若2x㏑x≤2mx²-1在[1,e]上恒成立,求m的取值范围

悠悠7772022-10-04 11:39:541条回答

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绿地阳光 共回答了12个问题 | 采纳率100%
2x㏑x≤2mx²-1在[1,e]上恒成立
即2mx²≥1+2xlnx
2m≥1/x²+(2lnx)/x在[1,e]上恒成立
设f(x)=1/x²+(2lnx)/x
需2m≥f(x)max
求导
f'(x)=-2/x³+(2-2lnx)/x²
=-2[1-x+xlnx]/x³
设g(x)=1-x+xlnx
g'(x)=-1+lnx+1=lnx
∵1≤x≤≤e ∴0≤lnx≤1
即g'(x)≥0
∴g(x)是增函数
∴g(x)≥g(1)=0
∴f'(x)≤0恒成立
∴f(x)是减函数
∴f(x)max=f(1)=1
∴2m≥f(x)max=1
∴m≥1/2
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2 ,2]上恒正
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1
2 <1在[
1
2 ,2]上恒成立,

1
x -
1
2 x 2 <a<
1
x +
1
2 x 2

1
x -
1
2 x 2 在[
1
2 ,2]上的最大值为
1
2 ,
1
x +
1
2 x 2 在[
1
2 ,2]上的最小值为
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∴此时
1
2 <a<
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8
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1
2 )(a>0且a≠1)在[
1
2 ,2]上恒正
则ax 2 -x+
1
2 >1在[
1
2 ,2]上恒成立,
即a>
1
x +
1
2 x 2 在[
1
2 ,2]上恒成立

1
x +
1
2 x 2 在[
1
2 ,2]上的最大值为4
∴此时a>4
故答案为:(
1
2 ,
5
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解得m>0
当mm≥-3/8
综上,m的取值范围为{m|m≥0或0≥m≥-3/8}
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已知集合A={a|x^2+2ax+k>0在x∈R上恒成立},B={a|x^2+ax+1≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,求
(1)当k=9时,求A⌒B;
(2)若k>0且A真包含于B求实数k的取值范围
尽量不要用函数做,我们还没学到,
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∵x^2+2ax+k=(x+a)^2+k-a^2
x^2+ax+1=(x+a/2)^2+(1+a/2)(1-a/2)
在x∈R上,x^2+2ax+k>0,即:(x+a)^2+k-a^2>0
又∵(x+a)^2≥0
k-a^2>0 ①
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解②得:-2
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对f(x)积分,得出f(x)取值范围是(-2,1),所以m取值范围是(-1,1)
若不等式loga(x^2-2x+3)≥1在x∈R上恒成立,则a的取值范围是
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答案是(1,2】,我要过程,谢谢!
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因为 x²-2x+3=(x-1)²+2≥2>1
从而 若0
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C、(0,1)∪(1,2) D、(1,
5
2
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f(x) = xe^(-x)
f'(x) = e^(-x) - xe^(-x) = (1-x)e^(-x)
∵x>1
∴1-x<0
而e^(-x)>0
∴f'(x)=(1-x)e^(-x)<0
即f(x)在(1,+∞)是单调减函数
f(1)=1/e
即在(1,+∞)上恒有f(x)<1/e
要使f(x)≤g(x)在(1,+∞)上恒成立,只需要g(x)的最小值大于等于1/e就可以了
g(x)=a(x-1)²+1-a
1°当a = 0时,g(x)=1>1/e成立,故而a=0满足题意;
2°当a<0时,g(x)是一个开口向下的抛物线,在(1,+∞)上是趋近于负无穷的,因此没有最小值,故不满足题意
3°当a>0时,g(x)是一个开口向上的抛物线,对称轴为x=1,因此,可以看到g(x)在(1,+∞)也是没有最小值的,因为它的最小值取不到g(1)=1-a,故而只需要1-a≥1/e,可得0<a≤(e-1)/e
综上可知a的取值范围是[0,(e-1)/e]
对于像这样的函数不等式的问题,一般来讲有这样两种方法:
1、构造新函数求最值法,比如令u(x)=f(x)-g(x),原命题即等价于u(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,然后对u(x)求导求得最值或特殊情况用均值不等式等方法.
2、定支法,一般来说函数不等式压轴题都是带有变参数的,那么我们一般可以将其中的某支函数的值的范围求出来,然后根据题目要求来进行,比如上面的这题,f(x)的范围可以很简单求得,那么要使g(x)大于f(x)恒成立,就只需要g(x)的最小值大于f(x)的最大值即可,g(x)的范围与参数有关,那么我们就要求得各种情况下的g(x)最小值来进行讨论.
总的来说,不管用什么方法,带有参数的题目一般都不可避免的需要讨论,分类讨论的思想是中学数学必须掌握的方法.
请采纳加赞同!
如不满意请反馈追问!
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(1)先整合.
得到f(x)=[(log4 k)^2-6log4 k+1]x+1-(log4 k)^2
然后代入0和1 都为正值 得出范围
会做了吧 不说了.懒的算了
(2)看不清楚 .
若不等式loga (x^2-2x+3)≤-1在x∈R上恒成立,则a的取值范围
若不等式loga (x^2-2x+3)≤-1在x∈R上恒成立,则a的取值范围
真数=(x-1)^2+2>=2
怎么就变成loga(2)?
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令y=loga (x²-2x+3)
真数=(x-1)²+2>=2
若0
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所以,丨 m^3+3m^2 丨≤4
m^3+3m^2≤4
当m=1时 ,m^3+3m^2=4,由于函数在[0,+∞)单调增
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若f(x)在[a,b]上恒为正,则f(x)在[a,b]上为增函数,判断正误,最好能给出图像做依据.
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是f'(x)打错了,不好意思
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不对的.
比如函数f(x)=sinx在[π/6,5π/6]上就是恒为正数,但不是增函数.
又比如f(x)=-x在[-10,-1]区间都是正的,但这个函数是减函数.
或者你自己定义一个函数,这个函数在区域[a,b]内的曲线都在x轴上方,
但曲线可以绘制成乱七八糟的曲线.
f(x)的导函数f'(x)在区间上恒为正数,那么它在这个区间上肯定是增函数.
这个根本不需要图形说明,这是基本的定义来的.
请教这个不等式怎么解(x-a)/x ≤ a在(0,+∞)上恒成立求a的取值范围
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y=mx²+2x-1=m[x²+(2/m)x+(1/m²)-(1/m²)]-1=m[x+(1/m)]²-(1/m)-1
由已知可得m>0
∴-(1/m)2上恒大于0,只需符合m[2+(1/m)]²-(1/m)-1>0
∴m>-3/4
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解题思路:应该分a>1和0<a<1两种情况讨论,确定真数的范围,使得该对数恒为正.

①当a>1时,要使f(x)恒为正,只需真数(
1
a−2)x+1当x∈[1,2]时恒大于1,
令y=(
1
a−2)x+1,该函数在[1,2]上是单调函数,因此只需

(
1
a−2)×1+1>1
(
1
a−2)×2+1>1,无解;
②当0<a<1时,要使f(x)恒为正,只需真数y=(
1
a−2)x+1当x∈[1,2]时,在区间(0,1)内取值,
而y=(
1
a−2)x+1在[1,2]上是单调函数,所以只需

0<(
1
a−2)×1+1<1
0<(
1
a−2)×2+1<1,解得[1/2<a<
2
3].
综上,a的范围是[1/2<a<
2
3].

点评:
本题考点: 函数恒成立问题.

考点点评: 本题一方面考查了对数函数的性质,要结合对数函数的图象来解决问题;另一方面要注意分类讨论.

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这种题最好是配图辅助来做,这里不方便就不帮你画了.
这道题如果是<0恒成立,因为f(x)开口向上,则只需计算f(2)<0和f(﹣2)<0同时成立,即取二者解的交集.
如果是>0恒成立,则分3种情况讨论.f(x)开口向上,对称轴是x=﹣a/2
①﹣a/2<﹣2(对称轴位于已知区间的左边),即a>4时,需f(﹣2)=4-2a+3-a>0,a<7/3, 与a>4取交集,为∅
②﹣2≤﹣a/2≤2(对称轴位于已知区间之上),即﹣4≤a≤4时,需f(﹣a/2)=a²/4-a²/2+3-a>0,﹣6<a<2,与﹣4≤a≤4取交集,为﹣4≤a<2
③﹣a/2>2(对称轴位于已知区间的右边),即a<﹣4时,需f(2)=4+2a+3-a>0,a>﹣7,与a<﹣4取交集,为﹣7<a<﹣4
综上,﹣7<a<2
思路是这样,计算你自己检验一下吧
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希望指点一下思路.. 感激不尽!
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这是一条直线方程,考虑情况化解得(log4k平方-6log4k+1)x-log4k平方+1
当前面括号里的大于0时,证明x=0时f(x)>0恒成立,k取交集!
当前面括号里的小于0时,证明x=1时恒成立,k取交集
最后k取并集!
这样的回答满意吗?
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答:
x^2+ax+1>=0在x>0时恒成立
ax>=-x^2-1
a>=-x-1/x=-(x+1/x)
因为:x>0
所以:x+1/x>=2√(x*1/x)=2
所以:
-(x+1/x)=-2>=-(x+1/x)
所以:a>=-2
x^2+16+|x^3-4x^2|>=ax在[1,8]上恒成立,求a的范围
huheway1年前1
lxlonger 共回答了20个问题 | 采纳率95%
x^2+16+|x^3-4x^2|≥ax在[1,8]上恒成立
也就是a≤x+16/x+|x^2-4x|在[1,8]上恒成立
∵函数y=x+16/x在[1,8]内取得最小值时,x=4.
函数y=|x^2-4x|在[1,8]内取得最小值时,x=4.
∴当x=4时,函数y=x+16/x+|x^2-4x|在[1,8]内取得最小值8.
所以a的范围是:a≤8.
f(x)=x3-ax2+2x+1≥0在[2,+∞]上恒成立 能说明什么
rocksonfree1年前1
haihui1234 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%
是求a的取值范围吧?
参变分离法
f(x)=x^3-ax^2+2x+1≥0在[2,+∞]上恒成立
转化成x^3+2x+1≥ax^2在[2,+∞]上恒成立
x^2>0
∴左右同/x^2
x+2/x+1/x^2≥a在[2,+∞]上恒成立
令g(x)=x+2/x+1/x^2
g`(x)=1-2/x^2-2/x^3=(x^3-2x-2)/x^3
再令h(x)=x^3-2x-2
h`(x)=3x^2-2
x∈[2,+∞]
h`(x)=3x^2-2>0
∵h(2)=10>0
∴g`(x)=(x^3-2x-2)/x^3>0
∴g(x)最小值=g(2)=2+2/2+1/4=13/4
∴a≤13/4
a的取值范围a≤13/4
如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳
如果有其他问题请另发或点击向我求助,答题不易,请谅解,谢谢.
祝学习进步!
已知a,b为实数函数f(x)=x^3+ax g(x)=x^2+bx ,若两个函数的导函数乘积非负在区间I上恒成立,
已知a,b为实数函数f(x)=x^3+ax g(x)=x^2+bx ,若两个函数的导函数乘积非负在区间I上恒成立,
则称两函数在区间I上的单调性一致.设a
myzhangsky1年前3
水若寒-修罗 共回答了21个问题 | 采纳率71.4%
f'(x)=3x^2+a,g'(x)=2x+b
h(x)=f'(x)*g'(x)=(3x^2+a)(2x+b)>=0①(a<0 且a≠b,x属于以a,b为端点的开区间),
分三种情况:
1)-b/2
已知函数f(x)=a的x次方在x属于【-2,2】上恒有f(x)小于a,求a的范围
honeysummer1年前1
zlhngs 共回答了13个问题 | 采纳率84.6%
a在实数范围内无解或者是题目错误.
原因如下:当x属于【-2,2】时,x可以等于0,所以a^0=11,而根据a>1时的f(x)=a^x的图像或代入数值可得a^2恒大于a(实数范围).所以有问题
关于x的不等式.|x-1|+|2x+4|>a^2+2a在R上恒成立则a的取值范围为
麦风20051年前2
td25400 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%
关于x的不等式.|x-1|+|2x+4|>a^2+2a在R上恒成立
即函数f(x)=|x-1|+|2x+4|的最小值 大于a^2+2a
(1) x≤-2,f(x)=1-x-(2x+4)=-3-3x ∴ f(x)≥3
(2) -2
已知f'(x)和g'(x)分别是f(x)和g(x)的导函数,若f'(x)g'(x)>=0在区间I上恒成立,则称两函数在区
已知f'(x)和g'(x)分别是f(x)和g(x)的导函数,若f'(x)g'(x)>=0在区间I上恒成立,则称两函数在区间I上的单调性一致,若a,b是实数,函数f(x)=x^2+ax ,g(x)=x^3+bx ,且函数f(x)和g(x)在区间(a,b)(b
无形中压力1年前2
lalaxox 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%
f'(x)=2x+a g'(x)=3x^2+b 因为f'(x)在(a,b)时小于零恒成立
令g'(x)=0 则g(x)的单调递减区间即为g'(x)
x²+mx+2≤0在x∈[1,3]上恒成立求m的范围
x²+mx+2≤0在x∈[1,3]上恒成立求m的范围
田园小和尚1年前1
有时发呆 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%
x²+mx+2的二次项系数为正,故图像f(x)=x²+mx+2的开口向上,此时要保证x²+mx+2≤0在x∈[1,3]上恒成立,只需要同时满足f(1)≤0,f(3)≤0,以及f(x)的最小值(4*1*2-m²)/4*1小于等于0即可.解以上不等式组可得m∈[-2*6^(1/2),-11/3],即在负的2倍根号下6到负3分之11之间.这类题目画图做比较快
已知函数f(x)=loga[(1/a-2)x+1]在区间[1,2]上恒为正,求a的取值范围.
会说话的哑巴啊1年前1
liu_zf 共回答了26个问题 | 采纳率88.5%
函数f(x)=loga[(1/a-2)x+1]在区间[1,2]上恒为正
(1)a>1
即 (1/a-2)x+1>1在区间[1,2]恒成立
即 (1/a-2)x>0在区间[1,2]恒成立
∴ 1/a-2>0
即 a1不符
(2)03
∴ 0
已知函数f(x)=loga^(2x-a)在区间[1/2,2/3]上恒有f(x)>0
已知函数f(x)=loga^(2x-a)在区间[1/2,2/3]上恒有f(x)>0
求a的取值范围
蜗牛草上飞1年前1
拿葱的大婶 共回答了19个问题 | 采纳率100%
1/2
已知函数f(x)=lg(1-x)/(1+x),若函数g(x)=f(x)-x-b在[0,9/11]上恒有零点,求实数b取值
已知函数f(x)=lg(1-x)/(1+x),若函数g(x)=f(x)-x-b在[0,9/11]上恒有零点,求实数b取值范围
mhghytr1年前2
zft6681451 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%
函数g(x)=f(x)-x-b在[0,9/11]上恒有零点,即有
g(0)*g(9/11)
关于数学恒成立问题的疑问 有求不等式|f(x)-m|>2在x属于(某区间)上恒成立 求M的取值范围
关于数学恒成立问题的疑问 有求不等式|f(x)-m|>2在x属于(某区间)上恒成立 求M的取值范围
有求不等式|f(x)-m|>2在x属于(某区间)上恒成立 求M的取值范围
我已求出f(x)在x属于(某区间)的最大值为3 最小值为2
我这样做对吗:
我将式化成 f(x)-2
无欢专用1年前3
zhongcheng1 共回答了18个问题 | 采纳率77.8%
先去绝对值号,m+2
(2008•武汉模拟)函数f(x)=loga(x2−ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,则实数a的取值范围为(  )
(2008•武汉模拟)函数f(x)=loga(x2−ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,则实数a的取值范围为(  )
A.(1,2)
B.(1,2]
C.(0,1)∪(1,2)
D.(1,
5
2
)
gannima9991年前1
cuicui83 共回答了22个问题 | 采纳率81.8%
∵函数f(x)=loga(x2−ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,∴当x>1时,f(x)=loga(x2-ax+2)>loga1.
当0<a<1时,

0<a<1
12−a×1+2≤1,此方程组无解;当a>1时,

a>1
12−a×1+2≥1,解得1<a≤2.故选B.
证明 若函数f(x)在区间[a,b]上恒有f''(x)>0,则对于区间(a,b)内任意两点x1,x2都有 [f(x1)+
证明 若函数f(x)在区间[a,b]上恒有f''(x)>0,则对于区间(a,b)内任意两点x1,x2都有 [f(x1)+f(x2)]/2>=f((x1+x2)/2)
就是见不惯1年前1
小憧 共回答了28个问题 | 采纳率85.7%
高中题,大学的方法更简单
函数凹凸性
f(x)在0到正无穷上连续可导,且f(0)=0 ,f(x)>=f'(x) 求证,f(x)在0到正无穷上恒等于0
灵活偏好1年前1
黑我啊你他NND 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%
此结论不成立.
反例:
f(x)= 1 - e^x