确定公因式的方法！

 

速记因式分解的方法：两式平方符号异，因式分解你别怕。两底和乘两底差，分解结果就是它。两式平方符号同，底积2倍坐中央。因式分解能与否，符号上面有文章。同和异差先平方，还要加上正负号。同正则正负就负，异则需添幂符号。 （一）十字相乘法 (1)把二次项系数和常数项分别分解因数; (2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数; (3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果; (4)检验。 （二）提公因式法 (1)找出公因式。 (2)提公因式并确定另一个因式。 ①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 （三）待定系数法 （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

　具体方法：　　当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　　例题：　　（x-y）^2+y-x =(y-x)^2+(y-x)=(y-x+1)(y-x)　　确定公因式的方法：　　★确定公因式的一般步骤　　（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取。　　（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。　　（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。　　上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。　　注意：　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如:　　-9x^2+6xy= -3x(3x+2y)的错误。　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

提取x^3/2后，括号内可以变为[(1+x)/x]^3/2=(1/x +1)^3/2....中括号右边的-1就不用多说了吧

1.（b-a）²+a（a-b）+b(b-a) =（b-a）²-a（b-a）+b(b-a) =(b-a)(b-a-a+b) =(b-a)(2b-2a) =2(b-a)² 2.(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) =(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(7a-8b) =(7a-8b)(3a-4b-11a+12b) =(7a-8b)(8b-8a) =8(7a-8b)(b-a)4. x(b+c-d)-y(d-b-c)-c-b+d =x(b+c-d)+y(b+c-d)-(b+c-d) =(b+c-d)(x+y-1)5.x²+x+1/4 =1/4(4x²+4x+1) =1/4(2x+1)²6.8a-4a²-4 =-4(a²-2a+1) =-4(a-1)²

因式分解，也叫分解因式，是把多项式，变成一个个式子相乘的形式；示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”“月” 和 “目” 就是 3na、3nb 的两个长方形，写成 3na + 3nb 像 “朋” 就是两项式如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3n ( a + b ) 的一个长方形把 3na + 3nb 的两项式变成 3n ( a + b ) 乘积的式子就是因式分解分解因式最简单的方法，就是提公因式不过要注意，公因式不仅是系数、字母，还会是一个式子例如( a + b )( 3m + 2n ) + ( 2m + 3n )( a + b )，——公因式是 ( a + b )= ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )，——提出公因式 ( a + b )= ( a + b )( 5m + 5n )，——这样再提系数 5= 5( a + b )( m + n )公式法，就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用a" - b" = (a - b)(a + b)a" + 2ab + b" = (a + b)"a" - 2ab + b" = (a - b)"a"" + b"" = (a + b)(a" - ab + b")a"" - b"" = (a - b)(a" + ab + b")分组分解法，十字相乘法，最好还是结合起来先把一次项一分为二，这样分开两组提公因式，做起来就轻松多了；就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。例如x" + 10x + 25= x" + 5x + 5x + 25= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )= ( x + 5 )"还有x" - 10x + 25= x" - 5x - 5x + 25= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )= ( x - 5 )"再看一般多项式系数、因数，先不管一次项，就看常数项：如果常数项是正数，一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两项的和；x" + 10x + 24= x" + 4x + 6x + 24= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )= ( x + 4 )( x + 6 )还有，负负得正x" - 10x + 24= x" - 4x - 6x + 24= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )= ( x - 4 )( x - 6 )如果常数项是负数，一次项系数就是分开两项的相差数；x" + 10x - 24= x" + 12x - 2x - 24= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )= ( x - 2 )( x + 12 )还有x" - 10x - 24= x" - 12x + 2x - 24= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )= ( x + 2 )( x - 12 )看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是 10x 和 24，分解因式却有 4 种结果，会不会看得晕头转向呢？怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。还有 5x 和 6 ，15x 和 54 ，20x 和 96 …… 都有这样的 4 种结果，使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。分解因式的这个方法关键是常数项的正负决定了一次项系数怎样分开两项，接下来一步一步，分别提取公因式就轻松多了；只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是 1 也同样方便，例如4x" - 31x - 45 对着 31，我们恐怕不知道怎样分开两项可是看到 -45，我们都会想到 31 = 36 - 5 ，那么= 4x" - 36x + 5x - 45= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )= ( x - 9 )( 4x + 5 )或者= 4x" + 5x - 36x - 45= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )= ( x - 9 )( 4x + 5 )如果记公式不熟悉，就看看我的办法平方差 a" - b" = (a - b)(a + b) 相信我们都熟悉，我们也一定知道25 = 5 X 524 = 4 X 6 = (5 - 1)(5 + 1) = 5" - 1"21 = 3 X 7 = (5 - 2)(5 + 2) = 5" - 2"16 = 2 X 8 = (5 - 3)(5 + 3) = 5" - 3"长加宽都是 10，正方形面积最大我还发现，算平方用平方差比完全平方更方便a"= a" - b" + b"= (a - b)(a + b) + b"这样 (a - b) 或 (a + b) 就可变成整十整百来计算，例如99" = 99" - 1" + 1" = ( 99 - 1 )( 99 + 1 ) + 1 = 98 X 100 + 1 = 980155" = 55" - 5" + 5" = ( 55 - 5 )( 55 + 5 ) + 25 = 50 X 60 + 25 = 302545" = 45" - 5" + 5" = ( 45 - 5 )( 45 + 5 ) + 25 = 40 X 50 + 25 = 2025这也是三个有趣的四位数，9801、3025、2025，不怕中间撕开前后两位相加之后，算平方又等于原来的四位数——这样也帮我们记住了，完全平方的第三项一定是 +b"或者有了我的方法和平方差公式，完全平方公式也可以抛开不用了立方和与立方差a"" + b"" = ( a + b )( a" - ab + b" )立方和——只有一个 ab 是负值a"" - b"" = ( a - b )( a" + ab + b" )立方差——只有两项的 (a - b) 还是相减，三项的三个就都是正数或者，具体例子8 - 1 = 7 2"" - 1 = 4 + 2 + 12"" - 1 = 1 X ( 2" + 2 + 1 )2"" - 1 = ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )见到 8 - 1 = 4 + 2 + 1 ，我就立即想到 “棋盘上的麦粒” 问题通过各种联想，各种生动的形象，就能把我们的一个个知识点串连起来，我们就能学得牢、记得牢。注意分解因式，必须尽可能地，把指数分解得越小越好能够继续分解，就要继续分解，所以还要尽可能地为继续分解创造条件例如我的一个经验教训a^6 - b^6——如果先用立方差，做成= (a")"" - (b")""= (a" - b")[ (a")" + a"b" + (b")" ]= (a - b)(a + b)(a^4 + a"b" + b^4)——这样还有四次项就不对应该先用平方差= (a"")" - (b"")"= ( a"" - b"" )( a"" + b"" )——变成立方和与立方差，就都能够继续分解= (a - b)(a" + ab + b")(a" - ab + b")(a + b)因式中只剩二次项，才是正确的积极开动脑筋，祝你成功，学习进步！

比如：ab+ac=a（b+c） 左边a是公因式,提取公因式后就变成右边的了

a*b*c+a*b*d=a*b*(c+d)例如：36*25*17+36*25*23 =36*25*（17+23） =36*25*40 =36*1000 =36000

用短除法

你已经做对。

x²-3x+2因式分解为：x²-3x+2 =x×x+(-2-1)x+2×1 =(x-1)(x-2)，运用了十字相乘法。把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法、解方程法、配方法、分组分解法等。1、提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式可以是单项式，也可以是多项式。例： 2、公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。分解公式：(1)平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。(2)完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。(3)立方和公式：即两数之和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。(4)立方差公式：即两数之差，乘它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。(5)完全立方公式：即两数之和(差)的立方等于这两个数的立方和(差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(和与差)。2、十字相乘法对于  型的式子如果  能分解为分解为数  的积，且有  时(即a与b和是一次项的系数)，那么  ；或对于  型的式子如果有  ， ，且有  时，那么  。这种分解因式的方法叫做十字相乘法。具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。3、双十字相乘法对于某些二元二次六项式  (x、y为未知数，其余都是常数)，用两次十字相乘法分解因式，这种分解因式的方法叫做双十字相乘法。4、解方程法通过解方程来进行因式分解的方法叫做解方程法。例：把x2-6x+8=0 分解因式解：原方程解得x1=2，x2=4，就得到原式=(x-2)(x-4)5、配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种分解因式的方法叫做配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例：分解因式x2+3x-40解：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5)．6、分组分解法通过分组分解的方式来分

提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法.它的理论依据就是乘法的分配律.运用这个方法,首先要对欲分解的多项式进行考察,提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式.

提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。以下是有关提公因式法内容：具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。看一道例题：（y-x）^2+y-x =(y-x)^2+(y-x)=(y-x+1)(y-x)确定公因式的方法：★确定公因式的一般步骤（1）如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取。（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如:-9x^2+6xy= -3x(3x+2y)的错误。口诀：找准公因式，一次要提净；若搬全家走，留1把家守；提正不变号，提负就变号

=(a-2b)(7a-b+a-8b)=(a-2b)(8a-9b)

第一题=（a-3）(2a-6-1)=(a-3)（2a-7）第二题=（x+y）（6x-4y）第三题=（x-y）（3m-2x+2y）第四题=6（a-b）^2(3b-2a+2b)=6(a-b)^2(5b-2a)第五题=(m+n)(p+q-p+q)=2q(m+n)6=(x-a)(a-b-c)7=a^n(1+a^2+a^n)

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

推导过程由m(a+b+c)=ma+mb+mc，可得ma+mb+mc=m(a+b+c)像这种分解因式的方法叫做提公因式法。推导过程∵(a+b)(a-b)=a2-b2∴a2-b2=(a+b)(a-b)推导过程∵(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2∴a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2

⑴提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。　　注意：把2a*2+1/2变成2(a*2+1/4)不叫提公因式　　⑵公式法　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。　　平方差公式：a*2-b*2=(a+b)(a-b)；　　完全平方公式：a*2±2ab＋b*2＝(a±b)*2；　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。　　立方和公式：a*3+b*3=(a+b)(a*2-ab+b*2)；　　立方差公式：a*3-b*3=(a-b)(a*2+ab+b*2)；　　完全立方公式：a*3±3a*2b＋3ab*2±b*3=(a±b)*3．　　其余公式请参看上边的图片。　　例如：a*2+4ab+4b*2=(a+2b)*2(参看右图)．　　（3）分解因式技巧　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。　　2.分解因式技巧掌握：　　①等式左边必须是多项式；　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。　　3.提公因式法基本步骤：　　（1）找出公因式；　　（2）提公因式并确定另一个因式：　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

　　可以采用提取公因式的方法，进行计算。　　计算方法，9999可以看成3X3333，就非常容易提取到公因式9999了。即：　　原式=3x3333x3333+9999x8889+9　　=3333×(3×1111)+9999×8889+9=(3333×3)×1111+9999×8889+9=9999×1111+9999×8889+9=9999×(1111+8889)+9=9999×10000+9=99990009　　提取公因式的具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。　　★确定公因式的一般步骤　　（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取。　　（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。　　（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。　　上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。

因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。 经典例题： 1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图像法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图像，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 初学因式分解的“四个注意” 因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。 因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?�膊荒芗�汉啪拖取疤帷保��匀�饨�蟹治觯?/p> 如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0． 又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0， 即a＝c，△abc为等腰三角形。 例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。 例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。 解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6） 这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。 由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。注：有的题目不太清楚，自己领悟一下吧 因式分解的十二种方法 1、 提公因法 例1、分解因式x^2-2x -x(2003淮安市中考题) x^2-2x -x=x(x -2x-1) 2、 应用公式法 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +2a+2b+4b =（a+2b）3 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 3、 分组分解法 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 例4、分解因式7x -19x-6 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解:x^2+3x-40=x^2+3x+5x-5x-40 =(x+8)x -5(x+8) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x)(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) 所以 解得 则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x +9x +23x+15 令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

依据是多项式乘法的逆运算，实质是乘法分配律。一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 确定公因式的一般步骤(1)如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-”提取。 (2)取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。 (3)把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幂的积作为公因式的因式。 提公因式法解题步骤(1)提公因式。把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号。 (2)用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。

(a^3+ab^2)+(a^2b+b^3)=(a^3+a^2b)+(ab^2+b^3)=a^2(a+b)+b^2(a+b)=(a+b)(a^2+b^2) (把a+b=5，a^2+b^=13代入)=5*13=65

75xy-25xyz=25xy(3-z)

x³-18m²n+27mn²=x³-9mn(2m+3n)

要注意：1,注意变符号,比如：-a^2-3a=-a(a 3) 2.一般提公因式后都可以用完全平方公式和平方差公式来化到最简.

6abc+3ab,公因式是3ab,不能只提ab,或只提3a等,那样就会分解不彻底； 提公因式3ab后,第二项剩下的是1,不能忘记.即：=3ab(2c+1),不能写成：=3ab(2c+0)； 第一项是负时,要把“-”提出来,放到括号内的各数要变号,如：-xy+x²=-(xy-x²)=-x(y-x)；

提公因式法 如多项式 其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 例如：：“已知x^2-5=（2一A）·x^2＋Bx＋C(x^2意思为x的平方)，求A，B，C的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值．这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 步骤：一、确定所求问题含待定系数的解析式。上面例题中，解析式就是: （2一A）·x^2＋Bx＋C 二、根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。在这一题中，恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5 三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 A=1 B=0 C=-5 答案就出来了。

是对的 《C 5》

对于任意的系数，除了会3次方程的求根公式，没有绝对的方法；对于初中题，分开后应该都些比较简单的数，比如常数项为30，你就先把它因式分解，然后去试吧

寻找相同项。一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式,如：am＋bm＋cm＝m（a+b+c）拓展资料：公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

一升沙子大概2.5公斤。也就是五斤。一升土大概是2.2公斤。也就是4.4斤4升等于多少斤，取决于物体的密度。 斤是质量单位，升是体积单位， 每种物质都有密度，就是单位体积的质量。 例如：水的密度为每毫升1克， 所以，4升水是8斤。 油的密度为每毫升0.8克， 以，4升油是7.2斤。 所以4升等于多少斤，取决于物体的密度。

要使代数式式子a÷(8-2b)没有意义，则，(8-2b)=0。因为：除数（分母）不能是0，当分母为0时，除法（分母）无意义。

柴油的比重为0.82~0.845kg/L，即 一升柴油的质量在0.82kg到0.845kg之间。所以，每公斤柴油大约 1.2 升 。

海枯石烂 海阔天空

先求导，原式求导=∑x∧4n=1/(1-x∧4) =1/2[1/(1+x²)＋1/(1-x²)],再积分可得，收敛区间（0,1）

不能确定。4升奶茶是不能确定多少斤的。4升等于多少斤，取决于物体的密度。斤是质量单位，升是体积单位，每种物质都有密度，就是单位体积的质量。例如：水的密度为每毫升1克，所以，4升水是8斤。油的密度为每毫升0.8克，4升油是7.2斤。所以4升等于多少斤，取决于物体的密度。

冰野静风,你好.分式无意义的充分必要条件室分母等于0,所以分子是否为零和他是没有关系的.

      柴油一升等于1.7斤左右。升是体积单位，斤是重量单位，两者不能直接对等。但根据重量=密度x体积，1升=1000立方厘米，柴油的相对密度为0.85g/cm3。因此1升柴油的重量等于0.85g/cm3x1000cm3=850克=1.7斤。柴油一升多少斤      密度是对特定体积内的质量的度量，密度等于物体的质量除以体积。物质会随着温度、压力的变化，其体积或密度也会发生相应的变化。      比如柴油按凝点分级，轻柴油有5、0、-10、-20、-35等六个牌号，重柴油有三个牌号。      0号柴油的密度在标准温度20°C，一般是0.84-0.86g/cm3之间。因此柴油的密度采用相对值，其计算出的重量也是一个相对值。

海阔天空、海市蜃楼、海枯石烂、海不波溢、海誓山盟、海晏河清、海底捞月、海沸江翻、海角天涯、海不扬波、海盟山咒、海外奇谈、海底捞针、海立云垂、海怀霞想、海屋筹添、海水群飞、海内无双、海角天隅、海桑陵谷、海水桑田、海水不可斗量、海北天南、海水难量、海枯见底、海约山盟、海沸山摇、海啸山崩、海沸山崩、海沸山裂

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海开头的四字成语：海阔天空、海枯石烂、海市蜃楼、海纳百川、海誓山盟、海底捞针、海外东坡、海翁失鸥、海水群飞、海不波溢、海啸山崩、海外扶余、海晏河清、海怀霞想、海宴河清、海立云垂、海枯见底、海水难量、海桑陵谷、海岱清士、海盟山呪、海外奇谈、海不扬波、海水桑田、海沸山崩、海内鼎沸、海内无双、海屋添筹、海天云蒸、海岳高深

油品的密度会随着气压和温度的改变而改变，而且还会受到油品质量的影响，一般情况下，标准的柴油密度在0.86左右，也就是说1升柴油约合0.86公斤，即1.72斤左右。

阴影部分的面积是:a^2-πa^2/4正方形的面积是:a^2阴影部分的面积与正方形的面积之比是:(a^2-πa^2/4)/a^2

考虑x-1= (x1/3)3-13= (x1/3-1)(x2/3+x1/3+1) x+1= (x1/3)3+13 =(x1/3+1)(x2/3-x1/3+1) (x- x1/3) = x1/3(x2/3-1)= x1/3(x1/3+1)(x1/3-1)原式=(x1/3-1)(x2/3+x1/3+1)/ (x2/3+x1/3+1) + (x1/3+1)(x2/3-x1/3+1)/ (x1/3+1) -x1/3 (x1/3+1)(x1/3-1)/( x1/3-1) = x1/3-1+ x2/3-x1/3+1-x1/3(x1/3+1） = x2/3- x2/3- x1/3 = - x1/3

172斤柴油等于多少升

解析： 由题意知，当分式的分母为0时 即时，分式无意义． 即x＝3或x＝1时． 提示： 要使分式无意义，需使分式的分母为零，即，，∴x－2＝±1

积分公式表：1、∫kdx=kx+C(k是常数)。2、∫xdx=+1+C，(≠1)+1dx。3、∫=ln|x|+Cx1。4、∫dx=arctanx+C21+x1。5、∫dx=arcsinx+C21x。6、∫cosxdx=sinx+C。7、∫sinxdx=cosx+C。8、∫sec∫csc2xdx=tanx+Cxdx=cotx+C2。9、∫secxtanxdx=secx+C。10、∫cscxcotxdx=cscx+C。11、∫axdx=+Clna。12、[∫f(x)dx]"=f(x)。13、∫f"(x)dx=f(x)+c。14、∫d(f(x))=f(x)+c。15、∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c。16、∫secxdx=ln|secx+tanx|+c。17、∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c。18、∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c。19、∫sec^2xdx=tanx+c。20、∫shxdx=chx+c。21、∫chxdx=shx+c。22、∫thxdx=ln(chx)+c。23、令u=1x2，即∫u=23u+C3312122=3u+C=3(1x)+C12d(1x)2。24、令u=cosx=2，即∫u=22+C=u+C=cosx+C。公式种类：1、不定积分设f（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。注：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2,不能推出c1=c2。2、定积分积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。

0.84~0.86