0.999999(无限)=1?解：令0.99999...=x,则10x=9.9999...两式相减得：9x=9,故x=1

循环小数0.999　　在完备的实数系中,循环小数0.999...,也可写成数学、数学或数学,表示一个等于1的实数.也就是说,“0.999...”所表示的数与“1”相同.长期以来,该等式被职业数学家所接受,并在教科书中讲授.
　　简介
　　0.999...是一个小数系统中的数,一些最简单的0.999...=1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质.大部分的小数算术──加法、减法、乘法、除法,以及大小的比较,操作方法都与整数差不多.与整数一样,任何两个有限小数只要数字不同,那么数值也一定不同.特别地,任何一个形为0.99...4的数,其中只有有限个9,都是严格小于1的.
　　误解0.999...中的“...”（省略号）的意义,是对0.999...=1的误解的其中一个原因.这里省略号的用法与日常语言和0.99...9中的用法是不同的,0.99...9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了.但是,当用来表示一个循环小数的时候,“...”则意味着无限的部分被省略掉了,这只能用极限的数学概念来阐释.这样,“0.999...”所表示的实数,是收敛数列（0.9,0.99,0.999,0.9999,...）的极限.“0.999...”是一个数列的极限,从这方面讲,对于0.999...=1这个等式就很直观了.
　　与整数和有限小数的情况不一样,一个数也可以用许多种其它的方法来表示.例如,如果使用分数,3=2?6.但是,一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示.如果有两种方法,那么一种一定含有无穷多个9,而另外一种则一定从某一位开始就全是零.
　　0.999...=1有许多证明,它们各有不同的严密性.一个严密的证明可以简单地说明如下.考虑到两个实数是相等的,当且仅当它们的差等于零.大部分人都同意,0.999...与0的差,就算存在也是非常的小（趋近零）.考虑到以上的收敛数列,我们可以证明这个差一定是小于任何一个正数的,也可以证明（详细内容参见阿基米德原理）,唯一具有这个性质的实数是零.由于差是零,可知1和0.999...是相等的.用相同的理由,也可以解释为什么 0.333...=1?3,0.111...=1?9,等等.
　　证明
　　推想
　　0.999...是否为1?若使用减法直式计算（小数点后只列出五位,五位后省略）：
　　1.00000
　　─　0.99999
　　──────
　　0.00000
　　结果为0.000...,也就是0.0有限循环.因为小数点后五位之后还会一直填上0,始终无法找到最后一位来填上1.1.(0)-0.(9)=0.(0),故1=0.(9).
　　分数
　　无限小数是有限小数的一个必要的延伸,其中一个原因是用来表示分数.用长除法,一个像1?3的简单整数除法便变成了一个循环小数,0.333...,其中有无穷多个数字3.利用这个小数,很快就能得到一个0.999...=1的证明.用3乘以 0.333...中的每一个3,便得到9,所以3×0.333...等于0.999.而3×1?3等于1,所以0.999...=1.
　　这个证明的另外一种形式,是用1/9=0.101...乘以8.数学
　小数
　　一个更加早期的形式,是基于以下的方程：数学
　　由于两个方程都是正确的,因此根据相等关系的传递性质,0.999...一定等于1.类似地,2/2=1,且2/2=0.999.所以,0.999...一定等于2.
　位数操作
　　另外一种证明更加适用于其它循环小数.当一个小数乘以10时,其数字不变,但小数点向右移了一位.因此10×0.999...等于9.999...,它比原来的数大9.
　　考虑从9.999...减去0.999.我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位,结果都是9-9,也就是0.两者小数点后的数目均为0.999...故可互消,结果为小数点后为零.最后一个步骤用到了代数.设0.999...=c,则10c?c=9,也就是9c=9.等式两端除以9,便得证：d=1.用一系列方程来表示,就是数学
　　以上两个证明中的位数操作的正确性,并不需要盲目相信,也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的.这个关系,可以用几个等价的方法来表示,已经规定了0.999...和1.000...都表示相同的数.
实数分析
　　由于0.999...的问题并不影响数学的正式发展,因此我们可以暂缓进行研究,直到证明了实数分析的标准定理为止.其中一个要,是要刻划所有能表示成小数的实数的特征由一个可选择的符号构成整数部分的有限个数字一个小数点以及构成小数部分的一系列数字组成为了讨论0.999...的目的我们可以把整数部分概括为b0并可以忽略负号这样小数展开式就具有如下的形式数学

因为1-0.999……=0.0…………01,所以1≠0.999……

任何相同的整数相除都等于 下面是论证
设X=0.999...(1)
则10X=9.999...(2)
(2)-(1):9X=9
∴X=1
即：0.999...=1
或者：
0.999...=0.9+0.09+0.009+...是公比为0.1的等比数列
∴0.999...=0.9/(1-0.1)=1
由此可得1=0.999.
所以问题转化----两个整数相除等于1
这个不用我再说了吧

这个题目好像在哪见过!
第一种解法:
∵ 1／3=0.333...
等式两边同时乘以3,即1／3×3=0.333...×3
又∵ 等式左边1／3×3=1,等式右边0.333...×3=0.999...
∴1=0.999...
标准解法：
令0.9的循环为x,
0.9循环可以看成是0.9加上0.09的循环,即：
x=0.9+0.1*x
X-0.1*X=0.9
X(1-0.1)=0.9
0.9X=0.9
所以,x=1
即1=0.999999[0.9的循环]
还有高二数学也有个定律：1和0.999999无限循环一样大

很郑重地告诉你0.9……=1，这是由10进制本生的缺陷造成的。除了那方法还有其他方法的，比如极限，级数。你可以参考《陶哲轩实分析》这本书。在书的后面有非常具体的证明。

lz 说了这么多
就是不明白 为什么0.99…等于1吧?(0.99...表示0.99的循环 下面的...都表示什么的循环)
下面我来告诉你它们相等的原因:(前提是 lz学过高数 要懂极限)
首先将0.99...看成一个以0.1为等比 首项为0.9的等比数列之和,于是有:
0.99... = (0.9 + 0.09 + 0.009 + ……) ---> 由等比数列求和公式可得下一步
= 0.9 * (1 - (0.1)^n) / (1 - 0.1) ---> 其中n趋于∞ 那么(0.1)^n 就为无穷小 即为0
= 0.9 * 1 / 0.9
= 1
相比lz现在一目了然了吧
0.99…就是等于1 无线循环小数要从极限角度思考
讲了这么多 希望lz明白了哈

是一样大的.我说一种最简单的方法证明：设x=0.999999…,那么10x=9.999999….10x-x=9,所以x=1

我是这样想的：设0.9=x,那么两边同乘以10就得到9.9=10x,即9+0.9=10x,由于0.9=x,所以上式可以化为9+x=10x,所以x=1,即0.9=1.

证明：因为1/3=0.333333.
（1/3）*3=0.99999.
且（1/3）*3=3/3=1
所以0.999999.=1

朋友,专研精神不错,不过这么推算不对的,10a=a的时候,a不能约去的,因为a等于0的情况是不能两边都除的.
应该为：
10a=a,
10a-a=0,
9a=0,
a=0.

因为数学上定义：0.99999…… =1
所以：1/3×3=0.333333……×3=1

他们是一样大的.
理由如下：
0.9999999……无限延长下去就是3分之3,而3分之1就是0.33333……,3分之一×3=1=0.99999……,别相信楼上的说法,是不科学的.

按照高数的说法,0.99999无限的极限是1
　　也就是1和0.99999之间相差一个无穷小
　　无穷小在有限步运算中无法区别其和零之间的差别
　　但是当运算扩大到无限步时,很容易就能发现1和0.9999无限之间的差别
　　lim(10的n次方）（1-0.9999）=1
　　lim（10的n次方）（1-1）=0

0.999.（9循环）
就等于1
证明如下：
设m=0.9999.
都乘10,得：
10m=9.9999.
相减,得：
10m-m=9.999.-0.999.
9m=9
m=1

0.999999无限循环=1,有这个定律的.怎么证明呢?0.999999无限循环=0.9+0.09+0.009+…=9/10+9/100+9/1000+… 这是个公比为10的等比数列求和,取n项为无限的话,极限=1

相等
1.时至今日,仍然有很多朋友对0.999……=1表示困惑,无论你怎么增加,总要差一点嘛!这困惑并非没有意义,他在人类数学史上,对无穷的讨论持续了几百年.如今人类已经可以用无穷的观点来解决这一问题,不过我们今天可以绕过这一困惑.
我们首先要明白的一个就是,无穷裁掉几个还是无穷
令X=0.999……,那么10X=9.999……
10X-X=9.999……-0.999……=9,即9X=9,X=1
2.最好的证明是用康托尔定义的实数,也可以用无穷级数和数列的极限.
3.因为：1/3=0.3333333……
故：1=3/3=0.9999999……
得证

你的问题,既然是无限循环,1除以3如果你说结果是0.333无限循环,那就不存在什么余数的概念,因为是无限的做下去
可以说是1/3精确地等于0.333 3无限循环
也就是1/3=0.3333 3无限循环
那么与比较0.9999（无限循环）/3=0.3333(无限循环)
可知0.999无限循环=1

你的问题,既然是无限循环,1除以3如果你说结果是0.333无限循环,那就不存在什么余数的概念,因为是无限的做下去
可以说是1/3精确地等于0.333 3无限循环
也就是1/3=0.3333 3无限循环
那么与比较0.9999（无限循环）/3=0.3333(无限循环)
可知0.999无限循环=1

0.9999.和1是一样的,等高中学了极限后就明白了

0.99999999.实际上是0.9+0.09+0.009+0.0009+.一直加下去是首项为0.9,公比为0.1的等比数列这个等比数列前n项和为:0.9*(1-0.1^n)/(1-0.1)=1-0.1^n而无限循环小数0.99999.的值既是这个等比数列在n趋向于无穷大时的值(因...

0.111111……=1/9
1-0.1(无限循环）=8/9
即0.88888888……
至于为什么不是0.999999.（无限循环）,很明显啊.
0.1+0.9=1
0.111……>0.1 &0.9999……>0.9
so :不是0.999999.

http://zhidao.baidu.com/question/39912383.html
你可以看看这里 其实0.9循环是可以认为等于1的

无限循环小数0.9999……等于1,这是千真万确的!
证明1：
0.999……×10=9.99999……
所以0.99999……×9=9.9999……-0.99999=9
所以0.9999……×9=9
0.99999……=9÷9=1；
证明2：
用你的例子
4÷9=0.44444……
5÷9=0.55555……
而4÷9+5÷9=（4/9）+（5/9）=1
所以0.4444……+0.5555……=0.99999……=1

不成立,0.999999999.不等于1

因为1/3=0.333……
而（1/3）*3=1
所以0.333……*3=0.999……=1

极限0.999999……＝1?（以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中0.33333……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无...

0.99999无限循环=1

1/3=0.33333333333.
所以3×0.3333333333333.
所以就是1
分数何以表示3/3
171819sss随时为你解答.
教育科学团（土豆团）为你解答.

你的理解有错误.
0.99999.是等于1的,注意无数个9中无数个的含义.
设x=0.9999.=0.9+0.09+0.009+0.0009+.
则10x=9+0.9+0.09+0.009+.
下载减上式,得9x=9
x=1
即0.99999.=1

1、1除以3和乘以3互相抵消了.
2、1除以3其实是约等于0.333333.的,其实是等于3分之一,3分之1乘以3就等于1.
3、乘除可以互相调换1/3*3可以调换为1*3/3

还有一种解法,但结果也是1=0.999999.
设x=0.999999.
则10x=9.999999.
10x=9+0.999999.
10x=9+x
9x=9
x=1
这种解法也没有问题.
反正高中以下的知识里面1是等于0.999999.的
不过到了大学,如果你学高数,它又会有其他的解法,来证明他的不等
这就是数学的神奇

1/3=0.33333…而乘3,前者1=后者0.99999…

别逗了 显然是相等的 居然有这么多人在这说1大 真是无语.

化不出来的
设0.9999999……=x,两边乘10得
10*0.9999999……=10x
即9.999999……=10x,
亦即：
9+0.999999……=10x,
再用x代替上式中的0.999999……得：
9+x=10x,显然,x=1是整数

等于（999999.)÷100000.

Good question.以后学了Cantor的实数定义就明白了.
Cantor用有理数基本序列的等价类来定义实数.
就是说对每一个收敛的有理数序列P：a[0],a[1],...,a[n],...,Cantor用该序列的极限值定义一个实数x,就像是给序列P起了个名字叫实数x.当然收敛到x的序列有许许多多,没关系,Cantor认为这些序列都是等价的,它们都可以用实数x作为名字.
所以,说到重点了：
0.999…具有双重“身份”：其一,它直观地代表一个有理数基本序列P：0.9,0.99,0.999,...（就像我们理解的那样,无穷无尽个9,要多少有多少）；其二,它代表序列P的名字,即某个实数x.
事实上,基本序列P和另一个基本序列P':1,1,1,...等价,它们都表达实数1.
这样一来,当我们单独观察0.999…的时候,我们直观地将它理解成序列P本身,这个序列中的每一项确实不等于1,但无限逼近；而另一方面,当我们用0.999…进行计算的时候,我们需要用它的“名字”,0.999…就不再表达序列P,而表达实数1.请注意：0.999… = 1,这里没有任何“逼近”的含义,这个等号是绝对的.理由上面说了,是因为P和P'是等价的有理数基本序列.当然对0.999… = 1这个事情我们还有更简单的证明.
理解了0.999…,渐近线那边也好交代了.因为渐近线通常不具有这种双重身份,即我们没有定义一个“渐近线的等价类”,然后再用极限斜率给这个等价类命名.——当然,我们完全可以这么做.我们只是没有这么做而已.为什么呢?呃……没必要啊.事实是,如果我们要那么做,才应该问“为什么”,因为需要good reason去做某事,而不做则通常不需要……

这个就是1
所以可以写成1/1或2/2或3/3,等等

0.99999...=X 那么10X=9.999....俩式相减知9X=9得到X=1同理宁0.33333...×3=X 在用10X减.最后求得X也等于1.原命题得证.相信没有人能有更好的证法

1/3=0.3333……如果这样写,应注意小数点后的3是无限多的,如果不是无限多,那么即使小数点后有再多的3,也不等于1/3.可以这样表示
1/3=3*(0.1+0.01+0.001+……10^(-n））=1/3*(1-0.1^n)（n趋近于无穷大等式右边的极限为1/3).用这种极限观点,则0.333……*3=(1-0.1^n)当n无穷大时,他的极限就是1.

第一题：（1-0.1）+（1-0.01）+.+(1-0.000001)
=6-0.111111=5.888889
第二题3.804-3.75=0.054

当然等于
提问者的问题是根本没有答案的,或者答案就是“1”.首先无限不循环小数是可以转换成分数的,比如0.2222……我们可以令0.2222……=X,等号两边都乘以10,即2.222……=10X,即2+X=10X,即2=9X,即 X=2/9 但是,用同样的方法得出0.99999……就是“1”；另外可以理解为当把圆平均分的份数越多时,它的边越接近于直线,插拼后的图形可以看成直线图形.所以答案就是“1”
就是1/1
因为0.999999……=9*0.111111……
而0.111111……=1/9
所以
0.999999……=9*1/9=9/9=1

你是一个喜欢思考的人,这个问题的关键就是对极限的认识,像0.33…的的数应该看成是以0.3为首项以0.1为公比的一个数列的所有项的和,而不能看成简单的数,而这极数就等于三分之一