函数求值域的步骤

求函数的值域的常用方法如下：1、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。2、配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。3、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。4、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。5、换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。6、判别式法：判别式法即利用二次函数的判别式求值域。7、不等式法：利用a+b≥2√ab（其中a，b∈R+）求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。8、折叠三角代换法：利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1。直接计算麻烦，用三角代换法比较简单。做法：设a=sinx ，b=cosx，c=siny ，d=cosy，则ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy =cos（y-x），因为我们知道cos（y-x）小于等于1，所以不等式成立。

求函数值域的方法有：观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等。在函数的经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。函数值域的求法一、配方法将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。五、单调性可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。

（1）观察法： 如 的值域可以从 入手去求.由 得 ，函数的值域为 ； （2）图象法： 基本初等函数，或由其经简单变换所得函数，或用导数研究极值点及单调区间时，均通过画示意图、截取、观察得值域，这是值域中的重点内容。 （3）配方法与判别式法 ①判别式法： 若函数 可以化为一个系数含有 的二次方程 ， 则在 时，若 则 ，从而确定函数的值域， 并检验 时对应的 的值是否在定义域内，以决定 时 的值的取舍； ②配方法： 形如 的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的值域. （4）函数的单调性法 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，从而求出函数的值域，列如， .当利用均值不等式时，如果等号不能成立，则可考虑利用函数的单调性解题。 （5）利用函数的有界性： 形如 ， ，因为 ， 可解出 ， 的范围，从而求出其值域或最值. （6）利用换元法化归为基本函数的值域 ①代数换元：形如 ， 可设 ，转化为二次函数求值域. ②三角换元：如 ，可令 ， ， ， （7）均值不等式法： 利用均值不等式 但要注意以下三点： ①需要同时满足“一正、二定、三相等”的条件 ②熟悉常见变形： ； ③若等号取不到，可考虑函数 的单调区间. （8）分离常数法： 形如 的函数的值域，可使用“分离常数法”求解. （9）数形结合法 如果所给的函数由较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域， 如由 可联想 与 两点连线的斜率； （10）导数法： 如求 的值域，则可先使用导数法求其单调区间，然后再求值域.

　　函数值域是什么，怎么求？不清楚的小伙伴看过来，下面由我为你精心准备了“求函数值域的方法”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯! 求函数值域的方法 　　值域 　　域为数学名词，函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。 　　函数值域的求法 　　1、配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如： 的形式; 　　2、逆求法(反求法)：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围;常用来解，型如： ; 　　3、换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; 　　4、三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; 　　5、基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域; 　　6、单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 　　7、数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 　　8、定义法：已知某个三角函数的定义值域，通过转化成三角函数来求解该函数的值域 　　9、画图法：这种方法简单快捷，只要将函数图形画出来，一眼就能看到函数的值域。 　　拓展阅读：函数最小正周期怎么求 　　所谓的函数的最小正周期，一般在高中时期的话遇到的都是那种特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a。还有是三角函数y=A sin(wx+b)+t，最小正周期就是T=2帕/w。 　　最小正周期求法 　　1、公式法 　　这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。 　　函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是;函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0)一类三角函数的最小正周期(这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数)。 　　例3、求函数y=cotx-tanx的最小正周期. 　　解：y=1/tanx-tanx=(1-tan^2· x)/tanx=2*(1-tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x 　　∴T=π/2 　　函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。 　　2、最小公倍数法 　　设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。 　　求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。 　　例4、求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期. 　　解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π. 　　例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期. 　　解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π. 　　∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π. 　　说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。

求函数值域的常用方法有：化归法、复合函数法、判别式法、图像法、分离常数法、反函数法、换元法、不等式法、单调性法。在函数中，因变量的变化而变化的取值范围叫做这个函数的值域。求值域的方法化归法：把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。图像法：根据函数图像，观察最高点和最低点的纵坐标。配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。

求函数值域的常用方法有：配方法，分离常数法，判别式法，反解法，换元法，不等式法，单调性法，函数有界性法，数形结合法，导数法。 一、配方法二、反解法三、分离常数法四、判别式法五、换元法六、不等式法七、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。八、函数单调性法 先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。九、数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。十、导数法 利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

值域求法1，逆求法：如果y=(x+2)/(2x+3)x+2=2yx+3yx((1-2y)=(3y-2)x=(3y-2)/(1-2y)==>y≠1/22判别式法：y=(x^2+1)/(x+2)3对勾函数法：y=x+1/x4放缩法，直接放大和缩小；y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4≥0+4=45有界函数法：y=(x^2+2)/(x^2+3)解出x^2的表达式，利用x^2≥0,得到y的不等式，从而解出y的范围；6单调函数法；换元后利用单调函数的方法求出y的范围；如：y=(log2x+4)(log2x-4)>0x∈(1/2,8)令t=log2(x)==>t∈(-1,3),使原函数化成关于t的二次函数，7构造函数法；y=√x^2+4+√x^2+8把右边看成x轴上一点到两点的距离；8线性规划的方法；8杂法：有待于我们进一步去发现的方法；

1、值域的求法有9种，过程是不同的。 2、配方法。过程：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。 3、常数分离。过程：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。 4、逆求法。过程：对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。 5、换元法。过程：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 6、单调性。过程：可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。 7、基本不等式。过程：根据学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。 8、数形结合。过程：可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域 9、求导法。过程：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。 10、判别式法。过程：将函数转变成 ****=0 的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。

函数的值域可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。一、配方法将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。五、单调性可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。函数：函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

一般求函数的值域常有如下方法：（1）利用函数性质求解析式也就是根据题目条件的定义域和值域的范围，确定解析式的形式，这种方法常用于解决分段函数的问题。（2）配方法、换元法对于形如y=ax+b+√(cx+d)的函数，可以用换元法；对于含√(a^2-x^2)结构的函数，可利用三角代换，转化为三角函数求值域。（3）反函数法、判别式法对于形如y=(cx+d)/(ax+b)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法；对于形如y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)的函数值域常用判别式法，把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0，通过方程有实根，判别式△≥0,从而得到原函数的值域。但注意要讨论二次项系数为零和非零的两种情况。（4）不等式法、单调性法利用基本不等式a+b≥2√ab求值域，注意“一正、二定、三取等”。即：a>0,b>0；a+b(或ab)为定值；取等号的条件。对于形如y=ax+b+√(cx+d)的函数，看a与d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域。（5）数形结合法这个就不用我多说了吧，把已知问题转化为图像求最值或者范围的问题，灵活利用平面或空间几何学的性质，帮助求解。（6）导数法这个是最保险的，但是往往运算起来会比较麻烦。（7）抽象函数问题根据题目所给条件对问题进行转化，化繁为简。

1.导数法利用导数求出其单调性和极值点的极值，最常规，最不易高错，但往往计算很烦杂2.分离常数如x^2/(x^2+1)将其分离成1－1/(x^2+1)再判断值域3.分子分母同除以某个变量如x/(x^2+1)同时除以x得1/（x+1/x）分母的值域很好求，再带进整个函数即可4.换元法可以说是3的拓展如(x+1)/(x^2+1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同时除以t就成了3中的情形5.基本换元法型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定义域,可以很快将函数换成型如t^2+t的形式，从而可求值域。当然，要注意t的定义域6.倒数法和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒数x＋1/x,再倒回去，2，6基本类似。以上是几条比较基本和常用的方法，当然要注意他们的综合应用。

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

确定函数的定义与有以下几种方法：（1）若f（x）为整式，则定义域为R；（2）若f（x）是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合；（3）若f（x）是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合；（4）若f（x）是有几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合；（5）实际问题中，确定定义域要考虑实际意义。求函数值域是一个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则后，值域就完全确定了。在求值域时，常用的方法有：（1）观察法（2）配方法（3）判别式法（4）换元法另外还有最值法，数形结合法等（值域是定义域内的函数值范围）

分类: 教育/学业/考试 >> 学习帮助 问题描述: 请帮我归纳一下求函数值域和定义域的方法。我是高职的学生，不是高中的。谢谢了 解析: 定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1），分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3），对数中的真数部分大于0。 （4），指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）。y=tanx中x≠kπ+π/2, y=cotx中x≠kπ等等。 值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）化归法；（2）图象法（数形结合）， （3）函数单调性法， （4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等 hzxyzx/uploadfile/200512184040788.doc

求函数定义域的方法是设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。设A，B是两个非空数集，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。记作y=f（x），x∈A，或y=g（t），t∈A，其中A就叫做定义域。通常，用字母D表示。通常定义域是F(X)中x的取值范围。其主要根据为：1、分式的分母不能为零。2、偶次方根的被开方数不小于零。3、对数函数的真数必须大于零。4、指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1。求函数值域的方法1、图像法根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。2、配方法利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。3、单调性法利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。4、反函数法若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。5、换元法包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。6、判别式法判别式法即利用二次函数的判别式求值域。7、复合函数法设复合函数为f[g(x)，]g(x)为内层函数,为了求出f的值域，先求出g(x)的值域,然后把g(x)看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据f(x)函数的性质求出其值域。8、不等式法基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。9、化归法用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。10、分离常数法把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。

函数的值域可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。一、配方法将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。五、单调性可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。函数：函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的值域可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。 如何求函数的值域 一、配方法 将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。 二、常数分离 这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。 三、逆求法 对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。 四、换元法 对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 五、单调性 可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。 六、基本不等式 根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。 七、数形结合 可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。 八、求导法 求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。 函数的值域是什么 函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。 常见函数值域： y=kx+b （k≠0）的值域为R y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞) y=√x的值域为x≥0 y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ； 当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a] y=a^x 的值域为 (0,+∞) y=lgx的值域为R

函数值域的求法有以下：1、配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。2、常数分离：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。3、逆求法：对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。4、换元法：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。5、单调性：可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。6、基本不等式：根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。7、数形结合：可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。8、求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。常见函数值域1、y=kx+（k≠0）的值域为R。2、y=k/x的值域为（-∞，0)∪（0,+∞）。3、y=√x的值域为x≥0。4、y=ax^2+bx+c当a>0时，值域为［4ac-b^2/4a,+∞）。5、当a<0时，值域为（－∞，4ac-b^2/4a]。6、y=a^x的值域为（0,+∞）。7、y=lgx的值域为R。

函数值域的求法可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。一、配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。二、常数分离：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。三、逆求法：对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。四、换元法：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。五、单调性：可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式：根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。七、数形结合：可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。

求函数值域方法有：1,配方法(二次函数或二次形式的函数求值域的典型方法)2,换元法(比如三角换元,整体代换)3,判别式法4,利用函数单调性(闭区间上连续函数有最大,最小值)5,数形结合的方法(利用问题的几何意义,将代数问题转化为几何问题)6,求导数的方法(似乎所有的给定解析式求最值都可以用求导数的方法,但有些初等问题用导数求解相当啰嗦)7,反解法(利用函数和它的反函数的定义域和值域的互逆关系,通过恒等变形,求原函数的值域)8,其它特殊方法求函数值域的常用方法有：化归法、复合函数法、判别式法、图像法、分离常数法、反函数法、换元法、不等式法、单调性法。在函数中，因变量的变化而变化的取值范围叫做这个函数的值域。求值域的方法化归法：把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。图像法：根据函数图像，观察最高点和最低点的纵坐标。配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。

函数求值域的方法包括配方法、常数分离法、逆求法、换元法、反函数法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、求导法。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本"元件"。平时数学中，实行"定义域优先"的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手"硬"一手"软"，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求值域的4个步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）分析解析式的特点；（3）将端点值与极值比较，求出最大值与最小值；（4）计算出函数的值域。函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。常用的求函数值域的方法有：1、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）常数分离。这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。2、逆求法。对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。3、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。4、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。5、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。

1、画图法：这种方法简单快捷，只要将函数图形画出来，一眼就能看到函数的值域。2、换元法：将一个复杂的函数通过换元，转变成一个简单的函数，然后再用画图法一下子就能求出值域。3、不等式法：将一个函数代入另一个不等式中，通过不等式求出值域范围。4、定义法：已知某个三角函数的定义值域，通过转化成三角函数来求解该函数的值域。

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为r，值域为r；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为r，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域r，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为r时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?r∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)].

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ， 当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法） 函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当 时，其最小值 ； ②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习： 1 ； 解：∵x 0， ，∴y 11. 另外，此题利用基本不等式解更简捷： 2 ∵2 -4x+3>0恒成立(为什么？)， ∴函数的定义域为R， ∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0，由判别式 0， 即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0), 解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域 ① ； ② 解：①令 0,则 , 原式可化为 , ∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ]. ②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4 在此区间内 (4x- ) =4 ，(4x- ) =0 ∴函数 的值域是{ y| 0 y 2} 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法. 作业：求函数y= 值域 解：∵ ， ∴函数的定义域R，原式可化为 , 整理得 ， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y 1,∵ R，即有 0， ∴ ,解得 且 y 1. 综上：函数是值域是{y| }.

一、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）请点击输入图片描述二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。请点击输入图片描述三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。请点击输入图片描述四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解请点击输入图片描述五、单调性可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。请点击输入图片描述七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域请点击输入图片描述八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。请点击输入图片描述九、判别式法将函数转变成 ****=0 的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。请点击输入图片描述END注意事项不知道是否有表述清楚，可图片里的例子进行理解。方法很多，重在理解，才能掌握。平时也可以多找题目进行练手。

函数值域的求法： 1、配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值。2、逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围。3、换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想。4、三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域。 5、基本不等式法：利用平均值不等式公式来求值域。6、单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 7、数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。希望对你有帮助，请采纳

二次函数的定义域为R或任意指定的区间[p,q]求值域方法（相当于求出在此区间上的最大及最小值）：1）将二次函数配方f(x)=a(x-h)^2+c, 得出对称轴x=h2）如果对称轴在区间内，则最大值(a<0时）或最小值(a>0时)为f(h)=c, 另一个最值在区间端点(比较p,q哪个距离h更近，也可以直接比较f(p),f(q)的大小。）3）如果对称轴不在区间内，则最值都在端点上，比较f(p), f(q), 大的即为最大值，小的即为最小值。

先看分母在有意义的情况下得出定义域，然后再把定义域代入公式得出的解就是值域！ 1 定义域 2 增减性 3定义域代入

求值域和求最值的方法相通。一般都是：①求出函数定义域②求出函数在定义域上的单调性③求出最值④根据最值和单调性确定值域

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围；常用来解,型如：； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：,利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域. ⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.

求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上,如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ,则在 时,由于 为实数,故必须有 ,从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．

求函数的值域首先必须明确两点：一点是值域的概念，即对于定义域A上的函数y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x),x∈A};另一点是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据。求值域的方法：观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域！配方法：对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解的问题上的要求，采用配方的方法来解决，对于含有三次三项式的函数，也常用配方的方法求值域。代换法：对一些无理函数，或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数伯值域求出。

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。1.导数法 利用导数求出其单调性和极值点的极值，最常规，最不易高错，但往往计算很烦杂 2.分离常数 如 x^2/(x^2+1)将其分离成 1－1/(x^2+1)再判断值域 3.分子分母同除以某个变量 如x/(x^2+1)同时除以x得 1/（x+1/X）分母的值域很好求，再带进整个函数即可 4.换元法 可以说是3的拓展 如(x+1)/(x^2+1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。 令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同时除以t就成了3中的情形 5.基本换元法 型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定义域,可以很快将函数换成型如 t^2+t的形式，从而可求值域。当然，要注意t的定义域 6.倒数法 和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒数x＋1/x,再倒回去，2，6基本类似。 以上是几条比较基本和常用的方法，当然要注意他们的综合应用。

数形结合用直线方程的斜率

函数定义域的三类求法一、给出函数解析式求其定义域,一般是先列出限制条件的不等式(组),再进行求解。二.给出函数的定义域,求函数的定义域,其解法步骤是:若已知函数的定义域为,则其复合函数的定义域应由不等式解得。三.给出的定义域,求的定义域,其解法步骤是:若已知的定义域为,则的定义域是在时的取值范围。函数值域的求法:①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式;②逆求法(反求法):通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围;常用来解,型如:;④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式法:转化成型如:,利用平均值不等式公式来求值域;⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。

求函数值域与最值的常用方法，几乎囊括了数学常用的方法.观察法、配方法、分离常数法、反解法、换元法、判别式法、均值定理法、单调性法、数形结合法和导数法等.有时需要综合几种方法，才能求出值域.

函数f（x）的表达式是什么？定义域是什么？在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。3.判别式法4.反函数法6.函数单调性法7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。8.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。9.不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。10.一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。11.多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

函数的值域问题及解法 值域的概念： 函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关. 值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围. 一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性. 1．观察法 用于简单的解析式. y=1-√x≤1,值域(-∞, 1] y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞). 2．配方法 多用于二次(型)函数. y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞） y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞） 3．换元法 多用于复合型函数. 通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域. 特别注意中间变量（新量）的变化范围. y=-x+2√( x-1)+2 令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1. y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2]. 4．不等式法 用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法. y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1). 由0<x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 1/(e-1). y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞). 5．最值法 如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M]. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6．反函数法（有的又叫反解法） 函数和它的反函数的定义域与值域互换. 如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者. 7．单调性法 若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)]. y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1). y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）, F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8]. 8．斜率法 数形结合. 求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域. 把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成 单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率, 则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3. 圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2), 解得k=(-12±√6)/15. y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15 值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15]. 一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域. 对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域. 9．导数法 导数为零的点称为驻点,设f"(x0)=0, 若当x<x0时f"(x) x0时f"(x)>0,则f(x0)为极小值； 若当x 0,当x>x0时f"(x)<0,则f(x0)为极大值； 再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域. http://zhidao.baidu.com/question/2009284209018995108.html </x0时f"(x) </x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 </x<1).

第一题(-inf, -2)U(2, +inf)第二题(-1, 2)第二题：(2*x*x-1)/(x*x+1)= 2 - 3/(x*x+1)

求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。一、 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如 的函数的值域，均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。例一 求函数 的值域解法一：（反函数法） 解法二：（分离常数法）由 ，可得值域 小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来求值域。 二．配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如 的函数的值域问题，均可使用配方法。例二．求函数 的值域[解析]：配方法由 三 换元法：利用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 。例三．求函数 的值域解：（换元法）设 ，则 当求求函数 的值域解：（三角代换法） 设 小结：（1）若题目中含有 ，则可设 （2）若题目中含有 则可设 ，其中 ．（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中 ．（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中 ．（5）若题目中含有 ，则可设 其中 ．四． 判别式法：把函数转化成关于x的二次方程 ，通过方程有实根，判别式 ，从而求得原函数的值域，形如 例四．求函数 的值域 （判别式法）原函数可化为 1） 时 不成立2） 时， 综合1）、2）值域 五．利用函数的有界性：形如 可解出y的范围,从而求出其值域或最值。例五．求函数 的值域[解析]：函数的有界性由 得

我们可以通过分析正弦函数、余弦函数的主要性质来得出我们所求的值域!(1)定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,分别记作y=sinx,x∈R,y=cosx,x∈R,其中R当然可以换成(-∞,+∞)．(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1．这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1．其中正弦函数当且仅当时取得最大值1,当且仅当时取得最小值-1；而余弦函数当且仅当x=2kπ,k∈Z时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时取得最小值-1．(3)周期性由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的．一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函数和余弦函数的周期．事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．例如,2π是正弦函数的所有周期中的最小正数①,所以2π是正弦函数的最小正周期．根据上述定义,我们有：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期是2π．

（1）确定函数的定义域；（2）分析解析式的特点；（3）将端点值与极值比较，求出最大值与最小值；（4）计算出函数的值域。求函数值域的常用方法有：一、配方法二、反解法三、分离常数法四、判别式法五、换元法六、不等式法七、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。八、函数单调性法先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。九、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。十、导数法利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

1.导数法利用导数求出其单调性和极值点的极值，最常规，最不易高错，但往往计算很烦杂2.分离常数如x^2/(x^2+1)将其分离成1－1/(x^2+1)再判断值域3.分子分母同除以某个变量如x/(x^2+1)同时除以x得1/（x+1/x）分母的值域很好求，再带进整个函数即可4.换元法可以说是3的拓展如(x+1)/(x^2+1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同时除以t就成了3中的情形5.基本换元法型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定义域,可以很快将函数换成型如t^2+t的形式，从而可求值域。当然，要注意t的定义域6.倒数法和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒数x＋1/x,再倒回去，2，6基本类似。以上是几条比较基本和常用的方法，当然要注意他们的综合应用。

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。