北有云溪-
清明上河图》以精致的工笔记录了北宋末叶、徽宗时代首都汴京（今开封）郊区和城内汴河两岸的建筑和民生。该图描绘了清明时节，北宋京城汴梁以及汴河两岸的繁华景象和自然风光。作品以长卷形式，采 用散点透视的构图法，将繁杂的景物纳入统一而富于变化的画面中，画中人物500多，衣着不同，神情各异，其间穿插各种活动，注重戏剧性，构图疏密有致，注重节奏感和韵律的变化，笔墨章法都很巧妙。全图分为三个段落。
首段，汴京郊野的春光：
在疏林薄雾中，掩映着几家茅舍、草桥、流水、老树、扁舟。两个脚夫赶着五匹驮炭的毛驴，向城市走来。一片柳林，枝头刚刚泛出嫩绿，使人感到虽是春寒料峭，却已大地回春。路上一顶轿子，内坐一位妇人。轿顶装饰着杨柳杂花，轿后跟随着骑马的、挑担的，从京郊踏青扫墓归来。环境和人物的描写，点出了清明时节的特定时间和风俗，为全画展开了序幕．
中段，繁忙的汴河码头：
汴河是北宋国家漕运枢纽，商业交通要道，从画面上可以看到人烟稠密，粮船云集，人们有在茶馆休息的，有在看相算命的，有在饭铺进餐的。还有"王家纸马店"，是扫墓卖祭品的，河里船只往来，首尾相接，或纤夫牵拉，或船夫摇橹，有的满载货物，逆流而上，有的靠岸停泊，正紧张地卸货。横跨汴河上的是一座规模宏大的木质拱桥，它结构精巧，形式优美。宛如飞虹，故名虹桥。有一只大船正待过桥。船夫们有用竹竿撑的；有用长竿钩住桥梁的；有用麻绳挽住船的；还有几人忙着放下桅杆，以便船只通过。邻船的人也在指指点点地象在大声吆喝着什么。船里船外都在为此船过桥而忙碌着。桥上的人，也伸头探脑地在为过船的紧张情景捏了一把汗。这里是名闻遐迩的虹桥码头区，车水马龙，熙熙攘攘，名副其实地是一个水陆交通的会合点。
后段，热闹的市区街道：
以高大的城楼为中心，两边的屋宇鳞次栉比，有茶坊、酒肆、脚店、肉铺、庙宇、公廨等等。商店中有绫罗绸缎、珠宝香料、香火纸马等的专门经营，此外尚有医药门诊，大车修理、看相算命、修面整容，各行各业，应有尽有，大的商店门首还扎“彩楼欢门”，悬挂市招旗帜，招揽生意，街市行人，摩肩接踵，川流不息，有做生意的商贾，有看街景的士绅，有骑马的官吏，有叫卖的小贩，有乘座轿子的大家眷属，有身负背篓的行脚僧人，有问路的外乡游客，有听说书的街巷小儿，有酒楼中狂饮的豪门子弟，有城边行乞的残疾老人，男女老幼，士农工商，三教九流，无所不备。交通运载工具：有轿子、骆驼、牛马车、人力车，有太平车、平头车，形形色色，样样俱全。绘色绘形地展现在人们的眼前。
总计在五米多长的画卷里，共绘了五百五十多个各色人物，牛、马、骡、驴等牲畜五、六十匹，车、桥二十多辆，大小船只二十多艘。房屋、桥梁、城楼等也各有特色，体现了宋代建筑的特征。张择端的《清明上河图》是一幅描写北宋汴京城一角的现实主义的风俗画，具有很高的历史价值和艺术水平。
【评价】
白寿彝任顾问的《中国通史(彩图本)》对《清明上河图》的评价全卷所绘人物五百余位，牲畜五十多只，各种车船二十余辆艘，房屋众多，道具无数，场面巨大，段落分明，结构严密，有条不紊。技法娴熟，用笔细致，线条遒劲，凝重老练。反映了高度精纯的绘画功力和出色的艺术成就。同时，因为画中所绘为当时社会实录，为后世了解研究宋朝城市社会生活提供了重要的历史资料。
《简明不列颠百科全书》在“张择端”条内对《清明上河图》的评价是一幅具有重要历史价值的风俗长卷。画家成功地描绘出汴京城内及近郊在清明时节社会上各阶层的生活景象。主要表现的是劳动者和小市民。对人物、建筑物、交通工具、树木、水流之间的相互关系的处理，非常巧妙，整体感很强，具有极大的考史价值。此后历代绘制的都市风俗画，无不受其影响。
【张择端与《清明上河图》】
张择端，字正道，东武（今山东诸城）人。早年游学汴京，后习绘画，宋徽宗赵佶（1101年—1124年在位）时期供职翰林图画院。专工中国画中以界笔、直尺划线的技法，用以表现宫室、楼台、屋宇等题材，尤擅绘舟车、市肆、桥梁、街道、城郭。他的画自成一家，别具一格。张择端的画作，大都散佚，只有《清明上河图》卷完好地保存下来了。
北宋年间的汴京极盛，城内四河流贯，陆路四达，为全国水陆交通中心，商业发达居全国之首，当时人口达100多万。汴京城中有许多热闹的街市，街市开设有各种店铺，甚至出现了夜市。逢年过节，京城更是热闹非凡。为了表现京城的繁荣昌盛，张择端选择了清明这个重要节日的景象进行59表现。《清明上河图》着重描绘了北宋首都水陆运输和市面繁忙的景象。 北宋以前，我国的人物画主要是以宗教和贵族生活为题材。张择端虽然是在翰林图画院供职，创作的作品都称为“院体画”或“院画”，但他却把自己的画笔伸向社会各阶层人民的生活之中，创作出描写城乡生活的社会风俗画。《清明上河图》画了大量各式各样的人物。而且，张择端对每个人物的动作和神情，都刻画得非常逼真生动。这充分说明，张择端生活的积累非常丰厚，创作的技巧非常娴熟。
绘画史上名为《清明上河图》的画幅很多，但真本毕竟只有一幅。经过众多学者、专家对这一专题的研究，大家意见基本一致，都认为现藏北京故宫博物院的这幅是北宋张择端的原作。其它的同名画作，均为后来的摹本或伪托张择端的臆造本。
现北京故宫博物院藏本的画卷本幅上，并无画家本人的款印，确认其作者为张择端，是根据画幅后面跋文中金代张著的一段题记。张著的题记也仅寥寥数语：“翰林张择端，字正道，东武（今山东诸城）人也。幼读书，游学于京师，后习绘事，本工其界画，尤嗜于舟车市桥郭径，别成家数也。”不过，张择端的姓名并未见于北宋后期成书的《宣和画谱》，有人推测说，可能他进入画院时间较晚，编著者还来不及将其收编书中。
【收藏始末】
张择端完成这幅歌颂太平盛世历史长卷后，首先将它呈献给了宋徽宗。宋徽宗因此成为此画的第一位收藏者。作为中国历史上书画大家的宋徽宗酷爱此画，用他著名的“瘦金体”书法亲笔在图上题写了“清明上河图”五个字，并钤上了双龙小印(今佚)。
这件享誉古今中外的传世杰作，在问世以后的800多年里，曾被无数收藏家和鉴赏家把玩欣赏，是后世帝王权贵巧取豪夺的目标。它曾辗转飘零，几经战火，历尽劫难……它曾经五次进入宫廷，四次被盗出宫，历经劫难，演绎出许多传奇故事。 明嘉靖三年(1524年)，《清明上河图》转到长洲人陆完的手里(陆完字全卿，成化年间中进士，官至太子少保、兵部尚书，名重一时)。明代李日华《味水轩日记》载：陆完死后，他的夫人将《清明上河图》缝入枕中，不离身半步，视如身家性命，连亲生儿子也不得一见。陆夫人有一娘家外甥王某，言辞乖巧，非常会讨夫人欢心。王某擅长绘画，更喜欢名人书画，便挖空心思向夫人央求借看《清明上河图》。反复恳请后，夫人勉强同意，但不许他带笔砚，只许他在夫人阁楼上欣赏，而且不许传给别人知道。王某欣然从命，往来两三个月，看了十余次以后，竟临摹出一幅有几分像的画来。当时专横跋扈的大奸臣严嵩正四处搜寻《清明上河图》，都御史王忬得知后，便花800两纹银从王某手中购得赝品，献给严嵩。严嵩府上有一装裱匠汤臣，认出画是假货，便以此要挟王忬，令其出40两银子贿赂自己，但王忬对其不予理会。汤臣恼羞成怒，在严嵩设宴欢庆时，将图上旧色用水冲掉，严嵩在众人面前大为窘迫，以后便寻机将王忬害死，临摹此画的王某也因此受到牵连，被抓去饿死狱中。
实际上，陆完死后，其儿子急等钱用，便将《清明上河图》卖至昆山顾鼎臣家，后被严嵩父子强行索去。这之前严嵩确曾托王忬买过“名画”，王忬也确曾买苏州人王彪之摹本献给严嵩，后被识破。
隆庆时，严嵩父子被御史邹应龙弹劾，终于官场失势，严世蕃被斩，严府被抄，《清明上河图》再度收入皇宫。
《清明上河图》到清朝后先由陆费墀(安徽相乡人)收藏。陆费墀是乾隆时进士，他得图后也在上面钤印题跋。后被毕沅购得。毕沅(1730-1797)，镇洋(今江苏太仓)人，乾隆二十五年(1760)中进士。毕沅生平喜爱金石书画，家中收藏颇为丰富。他得《清明上河图》以后，与其弟毕泷(清代收藏鉴赏家)同赏，现今画上有二人印记。
毕沅在关中任职时，对地方上的文物尽心修缮保护，不料这些却成了他的“罪行”。毕沅死后不久，湖广人民反清，清廷认为毕沅任湖广总督期间，“教匪初起失察贻误，滥用军费”，不但将毕家世职夺去，而且将其全家百口全部杀掉，家产也被抄没入宫。
清廷将《清明上河图》收入宫以后，便将它收在了紫禁城的迎春阁内。嘉庆帝对其珍爱有加，命人将它收录在《石渠宝笈三编》一书内。此后，《清明上河图》一直在清宫珍藏，虽然经历了1860年英法联军以及1900年八国联军两度入侵北京，洗劫宫室，但居然逃过了劫难，均未受损。
1911年以后，《清明上河图》连同其他珍贵书画一起，被清末代皇帝溥仪以赏溥杰为名盗出宫外，先存在天津租界内的张园内。1932年，溥仪在日本人扶植下，建立伪满洲国，于是这幅名画又被带到长春，存在伪皇宫东院图书楼中。
1945年8月，第二次世界大战接近尾声，日本侵略者的末日也到了。溥仪和他的日本主子一见大事不好，便乘飞机逃往大栗子沟，伪满皇宫因失火而一片狼藉。混乱之中，有不少人便趁机进宫“抢洋捞”，伪皇宫的大批珍贵之物便在这场动乱中流散到了民间，其中，就有《清明上河图》。
1946年，中国人民解放军解放了长春。解放军干部张克威通过当地干部收集到伪满皇宫流散出去的珍贵字画十余卷，其中就有《清明上河图》。1947年，张克威同志调到东北行政委员会工作，临行前他将这十余幅卷轴交给了当时开辟东北革命根据地的主要负责人之一林枫同志。
《清明上河图》经林枫之手进了东北博物馆，后来又调到北京故宫博物院珍存。
但在文化大革命中，林彪四大干将之一李作鹏，曾利用权势将《清明上河图》强行从故宫博物院“借”出，据为己有。他还伙同邱会作、吴法宪等人一起，霸占了其他一大批珍贵文物。林彪倒台后，《清明上河图》才又重见天日，如今依然珍藏在故宫博物院中。
【未解之谜】
秋景之说
北宋画家张择端绘制的长卷风俗画《清明上河图》，是誉满中外的艺术珍品。它和唐人韩滉创作的《五牛图》一样，被称为画苑“国宝”。其最早收藏者是宋徽宗（赵佶），他用瘦金体书写的“清明上河图”真迹和双龙小印（宋代皇帝的闲章，用于鉴赏或收藏艺术品时铃记），可证画成后最初收藏在皇宫，公元1126年汴京陷落后，宫中所有名贵文物包括这幅名画，统统被金人掠去，金人初不识此画的价值。又过了59年，即金世宗大定26年（1186），金人张著最早在《清明上河图》上撰跋文转引《向氏评论图画记》说，证实宋人张择端有《清明上河图》及《西湖争标图》，这样《清明上河图》的名称始定下来。
历史上对张择端创作《清明上河图》的年代，以及“上河”一记号曾有过一些争论，对画中描绘的是清明时节，从金代以来，似无异议。明代的《味水轩日记》中记载，这幅画不但有宋徽宗的瘦金体题签、双龙小印，并且还有宋徽宗的题诗；诗中有“水在上河春”一句。这样一来，这画卷描绘的是春天景色就更不用怀疑了，近代及当代美术史家郑振铎、徐邦达、张安治等均主“春景”之说。但是，也有人对此提出异议。
对春景之说首先怀疑者是开封市教师孔宪易先生。他在1981年《美术》杂志第二期上发表《清明上河图的“清明”质疑》一文，列举了八项理由，认定《清明上河图》上所绘是秋景。
一、画卷右首有驮负10篓木炭的驴子。北宋孟元老《东京梦华录》记载：每年农历十月，汴京始“进暖炉炭，帏前皆置酒作暖会”，若说清明节前后进暖炉炭，违背宋人生活习俗。孟元老和张择端生活在同一时代，《东京梦华录》是研究北宋汴梁风土民俗的重要资料，所述史事当是可信的。
二、画面有一农家短篱内长满了像茄子一类的作物，更为有趣的是几名孩童赤身嬉戏追逐，这些都不可是清明时节的事物。
三、画面上的人物拿扇者有十多人，有扇风状，有遮阳状，常识告诉人们伏天用扇，初春用扇者极少见。
四、草帽、竹笠在画面上多处出现。“草帽、竹笠是御暑、御雨的东西，图中既不下雨，这肯定是御阳用的，根据当时汴梁的气候，清明节似无此必要，这是值得我们怀疑的。”
五、画面上酒肆多处，酒旗上写着“新酒”二字，而《东京梦华录》云：“中秋节前，诸店皆卖新酒……醉仙锦，市人争饮（见该书“中秋”条）。”宋代新谷下来要酿醪酒喜庆丰收，不然无新酒可言。
六、画面上有一处招牌上写着“口暑饮子”这样的小茶水摊。“如果‘口暑饮子"中的‘暑"字不错的话，这足以说明它的季节。”
七、河岸及桥上有好几处小贩的货桌上都摆着切开的西瓜。宋时古都汴梁的早春乍暖还寒，不可能有西瓜一类鲜果。 八、画面乘轿、骑马者带着仆从的行列，土坟后面向城市一段。细细分析，这些人虽然有上坟扫墓的可能，倒不如说它是秋猎而归更恰当些，因为，上坟四季皆有可能，就插花而言，春秋二季都能解释得通。今从画面种种现象来看，说是秋季倒符合实际些。
颂辞之说
继孔宪易《清明上河图的“清明”质疑》一文后，上世纪80年代中期，邹身城先生在中国宋史研究会上提出论文《宋代形象史料＜清明上河图＞的社会意义》，认为“清明”既非节令，亦非地名。这里“清明”一词，本是画家张择端进献此画时所作的颂辞。故有人认为，这里的“清明”要从广义上去理解。《后汉书》有例证，是出云：“固幸得生‘清明之世"……”从语气看这个“清明”系指政治开明。画中题款“清明”语，本是张择端进献此画，请帝王们赏识所作的颂辞。金人在画面上留下的跋文说：“当日翰林呈画本，承产风物正堪传。”点明此画主题在于表现承平风物。考张择端行年，他于徽宗朝在翰林书画院供职，此画的第一位收藏人便是宋徽宗，证画家意在称颂盛世，讨最高统治者欢心。知道了这个背景，显然“清明”一词不是指节令。
真伪之说
关于《清明上河图》还有真伪之说，明、清时代就有一些传闻，清代长为人徐树丕《识小录》所记：说画中有四个人在掷骰子，其中两颗骰子是六点，还有一颗在旋转，这个掷骰子者张着嘴叫“六”状，希望再出一个六点。《清明上河图》所描绘的是汴梁景物，有一叫汤勤的裱褙匠认为：汴（开封）人呼“六”字用撮口音，画中人却张着嘴叫“六”，可见这是闽（福建）音，他怀疑此画是伪作，颜公庆的《消夏闲记》也有类似的记载。是书说这个汤勤还研究了画中麻雀的那双上脚爪，它踏在两片瓦角上，这怕是临摹者的败笔。汤勤斯人，名不见经传，他所说是否真有道理？看来还需进一步研究。
【相关资料】
《清明上河图》真迹现身
公元1912年2月12日这一天，中国封建历史上最后一位皇帝爱新觉罗u2022溥仪走下了皇帝宝座，它宣告了中国封建王朝两千多年的统治大梦，顷刻间土崩瓦解。根据“优待条例”，溥仪仍然住在皇宫紫禁城内。溥仪同中国任何一位封建皇帝不同，他少年时期接受英国老师庄士敦的教育，从小受到西方文化思想的影响，因此他一直有出国留洋的梦想。为了离开皇宫后能有充足的经费实现自己的愿望，他想到了皇宫中收藏的大量珍宝、字画。由此，历经了宋、元，明、清四个朝代的《清明上河图》，四次被收进皇宫，又一次次神秘失踪，这一次又开始了它神秘而漫长的旅程。
离开了皇帝宝座的溥仪利用自己的皇权，从1922年11月16日开始，到1923年1月28日的73天时间里，以“赏赐”其弟爱新觉罗u2022溥杰的名义，将书画手卷1285件，册页68件移出皇宫。这些中国历代珍贵的书画精品，每一件都价值连城。其中，《清明上河图》就有四卷之多，包括北宋画家张择端所画的《清明上河图》；明代画家仇英仿画的《清明上河图》，以及明代其他画家以苏州为背景仿画的“苏州片”《清明上河图》等。尤其北宋画家张择端所画的《清明上河图》堪称中国美术史上的稀世神品，是历朝历代皇宫贵族争相收藏的珍品。
1925年2月24日，农历二月初二，俗称“龙抬头”的日子，溥仪打扮成商人的模样，在日本人的监护下，来到天津法租界的张园，他以“赏赐”其弟溥杰为名移出紫禁城的大量珍宝、字画，也秘密地转移至天津，《清明上河图》陪伴着溥仪在天津度过了七年多的时光。
1932年3月8日，溥仪在侵华日军的操纵下，带着他的家眷和大量珍宝、字画，从天津迁往长春，就任伪满洲国皇帝。《清明上河图》又陪伴着溥仪，在长春度过了长达13年4个月的岁月。长春伪皇宫的“辑熙楼”，见证了溥仪和他的家眷在长春度过的时光。“辑熙”的名字是溥仪自己起的，“辑熙”二字出自于《诗经u2022大雅u2022文王》：“穆穆文王，于辑熙敬止。”然而溥仪认为，“辑熙”的“熙”字，与康熙皇帝的“熙”字相同，溥仪非常崇拜康熙皇帝的才华和治国方略，因此，“辑熙”二字的含义不言而喻，溥仪是想秉承先祖康熙皇帝之志恢复满清大业。为此，人们不难揣测出溥仪如此喜爱《清明上河图》的原因；历代皇宫贵族争相收藏《清明上河图》的目的，无不是被《清明上河图》中这梦幻般的繁华祥瑞之气所迷醉。
1945年，日本关东军司令官山田乙三通知溥仪迁都通化，溥仪心中明白，所谓的迁都实际上是逃亡，溥仪请山田乙三宽限3天的时间打理行装。实际上，溥仪最放心不下的，是那些从北京故宫带出来的珍宝、字画。13年来，《清明上河图》和大量的珍宝、字画，一直封存在长春伪皇宫后面的书画楼里，只有溥仪和少数贴身随从知道书画楼里面封存的秘密。溥仪和贴身随从匆匆忙忙进入这座神秘的“小白楼”，他从大量的珍宝、字画当中精选了一些珍品逃往通化，剩下的珍宝、字画被一些侍卫哄抢。其中，四个不同版本的《清明上河图》有哪一卷被溥仪带在身边？哪一卷流失于民间？人们不得而知…… 溥仪带着一部分珍宝、字画和家眷，匆匆逃往通化长白山脚下的小山村——大栗子沟。溥仪在大栗子沟仅仅住了3天，之后又匆匆忙忙赶往沈阳，准备从沈阳逃往日本。溥仪又从长春伪皇宫带来的珍宝、字画中再一次进行甄选，只选了少量的珍宝、字画，带着弟弟溥杰和两个妹夫、三个侄子、一个医生、一个随侍逃往沈阳，而将大部分家眷和一些珍宝、字画留在了大栗子沟，这些被遗弃在大栗子沟的珍宝、字画，有的被瓜分，有的被烧毁，最后被解放军收缴。
1945年8月19日，溥仪在沈阳机场乘飞机准备逃往日本，飞机起飞后被苏联红军迫降，溥仪和他的随从人员，以及随身携带的珍宝、字画被苏联红军截获，溥仪被苏联红军遣往苏联赤塔，后转至伯力，五年之后，溥仪被遣送回国，四个不同版本的《清明上河图》下落不明。
1950年冬天，东北局文化部开始着手整理解放战争后留下的文化遗产，书画鉴定专家杨仁恺先生负责对从各方收缴来的大量字画进行整理鉴定，有些书画作品保持完好；有些书画作品已经破损。当杨仁恺先生打开一卷残破的画卷时，顿时惊呆了，这幅长卷画面呈古色古香的淡褐色，画中描绘人物、街景的方法，体现着独特古老的绘画法式，杨仁恺先生随后对这幅画卷进行了认真的研究和细致的考证，这幅长卷气势恢弘，笔法细腻，人物、景物栩栩如生，这幅画上虽然没有作者的签名和画的题目，然而历代名人的题跋丰富、详实，历代的收藏印章纷繁复杂，仅末代皇帝溥仪的印章就有三枚之多。尤其是画卷之后金代张著的题跋中明确地记载：“翰林张择端，字正道，东武人也，幼读书，游学于京师，后习绘事，本工其‘界画"，尤嗜于舟车市桥郭径，别成家数也，按向氏《评论图画记》云，《西湖争标图》，《清明上河图》，选入神品，藏者宜宝之。大定丙午清明后一日。”难道这就是被历代皇宫、贵族争相收藏的稀世神品——北宋张择端的《清明上河图》吗？
杨仁恺先生将这幅画卷的照片，发表于东北博物馆编印的《国宝沉浮录》中，立即引起了国内外专家学者高度关注，时任国家文物局局长的郑振铎先生，将这幅画卷调往北京，经专家学者进一步考证、鉴定，确认这幅绘画长卷就是千百年来名闻遐迩的——《清明上河图》“石渠宝笈三编本”。遗失多年的稀世国宝终于再一次入藏北京故宫博物院。
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有理数（rational number) 读音:(yǒu lǐ shù) 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。 任何一个有理数都可以在数轴上表示。 无限不循环小数和开方开不尽的数开方根叫作无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626...... 而无理数恰恰与它相反,有理数和无理数统称为实数 其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。 这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。 所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。 有理数包括： 1）自然数：数0，1，2，3，……叫做自然数。 2）正数：比0大的数叫做正数。 3）负数：在正数前面加上“—”（读作“负”）号的数叫做负数。负数都小于0。 4）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 5）分数：正分数、负分数统称为分数。 6）奇数：不是2的倍数的整数叫做奇数。如-3，-1，1，5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示，n为整数。 7）偶数：是2的倍数的整数叫做偶数。如-2，0，4，8等。所有的偶数都可用2n表示，n为整数。 8）质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2，3，11，13等。2是最小的质数。 9）合数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4，6，9，15等。4是最小的合数。一个合数至少有3个因数。 10）互质数：如果两个正整数，除了1以外没有其他因数，这两个整数称为互质数，如2和5，9和13等。 …… 如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。 全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。 有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。 有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）： ①加法的交换律 a+b=b+a； ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c； ③存在数0，使 0+a=a+0=a； ④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0； ⑤乘法的交换律 ab=ba； ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； ⑦乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。 存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a； 对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。 0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。 此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。 0的绝对值还是0. 有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。 值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
[编辑本段]运算
有理数加减混合运算 1.理数加减统一成加法的意义： 对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。 2.有理数加减混合运算的方法和步骤： （1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 （2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。 有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。 一般情况下，有理数是这样分类的： 整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数。 整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。 凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。
[编辑本段]有理数的由来
古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
[编辑本段]有理数的现代理论
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。 有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。
[编辑本段]实数
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。 依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。
[编辑本段]p进数
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域： 设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p = p - n，这里pn是p的最高次幂除a； 另外 | 0 | p = 0。对任何有理数，设。 则在上定义了一个度量。 度量空间不完备，它的完备集是p进数域。
[编辑本段]一个困难的问题： 有理数的边界在哪里？
根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。 但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。 竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。 定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。 证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。