试判断函数f (x )=1除以1加x 平方在（-∞,0）上的单调性

∵f（x）=x²+|x-a|，
∴f（-x）=x²+|-x-a|=x²+|x+a|，
若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），
即x²+|x-a|=x²+|x+a|，
∴|x-a|=|x+a|，解得a=0，
若a≠0，则x²+|x-a|≠x²+|x+a|，即f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数为非奇非偶函数，
即a=0时，函数为偶函数，
a≠0时，函数为非奇非偶函数．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论．

∵f（x）=x²+|x-a|，
∴f（-x）=x²+|-x-a|=x²+|x+a|，
若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），
即x²+|x-a|=x²+|x+a|，
∴|x-a|=|x+a|，解得a=0，
若a≠0，则x²+|x-a|≠x²+|x+a|，即f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数为非奇非偶函数，
即a=0时，函数为偶函数，
a≠0时，函数为非奇非偶函数．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论．

（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）
由已知f′(x)＝
1−lnx
x2
令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e
∵当0＜x＜e时，f′(x)＝
1−lnx
x2＞0，
当x＞e时，f′(x)＝
1−lnx
x2＜0
∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，

（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减
故①当0＜2m≤e即0＜m≤
e
2时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴f(x)max＝f(2m)＝
ln(2m)
2m−1，
②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴f(x)max＝f(m)＝
lnm
m−1，
③当m＜e＜2m，即[e/2＜m＜e时
∴f(x)max＝f(e)＝
1
e−1．

（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f(x)max＝f(e)＝
1
e−1，
∴在（0，+∞）上恒有f(x)＝
lnx
x−1≤
1
e−1，
即
lnx
x≤
1
e]且当x=e时“=”成立，
∴对∀x∈（0，+∞）恒有lnx≤
1
ex，
∵[1+n/n＞0，
1+n
n≠e，
∴ln
1+n
n＜
1
e•
1+n
n⇒ln(
1+n
n)e＜
1+n
n]
即对∀n∈N^*，不等式ln(
1+n
n)e＜
1+n
n恒成立．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．

证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝
2x1
x1−1−
2x2
x2−1═
2(x2−x1)
(x1−1)(x2−1)
由于0＜x₁＜x₂＜1，x₁-1＜0，x₂-1＜0，x₂-x₁＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f(x)＝
2x
x−1在（0，1）上是减函数．

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查的是函数的单调性证明问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及分解因式等知识．值得同学们体会和反思．