6、设A为n阶对称阵,P为n阶可逆,x是A的对应特征值λ的特征向量,则（P的-1次AP）T对应λ的特征向量是?

线性代数题已知A为n阶反对称阵,若E+A可逆,证明(E-A)(A+E)^-1是正交阵.

wwh_daisy1年前1

baihong001 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

知识点:1.若A可逆,AB=BA,则 A^-1B=BA^-1
[ 在AB=BA等式两边左乘A^-1,右乘A^-1,即得结论]
2.A反对称 A^T = -A.
3.(A^-1)^T = (A^T)^-1
证明:由于 E+A 可逆,
所以 (E+A)^T = E^T+A^T = E-A 也可逆.
又由 (E-A)(E+A) = (E+A)(E-A)
所以 (E-A)^-1(E+A) = (E+A)(E-A)^-1
又因为 [(E-A)(A+E)^-1]^T
= [(A+E)^-1]^T(E-A)^T
= [(A+E)^T]^-1 (E^T-A^T)
= (E^T+A^T)^-1(E+A)
= (E-A)^-1(E+A)
= (E+A)(E-A)^-1
所以 [(E-A)(A+E)^-1 ] [(E-A)(A+E)^-1]^T
= (E-A)(A+E)^-1(E+A)(E-A)^-1
= (E-A)(E-A)^-1
= E
所以 (E-A)(A+E)^-1 是正交矩阵.

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设三阶实对称阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量p1=(1,1,1)'求A写清步骤,

huchenglan1年前1

pengjia 共回答了15个问题 | 采纳率100%

实对称阵对应不同特征值的特征向量正交.
设3的特征向量(a,b,c)则(1,1,1)(a,b,c)=a+b+c=0.得两个特征向量(1,0,-1),(0,-1,1).
所得p=((1,1,1)'(1,0,-1)'(0,-1,1)'),再求p-1.
p-1Ap=A的相似矩阵
所以有 A = Pdiag(6,3,3)P^-1=4 1 1
1 4 1
1 4 1

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矩阵A是n阶满秩实对称阵,那么矩阵A的对应的二次型能等于零吗?即x‘Ax=0,存在这样的n维向量x吗?

lt3c1年前1

woodheads 共回答了23个问题 | 采纳率87%

不论A的具体性质如何,x=0时总有x'Ax=0
如果一定要非零的x,那么当且仅当A和-A都不是正定阵时存在非零的x使x'Ax=0

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线性代数问题设对称阵A 其特征值互不相等 特征值对应的特征向量分别为a1,a2,a3.an则P=(a1,a2,a3.an

线性代数问题
设对称阵A 其特征值互不相等 特征值对应的特征向量分别为a1,a2,a3.an
则P=(a1,a2,a3.an) 使 A=P^(-1)∧P成立吗?

huwem1年前2

烟水旧梦 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

若∧ 是由特征值 λ1,λ2,...,λn 构成的对角矩阵,则
P^(-1)AP = ∧
不一定有 A=P^(-1)∧P

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线代 二次型求标准型的疑惑三阶实对称阵A 的特征值 为 1 2 3 ,那么在写二次型的标准型时怎样确定这三个数的位置呢

lrjgood1年前1

寒赛 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

设特征值1,2,3对应的特征向量分别是 p1,p2,p3
令 P = ( p1,p2,p3)
则 P^-1AP = diag (1,2,3)
注意 P 的构造 与 最后对角矩阵对角元上的数的对应就行了.

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线性代数,对称阵化为对角阵2 -2 0-2 1 -20 -2 0

stella_yan5201年前3

mv--1 共回答了27个问题 | 采纳率100%

|A-λE| =
2-λ -2 0
-2 1-λ -2
0 -2 -λ
r1+(1/2)(2-λ)r2 - r3
0 (1-λ)(2-λ)/2 -2(1-λ)
-2 1-λ -2
0 -2 -λ
第1行提出 (1-λ),再按第1列展开 = 2 乘
(2-λ)/2 -2
-2 -λ
2乘到第1行上
2-λ -4
-2 -λ
= λ^2 -2λ - 8 = (λ-4)(λ+2)
所以 |A-λE| =(1-λ)(λ-4)(λ+2)
特征值为 1,4,-2
A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为:a1=(2,1,-2)'
A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为:a2=(2,-2,1)'
A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为:a3=(1,2,2)'
令 P = (a1,a2,a3) ,则P可逆,且P^-1AP = diag(1,4,-2)

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为什么证明正定矩阵要先证明对称既然正定矩阵A=P乘P的转制,它当然是对称阵啊

封住尘香1年前2

胡殿军 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

如果你证明了A=PP^T且P可逆, 那么A当然是对称且正定的
但是如果你证明了对任何非零实向量x, 都有x^TAx>0, 那么A是正定的(这是一般非对称正定阵的定义), 但未必对称, 比如
A=
1 1
-1 1
就是一个非对称的正定阵
你所学的理论体系里可能没有定义过非对称的正定阵, 但至少来说仅用x^TAx>0不足以推出对称性, 所以如果你想证明某个矩阵是对称正定的本质上讲就得对这两条性质分别验证

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为什么 对称阵一定可以正交对角化 我不考研 只要证明 详细的证明

为什么 对称阵一定可以正交对角化 我不考研 只要证明 详细的证明
先证明为什么可以对角化 在证明为什么该用于对角化的矩阵可以正交
再帮忙整一下为什么二次型的秩为r 则特征值中恰有r个不为0
（这个好像很好证明的样子 我会了 是不是只要用一下相似矩阵就可以了 所以又要用到对陈阵可以对角化了）
拜托大家帮忙证明一下
在证明惯性定理 和 赫尔维兹定理

Ivan-6031年前1

啸风云 共回答了25个问题 | 采纳率92%

我去,你看同济的哪本线代上的上面的内容是没有的.我想告诉你,我看矩阵论才学到这个的,矩阵论中有一条定理是 任意一个矩阵都和上三角矩阵相似（讨论范围为实数域,矩阵为方阵）,你真的想知道证明过程,我只能告诉你这是用数学归纳法来证明,真的想知道这个我会推导,但是你本科学习真的没必要懂!
由这个定理我们可以推导出正规阵和对角阵相似（正规阵：AA^(T)=A^(T)A,那么A为正规阵,同理对陈阵只是一个特殊的正规阵）对称阵一定可以正交对角化,课可以写为若A满足,AA^(T)=A^(T)A,那么A一定可以正交对角化
为什么二次型的秩为r 则特征值中恰有r个不为0：就按你的方法就行了,相似矩阵秩相同.然后就出来了
惯性定理 和 赫尔维兹定理同理了,合同嘛 说实话,这些东西你用我的正规阵和对角阵相似,分解A=P^(-1)BP（其中B为对角阵）一带就出来了,还是不会你Hi我吧

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利用等价分解证明n阶方阵可写成一个可逆阵与一个对称阵的乘积

利用等价分解证明n阶方阵可写成一个可逆阵与一个对称阵的乘积
如题 感激万分

晶5226莹1年前1

xojlvfi 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

证明过程如图,注意利用对角阵是对称阵构造分解式.经济数学团队帮你解答,

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实对称阵的多项式还是对称阵吗?比如A为实对称矩阵；B=A^5-4A^3+E,B也是对称矩阵吗?

tingtingyang1年前1

whs2004 共回答了15个问题 | 采纳率100%

定义：如果有n阶矩阵A,其各个元素都为实数,矩阵A的转置等于其本身(A^T= A) ,则称A为实对称矩阵.
B^T=(A^5-4A^3+E)^T=(A^5)^T-(4A^3)^T+E^T=(A^T)^5-4(A^T)^3+E=A^5-4A^3+E=B.
∴B^T=B,仍为对称阵.
其中运用了转置的基本运算公式
①(AB)^T=B^T·A^T ②(kA)^T=k·A^T ③(A+B)^T=A^T+B^T

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一道线性代数问题利用等价分解证明n阶方阵可以写成一个可逆阵与一个对称阵之积

wayi19781年前1

yonganyufeng 共回答了22个问题 | 采纳率81.8%

对于(A)T必存在初等矩阵P1,P2……Ps使P1P2……Ps(A)T变为阶梯型,Pi中不含E(i(k))
a1 ……
a2 ……
……
an
令P=P1P2……Ps,且P必定可逆
a1*a2*……an为行列式A的值,设为v
若v不等于0
令Q=(A)TA/v,且Q对称
则PQ=(P(A)T)A/v=vA/v=A
若v=0
令Q=0,且Q对称
PQ=0=A

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A是奇数阶对称阵,所有元素都是整数,且对角元都是偶数,证明A的行列式一定是偶数

238321年前2

透子 共回答了20个问题 | 采纳率85%

设n阶对称阵A=(a[i][j]),其中a[i][j]=a[j][i],且a[i][i]均为偶数,n为奇数
因为A的行列式为所有乘积±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的和,其中
i[1],i[2],...,i[n]是1,2,...,n的一个排列,±号取决于排列的奇偶性
当存在ik=k时,a[k][ik]为偶数,∴此时±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]为偶数
当不存在ik=k时,考虑a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]的对称项
a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n],由于n为奇数,所有这两项是不同项
这是因为若二者相同,∵ik≠k,∴a[ik][k]∈{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}{a[k][ik]}
这样{a[1][i1],a[2][i2],...,a[n][in]}中的数刚好可以两两配对,即n为偶数,矛盾
又由于A对称,∴a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n]=a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in]
∴考虑它们的代数和±a[i1][1]a[i2][2]...a[in][n] + (±a[1][i1]a[2][i2]...a[n][in])
若±号相同,显然结果为偶数,若±号相异,则结果为0,也为偶数
∴通过这样的配对之后,可知A的行列式可以分成这样若干个偶数之和
即A的行列式一定也是偶数

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设A是n阶可逆矩阵,证明,存在正定对称阵P以及正交矩阵U使得A=PU

宝宝爱胤1年前1

放弃若然得到 共回答了24个问题 | 采纳率91.7%

呃…只会证A=UP

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设A2+6A+8E=0，且A为n阶对称阵，证明A+3E为正交阵．

jiaanqing1年前1

晚霞的天空 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

解题思路：该题根据正交矩阵的定义证明即可．

证明：因为A为n阶对称阵，
所以（A+3E）^T（A+3E）=A²+6A+9E，
由于A²+6A+8E=0，
于是（A+3E）^T（A+3E）=E，
故A+3E为正交阵．

点评：
本题考点： 正交矩阵的定义．

考点点评： 本题主要考查正交矩阵的定义，本题属于基础题．

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线性代数问题,对称阵合同的充要条件为正负惯性指数相同.麻烦严谨证明一下,复制滴不要.

liyanqiaiping1年前1

森崎汀娜1013 共回答了20个问题 | 采纳率75%

假设A,B正负惯性指数相同,则存在矩阵P,Q,使得P^TAP=Q^TBQ=diag{1,1.-1,-1,-1.0,0,0.},（Q^T）^-1×P^TAP×Q^-1,又因为(Q^T)^-1=(Q^-1)^T,所以得（Q^-1)^T×P^TAP×Q^_1,这就是合同变换,A,B合同

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设3阶对称阵A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=3,与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求A.

设3阶对称阵A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=3,与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求A.
请问做这道题的时候与特征值3对应的特征向量在保证与p1正交的情况下可以随便设吗?为什么?

thunderland1年前0

共回答了个问题 | 采纳率

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反对称阵的一个证明(线性代数)设A是反对称阵,即A’= -A∈Cn×n,证明:1.A必合同于对角分块矩阵|S,...||

反对称阵的一个证明(线性代数)
设A是反对称阵,即A’= -A∈Cn×n,
证明:
1.A必合同于对角分块矩阵
|S,...|
|..S,..|
|.0|
其中S=
|0,1|
|-1,0|
2.且若r(A)=2r,则有r个S.

笨妮妮1年前1

yxbbcyg 共回答了25个问题 | 采纳率88%

张贤科 许甫华的 高等代数习题解答

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设A是n阶方阵(不一定是对称阵),二次型f(x)=xTAx相对应的对称阵是( )【注：T 代表转置】

设A是n阶方阵(不一定是对称阵),二次型f(x)=xTAx相对应的对称阵是( )【注：T 代表转置】
（A）A （B）AT （C）1/2（A+AT) （D）A+AT

caozhi1年前1

雨打河轩 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

(C) 正确
因为A,A^T 不一定是对称矩阵,故(A),(B) 不对.
(C),(D)中的矩阵都是对称矩阵.
但 x^T(A+A^T)x 显然不等于 x^TAx
所以 (D) 不对.
(C) 正确:x^TAx 中 xixj 的系数是 aij+aji
x^T[(1/2)(A+A^T)]x 中 xixj 的系数是 (1/2) [ (aij+aij) + (aji+aij)] = aij+aji
故 x^TAx = x^T[(1/2)(A+A^T)]x

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实对称阵A的特征值是λ,则A的转置阵,A的逆阵,A的伴随矩阵的特征值分别是多少

dydjoy12341年前2

冰妩倩妃 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

λ是A的特征值,则
λ是A^T的特征值
1/λ 是 A^-1的特征值
|A|/λ 是A*的特征值

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为什么对称矩阵的合同矩阵一定还是对称阵?

名字还是长才好1年前2

元祖much 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%

合同变换的实质是对实对称矩阵A做相似变换QTAQ(QT是Q的转置也等于Q的逆)得到一个对角阵,而你看对角阵的特点,显然所有对角阵转置之后和原来的对角阵一样,显然对称,所以对称矩阵的合同矩阵一定还是对称阵?

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线性代数 将二次型∑（Xi-X拔）^2 表示成 x’Ax 其中x=（x1,x2……xn）'A为对称阵 求出A 【答案是A

线性代数
将二次型∑（Xi-X拔）^2 表示成 x’Ax 其中x=（x1,x2……xn）'
A为对称阵
求出A
【答案是A=I-ll'/n 为什么啊 l l'都是什么呢 】
A＝I－ll'／n

鱼儿19751年前1

gentle1984 共回答了24个问题 | 采纳率91.7%

记e＝(1 1.1)^T,E是单位阵,则x拔＝e^Tx/n,x拔^2=(e^Tx/n)^T*(e^Tx/n)=x^T(ee^T)x/n^2,
原二次型＝(x－x拔e)^T(x－x拔e)（自己验证一下）
＝x^Tx－x拔e^Tx－x拔x^Te+(x拔)^2e^Te
＝x^Tx－2n(x拔)^2+n(x拔)^2
＝x^T(E)x－n[x^T(ee^T)x/n^2]
=x^T(E－ee^T/n)x.

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2.2求证明.关于可逆矩阵和对称阵.

联都1年前0

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利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤是什么?

wuguo02281年前2

明媚心情1 共回答了14个问题 | 采纳率100%

1.求出特征多项式 |A-λE| 的所有根,即A的特征值
2.对每个特征值λ求出 (A-λE)X = 0 的基础解系
若基础解系含有多个向量,则需对它们正交化和单位化
若只含一个向量只需单位化
3.用这些向量作为列向量构造矩阵P
则P即正交矩阵,且 P^(-1)AP = diag(λ1,λ2,...,λn)

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关于矩阵的对角化问题我想问的就是对于对称阵必然存在n个线性无关的特征向量,并且还是正交阵.那么如果我求出n个线性无关的特

关于矩阵的对角化问题
我想问的就是对于对称阵必然存在n个线性无关的特征向量,并且还是正交阵.那么如果我求出n个线性无关的特征向量,我不进行正交化,他应该还是能够是使矩阵A对角化的可逆矩阵,只不过不是正交阵罢了.（这样理解对否）.其次对于任何一个矩阵,如果告诉我们他的n个线性无关的特征向量,那么我可以对他正交化使之成为正交相似变化了?我的这种理解对否?所以第一个疑问换言之就是可使对称阵对角化的可逆矩阵可以不是正交阵.而第二个问题等于说一般的矩阵只要可以对角化一定也能正交相似对角阵?我觉得我的第一个理解是对的,但第二个好像不对.
ps：我还想知道正交化是一个什么样的过程,（我指的不是公式或步骤,这个我懂得.）这个问题是针对第二个问题的.p正交化以后PAP逆就不等于对角阵了?

synod1年前3

skyzsea 共回答了25个问题 | 采纳率92%

你的第一个理解和第2个理解都是对的
P正交化以后只是有P逆等于P的转置
PAP逆还是等于对角阵的
liuchuanren举的那个反例根本就是错误的
{{13,28},{-6,-13}}.明显可以正交相似为对角阵

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关于对称阵对角化一般可逆矩阵和正交阵都能使对称阵对角化 那么这里的可逆矩阵和正交阵有什么关系呢?是不是只有正交阵才能使对

关于对称阵对角化
一般可逆矩阵和正交阵都能使对称阵对角化 那么这里的可逆矩阵和正交阵有什么关系呢?
是不是只有正交阵才能使对称阵A对角化为对角矩阵B呢？

rensheng6661年前1

三点钟失眠 共回答了23个问题 | 采纳率87%

一般可逆矩阵和正交阵都能使对称阵对角化 那么这里的可逆矩阵和正交阵有什么关系呢?
矩阵A对角化后会变成与A相似的矩阵B,且B=C^(-1)AC其中C被规定一定要可逆
若C正交,则A与变换后的矩阵B不仅相似,而且合同,且有C'AC=C^(-1)AC=B（为对角阵）
别忘了矩阵可对角化条件,那就是该矩阵有与其阶数相等数量的特征向量；
另一个与其等价的条件是矩阵的最小多项式无重根.

如果已知对角矩阵反求对称阵 需要求出使其对角化的可逆矩阵呢还是正交阵呢?
此时只要求出使其对角化的可逆阵即可,若该对角阵还为原矩阵的二次型标准型,那么求出来的可逆阵也是正交阵

问题补充：是不是只有正交阵才能使对称阵A对角化为对角矩阵B呢?
不是啊!只要把特征向量按列排就可以了.

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请线性代数好的人帮忙.A矩阵正定的必要条件为什么是对称阵A的行列式＞0,A主对角线的元素都大于0?

请线性代数好的人帮忙.A矩阵正定的必要条件为什么是对称阵A的行列式＞0,A主对角线的元素都大于0?
由A正定能怎么推出来这个结论啊?

森林苍龙1年前3

chengshi_lieren 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

首先,为什么讨论对称矩阵?
任何一个矩阵A都可以唯一地分解为一个对称矩阵S和反对称矩阵T的和.A=S+T
对于反对称矩阵,满足T'=-T,其中'表示转置.
因此对于任意的向量x,有x'Tx=-x'T'x=-(x'Tx)'=-x'Tx,这里x'Tx是一个实数,它和自己的相反数相等,那它只能等于0.
这就是我们只考虑对称矩阵的原因,对于一般的矩阵A,它是否正定（或者负定）只取决于它的对称部分S,和反对称部分T无关.
下面再证明A正定能推出行列式大于0.
线性代数课本上肯定有这样一个定理：
对阵矩阵S的下列命题等价：
S是正定的；
S相合于单位阵I；
S=P'P,其中P是可逆方阵；
...
这样的话|S|=|P'||P|=|P|^2,又因为P可逆,所以|P|不等于0,所以|S|>0.证毕.
下面证明对角线元素都大于0
接着刚才那个定理：
（等价于）S的所有主子式大于0.
所谓主子式就是指选取矩阵中第i1,i2,i3,...,ik行,i1,i2,i3,...,ik列的元素,所组成的子矩阵的行列式.对角线上的元素都是一阶主子式,所以肯定都大于0.

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求一个正交的相似变换矩阵,将对称阵化为对角阵!为什么我算出的答案和标答不一样

求一个正交的相似变换矩阵,将对称阵化为对角阵!为什么我算出的答案和标答不一样
我求出的正交的相似变换矩阵和答案不一样,我对比一下发现区别：
例如特征值是2,标准答案的矩阵A－2E的基础解系和我写的不一样,具体原因是对矩阵进行行变换时,我比它多进行一个行变换,最后基础解系不同,但我觉得我的没错啊?
到底怎么回事呢

lanmeng11年前1

leungjoy 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%

单特征值对应的特征向量在不计倍数的情况下唯一
但是重特征值对应的特征向量不唯一,因为特征子空间的正交基选取方式不唯一
只需要验证Q'Q=I和Q'AQ=D即可,不必和答案一致

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n阶对称阵求行列式求解,求教老师

n阶对称阵求行列式求解,求教老师
如下图

开始不懂耶1年前1

wrmfwr 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

这是范德蒙行列式
令 xi = ε^i, i=0,1,...,n-1
An = ∏ (0

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为什么实矩阵A*A'就是对称阵?

zhongxj_20051年前1

mox1982 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

(AA')' = (A')'A' = AA'

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有一道线性代数的题,设A是n阶方阵,二次型f=XTAX的对称阵是________

caldield1年前1

伍老师 共回答了11个问题 | 采纳率72.7%

x'Ax中xi*xj的系数有两部分aij,aji组成,即为aij+aji,现在要求变成对称阵B,即bij=bji,而(bij+bji)是xi*xj的系数,故bij+bji=aij+aji
故bij=bji=1/2(aij+aji)
于是 B=1/2(A+A')

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实对称阵A的所有特征值为λ1=λ2=-2,λ3=0,λ4=1则A的秩为

wj74845451年前1

arsine 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

3

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设A,B为N阶对称阵 证明AB为对称阵的充要条件为AB=BA

设A,B为N阶对称阵 证明AB为对称阵的充要条件为AB=BA
如题.在线等

swjzpl31年前1

zixuanyi 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

证明: 必要性 已知AB为对称阵
转置 (AB)'=B'A'
又A'=A B'=B (AB)'=AB
所以有 AB=BA
充分性 已知AB=BA
(AB)'=(BA)'=A'B'
又A'=A B'=B
所以(AB)'=AB
AB为对称阵
命题得证

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证明任意矩阵都由对称阵与反对称阵组成

美丽的hh1年前1

小小鸟儿天上飞 共回答了20个问题 | 采纳率90%

A = (1/2)(A+A') + (1/2)(A-A')
易知 (1/2)(A+A') ,(1/2)(A-A') 分别是对称阵与反对称阵

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设N阶实对称阵A,B具有一个共同的K重特征值λ,若k>（λ/2）,则A,B对应于特征值λ有相同的特征向量

设N阶实对称阵A,B具有一个共同的K重特征值λ,若k>（λ/2）,则A,B对应于特征值λ有相同的特征向量
要证明的是 若K>(n/2)

xdnxa1年前2

姜制半夏 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

证明:由A,B是n阶实对称矩阵,A,B具有一个共同的k重特征值λ
知A,B的属于特征值λ的线性无关的特征向量必有k个
设a1,...,ak是A的属于特征值λ的线性无关的特征向量
b1,...,bk是A的属于特征值λ的线性无关的特征向量
则由k>(n/2)知 2k>n.
所以 a1,...,ak,b1,...,bk 线性相关 [向量的个数大于维数必相关]
故至少有一个向量,不妨设是a1,可由其余向量线性表示.
即 a1 = k11ai1+...+k1sais + k21bj1+...+k2tbjt
∴ a1 - k11ai1-...-k1sais = k21bj1+...+k2tbjt
注意到 a1,...,ak 线性无关,故
a1 - k11ai1-...-k1sais = k21bj1+...+k2tbjt ≠ 0
此向量即A与B对应于特征值λ的相同的特征向量.
不知道是否有更好的证明方法.

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A是4阶对称阵,且A^2+A=0,R(A)=3,则A相似于对角阵___________.

513471年前2

fcgncgs88 共回答了21个问题 | 采纳率95.2%

首先有这个结论:若b是矩阵B的特征值,则对多项式f(x),f(b)是f(B)的特征值.
对一般矩阵证明可能要费点功夫,对本题这样的可对角化矩阵相对直接一点.
于是由A²+A=0,A的特征值a满足a²+a=0,只可能为0或-1.
A可对角化,所以代数重数=几何重数.
由r(A)=3,特征值0的几何重数(AX=0的解空间维数)=4-r(A)=1.
剩下的3个特征值都为-1.因此A相似于对角线上为0,-1,-1,-1的对角阵.
(注意其实特征值的顺序可以改变,-1,-1,0,-1之类的答案也可以,彼此都相似).

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设A为m阶正定对称阵,B为mxn阶阵,在己知BTAB正定时求r(B)=n

设A为m阶正定对称阵,B为mxn阶阵,在己知BTAB正定时求r(B)=n
自己证到了(BX)TA(BX)>0→BX不等于0,此时X也是不等于 0,那为什么根据 BX=0 仅有 0 解才能推导出 B 的秩等于 n

jx198106161年前2

小格哒哒 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

B是m×n矩阵,BX = 0的解就是使得B的列向量线性组合得0的组合系数.
因此BX = 0只有零解,等价于B的列向量线性无关,等价于B的列秩为n,即r(B) = n.
也可以有别的说法,例如由BX = 0的解空间维数为n-r(B).

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三阶实对称阵A有三个特征值：1,-1,-2,其中特征值1,2对应的特征向量分别为(1,0,1)T和(1,0,-1)T,求

三阶实对称阵A有三个特征值：1,-1,-2,其中特征值1,2对应的特征向量分别为(1,0,1)T和(1,0,-1)T,求A^4
由于不同特征值对应的特征向量应该互相正交,所以可以解出第三个特征向量.然后我将其单位化,得到P,因为P^(-1)AP=B,B为特征值构成的对称阵,求A^4就等于求PB^(4)P^(-1),故可以解出A^4.这是我的解法.但是标准答案和我有点不同,就是没有对三个特征向量进行单位化,直接求A^4了.为什么算出来答案不一样?是我算错了?

babtdargon1年前1

ls162 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

这里不必单位化, 因为你用的是相似关系
如果单位化, 那就有一个好处: P^(-1) = P', 不用求P的逆矩阵了
答案是唯一的, 要么书中答案有误要么你计算错了.
追问一下, 把原题发来, 我解一个看看结果吧.
"其中特征值1,2对应的" 2 还是-2?

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任一实对称阵必合同于一个对角矩阵,任一实对称阵都可以相似对角化为对角矩阵,这两个矩阵是同一个吗?

紫影幽幽1年前2

海啸风云 共回答了16个问题 | 采纳率100%

一般来讲肯定是不对的,楼上提到的次序问题仅仅是一个小问题.
合同对角化之后的对角阵有很大的变动余地,但是相似对角化得到的对角阵在相差一个排列的意义下唯一,比如非零对角阵A和2A一定合同,但是特征值就不一样了,肯定不相似.或者这样讲,实对称矩阵相似则必定合同,但是反过来不对.
既然你问到这样的问题了,你还应该要知道一个重要的结论——谱分解定理：任何实对称矩阵都正交相似于对角阵.
正交相似变换既是相似变换也是合同变换,所以谱分解定理可以把相似和合同联系起来.

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实对称矩阵的问题A为实对称阵,怎么说明存在正交阵T满足T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个分解,普分解定理

实对称矩阵的问题
A为实对称阵,怎么说明存在正交阵T满足T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个分解,普分解定理我没学,所以说详细点.

老凌1年前1

风云际合 共回答了22个问题 | 采纳率86.4%

具体证明过程相当复杂,你最好查阅相关书籍,很多大学线性代数教材里应该都有,简明步骤如下：
1）证明所有特征根为实数,每个根都有他的重复数目(解方程lambda*I-A=0).
2）对于每个根m,方程m*I-A=0的秩不会超过在方程lambda*I-A=0里根m重复的数目.
3）对于每个根m,方程m*I-A=0的秩等于在方程lambda*I-A=0里根m重复的数目,因此相同特征根的特征向量可以Schmitt方法整成互相正交的.
4）不同特征根的特征向量是相互正交的.
5）把相互正交的特征向量排列好后,就是T,然后T'AT=diag(d1,d2,...,dn).
你也可以查阅Cholesky分解,Hermitian矩阵等名词.

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使对称阵相似于对角阵的可逆阵P一定正交吗

使对称阵相似于对角阵的可逆阵P一定正交吗
P一定是正交阵吗？

为什么芝麻这么强1年前1

pc8888 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%

不一定；
设A为对称阵,L为一对角阵,P为可逆阵,有：
P^(-1)AP = L
令：k不等于0,1,-1；
Q=kP,
则 Q 与P不可能同时为正交阵,
Q^(-1)= k^(-1)P^(-1)
Q^(-1)AQ= k^(-1)P^(-1)A kP = k^(-1)k L =L
Q与P都可使A变换为对角阵L
所以使对称阵相似于对角阵的可逆阵P不一定一定正交

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设A,B为n阶方阵,且A为对称阵,试证明BTAB也是对称阵.

小洗小固执1年前1

daisy10000 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

证明某阵A为对称阵,只需要有AT=A
（BTAB)T=BT AT (BT)T=BT AT B
又A为对称阵
AT=A
代入得
BT AT B=BT A B
所以BTAB为对称阵

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设A为可逆实对称阵,证明A平方正定

东风20051年前1

暮容茜子 共回答了20个问题 | 采纳率90%

存在正交阵u,记u的转置为u'有
u'Au=diag{a1,a2,……,an}(对角阵)
又A可逆则对角元不为0
则u'AAu=u'Auu'Au=diag{a1^2,a2^2,……,an^2}
即A的平方合同与一对角元全为正数的矩阵,所以平方正定

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A、B皆为实对称阵,且具有相同特征值,则二者相似且合同.这句话正确吗?

江东2001911年前1

恃狂 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

是正确的,因为A,B都是实对称矩阵,那么他们就都必可以化成对角矩阵,这是定理,对角矩阵就是他们的特征值所组成的,他们的特征值相同,那么二者必然相似了,今年考研数学一刚刚考过这个问题,嘿嘿.

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有两种情况可对角化 (1)特征值互不相等时 (2)矩阵是对称阵

有两种情况可对角化 (1)特征值互不相等时 (2)矩阵是对称阵
如果某矩阵的特征值中有两个特特征值相等则该矩阵为对角矩阵
上面的打错了
有两种情况可对角化 (1)特征值互不相等时 (2)矩阵是对称阵
如果某可对角化的矩阵矩阵的特征值中有两个特特征值相等则该矩阵为对角矩阵

2609420721年前1

落雪英子 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

(1)是对的,(2)也对,但要注意有个前提是实数矩阵.
后面那句没读懂…(1)中说了特征值互不相等的时候可以对角化~有两个特征值相等怎么就是对角阵了?显然不一定啊!

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与某对角阵相似的实对称阵和该对角阵正交相似吗

bingshi7311年前1

蒸蛋娃娃 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

是的.因为,若实对称阵与某对角阵相似,则它们有相同的特征值(根).由主轴定理(即:每个实对称阵都正交相似于一个对角阵),该实对称阵就正交相似于那个对角阵.

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证明AB为对称阵的充要条件是AB=BA

shuizy1年前1

Rning 共回答了11个问题 | 采纳率90.9%

因为A,B是同阶对称矩阵, 所以 A' = A, B' = B 所以有 AB是对称矩阵 <=> (AB)' = AB <=> B'A' = AB <=> BA = AB <=> A,B可

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矩阵A有n个线性无关的特征向量,可以推出A一定是对称阵吗?

矩阵A有n个线性无关的特征向量,可以推出A一定是对称阵吗?
A不一定是，我已经知道了，那A一定可以通过行（列）变换与一个对称阵相似吗？

blueheat1年前2

freemanpig 共回答了21个问题 | 采纳率100%

n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,A不一定是对称矩阵
但A可对角化,即A与对角矩阵相似
对角矩阵是对称矩阵,故A与对称矩阵相似

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A为反对称阵,A的倒置等于-A.请举例

林家阿伟1年前1

王二的FS 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

如：
0 -1
1 0
对角线必须全部是0.

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线性代数对角化问题：A为正定阵,B为实对称阵,证明：一定存在可逆矩阵T使得A和B都可以通过T做合同变换成为对角阵.

紫易樱华1年前1

td1g71d 共回答了25个问题 | 采纳率92%

（A'表示A的转置矩阵）
由于A是正定矩阵,A与E合同,故一定存在可逆矩阵C,使C'AC = E.因为C'BC是实对称矩阵,经正交变换可化为对角形,故一定存在正交矩阵D,使D'(C'BC)D为对角阵.
所以,设T = CD,则T可逆,T'AT = D'(C'AC)D = D'D = E,T'BT = D'(C'BC)D为对角阵.
得证.
注：(1)C'BC是实对称矩阵,因为(C'BC)' = C'B'C'' = C'BC.
(2)T可逆,因为|T| = |CD| = |C||D|不等于0.

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