高一数学函数求值域和区间问题

解析式是分式的函数.通俗一点说,分母含有自变量的函数. 如y＝1/x,y=1/(x+2),y=x/(x^2-1).

作函数图像的一般步骤：1、求函数的定义域2、考察函数的奇偶性、周期性3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5、考察渐近线；6、画出函数图象。接下来按函数作图的一般步骤，作f(x)=x^3/(2(1+x)^2)的图像.分析：函数在x=-1没有定义，所以函数的定义域是x≠-1，或(-∞,-1)U(-1,+∞)，两种表达形式都是允许的。另外，这个函数既没有奇偶性，也没有周期性。不过函数过原点，这一点倒是很容易发现的。求导可得f"(x)=x^2(3+x)/(2(1+x)^3)=0时，函数有两个稳定点x=0和x=-3. 又f"(x)的符号性质由(3+x)与(1+x)的商决定，所以，在(-∞,-3)U(-1,+∞)，f"(x)>0，函数单调增；在(-3,-1)，f"(x)<0，函数单调减。由极值第一充分条件可以知道，x=-3是函数的极大值点，极大值f(-3)=-27/8. 但x=-1不是函数的极值点，因为函数在x=-1没有定义。继续求二阶导数，可得f"(x)=6x/(2(1+x)^4)，可见，当x<0时，f"(x)<0，曲线上凸；当x>0时，f"(x)>0，曲线下凸(凹)。且f在x=0连续，所以f有拐点(0,0).不要以为不是极值点的驻点就是拐点，错误地以为不需要求二阶导数，只需要由这个命题，就能确定(0,0)是拐点。首先，不是极值点的驻点未必就是拐点；其次，求二阶导数既可以确定函数的凸性区间，也可以检验函数是否还有其它拐点。最后讨论渐近线的问题。令最简分式函数的分母等于0的点，x=-1，就形成曲线的一条竖直的渐近线。注意，这个定理一般只在最简分式函数才有效。如果分子出现其它函数，比如三角函数，自然对数函数等，x=-1有可能使分子也等于0，又不能把两个0约掉，就要求趋于-1时，函数的极限了。只有极限是无穷大时，x=-1才是函数的竖直渐近线。设曲线还有斜的渐近线y=ax+b，则a=lim(x->∞)(f(x)/x)=lim(x->∞)(x^2/(2(1+x)^2))=1/2.b=lim(x->∞)(f(x)-ax)=lim(x->∞)((-2x^2-x)/(2(1+x)^2)=-1.所以曲线有渐近线y=x/2-1.

分式函数，形如f(x)=p(x)/q(x) 的函数叫做分式函数，其中p(x)、q(x)是既约整式且 q（x)的次数不低于一次.。

分步阅读确定函数类型，分为（c/0)型,（0/0）型，（无穷/无穷)x型（c/0)型：如lim(x→1)(4x-1）/(x^2-2x-3) 其结果为无穷;（0/0)型：如lim(x →3)(x^2-4x+3)/(x^2-9) 上下消去公因子（x-3) 得到lim(x →3)(x-1)/(x-3) 其结果为1/3;(无穷/无穷）型：如lim(x趋于无穷）（3x^2-3x+9）/(5x^2+2x-1) 分子分母除以分母最高次项 可化为lim(x趋于无穷）（3-3/x+9/x^2)/(5+2/x-1/x^2） 其结果为3/5分式形式的函数求极限是极限知识中的一个重点也是一个难点问题，在分式形式各异时，求极限的方法也不近一致，很多学生在遇到求分式形式的函数极限时，不知该用哪种方法来解答，甚至不知如何动手。本文从分子分母的极限特点出发，对分式形式的函数求极限方法进行了分类和总结。 二、方法分类 若 f（x）=A， g（x）=B （A，B 为常数或） ，下面根据 A，B 的取值特点对分式 在 x→x0 时极限常见情况进行分类讨论. （1）当 A，B 均为常数，且 B≠0 时，由极限的运算法则有： = = （B≠0） （2）当 A，B 均为常数，且 B=0 而 A≠0 时，则有： =∞分析：由于分母为无穷小，分子极限为不等于 0 的常数，则无穷小的倒数为无穷大。 分析：分子极限为 3，分母极限为 0. （3）当 A=B=0 时， 为 “ ”型的未定式，求极限方法还可细分：1） 当分子，分母可以因式分解约分化简时，则考虑约分.例 3、求 解： = = =6。2）当分子，分母中有根式时，则考虑有理化.例 4、求 解： =lim = =。3）当分子上有与 sinx 联系的三角函数且形式较简单时，则考虑与第一个重要极限 =1 的联系，利用结论 =1 求解.例 5、求 解： = ×2=2。4）当分子分母满足罗比达法则的三个条件时，则采用罗比达法则求解.例 6、求 解： = = = （2+ ） （4）当分子分母为无穷大时：1）满足罗比达法则的三个条件时，考虑用罗比达法则求解.例 7、求 解： = = = =0。2）分子，分母为 x 的多项式时，考虑用以下结论.一般地，当 a0≠0，b0≠0，m 和 n 为非负整数时，有 = 三、结语 对于形式为分式的函数求极限，一定要具体问题具体分析，根据分子，分母极限取值情况的特点来选择合适的方法，应多练习以求熟能生巧，更应注重方 法和方法的结合.

解析式是分式，且分母含有自变量的函数叫分式函数。如反比例函数，双勾函数，……当指数小于0时的幂函数也是分式函数。

分母里含有字母的式子叫分式。在一个变化过程中有两个变量，其中一个变量随另一个变量的变化而变化，这个变量就是另一个变量的函数。例如y=2x+3就是一个函数式，其中y随x的变化而变化。再如s=5x其中s叫做x的函数。

函数的对称中心是指函数的图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。函数的对称中心公式是f（x）关于（a，b）对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b，{或f（a+x）+f（a-x）=2b具体做法：1、对称性：一个函数：f（a+x）=f（b-x）成立，f（x）关于直线x=（a+b）/2对称。2、f（a+x）+f（b-x）=c成立，f（x）关于点（（a+b）/2，c/2）对称。3、两个函数：y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于直线x=（b-a）/2对称。4、证明：取一点（m，n）在函数上，证明经过对称变换的点仍在函数上。5、如中心对称公式证明：取一点（m，n）在函数上，对称点为（a+b-m，c-n）。6、f（a+（b-m））+f（b-（b-m）=c则f（a+（b-m））+n=c，也就是说f（a+（b-m））=c-n对称点也在函数上。

我这里说的是高中方法另外分式函数也只有高中以上才研究一、利用导数解决求导后分母恒非负，分子是二次函数（三次项消掉了），问题就容易解决了二、不会导数的，可以利用2次方程根的分布来解决，一般的，形如y=(ax^2+bx+c)/(ex^2+fx+g)且x∈A，A是R的子集，可将函数化为f(y)x^2+g(y)x+u(y)=o的形式，利用二次方程根的分布，使方程在区间A上至少有一个根即可（要考虑在A上有一个和两个根的两种情况）。对于特殊的，有简便的方法1，当a/e=c/g（a和c可以是0，e和g不等于0）时，函数可化为y=[kx/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中k=b-f*a/e)的形式，把kx/(ax^2+bx+c)的分子分母同时除以x（如果0∈区间A，先使x不等于0，最后再找回x=0的情况），此时分母变成ax+c/x+b的形式，利用“对钩函数”的性质即可解决问题，2，当a/e=b/f（a和b可以等于0，e和f不等于0）时，函数可化为y=[m/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中m=c-g*a/e)，m/(ax^2+bx+c)的分母是二次函数，问题即可解决。3，e=0时，将分母换成新元t，分子是关于t的二次函数，分子分母同除以t，变成“对钩函数”加常数的形式，即可解决。很高兴回答楼主的问题如有错误请见谅

分式函数极限怎么求？下面我就介绍其方法。 如图，我们要求类似的分式函数的极限。 首先我们按照要求写好式子。如图。 紧接着由于分子上的式子可以化解，所以按照要求化解，那样求极限更简单。 然后我们就可以把式子重新改写为如图中所示的样子。 最后利用洛必达法则，进行对分子分母进行求导，然后分析，最终可算出答案。以上就是分式求极限的方法。希望对你有所帮助。

p(x）、q(x) 至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如f(x)=(ax2;+bx+c)/(dx2;+ex+f),（其中x∈A，ad≠0） 的函数

函数指一个量随着另一个量的变化而变化,一次函数要有两个变量X和Y,有分式函数,不过不知道你说的分式指什么,不一定是函数

有理整式函数就是有限个x^n相加得到的函数，其中n可取任意正整数,即得到一个多项式(可含常数项)。有理分式即为两个(有理)多项式之比。注意理解正整数和有理的关系，负指数幂和分式的关系，

形状上应该和反比例函数差不多：因为y=(cx+d)/(ax+b)=[c·（x+d/c)]/[a·（x+b/a)]=(c/a)·[（x+d/c)/（x+b/a)]=(c/a)·[（x+b/a + d/c-b/a)/（x+b/a)]=(c/a)·[1+（d/c-b/a)/（x+b/a)]=c/a + [(c/a)·（d/c-b/a)]·1/（x+b/a)它相当于把反比例函数y=1/x先沿y轴方向拉伸了(c/a)·（d/c-b/a)倍；再对x轴平移-b/a个单位；最后再对y轴平移c/a个单位

我这里说的是高中方法另外分式函数也只有高中以上才研究一、利用导数解决求导后分母恒非负，分子是二次函数（三次项消掉了），问题就容易解决了二、不会导数的，可以利用2次方程根的分布来解决，一般的，形如y=(ax^2+bx+c)/(ex^2+fx+g)且x∈A，A是R的子集，可将函数化为f(y)x^2+g(y)x+u(y)=o的形式，利用二次方程根的分布，使方程在区间A上至少有一个根即可（要考虑在A上有一个和两个根的两种情况）。对于特殊的，有简便的方法1，当a/e=c/g（a和c可以是0，e和g不等于0）时，函数可化为y=[kx/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中k=b-f*a/e)的形式，把kx/(ax^2+bx+c)的分子分母同时除以x（如果0∈区间A，先使x不等于0，最后再找回x=0的情况），此时分母变成ax+c/x+b的形式，利用“对钩函数”的性质即可解决问题，2，当a/e=b/f（a和b可以等于0，e和f不等于0）时，函数可化为y=[m/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中m=c-g*a/e)，m/(ax^2+bx+c)的分母是二次函数，问题即可解决。3，e=0时，将分母换成新元t，分子是关于t的二次函数，分子分母同除以t，变成“对钩函数”加常数的形式，即可解决。很高兴回答楼主的问题如有错误请见谅

什么是第一种第二种，换元就是换元啊

我这里说的是高中方法 另外分式函数也只有高中以上才研究一、利用导数解决求导后分母恒非负，分子是二次函数（三次项消掉了），问题就容易解决了二、不会导数的，可以利用2次方程根的分布来解决，一般的，形如y=(ax^2+bx+c)/(ex^2+fx+g)且x∈a，a是r的子集，可将函数化为f(y)x^2+g(y)x+u(y)=o的形式，利用二次方程根的分布，使方程在区间a上至少有一个根即可（要考虑在a上有一个和两个根的两种情况）。对于特殊的，有简便的方法1，当a/e=c/g（a和c可以是0，e和g不等于0）时，函数可化为y=[kx/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中k=b-f*a/e)的形式，把kx/(ax^2+bx+c)的分子分母同时除以x（如果0∈区间a，先使x不等于0，最后再找回x=0的情况），此时分母变成ax+c/x+b的形式，利用“对钩函数”的性质即可解决问题，2，当a/e=b/f（a和b可以等于0，e和f不等于0）时，函数可化为y=[m/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中m=c-g*a/e)，m/(ax^2+bx+c)的分母是二次函数，问题即可解决。3，e=0时，将分母换成新元t，分子是关于t的二次函数，分子分母同除以t，变成“对钩函数”加常数的形式，即可解决。很高兴回答楼主的问题如有错误请见谅

分式函数极限怎么求？下面我就介绍其方法。 01 如图，我们要求类似的分式函数的极限。 02 首先我们按照要求写好式子。如图。 03 紧接着由于分子上的式子可以化解，所以按照要求化解，那样求极限更简单。 04 然后我们就可以把式子重新改写为如图中所示的样子。 05 最后利用洛必达法则，进行对分子分母进行求导，然后分析，最终可算出答案。以上就是分式求极限的方法。希望对你有所帮助。

二次函数_（a、b、c为常数且_）。若_当_时，y有最小值。_若_当_时，y有最大值。_。利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算_，从而达到解决实际问题之目的。一次函数_的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值，但当_时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有_最大（小）值。

分式函数的单调性一般用分离常数法先将函数式化为反比例函数的变形例如y=(2x-1)/(x+1)=[2(x+1)-3]/(x+1)=-3/(x+1)+2它是反比例函数y=-3/x先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

1/1*2+1/2*3+....+1/199*200=1-1/2+1/2-1/3+....+1/199-1/200=1-1/200=199/200

分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。还有一种常见的应用方式是在分式型函数中，当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，也称之分离常数法。对于求分式型的函数，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法。分离常数法常用于求函数最值或值域等，在数列求和中也常用到，可参考例题理解。 还有一种分离常数法的应用方式是在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），可参考“适用条件。

可以用算术平均值大于等于几何平均值做: (a+b)/2 ≥ √(ab)4√3 a/3 + √3/(3a) ≥ 4√3/3所以，最大值 = 4√3/3 - 2√3/3 = 2√3/3

p(x)、q(x)是既约整式的含义是指p(x)、q(x)没有公因式. 这点很重要,例如函数f(x)=x与函数g(x)=x²/x,因为定义域不同,它们是不同的函数.后者使问题的讨论复杂化,高中数学中把它从分式函数中分离出去了.

分式的基本概念I.定义：整式A除以整式B，可以表示成的 的形式。如果除式B中含有字母，那么称 为分式（fraction）。注:A÷B= =A× =A×B-1= A�6�1B-1。有时把 写成负指数即A�6�1B-1,只是在形式上有所不同,而本质里没有区别.II.组成：在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。III.意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。IV.分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。

参数。。就是最本质的自变量比如y=y(x)x=x这里x就是参数一个函数y=y(x)可以分为y=y(t)x=x(t)这里的t就是参数，最本质的自变量分式就是有分子分母的呗无理就有根号号的呗

函数指一个量随着另一个量的变化而变化,一次函数要有两个变量X和Y,有分式函数,不过不知道你说的分式指什么,不一定是函数

分式方程的分子可以为0因为只有分母为零，分式无意义，即分式有意义的条件是分母不为零。（另外，分式的值为零的条件：分子的值等于零且分母的值不等于零）

根号内没有自变量，分母中含有自变量的函数

求分式函数的值域比较复杂。但方法上与它函数相似。1.观察法：简单的。比如y=(x^3-3x)/x, 化简y=x^2-3,x≠0，y>-3.2.分离常数法：比如分子、分母均为一次。y=(3x+2)/(x-1)=3[(x-1)+5]/(x-1)=3+5/(x-1）,因为5/(x-1）≠0，所以y≠3.3.判别式法：比如分子为二次，分母为一次或二次。4.均值不等式法：比如y=(x^2+1)/x,x>0,y=x+1/x≥2√（x•1/x）=2,x<0,y≤-2值域y≤-2，或y≥2.5.斜率法：比如y=(1-sinx)/(2-cosx)把y看成过两点（cosx,sinx）,(2,1)连线的斜率，前者在单位圆上运动，当连线与单位圆相切时，分别取得最大值和最小值。

分式函数，分母上有自变量x。分段函数，不同区间，函数表达式不一样。

没题。。。

我这里说的是高中方法 另外分式函数也只有高中以上才研究 一、利用导数解决求导后分母恒非负，分子是二次函数（三次项消掉了），问题就容易解决了二、不会导数的，可以利用2次方程根的分布来解决，一般的，形如y=(ax^2+bx+c)/(ex^2+fx+g)且x∈A，A是R的子集，可将函数化为f(y)x^2+g(y)x+u(y)=o的形式，利用二次方程根的分布，使方程在区间A上至少有一个根即可（要考虑在A上有一个和两个根的两种情况）。对于特殊的，有简便的方法1，当a/e=c/g（a和c可以是0，e和g不等于0）时，函数可化为y=[kx/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中k=b-f*a/e)的形式，把kx/(ax^2+bx+c)的分子分母同时除以x（如果0∈区间A，先使x不等于0，最后再找回x=0的情况），此时分母变成ax+c/x+b的形式，利用“对钩函数”的性质即可解决问题，2，当a/e=b/f（a和b可以等于0，e和f不等于0）时，函数可化为y=[m/(ax^2+bx+c)]+a/e(其中m=c-g*a/e)，m/(ax^2+bx+c)的分母是二次函数，问题即可解决。3，e=0时，将分母换成新元t，分子是关于t的二次函数，分子分母同除以t，变成“对钩函数”加常数的形式，即可解决。很高兴回答楼主的问题如有错误请见谅

[u(x)/v(x)"" = (u"v-v"u)/v^2

将函数表达式化简为（y-n) = k/(x-m)的形式 对称中线的坐标即为（m,n）

Y=(CX+D)/(AX+B) 若ad≠bc,则约分啦!函数直接变为y=c/a啦,常函数了!

函数指一个量随着另一个量的变化而变化，一次函数要有两个变量X和Y，有分式函数，不过不知道你说的分式指什么，不一定是函数

参数.就是最本质的自变量 比如 y=y(x) x=x 这里x就是参数 一个函数y=y(x)可以分为 y=y(t) x=x(t) 这里的t就是参数,最本质的自变量 分式就是有分子分母的呗 无理就有根号号的呗

利用下面的结论,可知a=3,b=2. 【分式函数】 形如f(x)=p(x)/q(x) 的函数叫做分式函数, 其中p(x)、q(x)是既约整式且 q（x)的次数不低于一次. 标准形式: y=(ax+b)/(cx+d)(c≠0,ad≠bc) 定义域 ｛x|x≠-d/c} 值域 ｛y|y≠a/c} 对称中心 （-d/c,a/c） 【例题】y=(3x-1)/(x+2)的图像关于_____对称. 用分离常数的方法 y=3-7/(x+2) 然后就是令x+2=0 ,得x=-2 7/(x+2)显然不为零,所以3-7/(x+2) 不为3, y=3 所以对称点就是(-2,3)

一、利用导数解决求导后分母恒非负，分子是二次函数（三次项消掉了），问题就容易解决了二、不会导数的，可以利用2次方程根的分布来解决，一般的，形如y=(ax^2+bx+c)/(ex^2+fx+g) 且x∈A，A是R的子集，可将函数化为f(y)x^2+g(y)x+u(y)=o的形式，利用二次方程根的分布，使方程在区间A上至少有一个根即可（要考虑在A上有一个和两个根的两种情况）。对于特殊的，有简便的方法1，当a/e=c/g（a和c可以是0，e和g不等于0）时，函数可化为y=[kx/(ax^2+bx+c)]+a/e (其中k=b-f*a/e)的形式，把kx/(ax^2+bx+c)的分子分母同时除以x（如果0∈区间A，先使x不等于0，最后再找回x=0的情况），此时分母变成ax+c/x+b的形式，利用“对钩函数”的性质即可解决问题，2，当a/e=b/f（a和b可以等于0，e和f不等于0）时，函数可化为y=[m/(ax^2+bx+c)]+a/e (其中m=c-g*a/e)，m/(ax^2+bx+c)的分母是二次函数，问题即可解决。3，e=0时，将分母换成新元t，分子是关于t的二次函数，分子分母同除以t，变成“对钩函数”加常数的形式，即可解决。

y=(x-1)/(x+1)=(x+1-2)/(x+1)=1-2/(x+1)先来看y=1/(x+1)显然当x不等于-1时，这是一个减函数，所以y=1-2/(x+1)，当x不等于-1时，是增函数

一、求导函数；二、让导函数等于0；三、判断导函数的值在每个区间的符号；四、导函数的值 〉0 增 导函数的值〈 0 减

你说的应该是分段函数在高一必修一函数一章

这个很多情况的一般来说就有分子分母同时除以自变量的某次方，然后根据基本不等式还有就是化为形如a+b/f(x)这类来解具体看题目本身的条件

1。 y=(2x+1)/(x-3) 值域为(-∞,∞)且x≠3 （稍后见图。要点时间。）2。 y=(2x²-2x+3)/(x²-x+1) 值域为(-∞,∞)且x≠1 （稍后见图。要点时间。）

1 不为零 2 非负 3 R 4 R 5 x≠k*pi+pi/2(k=...,-2,-1,0,1,2,...) 6 x≠0

当g(x)趋近于零而f(x)不为零时。若二者同时趋近于零则需要用到求极限的知识，可以通过洛必达法则简便计算，f(x)/g(x)在某一点处的极限等于f"(x)/g"(x)在该点处的极限，具体做法你可以百度洛必达法则