聚点或极限点,孤立点,外点各是什么

如果f(x)在(a,b)内没有零点则结论显然成立,假设f(x)在(a,b)内有零点,任取零点x‘,由于x'∈(a,b),所以在x'点f(x)在x'点开展开为泰勒级数Σ(an)[(x-x‘)^n]（求和从0到∞）且收敛半径不为零,且存在一个k,使泰勒系数ak≠0,而当n＜k时的泰勒系数均为0,否则泰勒系数全为0,说明f(x)在收敛域U上恒为0,选取U边界上的点x’‘,若x''落在(a,b)内,由f(x)在(a,b)内每一点可展开成泰勒级数,说明在(a,b)上f(x)各阶导数存在且连续,由连续性可知在x'',f（x）极其各阶导数均为0,且在x'',f(x)又能展开为泰勒级数,且收敛半径大于0,在x‘’的展开级数的收敛域内,同理可知f(x)≡0,重复上述过程直至收敛域边界点落在点a、b上可得f（x）在(a,b)上恒为0,与题设矛盾.因此,存在一个k,使泰勒系数ak≠0,这说明f(x)在x’点的k阶导数不为0,f（x）可以被表为：f(x)=g(x)(x-x')^k,其中
g(x)=Σ[a(n+k)][(x-x‘)^n]（求和从0到∞）,易知g(x')≠0,且g（x）在x’的收敛域内连续（幂级数性质）,从而在x‘的某个领域O⊂U内g（x’）≠0,（见补充1）,又当x≠x'时,(x-x')^k≠0,因此在O内除x’外无f（x）的其他零点,因此x‘不是f(x)零点的聚点,（根据聚点定义,若x是某点集E的聚点,他的任意邻域内都应有异于它本身且属于E的点,现在已证除了x’外,邻域O内无f(x)其他零点）,有根据所取x‘的任意性可知f(x)的任意零点都不是f(x)零点集的聚点,再由f（x）在（a,b）上连续性易知,若x‘是零点的聚点,那必然f（x’）=limf（xn）=0（lim下n→∞,xn是一列趋向x‘的零点）,因此,(a,b)中的任意点均非f（x）零点的聚点.补充1,g（x’）≠0,|g（x’）|>0,由g（x）连续性,对于∀ε>0,∃δ,当|x-x'|0,所以g（x）≠0
设U‘=｛x||x-x’|

如果那个点在闭集里,就是聚点.在外面就不是.
【你应该是觉得在闭集外的离边界很近的点是聚点.这种说法不对】
你说的“紧挨着”,不合理.
因为点是稠密的,任何2个很小的点间有很多点,不存在“紧挨着”.

解题思路：本题在理解新定义“聚点”的基础上，找出适合条件的函数，得到本题结论．

①{y|y=e^x}，
∵y=e^x∈（0，+∞），
∴{y|y=e^x}=（0，+∞），
∴对任意a＞0，都存在[a/2]∈X，使得|[a/2]-0|＜a，
∴集合{y|y=e^x}是0为聚点的集合；
②{x|lnx＞0}，
∵lnx＞0，
∴x＞1，
∴{x|lnx＞0}=（1，+∞），
∵对[1/2]＞0，不存在x∈（1，+∞），使得|x-0|＜[1/2]，
∴集合{x|lnx＞0}不是0为聚点的集合；
③{x|x＝
1
n，n∈N*}，
∵{x|x＝
1
n，n∈N*}={1，[1/2]，[1/3]，[1/4]，…}
∴对任意a＞0，都存在[1/n]∈X，使得|[1/n]-0|＜a，
∴集合{x|x＝
1
n，n∈N*}是0为聚点的集合；
④{x|x＝
n
n+1，n∈N*}，
∵{x|x＝
n
n+1，n∈N*}={[1/2]，[2/3]，[3/4]，…}，
∴∵对[1/3]＞0，不存在x∈{x|x＝
n
n+1，n∈N*}，使得|x-0|＜[1/3]，
∴集合{x|x＝
n
n+1，n∈N*}不是0为聚点的集合．
综上，应选①③．
故选B．

点评：
本题考点： 子集与交集、并集运算的转换．

考点点评： 本题考查了新定义集合，还考查了函数值域和数列的单调性，本题难度不大，属于基础题．

点集E的边界点的定义:如果x为E的边界点,则对任何含x且存在异于x的点的邻域G,G与E交非空,G与E的补集交亦非空.
而聚点的定义:若x为E的聚点,则任何对于x的任何非空去心邻域G/{x},G/{x}与E交非空.
因此可见当边界点x不属于E时,那么G交E=G/{x}交E非空.由聚点定义即得x为聚点.
可能聚点和边界点的定义有很多种版本.但基本上是等价的.不过上面的定义对于证明来说可以一步到位.

楼上说法其实不对.上确界未必是聚点.
这是Bolzano-Weiestrass定理在实数上的特例.原定理说的是在列紧集中的无穷序列必有聚点.
证明的思路其实很简单.数列在某个区间[a,b]中,随便在数列中选一项,设为x,那么这一项后面还有无穷多项就被分配在[a,x]和[x,b]两个区间中,那么,因为有无穷多项,所以两个区间中必定有一个含有这数列的无穷多项,设这个区间是[a',b'],然后可以递归地选取数列中的元素,明显构成一个子数列.然后根据闭区间套定理,这个子数列收敛,收敛处就是原来数列的一个聚点.

聚点其实是拓扑学中的一个概念.在数学分析中也称为极限点.
给定点集E ,对于任意给定的δ〉0 ,点P 的δ去心邻域内,总有E 中点,则称为P 是 E的聚点（或叫作极限点）.
通俗地,对于数轴上点集E的聚点P,我们总可以在E中找到一个无穷数列a(n)（不等于P）,使得lima(n）=P.又举例来说,空间中一个球体的内部以及表面上的任何一个点都是该球体的聚点.
对于有限点集,是不存在聚点的.
聚点可以是E中的点,也可以不属于E.
聚点必须相对给定的集合而言,离开了点集E,聚点就没有意义.

我觉得科学家提出宇宙的膨胀不仅以红移为依据
应该还有通过星体间的相对运动得出结论
试想,发生红移的星体之间如果距离越来越短,那么可以证明它们在向一点聚集
相反,如果它们的距离越来越远,则可说明它们互相在远离,证明了宇宙在膨胀
所以,红移只是为宇宙膨胀提供了一个佐证,而不是根本上的依据
这就是我的个人观点
请楼主认真看看我的见解好吗?

必须是聚点.

用三维的来说,有个西瓜,分为西瓜皮和西瓜瓤.当然假设西瓜皮是没有厚度的.
西瓜瓤是内点,西瓜皮是边界点,这个西瓜是聚点.如果有个外面的西瓜子也是属于这个西瓜的,西瓜子叫做孤立点.有个虫子,在西瓜上吃西瓜,它不爬出西瓜就可以吃遍整个西瓜,这个西瓜叫做连通的.如果你将西瓜切成两半了,这个虫子就不能吃遍整个西瓜,顶多吃一半,西瓜就是不连通的.凡是没有皮的西瓜都是开集.从西瓜内部挖出一勺子瓤来(球形的)叫做邻域.
当然复平面是二维的,西瓜是三维的,但是基于拓扑的概念,这二者都是一致的,你想想将西瓜变成一个饼就好了.

设a,b是数列{an}的两个聚点,a0,存在N1,当n>N1时,有:
an-aN1.于是:
am-a

设E是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点,如果点P的任何一个去心邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E 的聚点.
说明：
1.内点是聚点；
2.边界点可能是聚点,也可能不是聚点；
例：
{(x,y)|0＜x^2+y^2≤1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
{(x,y)|x^2+y^2=0或x^2+y^2≥1}
(0,0)是边界点,但不是聚点．
3.点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E．
例如,{(x,y)|0＜x^2+y^2≤1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如,{(x,y)|x^2+y^2=1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
我对聚点的了解仅限于此,回答的不好请多原谅.

聚点要求任意邻域和集合有无数个公共点.

1.平行光线经凹透镜折射后的各折射线发散而不会聚于一点、这些折射光线的【反向延长线】会聚点称为“虚焦点：
2.选择题
关于凸透镜对光的作用、下面说法中正确的是【C－－会聚光不一定要有会聚点,只要光通过凸透镜后向内侧折射就是会聚】
A.光通过凸透镜后会变成平行光 B.只对平行光才有汇聚作用
C.对任何光都有会聚作用 D.对不平行的光有发散作用
3.投影机上有一个平面镜对光线起【反射－－改变光的传播方向】作用.
4.幻灯机与投影仪的不同点是,幻灯机不需要用平面镜反射光,为了看到正立的像,应当幻灯片【倒】放.要使屏幕上的像大一些,应将幻灯机【远离】屏幕,并将幻灯片与镜头的距离【减小】

若用邻域定义的话,那么点P是在这个邻域内的
会造成孤立点也复合聚点的定义,这是不希望看到的

第五题图

反证法.如果极限不存在,那么在x(n)的一个聚点x的一个邻域S(x,ε)外存在无限x(nk).因为这个数列x(nk)也是有界序列,因此也存在一个聚点y,且|y-x|≥ε>0.这与条件矛盾.

反证法.假设有限集A含有一个聚点x0,则取r1=1,存在点x1属于A使│x1-x0│

假定条件为入射光为近轴光且与光轴平行,那么进过凸面折射后光线要会聚到焦点,即球心处； 你这里说错了,他不是抛物面,是球,球的焦点在二分之一半径处

内点一定是聚点,聚点不一定是内点.
聚点还包括非孤立的边界点.

所有的内点都是聚点.边界点中除了孤立点外都是聚点.
也就是除了孤立点外剩下的内点加边界点就是所有的聚点.

不可能只有一个…有限个的话必然d(x_i,x.)有最小值r,那么当douta小于r,N(x.,δ)里没有异于X.的点啦

无妨考虑无限数集S有上界,则有上确界a.若上确界是最大值,考虑S{a}.否则a不在S中.利用上确界的定义容易找到严格单调递增的数列使得其收敛于a. 做法很容易：利用确界定义,取a>a1>a-1/n.然后取a>a2>a-(a-a1) 然后一直取下去就行了

孤立的边界点不是聚点.
对于集合A的孤立点,它的小邻域内除了它本身之外没有A中的其它点,所以不满足聚点的定义.

我觉得像这种题你就先画直角坐标系,随便去几个点,变化趋势就可以看出来了,问题也就解决了

在实数上E的内点一定是E的聚点
不稠密的集合也可能有内点和取点,比如(0,1)的取点是[0,1],点1/2就是一个内点.
这样 （0,1]并[2,3)
这个集合
1和2之间没第三个数
但有内点

数列收敛的定义：
若数列{Xn}的极限为a,等价于
对于任意小的量ε,一定存在这样的正整数N,对于任意的n>N 有|Xn-a|N时,有
|Xn-a|

　　因为函数在除(0,0)外的点都有定义,所以定义域是D.关于聚点的概念,多数高等数学的教材是不涉及的,如果有兴趣,可以查看《数学分析》的教材.

数列 1 0 1 0 1 0 ...
有两个聚点1,0但没有极限.
所以聚点不是数列的极限
极限唯一是对的
单调”这个条件是针对后面证明有界而言的,这个论断不对.就像刚才举的例子,它不单调,是震荡的,没有极限.单调有界必有极限 实际上是个公理,有它才能保证实数的连续性.

解题思路：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

①中，集合{
n
n+1|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，
除了第一项0之外，其余的都至少比0大[1/2]，
∴在a＜[1/2]的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{
n
n+1|n∈Z，n≥0}的聚点
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=[a/2]（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=[a/2]＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点
③集合{
1
n|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，
对于任意的a＞0，存在n＞[1/a]，使0＜|x|=[1/n]＜a
∴0是集合{
1
n|n∈Z，n≠0}的聚点
④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点
故选A

点评：
本题考点： 空集的定义、性质及运算．

考点点评： 本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键．

不行.例如平面点集E为：|z|

聚点：设x0为一个点（可以属于点集E,也可不属于E）,若x0的任何去心邻域N（x0,&）内至少有一个点x属于E,则称x0为E的一个聚点.
内点是聚点,界点是聚点,孤立点不是聚点.

如果是在度量空间内确定的两个点那距离肯定是确定的,可是A中包含了无数个点,这个x就可以被A中的点无限逼近,你想想如果A是开集,边界点是不是就被无限逼近着?主要原因是因为A中的点是无限的点,你举出A中一个距离x最近得点,A中总是有其他点距离x更近,为了超过这无限个点逼近x,所以就有了无限逼近这个说法,就是极限点,叫聚点.