△ABC内接于圆,D是弧BC(劣弧）的中点,AD交BC于E,求证：AB×AC=AE×AD

△DBE∽△DAB；△DBE∽△CAE；△ABD∽△AEC．
选择△ABD∽△AEC．
∵DA是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAE．
∵∠D=∠C，
∴△ABD∽△AEC．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定；圆周角定理．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

AB

答：△ABE与△ADC相似．
证明：在△ABE与△ADC中，
∵在⊙O中，AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
又∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA，
∴△ABE∽△ADC．

点评：
本题考点： 圆周角定理；相似三角形的判定．

考点点评： 本题综合考查了圆周角的性质和三角形相似的判定方法．

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠A=90°-∠ACB=20°，
∴∠BDC=∠A=20°．
故答案为：20．

点评：
本题考点： 圆周角定理．

考点点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

连接CD．
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠CBA=∠BCA=30°．
∴∠BDA=∠ACB=30°．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，∠BDA=30°，
∴∠DBC=90°-30°-30°=30°，
∴∠DBA=60°，∠BDC=60°，
∴BC=AD=6．

点评：
本题考点： 圆周角定理；解直角三角形．

考点点评： 本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．

AB

答：△ABE与△ADC相似．
证明：在△ABE与△ADC中，
∵在⊙O中，AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
又∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA，
∴△ABE∽△ADC．

点评：
本题考点： 圆周角定理；相似三角形的判定．

考点点评： 本题综合考查了圆周角的性质和三角形相似的判定方法．

连接CH、CF．延长CH交AB于Q，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，BE交AD于H，
∴H是垂心，
∴CQ⊥AB，∠ADC=∠CDF=90°，
∴∠BCH+∠ABC=90°，
∵∠BCF+∠AFC=90°，∠ABC=∠AFC，
∴∠BCH=∠BCF，
在△DCH和△DCF中
∵

∠HCD＝∠FCD
CD＝CD
∠HDC＝∠FDC，
∴△CDH≌△CDF（ASA）
∴HD=DF，∴（1）正确；
作OP⊥AB于P，
∵∠BAC=60°，∠BEA=90°，
∴∠ABE=30°，
∴AE=[1/2]AB，
∵OP⊥AB，OP过O点，
∴AP=[1/2]AB﹙垂径定理﹚，
∴AE=AP，
∵∠AOP=∠ACB，∠BAO+∠AOP=90°，∠ACD=90°，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
∴∠BAO=∠CAF，
在△AEH和△APO中
∵

∠APO＝∠AEH
AP＝AE
∠PAO＝∠EAH，
∴△AEH≌△APO（ASA），
∴AO=AH，∠BAO=∠CAF，∴（2）正确；
过A作AR⊥OH于R，
即∠ARM=∠ARN=90°，
∵AO=AH，
∴∠OAR=∠HAR，
∵∠MAO=∠EAH，
∴∠MAR=∠NAR，
在△MAR和△NAR中
∵

∠MAR＝∠NAR
AR＝AR
∠ARM＝∠ARN，
∴△MAR≌△NAR（ASA），
∴AM=AN，∴（3）正确；
∵AM=AN，AH=AO，AR⊥MN，
∴MR=NR，OR=RH，
∴OM=HN，
根据已知条件不能推出OH和OM的关系，∴（4）错误；
故选A．

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形，垂径定理等知识点，此题综合性比较强，难度偏大．

证明：连接OA，
（1）∵sinB=[1/2]，
∴∠B=30°，
∠AOC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OAD=60°+30°=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BE=AE，
∴OD是AB的垂直平分线，
∴∠DAE=60°，∠D=30°，
在Rt△ACE中，AE=cos30°×AC=
5
2
3，
∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5
3．

点评：
本题考点： 切线的判定．

考点点评： 本题利用了三角函数值、圆周角定理、等边对等角、等边三角形的判定和性质、切线的判定、垂直平分线的判定和性质、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半．

证明：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠BCD=∠DAB，
∴∠ACD=∠DAB，
∴BE∥AD，
∴∠EBA=∠DAB，
∴∠ACD=∠ABE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FCB=∠FBC，
∴CF=BF；
（2）连接DB，∵BH=DH，
∴∠HDB=∠HBD，
∴∠FHB=2∠HBD，
同理，∠HFB=2∠FCB，
∵∠ABD=∠ACD=∠DCB，
∴∠FHB=∠HFB，
∴FB=HB=1，
∵FB∥AD，
∴∠1=∠2，
∵DC平分∠ACB，
∴

AD=

DB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△FBH∽△FDB，
∴[FH/FB]=[FB/FD]，
设FH=x，则FD=x+1，
∴[x/1]=[1/x+1]，
解之得，x=

5−1
2，
即FH=

5−1
2

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．

考点点评： 此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理的理解和掌握，涉及到知识点较多，综合性较强，有一定的难度．

AB

＝

AC

证明：（1）∵AB=AC，
∴

AB＝

AC；
∴AD平分∠BDC；
（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，
∴∠CDA=∠ACB；
∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC；
∴[AE/AC＝
AC
AD]，即[4/AC＝
AC
9]；
∴AC=6；
证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；
∴∠AIC=∠ACI；
∴AI=AC．

点评：
本题考点： 圆周角定理；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定和性质．