复变函数论中的欧拉公式怎么证明?

cosx=1/2 *(e^ix - e^-ix )
isinx=1/2 *(e^ix + e^-ix )
打字太辛苦
f(x)=cosx+isinx
f(a)f(b)=f(a+b),f(a)^n=f(na)
设f(x)=e^(kx)
则e^(kx)=cosx+isinx
导,k*e^(kx)=-sinx+icosx
=i(isinx+cosx）
=i*e^(kx)
得k=i
e^(ix)=cosx+isinx
则e^(-ix)=cosx-isinx

由于被积函数在复平面解析,所以积分结果与路径无关,从而可忽略掉积分路径,当成实积分来进行计算

e^ix=cosx+isinx（欧拉公式）的证明：因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=i,(±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 数学史上的五朵金花就是指e,π,i,1,0.

这些知识是建立在微积分的基础上,是微积分的深入推广和应用.
要想学纯粹的几何可以去看欧几里得的《几何原本》.解析几何是把几何问题转化为代数问题,用代数的工具来解决,但涉及微积分的地方并不多.
微分几何和黎曼几何才是与微积分有着紧密联系的几何.
不知道你有没有学过拓扑(Topology), 这是与微积分和代数有很大区别的科目,当然拓展后还是可以连上关系.
所以学好微积分对学习其它进一步的知识非常重要.

a+bi=√(a^2+b^2)e^(iarctan(b/a))

就我个人的理极点的极限点就是这个极点是所有极点的聚点.如f(z)=1/sin(1/z),说z=0是函数极点的极限点,就是以z=0为圆心,任意长为半经作一个圆,这圆里包含着f(z)的无穷多个极点,也就是说z=0这点不能孤立起来,所以z=0不是f(z)的孤立点,而是所有极点的聚点,也就是你说的极点的极限点.我的回答怎样?

令
i^i=a
则
两边取自然对数
ln(i^i)=lna
lna=ilni
而由复变函数
lni=ln|i|+πi/2=πi/2,
所以
lna=i*πi/2=-π/2,
所以
a=e^(-π/2),
即
i^i=e^(-π/2).

如果再引出任一条不与前一个积分路线重合的积分路线使这两条路线围绕一个闭单连通域,那么由柯西定理可以知道这个闭路积分值为0,所以说两段积分路线的积分值互为相反数,其中一条再调转积分方向,就可知两条路线积分值相等了,这样也可以看做是一条积分路线“不跳过孔”的连续变形形成另一条积分路线,所以说积分值不变咯

（1）用Rouche定理证明在区域|z|

以我们数学系的同学感觉
从难到易
拓扑学>实变>泛函>微分几何,偏微分方程>初等数论,概率论与数学统计,复变函数论
逗号表示差不多
但是个别强人会有不同评价,有的人很喜欢拓扑就觉得它不难了,看人的吧
这是一个平均的参考