一元一次方程的应用

以下方法请参考
1.行程问题
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度.关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=.
可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系.在不同的问题中,相等关系是灵活多变的.如相遇问题中多以路程作相等关系,而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系,在航行问题中很多时候还用速度作相等关系.
航行问题是行程问题中的一种特殊情况,其速度在不同的条件下会发生变化：①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）.由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度.

例1．某队伍450米长,以每分钟90米速度前进,某人从排尾到排头取东西后,立即返回排尾,速度为3米/秒.问往返共需多少时间?
讲评：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程,相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程,相当于从排头走到与排尾的人相遇.
在追及过程中,设追及的时间为x秒,队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒,则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒,则追及者行驶的路程为3x米.由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”,有：
3x－1.5x=450 ∴x=300
在相遇过程中,设相遇的时间为y秒,队伍和返回的人速度未变,故排尾人行驶的路程为1.5y米,返回者行驶的路程为3y米,由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100
故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）
例2 汽车从A地到B地,若每小时行驶40km,就要晚到半小时：若每小时行驶45km,就可以早到半小时.求A、B 两地的距离.
讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题,我们通常都称其为“先后问题”.在这类问题中主要考虑时间量,考察两者的时间关系,从相隔的时间上找出相等关系.本题中,设A、B两地的路程为x km,速度为40 km/小时,则时间为小时；速度为45 km/小时,则时间为小时,又早到与晚到之间相隔1小时,故有
－ = 1 ∴　x = 360
　　例3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶,顺流航行需6小时,逆流航行需8小时,已知水流速度每小时2 km.求甲、乙两地之间的距离.
讲评：设甲、乙两地之间的距离为x km,则顺流速度为km/小时,逆流速度为km/小时,由航行问题中的重要等量关系有：
－2= +2 ∴ x = 96
　　2.工程问题
工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间.关系式为：①工作量=工作效率×工作时间.②工作时间=,③工作效率=.
工程问题中,一般常将全部工作量看作整体1,如果完成全部工作的时间为t,则工作效率为.常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系,部分工作量之和=总工作量.②如果以时间作相等关系,完成同一工作的时间差=多用的时间.
在工程问题中,还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量,这时不能看作整体1,此时工作效率也即工作速度.
例4． 加工某种工件,甲单独作要20天完成,乙只要10就能完成任务,现在要求二人在12天内完成任务.问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务?
讲评：将全部任务的工作量看作整体1,由甲、乙单独完成的时间可知,甲的工作效率为,乙的工作效率为,设乙需工作x 天,则甲再继续加工（12－x）天,乙完成的工作量为,甲完成的工作量为,依题意有 +=1 ∴x =8
例5． 收割一块麦地,每小时割4亩,预计若干小时割完.收割了后,改用新式农具收割,工作效率提高到原来的1.5倍.因此比预计时间提前1小时完工.求这块麦地有多少亩?
讲评：设麦地有x亩,即总工作量为x亩,改用新式工具前工作效率为4亩/小时,割完x亩预计时间为小时,收割亩工作时间为/4=小时；改用新式工具后,工作效率为1.5×4=6亩/小时,割完剩下亩时间为/6=小时,则实际用的时间为（+）小时,依题意“比预计时间提前1小时完工”有
－（+）=1 ∴ x =36
例6. 一水池装有甲、乙、丙三个水管,加、乙是进水管,丙是排水管,甲单独开需10小时注满一池水,乙单独开需6小时注满一池水,丙单独开15小时放完一池水.现在三管齐开,需多少时间注满水池?
讲评：由题设可知,甲、乙、丙工作效率分别为、、－（进水管工作效率看作正数,排水管效率则记为负数）,设x小时可注满水池,则甲、乙、丙的工作量分别为,、－,由三水管完成整体工作量1,有 +－＝1 ∴　x = 5
　　3．经济问题
与生活、生产实际相关的经济类应用题,是近年中考数学创新题中的一个突出类型.经济类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题.这三类问题的基本量各不相同,在寻找相等关系时,一定要联系实际生活情景去思考,才能更好地理解问题的本质,正确列出方程.
⑴销售利润问题.利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率.基本关系式有：①利润=销售价（收入）－成本（进价）【成本（进价）=销售价（收入）－利润】；②利润率=【利润=成本（进价）×利润率】.在有折扣的销售问题中,实际销售价=标价×折扣率.打折问题中常以进价不变作相等关系.
⑵优惠（促销）问题.日常生活中有很多促销活动,不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠.这类问题中,一般从“什么情况下效果一样分析起”.并以求得的数值为基准,取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验,预测其变化趋势.
⑶存贷问题.存贷问题与日常生活密切相关,也是中考命题时最好选取的问题情景之一.存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量,还有与之相关的利率、本息和、税率等量.其关系式有：①利息=本金×利率×期数；②利息税=利息×税率；③本息和（本利）=本金+利息－利息税.
例7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件.如果商店销售这种商品时,要获利12％,那么这种商品的销售价应定多少?
讲评：设销售价每件x 元,销售收入则为（10+40）x元,而成本（进价）为（5×10+40×12.5）,利润率为12％,利润为（5×10+40×12.5）×12％.由关系式①有
（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％ ∴x=14.56
例8.某种商品因换季准备打折出售,如果按定价七五折出售,则赔25元,而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价是多少?
讲评：设定价为x元,七五折售价为75％x,利润为－25元,进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％x,利润为20元,进价为90％x－20.由进价一定,有
75％x+25=90％x－20 ∴ x = 300
例9. 李勇同学假期打工收入了一笔工资,他立即存入银行,存期为半年.整存整取,年利息为2.16％.取款时扣除20％利息税.李勇同学共得到本利504.32元.问半年前李勇同学共存入多少元?
讲评：本题中要求的未知数是本金.设存入的本金为x元,由年利率为2.16％,期数为0.5年,则利息为0.5×2.16％x,利息税为20％×0.5×2.16％x,由存贷问题中关系式③有 x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32 ∴ x = 500
例10.某服装商店出售一种优惠购物卡,花200元买这种卡后,凭卡可在这家商店8折购物,什么情况下买卡购物合算?
讲评：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”.设购物x元买卡与不买卡效果一样,买卡花费金额为（200+80％x）元,不买卡花费金额为x元,故有
200+80％x = x ∴ x = 1000
当x ＞1000时,如x=2000 买卡消费的花费为：200+80％×2000=1800（元）
不买卡花费为：2000（元 ） 此时买卡购物合算.
当x ＜1000时,如x=800 买卡消费的花费为：200+80％×800=840（元）
不买卡花费为：800（元） 此时买卡不合算.
4.溶液（混合物）问题
溶液（混合物）问题有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）.其关系式为：①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；②浓度=×100％=×100％【纯度（含量）=×100％=×100％】；③由①②可得到：溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）.在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”,混合前溶质总量等于混合后的溶质量,是很多方程应用题中的主要等量关系.
例11.把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精,某同学未经考虑先加了300克水.⑴试通过计算说明该同学加水是否过量?⑵如果加水不过量,则应加入浓度为20％的酒精多少克?如果加水过量,则需再加入浓度为95％的酒精多少克?
讲评：溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液,将浓度高的溶液的浓度降低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液,将低浓度溶液的浓度提高）两种情况.在浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量,并结合有关公式进行分析,就不难找到相等关系,从而列出方程.
本题中,⑴加水前,原溶液1000克,浓度为80％,溶质（纯酒精）为1000×80％克；设加x克水后,浓度为60％,此时溶液变为（1000+x）克,则溶质（纯酒精）为（1000+x）×60％克.由加水前后溶质未变,有（1000+x）×60％=1000×80％
∴x = ＞300 ∴该同学加水未过量.
⑵设应加入浓度为20％的酒精y克,此时总溶液为（1000+300+y）克,浓度为60％,溶质（纯酒精）为（1000+300+y）×60％；原两种溶液的浓度分别为1000×80％、20％y,由混合前后溶质量不变,有（1000+300+y）×60％=1000×80％+20％ ∴ y=50
5.数字问题
数字问题是常见的数学问题.一元一次方程应用题中的数字问题多是整数,要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：任何数=∑（数位上的数字×位权）,如两位数=10a+b；三位数=100a+10b+c.在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用.
例12. 一个三位数,三个数位上的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍.求这个数.
讲评：设这个数十位上的数字为x,则个位上的数字为3x,百位上的数字为（x+7）,这个三位数则为100（x+7）+10x+3x.依题意有（x+7）+x+3x=17 ∴x=2
∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926
例13. 一个六位数的最高位上的数字是1,如果把这个数字移到个位数的右边,那么所得的数等于原数的3倍,求原数.
讲评：这个六位数最高位上的数移到个位后,后五位数则相应整体前移1位,即每个数位上的数字被扩大10倍,可将后五位数看成一个整体设未知数.设除去最高位上数字1后的5位数为x,则原数为10+x,移动后的数为10x+1,依题意有 10x+1=10+x
∴x = 42857 则原数为142857
　　6.调配（分配）与比例问题
调配与比例问题在日常生活中十分常见,比如合理安排工人生产,按比例选取工程材料,调剂人数或货物等.调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系.在调配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系,或是量与量之间的比例关系.
例14.甲、乙两书架各有若干本书,如果从乙架拿100本放到甲架上,那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5倍,如果从甲架上拿100本书放到乙架上,两架所有书相等.问原来每架上各有多少书?
讲评：本题难点是正确设未知数,并用含未知数的代数式将另一书架上书的本数表示出来.在调配问题中,调配后数量相等,即将原来多的一方多出的数量进行平分.由题设中“从甲书架拿100本书到乙书架,两架书相等”,可知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多200本.故设乙架原有x本书,则甲架原有（x+200）本书.从乙架拿100本放到甲架上,乙架剩下的书为（x－100）本,甲架书变为（x+200）+100本.又甲架的书比乙架多5倍,即是乙架的六倍,有 （x+200）+100=6（x－100） ∴x=180 x+200=380
例15.教室内共有灯管和吊扇总数为13个.已知每条拉线管3个灯管或2个吊扇,共有这样的拉线5条,求室内灯管有多少个?
讲评：这是一道对开关拉线的分配问题.设灯管有x支,则吊扇有（13－x）个,灯管拉线为条,吊扇拉线为条,依题意“共有5条拉线”,有+＝5∴x=9
例16.某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝.每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个,一个螺丝要配两个螺母,应分配多少名工人生产螺丝,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产品刚好配套?
讲评：产品配套（工人调配）问题,要根据产品的配套关系（比例关系）正确地找到它们间得数量关系,并依此作相等关系列出方程.本题中,设有x名工人生产螺母,生产螺母的个数为200x个,则有（22－x）人生产螺丝,生产螺丝的个数为120（22－x）个.由“一个螺丝要配两个螺母”即“螺母的个数是螺丝个数的2倍”,有 200x=2×120（22－x）
∴x=12 22－x=10
例17. 地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制搅拌而成.现已将前三种料称好,公5600千克,应加多少千克的水搅拌?前三种料各称了多少千克?
讲评：解决比例问题的一般方法是：按比例设未知数,并根据题设中的相等关系列出方程进行求解.本题中,由四种坯料比例25∶2∶1∶6,设四种坯料分别为25x、2x、x、6x千克,由前三种坯料共5600千克,有 25x+2x+x=5600
∴　x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200
例18. 苹果若干个分给小朋友,每人m个余14个,每人9个,则最后一人得6个.问小朋友有几人?
讲评：这是一个分配问题.设小朋友x人,每人分m个苹果余14个,苹果总数为mx+14,每人9个苹果最后一人6个,则苹果总数为9（x－1）+6.苹果总数不变,有　　　　　　
mx+14＝9（x－1）+6　∴x＝　∵x、m均为整数 ∴9－m＝1　x＝17
例19. 出口1吨猪肉可以换5吨钢材,7吨猪肉价格与4吨砂糖的价格相等,现有288吨砂糖,把这些砂糖出口,可换回多少吨钢材?
讲评：本题可转换成一个比例问题.由猪肉∶钢材=1∶5,猪肉∶砂糖=7∶4,得猪肉∶钢材∶砂糖=7∶35∶4,设可换回钢材x吨,则有 x∶288=35∶4 ∴x=2620
7.需设中间（间接）未知数求解的问题
一些应用题中,设直接未知数很难列出方程求解,而根据题中条件设间接未知数,却较容易列出方程,再通过中间未知数求出结果.
例20.甲、乙、丙、丁四个数的和是43,甲数的2倍加8,乙数的3倍,丙数的4倍,丁数的5倍减去4,得到的4个数却相等.求甲、乙、丙、丁四个数.
讲评：本题中要求4个量,在后面可用方程组求解.若用一元一次方程求解,如果设某个数为未知数,其余的数用未知数表示很麻烦.这里由甲、乙、丙、丁变化后得到的数相等,故设这个相等的数为x,则甲数为,乙数为,丙数为,丁数为,由四个数的和是43,有 +++=43 ∴x = 36
∴ =14 =12 =9 =8
　　例21.某县中学生足球联赛共赛10轮（即每队均需比赛10场）,其中胜1场得3分,平1场得1分,负1场得0分.向明中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少3场,结果公得19分.向明中学在这次联赛中胜了多少场?
讲评：本题中若直接将胜的场次设为未知数,无法用未知数的式子表示出负的场数和平的场数,但设平或负的场数,则可表示出胜的场数.故设平x场,则负x－3场,胜10－（x+x－3）场,依题意有 3[10－（x+x－3）]+x=19 ∴x=4 ∴ 10－（x+x－3）=5
8.设而不求（设中间参数）的问题
一些应用题中,所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要,而且其中某些量不需要求解.这时,我们可以通过设出这个量,并将其看成已知条件,然后在计算中消去.这将有利于我们对问题本质的理解.
例22.一艘轮船从重庆到上海要5昼夜,从上海驶向重庆要7昼夜,问从重庆放竹牌到上海要几昼夜?（竹排的速度为水的流速）
分析：航行问题要抓住路程、速度、时间三个基本量,一般有两种已知量才能求出第三种未知量.本题中已知时间量,所求也是时间量,故需在路程和速度两个量中设一个中间参数才能列出方程.本题中考虑到路程量不变,故设两地路程为a公里,则顺水速度为,逆水速度为,设水流速度为x,有－x＝+x　∴x＝,又设竹排从重庆到上海的时间为y昼夜,有 ·x=a ∴x=35
例23. 某校两名教师带若干名学生去旅游,联系两家标价相同的旅行社,经洽谈后,甲旅行社的优惠条件是：1名教师全部收费,其余7．5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠.
⑴当学生人数等于多少人时,甲旅行社与乙旅行社收费价格一样?
　　⑵若核算结果,甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便宜,问学生人数是多少?
　　讲评：在本题中两家旅行社的标价和学生人数都是未知量,又都是列方程时不可少的基本量,但标价不需求解.⑴中设标价为a元,学生人数x人,甲旅行社的收费为a+0.75a（x+1）元,乙旅行社收费为0.8a（x+2）元,有 a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2） ∴ x=3
⑵中设学生人数为y人,甲旅行社收费为a+0.75a（x+1）元,乙旅行社收费为0.8a（x+2）元,有 0.8a（x+2）－［a+0.75a（x+1）］＝×0.8a（x+2）　∴x=8.