三定律联合起来,推出万有引力定律.

首先声明一下.开普勒三定律都是行星定律,也就是说开普勒定律都是关于行星的,既然楼主问的是第二定律：所有行星在其运行轨道上,单位时间扫过的面积相等的.要说不遵守,那只要不是行星都不遵守的,流星,彗星,恒星等都不遵守呗.

开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变．
利用角动量守恒定律证明如下.
证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动,所以行星受到的引力对太阳的力矩为零,即行星对太阳的角动量L守恒（为常矢量）．L的大小为
L=r*m*v*sinp=常数 (1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角．
设在足够小的dt时间内,太阳到行星的矢径r扫过的角度很小,于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
dS=0.5*r*v*dt*sinp
则矢径r掠过的面积速度为
u=dS/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp (2)
(2)式同(1)式对比可得
L=2m*u=常数
于是u即掠面速度是常数.
由此得证：由角动量守恒,行星运动的掠面速度不变.

开普勒第二定律又称面积定律,即相等时间扫过面积相等,也即掠面速度不变,证明这个定律的关键是弄清楚角动量和掠面速度的关系,即下面的（3）式.具体我就不写了,下面引用一位仁兄的写法.
开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变．
利用角动量守恒定律证明如下.
证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动,所以行星受到的引力对太阳的力矩为零,即行星对太阳的角动量L守恒（为常矢量）．L的大小为
L=r*m*v*sinp=常数 (1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角．
设在足够小的dt时间内,太阳到行星的矢径r扫过的角度很小,于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
dS=0.5*r*v*dt*sinp
则矢径r掠过的面积速度为
u=dS/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp (2)
(2)式同(1)式对比可得
L=2m*u=常数 （3）
于是u即掠面速度是常数.
由此得证：由角动量守恒,行星运动的掠面速度不变.

^3与T^2成正比的前提条件是指“运行的行星是围绕着同一颗恒星”.比如说,地球和火星在太阳的作用下的K是相同的；但是地球和太阳系外的某颗行星的K就不一定一样.而我们考虑太阳的K的时候,那颗“恒星”相当于是地球,而地球的恒星就是太阳,这样K当然是不同的了……

P=mvr 角动量守恒, 所以说vr是一个恒量,你随便微分一个,vt=x 然后代入半径进去算面积,轻松得知每一小时刻的运动与中心天体构成的三角形面积相等.
通过微分简单计算一下面积就知道每一时刻的面积是相等的了.
不要扯啥子纯数学纯数学,没有了自然科学数学还有啥子意义?

开普勒第二定律是角动量守恒定律的一个表述
地球公转自然适用.这个定律可以用在大量的天体运行中,远远不止地球绕太阳的公转.比如月球绕地球的转动,等等,都适用.

开普勒第一定律　　开普勒第一定律,也称椭圆定律；也称轨道定律：每一个行星都沿各自的
椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的一个焦点中.开普勒第二定律　　开普勒第二定律,也称面积定律：在相等时间内,太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的.这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒.

mg =G(Mm/r2) 不过你问的好像有点问题.

速度在垂直于径向方向上的投影去乘.
当然,考虑地球的轨道是近似圆的情况下,误差不算大.

那就多了,反正只要是恒星都不会遵守开二定律的
还有那些非周期的彗星（路线是抛物线、双曲线的）

行星绕太阳运动角动量L不变
L的方向不变,表明r和v所决定的平面的方位不变,即行星总在一个平面内运动,它的轨道是一个平面轨道,而L就垂直于这个平面.
其次,行星对太阳的角动量大小为,
L=mrvsinα=mrsinα|dR/dt|
=mlim(r|δR|sinα)/δt） δt->0
而r|δR|sinα等于阴影三角形的面积的两倍,以δS表示这个面积,则
r|δR|sinα=2δS
代入上式得
L=2mlim(δS/δt)=2mdS/dt
得证

若用R代表椭圆轨道的半长轴,T代表公转周期,则
（R^3)/(T^2)=k=GM/(4π^2)（M为中心天体质量）
比值k是一个与行星无关的常量,只与中心体质量有关, M相同则K值相同.

开普勒第三定律：R³/T²=K
行星周期：T=2π/ω
对行星的引力等于行星的离心力（牛二）：F=ma=mω²R
解得：F=(4Kmπ²)/R²=c1×m/R²,其中c1为常数
引力是相互的,即F式也是行星对太阳的引力,从而也可以换成F=c2×M/R²
故F方程可写为：F=cMm/R²,c为常数,这就是万有引力定律.

近日点的速度大,远日点的速度小.虽然没图.

开普勒第二定律内容（又称面积定律）如下：对于每一个行星而言,太阳（恒星）和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等.众所周知,连线扫过的图形是一个不规则的曲边三角形,对于曲边三角形而言,它的面积似乎只能用积分来求,但开普勒生活的时代早于微积分的创始者-------牛顿与莱布尼兹生活的时代,那么他是怎样发现并证明出这个匪夷所思却极其美妙的面积定律呢?为了思考这个问题,我也尝试了证明,刚开始运用了动能定理,式子能够列出来,但无法确定出速度与时间的函数关系,后来我又尝试了动量定理,但行星所受的太阳引力是变力,不适用于冲量的运算.
大概前天晚上,我查了资料得知“角动量守恒定律”可以推倒出第二定律.今天下午我来到了新华书店,翻开了一本大学物理教材,里面详细介绍了角动量,力矩的概念.
如图1所示,质点P绕O点转动（P既有可能做圆周运动,也有可能做不规则的向心运动）,其与中心点O的距离为r,角动量的定义为绕转质点到中心点的距离与其动量的乘积,故角动量为矢量,用公式表示：L=mvr.（其中m为绕转质点的质量,v是绕转质点的线速度,r为绕转质点到中心质点的距离,式子为矢量相乘）.
初中学杠杆定理时,曾接触过力矩的概念.如图2所示,绕转质点P所受的力为F,则力矩等于质点P受到的外力和与其垂直并到中心点距离的乘积.用公式表示为：M=Fr（矢量相乘,M为力矩,F为绕转质点受到的合力,r为与绕转质点垂直并到中心点的距离）,力矩的大小表示为M=FrsinA.如果F与r共线,则力矩M就为0.
下面将会运算出一个极其重要的结论.运用求导：dL/dt=d(mvr)/dt=dr·(mv)/dt+r·d(mv)/dt.（这一步照搬课本上的,具体算法我也不知道）,最终算出M=dL/dt.
由此可以得到一个结论：质点所受合力对任意参考点的力矩等于该质点对同一参考点角动量的变化率.这就是角动量守恒定律.
如图3所示,在椭圆轨道中,行星E的受力为F,指向恒星S,则F与r共线,故行星E的力矩为0,则其角动量的变化率为0,所以说行星在其椭圆轨道上任意一点的角动量大小始终没有变化.角动量的单位是kg·m^2/s,可以间接的理解为角动量等于质量乘以面积再乘以时间的倒数,很显然,面积就是质点的运动轨迹与中心点所围成的曲边三角形的面积.所以在相同的时间间隔里,面积必定相同

这个详细
开普勒第一定律（轨道定律）：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的一个焦点中.
开普勒第二定律（面积定律）：从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积.
用公式表示为：SAB=SCD=SEK
简短证明：以太阳为转动轴,由于引力的切向分力为0,所以对行星的力矩为0,所以行星角动量为一恒值,而角动量又等于行星质量乘以速度和与太阳的距离,即L=mvr,其中m也是常数,故vr就是一个不变的量,而在一短时间△t内,r扫过的面积又大约等于vr△t/2,即只与时间有关,这就说明了开普勒第二定律.
1609年,这两条定律发表在他出版的《新天文学》.
1618年,开普勒又发现了第三条定律：
开普勒第三定律（周期定律）：所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.
用公式表示为：R^3/T^2=k
其中,R是行星公转轨道半长轴,T是行星公转周期,k=GM/4π^2=常数

从时间很小的尺度看,这是对的,根据角动量守恒,单位时间扫过的扇形的面积是相等的,也就是你写的公式,R指的是该点到椭圆中心的距离.

加速度和位移均是矢量,矢量的平行包括同向和反向,矢量平行就怎么说行星会加速飞离太阳?照你那么说他还有可能会越来越慢,最终停下来咧.从离恒星最远的地方开始,他开始加速运动,速度方向与引力的夹角越来越小,通过微分计算,才发现加速度与位移同向或反向,即导出加速度矢量a平行于位移矢量

首先,开普勒有三大天文定律（都是针对行星绕太阳运动的）
行星运动第一定律（椭圆定律）：
所有行星绕太阳的运动轨道是椭圆,太阳位于椭圆的一焦点上.
行星运动第二定律（面积定律）：
联接行星和太阳的直线在相等的时间内扫过的面积相等.
行星运动第三定律（调和定律）：
行星绕太阳运动的公转周期的平方与它们的轨道半长径的立方成正比.
牛顿的万有引力定律是在调和定律的基础上提出的假设,并且被科学观测所验证.
万有引力的内容用公式表示就是：
F=G*M1*M2/(R*R)
开普勒的调和定律认为：
T*T/(R*R*R)=常数
如果我们考虑两个做星体运动的星体,以一个质量为M1的星体做参考系,那么可以看成质量为M2的星体绕M1做圆周运动,而它们之间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力.
即：
M2*（W*W)*R=G*M1*M2/(R*R)
而W＝2*3.14/T带入上面的式子就可以得到T平方比上R的三次方是定制,也就是开普勒定律所阐述的内容,这样就证明了牛顿引力定律.
其实科学的讲,这不叫证明,因为牛顿定律是牛顿想出来的,再通过一系列科学的观测数据来核实的,并不能从根源来证明,开普勒也是实验天文学家,他是通过对天文资料的长期观测总结猜想出他的三大定律的,物理学的发现往往就是通过猜想的,

回答：
第一,任何物理规律都是有条件的,理想化的,比如开普勒定律,就排除了太阳之外的其他行星对所研究的行星的引力作用,认为是可以忽略的.所以,如你所见,开普勒第二定律（包括另外的两个定律）是近似的；
第二,与平动物体的动量定理类似的,物体的角动量变化=合力矩与作用时间的乘积,因此若合力矩为零,则角动量不变,意思是,系统的角动量矢量和为零.

这需要用到微积分和微分方程知识,不知道你学过没有,如果你有兴趣可以到维基百科上去查开普勒第二定律词条

首先卫星机械能是守恒,在远地点,动能减小,势能增大.
要知道卫星加速度,利用万有引力定律公式
F=G*mM/（R*R）=ma
GM不变,距离增大,加速度减小.a==v^2/R ,此时v和R都是变量,不能准确判断a的变化.

首先不宜用机械能守恒定律求解,因为重力势能不好算,从近地点到远地点的重力加速度是变化的,总不能用g代吧
而开普勒第二定律求解速度时,环绕半径并不是与地球球心的距离,而是各自的曲率半径.或都是长半轴.
v/v1=R/

3:1 明显的 开普勒第二定律满足