杨辉三角形历史

杨辉三角是一种数学图形，由数字构成的三角形，它的规律如下：1. 每一行的两个端点数字均为1。2. 从第三行开始，每个内部数字都是其上一行相邻两个数字之和。3. 每一行数字的个数与行数相等。4. 对称性：杨辉三角中，从第二行起，每行的数字对称排列。例如，前几行杨辉三角的样式如下：第一行：1第二行：1 1第三行：1 2 1第四行：1 3 3 1第五行：1 4 6 4 1根据上述规律，我们可以得到一些特性和性质：1. 三角形中的数字对称排列，即对于第n行的第k个数字，它与第n行的第n-k+1个数字相等。2. 每一行的数字之和等于2的n-1次方，其中n为行数。3. 第n行的数字个数为2的n-1次方。4. 第n行的数字可以表示为组合数，即第n行的第k个数字等于C(n-1, k-1)，其中C代表组合数。5. 第n行数字的和等于第n+1行数字之和。杨辉三角在组合数学、概率论、代数等领域有广泛的应用。它展示了许多有趣的数学性质和关系，并且与二项式定理、排列组合等数学概念密切相关。

分类: 教育/科学 >> 学习帮助 问题描述: 具体是什么？能举个例子吗？ 解析: 杨辉三角 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用

杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。左图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。前提：端点的数为1.1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、第n行的数字有n项。4、第n行数字和为2n-1。5、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项

杨辉三角的规律公式是：1、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。2、(a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。3、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。杨辉三角的历史：我们应该把这个具有世界意义的重大贡献归功于贾宪和杨辉二人。贾宪采用得最早，但贾宪的著作可惜早已失传，全靠杨辉在《详解九章算法》里把这份珍贵的遗产保存了下来，并加以发扬光大，广泛应用。“开法作法本源” 图又叫作“乘方求廉图”，我们现在采取华罗庚教授的意见，称它为“杨辉三角”。

杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为：（1)中第n行之前的数字之和。（2)中第n行之前的数字之和。（3)中第n行之前的数字之和。（4)中第n行之前的数字之和。应用与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即：以此类推又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

杨辉三角的规律以及推导公式：1、 每个数等于它上方两数之和。2、 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、 第n行的数字有n+1项。4、第n行数字和为2^(n-1)（2的(n-1)次方）。5、 (a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。6、 第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。介绍：杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形，帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。

杨辉三角最大值公式如下：n为奇数时，C(n-1，(n-1)/2)，n为偶数时，C(n-1，n/2)。其中，C(M, N)表示从M个元素中任取N个的组合数。由于不好输入组合数公式，所以用C(M, N)替代。杨辉三角特点：前两列倒没什么特别的地方，第一列均为 1，第二列则为自然数。而第三列就是三角形数(Triangular number)。你可以想到，三角数就是能够组成大大小小等边三角形的点的数目。杨辉三角的美妙之处在于：它是如此足够简单，但本身在数学上却拥有丰富的魅力。这是数学中的最令人称奇的事物之一，随便取诸多数学性质中的某个，就能表明它是多么的精彩绝伦。

杨辉三角的规律以及推导公式是：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。3、第n 行的数字有n+1 项。4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。数在杨辉三角中的出现次数。由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。

杨辉三角是一个规律性很强的数表，它以一定的规则排列出来，每个数字表示该位置上方两个数字之和。以下是杨辉三角的一些主要规律总结：杨辉三角的首尾数字都为1。第n行的第一个数和最后一个数都是1，即 C(n, 0) = C(n, n) = 1。每一行的数字个数等于行数加1。第n行有(n+1)个数字。第n行的数字之和是2的n次方。第n行所有数字之和等于2^n，即 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n。第n行的第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字与第k个数字之和。对于第n行的第k个数字（从0开始计数），可以用以下公式计算：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。杨辉三角关联到组合数。第n行的第k个数字（从0开始计数）表示的是从n个元素中取k个元素的组合数，即 C(n, k)。对称性：杨辉三角具有左右对称性，即第n行的第k个数字等于第n行的第n-k个数字。这个对称性可以使得计算杨辉三角的某些部分更加高效。斜对角规律：从第2行开始，每条斜对角线上的数字之和都是2的幂。例如，第1个斜对角线上的数字之和为2^0=1，第2个斜对角线上的数字之和为2^1=2，第3个斜对角线上的数字之和为2^2=4，依此类推。这些规律使得杨辉三角在组合数学、概率统计等领域具有广泛的应用。它可以用来计算二项式展开式中各项的系数、计算组合概率、展示二项式系数的对称性等。

　　杨辉三角规律是：(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。 　　在数学里，二项式系数，或组合数，是定义为形如(1+x)u207f展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数）。从定义可看出二项式系数的值为整数。一般二项式(x+y)u207f的幂可用二项式系数，广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。

杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。n次的二项式系数对应杨辉三角形的n+1行。例如在中，2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数121。杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。第n行的数字个数为n个。第n行的第k个数字为组合数。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的。比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。扩展资料：降幂公式：1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/22、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/23、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式：1、1tanα+cotα=2/sin2α2、tanα-cotα=-2cot2α3、1+cos2α=2cos^2α4、、4-cos2α=2sin^2α5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina两角和差：1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)参考资料来源：百度百科-三角函数公式参考资料来源：百度百科-杨辉三角

规律如下：杨辉三角最本质的规律特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。简介：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。三角形是几何图案的基本图形。

哦!长见识了!

杨辉三角 简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角 他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用 杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 时间上:杨辉(一二六一)朱世杰(一三○三)也明显就可以知道是杨辉发现的 朱世杰只是扩充了其中的内容 同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为 0 (a+b)^0 (0 nCr 0) 1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1) 2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2) 3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3) . ... ... ... ... ... 因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x） 我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) [ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数] 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。 在国外,这也叫做"帕斯卡三角形". S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1 S2：从右往左斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是，1，2，3，4，5，6；第三列是1，3，6，10，15；第四列是1，4，10，20；第五列是1，5，15；第六列是1，6……。 从左往右斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是1，2，3，4，5，6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。 S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。 S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。…… 幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究幻方的第一人，当数我国古代数学家——杨辉。 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。 杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。 杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也 见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。 后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”"杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知 道。 杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。 杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。 在信息领域杨辉三角也起着重要作用。

杨辉三角的规律以及推导公式是：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。3、第n 行的数字有n+1 项。4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。数在杨辉三角中的出现次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。

杨辉三角的规律总结是每个数等于它上方两数之和。每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。第n行的数字有n+1项。第n行数字和为2^(n-1)（2的(n-1)次方）。(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n，m)=C(n，n-m)，这是组合数性质。杨辉三角的基本性质杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。

杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。n次的二项式系数对应杨辉三角形的n+1行。例如在中，2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数121。杨辉三角以正整数构成，数字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。第n行的数字个数为n个。第n行的第k个数字为组合数。第n行数字和为2nu22121。除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和(也就是说，第n行第k个数字等于第n-1行的第ku22121个数字与第k个数字的和)。这是因为有组合恒等式:。可用此性质写出整个杨辉三角形。

随便搜一下也搜地出来啊。

C(N-1,M-1)

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用 杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。满意请采纳

Dim a() As IntegerPrivate Sub Command1_Click()Clslop: n = InputBox("请输入N的值(n<=15)", "输入") If n > 15 Then MsgBox "请重新输入" GoTo lop End If ReDim a(n - 1, n - 1) As IntegerFor i = 0 To n - 1 a(i, 0) = 1 a(i, i) = 1Next iFor i = 2 To n - 1 For j = 1 To i a(i, j) = a(i - 1, j - 1) + a(i - 1, j) Next jNext iFor i = 0 To n - 1 For j = 0 To i Print Tab(j * 6); a(i, j); Next jNext iEnd SubPrivate Sub Form_Load()Command1.Caption = "显示"Form1.Caption = "杨辉三角形"Me.FontSize = 10Command1.FontSize = 20End Sub

每行之和是上一行的2倍

15(A)，等于肩上两个数之和。

#include "stdafx.h"int main(int argc, char* argv[]){int a[10][10];for(int i=0;i<10;i++){a[i][1]=1;/* error */a[i][0]=1;a[i][i]=1;}for( i=2;i<10;i++){for(int j=1;j<i;j++)a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];}for(i=0;i<10;i++){for(int j=0;j<i;j++)printf("%5d ",a[i][j]);printf(" ");}return 0;}

# include "stdio.h"main(){ int a[10][10],i,j; for(i=0;i<10;i++) { a[i][0]=1; a[i][i]=1; } for(i=2;i<10;i++) for(j=1;j<i;j++) a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1]; for(i=0;i<10;i++) { for(j=0;j<=i;j++) printf(" %d",a[i][j]); printf(" "); }}

public class YangHui { public static void main(String args[]){ try{ int n = 10; int mat[][] = new int[n][]; int i, j; for (i = 0; i < n; i++) { mat[i] = new int[i + 1]; //mat[i][0] = 1; mat[i][i] = 1; for (j = 1; j < i; j++) { mat[i][j] = mat[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j]; } } for (i = 0; i < mat.length; i++) { for (j = 0; j < n - i; j++) System.out.print(" "); for (j = 0; j < mat[i].length; j++) System.out.print(" " + mat[i][j]); System.out.println(); } }catch(Exception e){ e.printStackTrace(); } }}求采纳为满意回答。

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3以此类推。又因为性质6:第n行的m个数可表示为C(n,m-1)，即为从n个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为:(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”;用杨辉三角形来计算，称作“图算”。

辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：1n=011n=1121n=21331n=314641n=415101051n=51615201561n=6……此数列中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后，展开始终各项的系数。如：(a+b)^1=a^1+b^1(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3……(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（注意发现规律）……

中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。时间上:杨辉(一二六一)朱世杰(一三○三)

杨辉三角第n行是n个数，它们是(a+b)^(n-1)展开式的系数，这些系数之和，显然等于a=b=1时（a+b)^(n-1)的值，即2^（n-1).

它们分别是3,6,10,15,21…… 它们的差分别是3,4,5,6,…… 也可以用公式直接表示Cn,3（就是组合）

这些都是我做过的考试要求，- - 不过忘记了

杨辉三角是一种数学图形，由数字构成的三角形，它的规律如下：1. 每一行的两个端点数字均为1。2. 从第三行开始，每个内部数字都是其上一行相邻两个数字之和。3. 每一行数字的个数与行数相等。4. 对称性：杨辉三角中，从第二行起，每行的数字对称排列。例如，前几行杨辉三角的样式如下：第一行：1第二行：1 1第三行：1 2 1第四行：1 3 3 1第五行：1 4 6 4 1根据上述规律，我们可以得到一些特性和性质：1. 三角形中的数字对称排列，即对于第n行的第k个数字，它与第n行的第n-k+1个数字相等。2. 每一行的数字之和等于2的n-1次方，其中n为行数。3. 第n行的数字个数为2的n-1次方。4. 第n行的数字可以表示为组合数，即第n行的第k个数字等于C(n-1, k-1)，其中C代表组合数。5. 第n行数字的和等于第n+1行数字之和。杨辉三角在组合数学、概率论、代数等领域有广泛的应用。它展示了许多有趣的数学性质和关系，并且与二项式定理、排列组合等数学概念密切相关。

杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用 杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 时间上:杨辉(一二六一)朱世杰(一三○三)也明显就可以知道是杨辉发现的 朱世杰只是扩充了其中的内容 同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为 因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x） 我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候) [ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数] 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。 在国外,这也叫做"帕斯卡三角形". S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1 S2：从右往左斜着看,从左往右斜着看，和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。 S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。 S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。…… 幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究幻方的第一人，当数我国古代数学家——杨辉。 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。 杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。 杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也 见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。 后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”"杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知 道。 杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。 杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。在信息领域杨辉三角也起着重要作用。

杨辉三角最大值公式如下：n为奇数时，C(n-1，(n-1)/2)，n为偶数时，C(n-1，n/2)。其中，C(M, N)表示从M个元素中任取N个的组合数。由于不好输入组合数公式，所以用C(M, N)替代。杨辉三角特点：前两列倒没什么特别的地方，第一列均为 1，第二列则为自然数。而第三列就是三角形数(Triangular number)。你可以想到，三角数就是能够组成大大小小等边三角形的点的数目。杨辉三角的美妙之处在于：它是如此足够简单，但本身在数学上却拥有丰富的魅力。这是数学中的最令人称奇的事物之一，随便取诸多数学性质中的某个，就能表明它是多么的精彩绝伦。

杨辉三角规律是：(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。 在数学里，二项式系数，或组合数，是定义为形如(1+x)u207f展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数）。从定义可看出二项式系数的值为整数。一般二项式(x+y)u207f的幂可用二项式系数，广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。

S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1 S2：从右往左斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是，1，2，3，4，5，6；第三列是1，3，6，10，15；第四列是1，4，10，20；第五列是1，5，15；第六列是1，6……。 从左往右斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是1，2，3，4，5，6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。 S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。 S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。…… 幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究幻方的第一人，当数我国古代数学家——杨辉。 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。 杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。 杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也 见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。 后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”"杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知 道。 杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。 杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。在信息领域杨辉三角也起着重要作用。

二项式定理的推广

11世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。　　布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

那就是展开二项式

杨辉三角实际上就是二项式定理里的系数，第n行对应(x+1)^(n-1)第m列就是(x+1)^(n-1)展开式中x^(m-1)的系数所以，根据排列组合相关知识，第n行m列元素应该为：C(n-1,m-1)=(n-1)!/[(m-1)!(n-m)!](其中!表示阶乘，n！=n*(n-1)*...*2*1)

杨辉三角的规律以及推导公式是：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大。3、第n 行的数字有n+1 项。4、第n 行数字和为2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。5 (a+b) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。6、第n 行的第m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。数在杨辉三角中的出现次数。由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。

杨辉三角是一个由数字构成的三角形，其规律总结如下：1. 杨辉三角的首尾元素都是1。第n行的首尾元素都是1，表示为C(n, 0)和C(n, n)。2. 杨辉三角中的每个数是由它上方两个数相加而得到的。对于第n行的第k个数（k≥1且k≤n-1），表示为C(n, k)，可以计算为C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。3. 杨辉三角对称。杨辉三角以中心垂直轴为对称轴，即第n行的第k个数等于第n行的第n-k个数。4. 杨辉三角可以表示组合数。杨辉三角中的每个数都表示了对应位置的组合数。第n行第k个数（记作C(n, k)）表示从n个元素中选择k个元素的组合数。5. 杨辉三角还有其他一些特殊性质和应用。- 每一行的数字之和等于2的幂次方，即2的n次方（第n行）。- 杨辉三角中的每个数都可以表示为二项式展开后的系数。- 杨辉三角在概率论和组合数学等领域有广泛的应用，如计算排列、组合、二项式系数等。总结起来，杨辉三角具有对称性、数字由上方两个数相加得到、代表组合数等特点，同时还有许多其他的数学性质和应用。

然后然后然后打个电话

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形. 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系 应用：是二项式系数在三角形中的一种几何排列。高二的时候会学到点

杨辉三角 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。

杨辉三角形的规律1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。2、第n行的数所组成的数字为11n-1。3、第n行的数字之和是2n-1。4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。主要特征：（1）具有对称性；（2）每一行的首、尾都是1；（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

1、 每个数等于它上方两数之和。2、 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3、 第n行的数字有n+1项。4、第n行数字和为2^(n-1)（2的(n-1)次方）。5、 (a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。6、 第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。数在杨辉三角中的出现次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）

杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。其性质有： 1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方） 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 这个公式是正确的，之前的版本错了。5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 7.两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行。