利用间接展开法将函数f(x)=arctanx展开成x的幂函数，并指出其收敛区间

（1）恒等变形（1+x）ln（1+x）=【ln（1+x）】+【xln（1+x）】，然后按照书上的ln（1+x）的展开式★展开上面两项，再把第2项中的x乘进去，最后按照X的同次幂整理好，收敛区间就是书上的ln（1+x）的展开式中x的范围：-1<x≤1。（2）恒等变形f（x）=ln【2+（x-2）】=ln2+ln【1+（x-2）/2】，然后按照书上的ln（1+x）的展开式★展开上面第2项，注意展开式★中的x现在是（x-2）/2，收敛区间是从-1<（x-2）/2≤1中解出x的范围即可。

k级多项式函数。在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项。

如图

本题用等比级数的结论【∑〔n从0到∞〕(-t)^n=1/(1+t)，|t|<1】来做，如下。首先拆分f(x)=【1/(x+1)】-【1/(x+2)】以上式中第一式为例：1/(x+1)=1/（2+(x-1)）=(1/2)*【1/（1+(x-1)/2）】=(1/2)*∑（-(x-1)/2）^n其中|(x-1)/2|<1。另一个同理来做。然后把两个展式合并整理、把成立的x的范围取交集。

解由函数f（x）=（㎡-m-1）x㎡+m3-3是幂函数且当x∈（0,正无穷）时，f（x）是增函数知㎡-m-1=1且㎡+m3-3＞0 故㎡-m-2=0且㎡+m3-3＞0 即(m-2)(m+1)=0且㎡+m3-3＞0 即m=2或m=-1且㎡+m3-3＞0 故m=2 故f(x)=x^9.

+x^3/3-x^4/4+……所以ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4+……第一题：f(x)=x(ln(1-x)-ln(1+x））=-2x（x+x^3/3+x^5/5+……)第二题：f(x)=x[-1+2/(1+x)]=x[-1+2(1-x+x^2-x^3+x^4-……)]对于1/(1+x)的Taylor展开也得熟记,还有以下几种常用的Taylor也要熟练sinx,cosx,e^x,(1+x)^a这里我就不一一把他们的展开式都写出来,输入太不方便了

问1老师

没毛病的，大于等于零是平方带来的，题目是直接利用(1+x)^2在收敛域内得到的不等式，即-1<(1+x)^2<=1，这么写也没错啊，只不过没给出(1+x)^2更精确的范围。反正最终结果都一样，是|1+x|<=1也就是，-1<=x<=1。

∫1/(a+t)dt=ln(a+t)t=0时为ln(a)，所以如果积分区间为(0,x)，那么前面需要加上一个ln(a)这个式子展开是用了1/(1-x)=∑x^n,n=0..inf,|x|<1如果|t/a|<1那么直接将-t/a替换x就可以了，最后积分才得到题目所求的幂函数不然就是就需要变形|x|>1时，1/(1-x)=-1/x/(1-1/x)=-1/x∑x^(-n),n=0..inf=-∑x^(-n),n=1..inf当然也需要对x积分才能得到题目所求的展开式，注意替换为题目所求的。上面只是描述了变换的思路而已

提一个1/5出来,分母变成了1-2x/5吧?把2x/5看成整体t,那就是1/5*1/(1-t),这个展开会吧?最後一步把t=2x/5代回去,然後求一下收敛域就OK了呀,难点在哪

只有这两个咯。。。。

第一个∑ 将第一项单独开来了，即前面的x, 后面所以就是从n=1开始算了，对应的就是x^2项了。第二个∑因为是乘以x后得来的，所以它的第一项n=0时就是x^2开始的了，为了与上面对齐，就直接标号平移了一下，变成以n=1开始，但仍是同一项x^2。这样两个∑就可以对应项直接相加了。

如图所示：

这个题目需要利用欧拉公式 (e^x)[cos(x)+i*sin(x)]=e^[(1+i)x] 把这个函数展开成x的幂级数 e^[(1+i)x]=∑<n=0,∞>[(1+i)^n]*(x^n)/n! 取这个级数的实部，就是(e^x)*cos(x)的展开式。 因为(1+i)^n=[√2*e^(i*π/4)]^n=[2^(n/2)]*e^(i*nπ/4) =[2^(n/2)]*[cos(nπ/4)+i*sin(nπ/4)] 实部是[2^(n/2)]*cos(nπ/4) 所以(e^x)*cos(x)的展开式是： ∑<n=0,∞>[2^(n/2)]*cos(nπ/4)*(x^n)/n!（-∞<x<+∞）满意请采纳

因为f(x)＝1 x2+4x+3 ＝1 (x+1)(x+3) ＝1 2(1+x) −1 2(3+x) ＝1 4(1+x−1 2 ) −1 8(1+x−1 4 ) ，又因为 1 1+x =∞ n＝0 (−1)nxn，-1＜x＜1，故在−1＜x＜3中，1 4(1+x−1 2 ) ＝1 4 ∞ n＝0 (−1)n 2n (x−1)n，在−3＜x＜5中，1 8(1+x−1 4 ) ＝1 8 ∞ n＝0 (−1)n 4n (x−1)n，再注意到（-1，3）∩（-3，5）=（-1，3），因此，f(x)＝1 x2+4x+3 ＝∞ n＝0 (−1)n(1 2n+2 −1 22n+3 )(x−1)n，（-1＜x＜3）．

（x-1）：对式子求积分得到：-1/x-3x/2-4x，改写为-1/[(x-1)+1]-3/2*(x-1)^2-7(x-1)+3/2*(x-1)^0。其中1/[(x-1)+1]可由公式化为对式子[（-1）^n][(x-1)^n]从n=1连加到n=∞。代入原式子后再求导。x：感觉不能做啊...f(x)不管是多少次导数都不存在啊...这个就无力了。上面的不懂可以追问。

先求收敛半径， 再判断端点收敛情况，确定收敛域。

对李永乐的书审查要求

该回答违规，暂时不能查看。

泰勒展开 f(x) = ∑<n=0,∞>f^<n>(0)x^n/n! = f(0) + f"(0)x + f""(0)x^2/2! + f"""(0)x^3/3! + f^<4>(0)x^4/4! + ... 又 f(x) = e^(x^2) = 1 + x^2 + x^4/2! + x^6/3! + ... + x^(2n)/n! + ...当 n 是奇数时， f^<n>(0) = 0;当 n 是偶数时， f^<n>(0)/n! = 1/(n/2)!, f^<n>(0) = n!/(n/2)!.

人类进步通常是由认识自然的渴望所驱动的。这种探求事物的本质、追根溯源的努力，远远超过了单纯满足生存需求和提高生活质量的要求。当然，这并不是说所有人都会主动去追寻自然奥秘，研究抽象的数学命题。为了生存而整日奔波忙碌的芸芸众生，几乎不可能有时间奢侈地思考人生的意义。然而，人类历史上却始终不乏先驱来思考万事万物的根源，探寻自然界的构成方式和法则。摘录自《数学沉思录》，作者Mario Livio 1945年出生于罗马尼亚，1950年定居以色列，耶路撒冷希伯莱大学本科毕业，魏兹曼科学院硕士，特拉维夫大学博士。 数学是对具象世界的抽象化表示，具象世界包含了万事万物。正如英国物理学家James Jeans表示：“宇宙好像是一位理论数学家设计的。” 我们先举几个例子： l人类胚胎细胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度递减，为什么？繁殖速度的函数关系和概率分布是怎么样的？ l甲醛已经被世界卫生组织确定为致癌和致畸形物质，是公认的变态反应源，也是潜在的强致突变物之一，诱发白血病。新装修的房间吹吹风三四个月，就能安全入住吗？甲醛衰减释放到安全限值以下，需要多久时间？它的衰减函数是多少？空气净化器能够加快甲醛衰减，还是能够彻底去除甲醛？ l有一笔资金100万，存入连续复利计算的银行，年利率为4%，那么6年后，利息本金总余额为多少？ l如果你平均每个小时接到2次电话，那么你平均等待每一次电话的时间是多长时间？ l你的手机中电子元器件过了多少年不能正常工作，那么元器件的寿命分布是什么类型的？ l电蚊拍啪啪啪电死蚊子以后，放开开关，电蚊拍电网上残余的电压会多久变为0，它的函数是什么样的？ 以上问题看似各不相关，但是经过物理学家，化学家，金融家，生物学家等科学家初步抽象化后，再最终经过n层抽象化，发现他们背后的规律极其相似，都来到了数学家的大门。 这些规律都涉及到神奇的自然指数，也叫自然常数，自然底数，原名双曲对数，是以e为底的对数，其中，e是一个无理数常数，近似于2.718281828459。 e 是所有连续增长过程都共有的基本增长率，而负数 -e ，可以理解为所有连续衰竭过程都共有的基本衰减率。 也就是说常识上理解的生老病死等具象背后，有着一个神奇的数字，e在规划着量的变化，直到质的变化。 先用python画一个自然衰减的概率分布曲线：l人类胚胎细胞繁殖速度神速，到了成年以后繁殖速度递减，为什么？繁殖速度的函数关系和概率分布是怎么样的？ 例如细胞或细菌的繁殖，也会经历指数增长期这个阶段，大量快速繁殖，然而如果一直按照这个速度持续下去，可能地球都无法承担一个成人的重量，如果没有死亡，也无法承担人口数量的指数增长。所以又有了新的限制性设计，即控制增长常数k来实现对生长繁殖的限制。 美国学者海尔弗利在1961年提根据实验研究发现动物胚胎细胞在成长过程中，其分裂的次数是有规律的，到一定阶段就出现衰老和死亡。2009年的诺贝尔医学奖获得者是三位长期从事染色体研究的科学家，发现了端粒(telomere)和端粒酶(telomerase)，端粒酶的作用是维持端粒的长度。出生前端粒酶很活跃，到四、五岁时就基本停止活动，端粒开始随着时间而退化，导致细胞衰老并最终停止分裂。 l甲醛已经被世界卫生组织确定为致癌和致畸形物质，是公认的变态反应源，也是潜在的强致突变物之一，诱发白血病。新装修的房间吹吹风三四个月，就能安全入住吗？甲醛衰减释放到安全限值以下，需要多久时间？它的衰减函数是多少？空气净化器能够加快甲醛衰减，还是能够彻底去除甲醛？ 例如甲醛污染物的浓度随时间的变化符合指数函数的变化趋势: ct=c0*exp(-k*t) 通过实际测量，可以通过回归分析，计算出甲醛的k衰减常数，得出甲醛污染物随时间t的曲线。而空气净化器本质上是通过改变k衰减常数，加速甲醛污染物的衰减速度，经过比较短的时间后，如果产品能力足够强大，使得人们在相对有限空间的房间内能够相对安全的居住。而不是从根本上杀死或去除污染物，所以如果新装修的房间检测出甲醛等污染源，而又无法通过其他方式从根本上降解转化为安全化学物的化，净化器要常开常用才能实现“消除”污染物的目的。 l有一笔资金100万，存入连续复利计算的银行，年利率为4%，那么6年后，利息本金总余额为多少？ 对比下两者复利计算的差异： 简单复利计息的计算公式：本利和=本金×（1+利率）^期数。如果是简单复利计算，FV=126.53万。 如果连续复利计息，即无时无刻不在计息，也就是时间进行无线细分后，在有理数和无理数的t数轴上连续计息。 连续复利计息的计算公式：投资的终值FV=C0×e^(rt)，这里r=0.04，t=6，C0=100万，则六年后127.12万，比简单复利计算多了5900。 其他两个问题或类似问题，基本上也都是按照类似函数关系进行展开分析。 我们可以将指数函数进行泰勒级数展开，或加入欧拉公式，发现将e拆分后，是有极有规律的数值合成的，可以由幂函数展开。 而在复数平面空间，则可以将指数函数展开为三角函数，也就是正弦和余弦函数，如果将x的n次方作为一组函数基底，即相互垂直的n维坐标轴，而将1/n!作为系数，则e^x函数可以看作是矩阵[0,1/1!,1/2!,…1/n!]和[x^0,x^1,x^2…x^n]的乘积。 其中第一个矩阵也可以成为n维行向量，第二个矩阵看作n维列向量，即转换为向量空间的数量积（又叫内积、点积）。 如果将n设定为无穷大，则e^x函数可以展开为无穷维空间的向量运算，数学家们对无限维度函数空间的概念和运算，展开为一门新的数学分支，泛函分析（functional analysis），从而打开了另外一个天地。 泛函分析研究的主要对象是函数构成的空间，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。 那么问题来了，如果将e^x函数作为第一层抽象，而将泰勒幂函数展开作为第二层抽象，将向量空间和其算子作为第三层抽象的话，那么泛函分析这种经过n重抽象之后的纯数学计算有什么价值和意义呢？ 泛函分析是 举一个最简单的具象例子： 一个圆球在重力加速度作用下，从A点到不在它垂直下方的另一点B点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。 也就是著名的最速曲线问题。 如果任意作图，A点到B点之间可以画直线，也可以做任意的曲线，这些曲线如果用函数表示，则可以为无穷个函数。 那么这无穷个函数中，圆球沿着哪个函数的曲线，时间最短呢？ 通过泛函分析，计算得出欧拉－拉格朗日方程。这个方程称为极值函数。 泛函分析也广泛应用于图像降噪处理等现实商业技术领域，在理论学科例如数学物理方程、概率论、计算数学、信号与系统、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。 我们再回到这个函数，这里自然对数函数是由x^n函数，即幂函数组合而成。 幂函数在自然和社会现象中，又有哪些应用呢？ 股市中有80％的投资者只想着怎么赚钱，仅有20％的投资者考虑到赔钱时的应变策略。但结果是只有那20％投资者能长期盈利，而80％投资者却常常赔钱。 著名的20/80原则，也称为帕累托分布，长尾分布就是幂函数分布，也就是幂律分布，其广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中,且表现形式多种多样.在自然界与日常生活中,包括地震规模大小的分布、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布 、太阳耀斑强度的分布 、计算机文件大小的分布 、战争规模的分布、人类语言中单词频率的分布 、大多数国家姓氏的分布 、科学家撰写的论文数的分布、论文被引用的次数的分布、网页被点击次数的分布 、微博的粉丝数量、不公平社会中的财富分配、书籍及唱片的销售册数或张数的分布、每类生物中物种数的分布、甚至电影所获得的奥斯卡奖项数的分布等,都是典型的幂律分布。 既然提到了分布，我们不能不提大名鼎鼎的正态分布（高斯分布）。这个分布和e又有什么关系呢？ 我们看一个简单的标准正态分布的概率密度函数，就知道它的底依然是e，也就是自然对数。这里函数依然可以通过泰勒展开为幂函数的组合。同样有关分布，我们再回到这个问题： l如果你平均每个小时接到2次电话，那么你平均等待每一次电话的时间是多长时间？ 对于接电话这个事件发生的频率和次数，经研究任务是泊松分布。而等待一次电话的平均间隔时间，则又变成了指数形式。 当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。 p(τ)=λe^-λτ 而时间间隔，则呈现指数形式，而且底数为e! 如果耐心看到这里，也许会有一个直观的疑问，即这些复杂的各种各样的分布背后，函数背后，既然都和e有关，是否存在一种或若干种变换，或一个空间，能够将所有分布和概率问题统一为更一般性或简单化的规律呢？ 这个问题有赖于数学家们的进一步抽象化和创新，也有赖于人们对数学工具的应用。 小结： 数学因其高度抽象思维的特征，广泛应用于各种理论学科和现实实践当中，数学理论工具的应用和迁移，也带来了更多的创新。 引申阅读： 一款简单却威力无穷的创新工具

结果要写成幂函数的形式，即a0+a1x+a2x^2+...，(1)不是这个形式啊。

。。。，。。。。。

将原积分化为三个积分的和，积分=∮e^zdz/2(z+1)+∮e^zdz/2(z-1)-∮e^zdz/z，由于这三个积分中被积函数的奇点z=-1.z=1,z=0均在积分闭曲线内部，故根据柯西积分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)，积分=πi/e+eπi-2πi=πi(e+1/e-2)。

读了四年大学，有搞了半年电子，回过头来发现偶曾经引以为傲的数学不行了

函数就是把已知的用未知的字母代替例如 1+2=3写成函数就变成a+b=c 其中a=1 b=2 c=3 这样子函数的字母数值可以变动 就会到之后的函数求解例如1+b=3 求b是多少这里的b就等于2 当然这是最基础的函数 只是用来理解的

f(x)=(cosx)^2=(1+cos2x)/2 而cos2x=1-(2x)^2/2!+(2x)^4/4!-... 所以f(x)=1/2*[ 2-2x^2+2^4/4!* x^4+2^6/6!*x^6-.] =1-x^2+2^3/4!*x^4+2^5/6!*x^6-.

第一步就错了呵呵

y=1/x^2=-(1/x)" 而 1/x=1/(1+x-1)=Σ(n从0到∞)(-1)^n(x-1)^n, |x-1|

ln（1—x）-ln(1+x)

ln(1-x)+ln(1+x）

∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2）， ∴f（x）= x ∴y=f（1+cosx）= 1+cosx = 2cos 2 x 2 = 2 |cos x 2 | 则函数y=f（1+cosx）的最小正周期是2π 故选B．

将函数4-x分之1展开成x-2的幂函数1/(4-x)=1/[2-(x-2)]=1/2 ×1/[1-(x-2)/2]=1/2 ∑(n从0到∞)(x-2)^n/2^n|x-2|/2<10<x<4

cos2x=1-(2x)^2/2!+(2x)^4/4!-(2x)^6/6!+(2x)^8/8!+. f(x)=xcos2x=x*[1-(2x)^2/2!+(2x)^4/4!-(2x)^6/6!+(2x)^8/8!+.]

y^(n)=(n-1)!(-1)^(n-1)/(3+x)^n所以y(x)=In3+∑(-1)^(n-1)*x^n/(n*3^n)

套泰勒公式，e^x=e+e(x-1)+e/2!(x-1)^2+e/3!(x-1)^3+……

可以啊,1/(1-x^2)=1+x^2+x^4+...+x^(2n)+...,-1＜x＜1. 再乘上x^4即可.

将函数f（x）=1/3+x展开为x-2的幂函数解：1/(3+x)=1/(5+x-2)=1/5×1/[1+(x-2)/5]=1/5×∑(n从0到∞)(-1)^n·x^n/5^n|x-2/5|<1

f(x)=(sinx)^2=(1-cos2x)/2=1/2-1/2*cos2x=1/2-1/2*(1-(2x)^2/2!+(2x)^4/4!+...+(-1)^n*(2x)^(2n)/(2n)!+...)=1/2*((2x)^2/2!-(2x)^4/4!+...+(-1)^(n+1)*(2x)^(2n)/(2n)!+...)=2*x^2/2!-2^3*x^4/4!+...+(-1)^(n+1)*2^(2n-1)*x^(2n)/(2n)!+...

1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+……+(-1)^nx^(2n)+…… -1<x<1

x^3-1/2*x^4+1/3*x^5-1/4*x^6+1/5*x^7-1/6*x^8+1/7*x^9-1/8*x^10+1/9*x^11-1/10*x^12+1/11*x^13-1/12*x^14+1/13*x^15-1/14*x^16+1/15*x^17-1/16*x^18+1/17*x^19展开到了19次, 后面还有误差项

x/Log[2]-(3 x^2)/(2 Log[2])+(5 x^3)/(6 Log[2])-(7 x^4)/(12 Log[2])+(9 x^5)/(20 Log[2])-(11 x^6)/(30 Log[2])+(13 x^7)/(42 Log[2])-(15 x^8)/(56 Log[2])+(17 x^9)/(72 Log[2])-(19 x^10)/(90 Log[2])+O[x]^11 Rational[-19, 90]/Log[2]}, 1, 11, 1]

根号257^.5 = 16.0312195418814 可用微分估值进行求解! f(x)=f(x0)+f"(x0)(x-x0) 这儿取f(x)=根号x,x=257,x0=256! 还可以用幂函数展开来完成对它的值的估值!

（x-1）：对式子求积分得到：-1/x-3x/2-4x，改写为-1/[(x-1)+1]-3/2*(x-1)^2-7(x-1)+3/2*(x-1)^0。其中1/[(x-1)+1]可由公式化为对式子[（-1）^n][(x-1)^n]从n=1连加到n=∞。代入原式子后再求导。x：感觉不能做啊...f(x)不管是多少次导数都不存在啊...这个就无力了。上面的不懂可以追问。

自己看照片

解析：这是f(x)=cosx的泰勒展开式，所以选B，希望采纳！谢谢

我在《非线性数学物理方程的行波解》一书中看到有5种求解非线性偏微分方程的方法：1）直接积分法，2）混合指数法，3）齐次平衡法，4）双曲函数展开法，5）雅克比椭圆函数展开法。不过，据说绝大多数非线性偏微分方程都只能数值求解。