函数导公式及法则

一次函数f（x）=kx+b 导数为f"（x）=k最常用地求导公式是 f"（x）=（f（x+d）-f（x））/dd无限接近于0速度-时间 图像中，原函数即路程与时间的关系式，导函数即加速度与时间的关系式。

三角函数求导公式：(sinx)"=cosx、(cosx)"=-sinx、(tanx)"=sec²x=1+tan²x。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。 公式 记忆口诀 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图像单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字一，连结顶点三角形。向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围； 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。

（u/v）"=(u"v-uv")/v²。

规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f"(x)=f"(u)*g"(x)；2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x)； 复合函数求导公式 ①设u=g(x)，对f(u)求导得：f"(x)=f"(u)*g"(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x)。 设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。 复合函数求导例题 求：函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。 解：设u=g(x)=3x+2； f(u)=u3+3； f"(u)=3u2=3(3x+2)2； g"(x)=3； f"(x)=f"(u)*g"(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2；

求导过程如下：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。“求定积分”和“定积分求导”的区别算方向不同1、求定积分：求出原函数后，上下限代入原函数相减就可以了。如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么求定积分就是算出爷爷，也就是所谓的原函数。2、定积分求导：如果定积分的上下限中，至少一个不是常数，是变量x(或变量x的函数)，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，这就是积分变限函数了。同样，如果用爷爷、父亲、儿子来比喻，父亲比作定积分，那么定积分求导就是求儿子，只不过这个“儿子”不是一个数值，而是一个式子。

指数函数的求导公式：(a^x)"=(lna)(a^x)求导证明：y=a^x两边同时取对数，得：lny=xlna两边同时对x求导数，得：y"/y=lna所以y"=ylna=a^xlna，得证扩展资料：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限，在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分，可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。

四、基本求导法则与导数公式1.基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数求导公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（1）（2）（是常数）（3）（4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．如果有邮箱发课件给你！

三角函数求导公式有：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1，sinα/cosα=tanα=secα/cscα，cosα/sinα=cotα=cscα/secα，sin2α+cos2α=1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α等。 三角函数求导公式有哪些 (sinx)" = cosx (cosx)" = - sinx (tanx)"=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)"=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)"=tanx·secx (cscx)"=-cotx·cscx (arcsinx)"=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)"=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)"=1/(1+x^2) (arccotx)"=-1/(1+x^2) (arcsecx)"=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)"=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)"=coshx (coshx)"=sinhx (tanhx)"=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)"=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)"=-tanhx·sechx (cschx)"=-cothx·cschx (arsinhx)"=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)"=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)"=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)"=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)"=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)"=1/(x(1+x^2)^1/2) 三角函数求导公式证明过程 以(cosx)" = - sinx为例，推导过程如下： 设f(x)=sinx;(f(x+dx)-f(x))/dx=(sin(x+dx)-sinx)/dx=(sinxcosdx+sindxcosx-sinx)/dx因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=sindxcosx/dx根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一，(f(x+dx)-f(x))/dx=cosx，即sinx的导函数为cosx。 同理可得，设f(x)=cos(f(x+dx)-f(x))/dx=(cos(x+dx)-cosx)/dx=(cosxcosdx-sinxsindx-sinx)/dx，因为dx趋近于0cosdx趋近于1(f(x+dx)-f(x))/dx=-sindxsinx/dx，根据重要极限sinx/x在x趋近于0时等于一(f(x+dx)-f(x))/dx=-sinx即cosx的导函数为-sinx。

有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什么，我整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！1 复合函数如何求导 规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f"(x)=f"(u)*g"(x)； 2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x)； 拓展： 1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。 2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。 3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+). 4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增； 增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。 1 复合函数求导法则 Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′ 例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3, y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2) =(3x^2)/Ln(x^3)] 例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3 由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3 1 复合函数性质是什么 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律： (1)单调性规律 如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么 若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数． (2)奇偶性规律 若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f"(x)=f"(u)*g"(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f"(x)=f"(a)*p"(u)*g"(x)。设函数y=f(u)的定义域为4102Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）1653。扩展资料可以通过观察自变量的形式来确定此函数是否为复合函数。举个例子，如f(x)=sin(x)，自变量是x，这就是个简单的函数。再如f(x)=sin²(x)，虽说自变量仍然是x，但原函数也可以换个角度，看作f(u)=u²，自变量是u=sin(x)，这样的话，sin²(x)就是个复合函数了。设函数Y=f(u)的定义域为D，函数u=φ(x)的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作Y=f[φ(x)]。x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。

高中函数求导公式如下：1、几个基本初等函数求导公式(C)"=0；(x^a)"=ax^(a-1)；(a^x)"=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)"=e^x；[log<a>x]"=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)"=1/x；(sinx)"=cosx；(cosx)"=-sinx。(tanx)"=(secx)^2；(cotx)"=-(cscx)^2；(arcsinx)"=1/√(1-x^2)；(arccosx)"=-1/√(1-x^2)；(arctanx)"=1/(1+x^2)；(arccotx)"=-1/(1+x^2)。2、四则运算公式(u+v)"=u"+v"；(u-v)"=u"-v"；(uv)"=u"v+uv"；(u/v)"=(u"v-uv")/v^2。3、复合函数求导法则公式y=f(t)，t=g(x)，dy/dx=f"(t)*g"(x)。4、参数方程确定函数求导公式x=f(t)，y=g(t)，dy/dx=g"(t)/f"(t)。5、反函数求导公式y=f(x)与x=g(y)互为反函数，则f"(x)*g"(y)=1。6、高阶导数公式f^<n+1>(x)=[f^<n>(x)]"。7、变上限积分函数求导公式[∫<a，x>f(t)dt]"=f(x)。

常用函数导数表如下：拓展说明：1. 导数定义：导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f"(x0)或df(x0)/dx。2. 几何意义函数y=f(x)在x0点的导数f"(x0)的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

首先它是柱体，并且是高垂直于底面的柱体，这样的柱体体积都能用“底面积×高”计算得来，底面积就是圆的面积πr^2，高是h，那V=πr^2h

可以拿一个圆柱体，分成若干份平均分，那把平均分的的等份剪拼成近似长方体，那么长方体的高就是圆柱的高，长方体的底面积就等于圆柱的底面积，那么可以用字母表示：v=sh，也就是圆柱体积等于底面积乘高

底面积乘以高

圆柱的体积是底面积*高圆锥是底面积乘以高然后乘以三分之一

　　落胯亦叫沉胯，落胯是指在放松腹股沟的状态下，髋骨和肌肉韧带向下落。落胯时前脚宜内扣一些，在胯关节松开时腹部下沉。下面是我为大家整理的 太极拳 如何练落胯。欢迎阅读!　　太极拳练落胯的 方法 一 　　太极拳的落胯只有在松、静、沉著地练习以找回本性了。落胯不等於坐胯与蹲胯，其要领与辨识方法如下：膝不动，股骨及胫、腓骨不屈，由髋关节中间的髋臼受力，股骨顶点之圆头落入髋臼，就像捣米或捣药那样，只不过捣米捣药是以杵就臼，而此处则反，是以臼就杵，此时髋臼约可覆压股骨圆头低至两公分极限，极限一到立即反弹，也就是弓满箭必射之理，劲力极大，所以叫落胯。所以行拳或应敌接力，不须低架，高架亦可。 　　太极拳要练，但不是苦身体。太极拳是练大脑和心态。太极拳的练习过程是很简单舒畅的，因为他本身就是恢复人本来所具备的东西，不得法的人按常规的练习才会觉得苦。所谓的来全不费功夫就是你完全的按原理静静的去形容他，功夫自然会上身。 　　太极拳的合，不是一般练家能体悟到的，深层次只有接触体悟，才能真正明白还必须有老师身教。只有知体才可理解。小架的体就是腰裆。不要在意什么心意，什么意气，心意就是有六合了，形体不当家等于零，最终还是要归到形体到位的无意状态。形正才能气顺，形整才能劲整。太极拳说，用意不用力，其实 初级用意 ，本来是指挥形体听话的 ，但往往乱用 ，浮想翩翩，失去本意 ，反而破坏了形体结构。形体的结构就是框架， 懂框架 ，是进入无意之门的唯一通道。 功夫高低是因为有结构的存在， 而显示沉稳劲。 内家拳之所以难，就是因为过程很复杂，一般人很难坚持。在过程中出现的一些身体现象的那种苦是蝶变的过程就是由铁变成钢的过程，是锻压的过程，这个是要忍受的。 　　太极拳得以知体不下功夫， 先松柔清。 知体有方向，有重点。 当内功有小成时还有别的练法以促劲顺达四稍，这时才可下苦功练拳。 先培养，再顺发。 这就是外家和内家的区别。以手领手，手笨力粗。以腰领手，贺活松柔。以裆领手，心意神驰。 神敛气聚，安心定性。两股前合，两肩自开，气向下沉，劲起於脚，变化在裆，含蓄在胸，运转在肩，主宰于腰。两膊相系，裆胯相随，腰脊开合。劲由内换，松便是合，发便是开。静则俱静，静即是合，合中寓开;动则俱动，动即是开，开中有合。触之有物，旋转自如，无不得力，才能引进落空，四两御千斤。 　　太极拳练落跨的方法二 　　落胯亦叫沉胯，太极名师孙以昭在《杨式太极真功》一书中说：“沉胯之法，在于先抽胯，其方法是如出左步时，左胯微向后抽，同时右胯微向前挺，反之亦然。 　　这样不仅可使步子大小一致，而且抽胯后再向下落沉也极为容易，做时注意肩与胯合即成。做到了松竖脊柱，松腰沉胯，就能做到上下成为一个整体，即周身一家，劲起于脚跟，主于腰间，形于手指，发于脊骨，就能上下两膊相系，下于两腿相随，开合有致，收发有心了。” 　　胯以下肢体松沉至涌泉穴，胯以上肢体向上领劲(即虚灵顶劲)。要落胯沉稳与脚蹬腰发协调顺达，才能形成足够大的反弹力，在稳固的下盘支撑下将劲道作用于目标上，产生预期的发放效果。落胯应是放松境界的层次，而非表面姿势的技巧。 　　因为技巧无论多高，摆出的落胯一旦受到外力，仍习惯本能去顶。然而进入松透的落胯，外力进来不是被吞入身体，就抑或是被轻松化掉。太极拳名师林文涛先生应邀在广西钦州太极推手辅导站教学中说：接劲就是落胯，落胯要敏捷。落胯用于揽雀尾、栽捶、指裆捶等动作。 　　练好太极拳的主要技巧 　　1、心专 　　习练太极拳要高度专心入静用意，必须全神贯注，意念要灌到周身各个部位，乃至贯注至U中指指肚。打拳时拇指小指是否相合到位?穿掌时劲运到中指了吗?这些都要注意。 　　打一套拳15分钟左右，83个式子，几百个动作，编排严密，连贯性强，绝对不能走思。打太极拳强调专心用意，打拳时每个动作理法劲道都要体现出来。一走思，拳式就会走错，拳就打不成了。有人说走路散步是最好的运动方式，其实走路时仍可以想事，难能入静。而练太极拳则是入静的最好方法，因为它是动中求静。 　　2、松柔 　　太极拳技击最大特点是“化打结合”。对方来力，我尽量化开。能容能化，使对方失去平衡为主，不制敌于死地。化打合一，特别是陈氏太极拳打低架子，这是因为低架子容量更大。陈发科公强调“顺随”。陈照旭先生讲：四大块都要放松，即两肩和两胯一定要放松。全身能放松，才便于容，便于化。 　　3、轻沉 　　拳打起来一定要轻沉兼备，尤其是手要向上发劲时，腰胯必须松沉，即逢上必下，如金鸡独立，右手向上举，左胯就一定要下沉，好比是树要往高长，根一定要深扎。再有倒换重心，一定要裆走下弧，脚的五趾要紧紧抓住地。顺缠变逆缠、逆缠变顺缠，凡是转关时，一定要塌掌根。掌根塌时，肘要坠，肩要沉、胯要松。定式时一定要螺旋下沉，同时边呼气边沉。 　　4、培根 　　打拳先培根，这是陈家沟打拳的 名言 。方位不对，五趾不抓地，下边没站稳，上边对也不对。现代体育原理讲究人体稳定角，即两脚平行微微外撇，打拳纵向时双脚不能站在一条直线上，前后应该骑在一条线上，开脚时脚尽量不离开地。弓马步一定要分清，陈氏太极拳弓蹬步最多。什么是弓蹬步，即弓着的腿小腿要垂直，膝不能跪，前腿为支撑点，后腿为施力点。 　　例如右弓步，力从左脚跟里侧，通过腰脊背节节贯穿到右手。最要紧的是后腿，既不能跪膝，膝还要向里卷，大小腿向上撑，胯要松，脚向里扣，不扣就蹬不上劲。只强调松柔不讲刚柔相济不是太极拳。进要柔，退要促，如倒卷肱，退时脚不能离地，离地就不好发力了。而且退步要短促，进步要柔，即所谓“迈步如猫行”。打拳不是走路，脚一动即有用。 　　5、规矩 　　要尊重拳谱，细抠拳谱，使自己的拳打出来大小动作外形都要到位。手眼身法步，一点都不能马虎。如掌形，小指与拇指一定要说上话，虎口要圆。穿掌时力在指尖，撩掌时力在手背，不同掌形不同用法，这些在打拳时都要注意。 　　6、整劲 　　太极拳首要的一个特点就是强调练拳要“周身一家”，劲要整。大小动作都是如此，都要体现在大脑的指挥下以丹田内转带动全身。以脚蹬地汲取大地的反弹力，从而使人体的内力与外力合二为一。双手合，手脚合，腰腿背均要说上话，全身配合好，牵一发而动全身，强调内不动外不发，腰不动，手不发，由内及外完整一气，防止单摆浮搁。 　　7、丹功 　　太极拳所有动作的关键是丹田的枢纽作用，拳式周身一家，大小动作都要以丹田为枢纽。丹田运动也叫骨盆运动。所谓“练精化气”的鼎炉，就是强调丹田即肚脐以下的小腹的运动。 　　丹田的运动对人体生命的健康有重要作用，运动快慢均如此。我们知道人体骨盆里脏器最多，内分泌、消化、排泄、生殖系统大部分在丹田区域，丹田的转动不仅有利于内分泌消化系统的良性改善，性功能、生殖功能都可以得到很好的锻炼。 　　8、中正 　　什么时候都要保持上身中正。一起式，便要做到虚领顶劲，下颏里收，眼平视，头部端正。陈照奎老师将胸腰部分比做棋盘上的老帅，不能轻易随便移动。人们称陈氏太极拳宗师陈长兴公为“牌位先生”，他拳架规矩，即要求胸腰躯干部位必须保持端正，不允许左歪右斜，前俯后昂，左右摇晃。 　　百会、会阴两穴位无论什么时候，什么状态上下都要有上下对拉拔长的感觉。这样你的脊椎、颈椎、胸椎、腰椎都会少得病。同时，通过立体螺旋劲，又要灵活，屈伸自由，旋转自如。 　　9、平衡 　　打拳要强调三维平衡，上下、前后、左右均要对称平衡。手往前推，腰部命门就要向后撑，逢上必下，逢左必右，逢前必后，这叫八面支撑。 　　10、螺旋 　　陈氏太极拳最大的特点是缠丝，四肢动作非逆即顺。重要的是胸腰的立体螺旋，金刚捣碓，握拳时，先要沉右胯，翻左臀，胸略左转。提拳时，再沉左臀、翻右臀，胸腰右转。 　　砸拳震脚时，又变沉右翻左，胸腰向前转。金刚捣碓为立体螺旋，腰胯走横8字，平时，要注意练翻臀转胯。总之，打拳时胸腰不能平板运作，手足不能直来直去。

　　炮捶是我国古老的传统 武术 中的一枝奇葩,在我国北方流传甚广、门派众多。炮捶用拳的 方法 独特,大部分技击动作以拳为主,出拳迅猛,势如发炮,故名为炮捶。下面是我为大家整理的关于：松胯沉腰练炮捶。欢迎阅读!   　　松胯沉腰练炮捶 　　1.心静用意身正体松 　　思想安静集中，始终用意引导动作。保持身躯正直，头顶百会穴至裆中会阴穴上下对拉成一条垂直线。用意引导放松全身内外器官、肌肉、关节。即使负担体重的膝关节也要紧中有舒松的感觉。有人说 太极拳 是意识 体操 、放松功，有一定道理。 　　2.开合虚实呼吸自然 　　一开一合，一虚一实;开中有合，合中有开;虚中有实，实中有虚;开之再开，合之再合;以虚破实，以实破虚。足尽拳术之妙。一吸一呼，要与拳势动作自然协调，吸气时小腹内收，膈肌上升，内气聚于胃部，胸廓开张;呼气时小腹外凸，膈肌下降，内气下沉于丹田，胃部胸廓平复。 游泳 、举重运动也要注意呼吸与动作自然协调，也都采用腹式逆呼吸运动。 　　3.轻灵沉着中气贯足 　　能松则轻，能轻则灵，由松入柔，积柔成刚，刚柔摩荡，即为轻灵沉着兼而有之。中气亦称元气、内气，中气贯足，方能柔中寓刚，刚中有柔。 　　4.缠绕运动舒畅经络 　　经络发源于脏腑，布流于肢体，脏腑经络气血失和，则神机反常而产生疾病，和则气血流畅而强身延年。太极拳结合经络学说，缠丝劲的练法是畅通经络之最有效方法。内气随呼气而发自丹田，两腰隙(两。肾)左右抽换，通过旋腰转脊，缠绕运转，布于周身，上行为旋腕转膀，下行为旋踝转膝，而达于四梢(手足尖端)，内气随吸气而复归于丹田。古典太极拳论早已发其幽微。 　　5.眼神领先耳听身后 　　百拳之法，眼为先锋。意念一动，眼神先去，平视而领先于身手预定欲去之方向，目光宜有专注，而眼神须关顾上下左右。手(足)运转时，目光要随主要作用之手(足)而前视，定势时目光应向前手中指尖前展视。有助于内劲贯足，和猝然发劲时之动短、意远、劲长。演拳推手，须目光灵动，奕奕有神。耳宜静听身后，微有风响，即能察觉，以补目力所不及。视觉听觉之训练，推手或散打时均起重要作用，对老年人保持“耳目聪明”亦有关。 　　6.上下相随内外相合 　　以腰为轴，上部动而下部随之，下部动而上部领之，上下动而中部应之，中部动而上下和之。步到、身到、手到，是谓“上下相随”。至于“内外相合”，初练时先注意外形合乎要求，成熟后再以外导内，逐渐转为由内及外， “内动导外形，外形合内动”“内不动，外不发”。始而意动，继而内动，然后外动，逐渐做到一动内外俱动、“形神合一”。 　　7.着着贯串势势相承 　　每一拳势一般都包括有多种着法，造拳者就其中主要着法，像其形，会其意，以定势名。如“懒扎衣”(明代人长服束腰，当交手时，左手撩衣塞于身后腰带，右拳横举右侧，左足尖向左前成丁字步，眼视左前，艺高胆大，藐视对手，随意撩衣，以便动步出腿，故定势名为“懒扎衣”)，“懒扎衣出门架子”，在拳套中作为第一式。 　　每一式既有多种着法，也各有其技击作用，并又连环套似的编成套路，因此要着与着之间贯串起来，不使有断续、生硬之处。两人交手，各立一势，俟机而进，如不可诱，或不利于己，即可移步换形，另立一势，但变换动作，仍需按照着法(技击作用)承接，这是古代武术家编拳的原则之一。 　　练太极拳明白着与势之区别与作用后，其行气运劲便有着落。每一拳势，各有其起、承、转、合。发势为起，接榫为承，变换为转，成势为合。合者，合其全体之神，四肢的上下、左右、前后，自然相合。势与势之间，似停非停之际，内劲渐渐贯足，精神团聚，下势之机势自生。练习日久，逐渐做到“上下相随”“内外合一”“一气贯串”“一气呵成”。 　　8.虚领顶劲气沉丹田 　　虚领顶劲是头顶百会穴(在两头角中间)轻轻向上顶起，似有绳索上悬，提起精神，便于中枢神经系统调节全身各个系统和器官、机能的活动，高度发挥人体平衡的控制作用。气沉丹田是当鼻或鼻、口同时呼气时，聚于胃部之内气下行至片田(脐下小腹);吸气时丹田之内气上行聚于胃部。也叫做“提顶”“吊裆”，是太极拳锻炼中通任、督，练带、冲(任脉、督脉、带脉、冲脉)的内壮方法，为保健、强身、延年之法，也是提高抗击能力和增强爆发力的基本方法。百会穴与会阴穴上下对拉，使身体正直，是老年人预防驼背、弓腰的运动方法。气沉丹田，使重心下降，腿劲稳固，利用地面反作用力，加大爆发力。 　　9.含(涵)胸拔背尾闾正中 　　含(涵)是包涵的意思。含胸是胸部平正、松圆，包涵着内脏不使受压迫，拔背是背部肌肉松沉，两肩中间骨节(大椎)有鼓起上提之意，这部分皮肤有绷紧的感觉。胸部随身手顺势转圈，胸肌做上下左右的旋转活动，含胸就在技击上起重要作甩。凡是运用化劲(即走劲)的手法和身法，都离不开含胸的辅助，：含胸就是胸部的蓄势。拔背的技击作用是加强卷劲和放劲的爆发：力量，“气贴背”“力由脊发”都是拔背的作用。含胸和拔背是蓄发相变的关系。 　　经络学说的督脉，下起骶骨尾部中央尾骨末端的长强穴，沿督脉上行至颈部背面的大椎穴，而腧穴也都在背部，腧穴是人身气血的总会，脏腑经气都由腧穴而相互贯通。太极拳重视脊背的锻炼，“牵动往来气贴背”可以起到调整阴阳、调和气血、开通闭塞的作用，对机体消化机能、吸收机能和新陈代谢等都有良好作用。 　　虚领顶劲，气沉丹田为上下(百会穴与会阴穴)对拉拔长，含胸拔背与尾闾正中为督脉的大椎穴与长强穴的上下对拉拔长.是太极拳“立身须中正安舒” “上下一线，中正不偏”的必要条件。所谓“尾闾正中”的练法诀窍，就是尾闾脊骨根向前托起丹田(小腹部)，脊骨根并且要向前对准脸部中线至脐的一条垂直线，凡动作向何处转动，脊骨根便须直对何处，等于对动向起着舵的作用。 　　这样，在转动时也就能够处处保持“尾间正中”，身法也就始终能“中正不偏”。“尾闾正中”在推手时能加强合力作用，从而也加强爆发力的作用。尾闾在生理上自然正中的，故在古拳谱上称作“尾闾正中神贯顶”，有些书上改作“尾间中正”是不符原意的。 　　10.沉肩垂肘塌腰落胯沉肩坠肘 　　沉肩垂肘塌腰落胯沉肩坠肘是太极拳的重要法则之一。在松肩的前提下要求沉肩，在沉肩下要求坠肘。沉肩坠肘能帮助“含胸拔背”的形成，如果耸肩抬肘，会破坏“含胸拔背”的姿势，也就不利于“气沉丹田”，因为只有“含胸拔背”，肌肉、肋骨的松沉，外向前合，才能做好“气沉丹田”。沉肩坠肘时，要注意腋下留有余地，可容一个立拳，要“肘不贴肋”，使手臂有回旋余地，又要“肘不离肋”，使肘部勿距肋过远，失去自然保护肋部的作用。 　　每式定势时，肩与胯要垂直，两肩松沉并微向前合，有“含胸拔背”之意，两肩骨节似有一线贯通，互相呼应。这样，舒展中有团聚之意，加强了身躯和手臂的棚劲 (似松非松，刚柔内含的富于弹性和韧性的拥劲) 作用。 　　动作过程中不论前进后退、左旋右转，肩与胯要上下相随，保持上下对准的垂直线。 　　腰，始终要松沉直竖，结实而又灵活，胯宜松开灵活，青少年练拳应胯与膝平齐，以加强桩步的稳固性。两胯根松开撑圆似半月形，膝关节始终曲而不直，在圆裆屈膝下，随势旋转起落，虚实互换，松紧交替。成势时须塌腰落胯，以助内劲贯足于手足尖端。 　　推手时腰裆的变换，为力点、角度、方向的潜移默化，“人不知我，我独知人”的关键。“下变万化由我运，下体两足定根基”，根基在两足之稳固灵活，而蓄发相变，虚实互换之关键在腰裆。古典拳论指出： “有不得机不得势处，其病必于腰腿求之。” 　　11.源动腰脊劲贯四梢 　　腰是上下体转动的关键，凡动作变化、重心调整、劲力推动到肢体各部位，腰都起着主要作用。人体206块骨头，都靠关节的连接来负担重量和进行活动，在肌肉、韧带的牵动下，腰脊一动而全身关节随之节节贯串地运动。 　　古典拳论说：“命意源头在腰隙。”腰隙指的是两肾，俗称“腰眼”。古人认为肾是体内气体的源头，因此说： “气由肾发。”肾壮则精足、气充、神清、目明，所以古典拳论强调“刻刻留心在腰间”。腰问又为“丹田”“命门”所在，带脉、冲脉又为“丹田劲”运转时的劲力。在意识引导下，腰脊一转，丹田气缠绕运转而达于手足尖端。轻轻运动，用意不用力，日久自然由松入柔，积柔成刚，刚复归柔。不用力而自然沉重，外似棉花，内如钢条，触之则旋转自如，发之如雷震电闪。 　　任何拳种都很注重腰力的运用，腰力运用得当，可以加强发力的强度和速度，并使全身力量于一刹那间集中于一点。太极拳家曾说：“掌腕肘和肩，背腰胯膝脚，上下九节劲，节节腰中发。” 摔跤 法的诀窍，也强调“拧腰变脸”。 　　太极拳以意行气，以气运身，源动腰脊，劲贯四梢的练法，对人体的神经、经络、肌肉、骨骼、循环、淋巴、呼吸、泌尿等系统，同时并练，是内外统一性、整体性的 体育运动 方法，采用放松、柔缓的训练原则来作为治疗各种慢性病，几十年来的群众实践，证明它是行之有效、趣味浓厚的运动方法。 　　12.弧形螺旋身弓劲箭 　　动作弧形螺旋是太极拳的主要特点，陈式太极拳称做缠丝劲。用缠丝劲练法行气运劲，功深者周身处处在弧形螺旋地往复转圈，触之则即化即打，周身如弓之引满，触之则发劲似放箭。陈鑫说：“精炼已极，极小亦圈。”“陡然一转人不晓。”实际上都是动作弧形螺旋、“身似弓身劲是箭”的作用。武禹襄氏得陈氏老架、小架之传，在 总结 太极拳行气运劲的技法时有句话，“往复须有折迭”， “折迭”就是缠丝劲转圈时“陡然一转”的技法。在摔跤中有“伸手见跤”的高级技术。 　　13.畅通经络兼练带冲 　　太极拳结合经络学说，呼吸行气，通任、督，练带、冲，有助于内壮。但应先从姿势简单的静坐功或站桩功人手，只要顺其自然，容易产生内体感觉，逐渐体会内气的流转贯注、“腹内松静气腾然”的感觉。拳势动作复杂，结合腹式逆呼吸还比较容易。若过早结合通任、督，练带、冲，特别在没有良师益友的指导下，自行摸索，极易练出偏差，欲益反损。因此，学此拳者，如欲结合通任、督，练带、冲，应先练习静坐功或站桩功。 　　14.积柔成刚刚柔相济 　　太极拳是由松入柔、积柔成刚、刚柔相济的拳。凡是偏柔、偏刚的，都不能称做太极拳，因为太极的含意就是阴阳互变、刚柔摩荡的。用意指导动作，轻轻运动，使全身该放松处都能放松。然后由松入柔，以意贯劲，视何手何足为主，内劲即缠绕流转贯注于主动之手足。贯劲仍须用意作想像，不可用力，不可练气使劲，用力和练气使劲，都失之于硬。成势时微微贯劲于手足尖端，目的在于积累沉着松静的内劲，逐渐达到积柔成刚、刚柔相济阶段。 　　15.先慢后快快慢相间 　　太极拳举动轻缓的练法，是疗病保健的有效方法，动作轻缓有利于调整呼吸，使呼吸逐渐做到“悠、长、细、缓、匀”，也有利于自我检查放松程度、动作的正确性和内外的协调情况。同时也是增强体质、提高武术技巧中快与重的特殊训练方法。轻是保证全身内外充分放松的必要 措施 ，“一举动，周身俱要轻灵”“每打一势，轻轻运行，默默停止，惟以意思运行”。 　　不轻就不能松，不松就不灵活，不灵活就动作不快，所以轻是求松，松是求快。慢是为了“运劲须无微不到”。初练拳一开头就用快速用力练法，必然处处滑过，做不到处处都能恰到好处，轻松而又缓慢的练法，能逐步提高耐力，能逐渐产生一种沉重而又灵活的内劲。等到轻缓有一定基础，再逐渐练快，快后复慢，既能慢到十分，又能快到十分。如此反复锻炼，始能快慢轻重，随心所欲。 　　16.窜蹦跳跃腾挪闪展 　　窜蹦跳跃为武术中不可缺少的攻防技术。平纵为 跳远 ，上跃为 跳高 。炮捶中跃步拗鸾肘、饿虎跳涧、玉女穿梭都是平纵法，意念一动，向前平纵，愈远愈好。未纵之前，一足尽力蹬地，另足前纵，一足后随紧跟，其进如风，手法、步法、身法、转法，愈快愈好。翻花舞袖为上跃360。 　　大转身法，护心拳为上跃1800转身法，上跃愈高愈好，如鹰捉兔，如虎扑羊，气势勇猛。足蹬愈重，则身起愈高。可以柔势练，似猫之足纵跃，起落无声;可以刚势练，落地作金石声。用掌则指如钢锥之坚利，用虎爪则指如钢钩之锐利，用拳则似钢锤之冲击。 　　腾挪与闪展，是太极拳技术上的“心法”，是以弱胜强的技巧。“闪展空费拔山刀，腾挪乘虚任意入”两句话，是说明以小力胜大力，避实击虚的技术。 　　“腾挪”是有动之意而未动，即预动之势。气势腾挪，实此以虚彼，虚此以实彼，精神团聚，一气贯串，有预动之势，无散漫之意，虚足与胸有相吸相系之意，不使偏浮，是谓虚中有实。实足并不站煞，精神贯于实股，支持全身，有上提之意，是谓实中有虚。两手前膊，内中也要有腾挪之势，始有圆活之趣。锁骨管两手，两手与胸须有相吸相系之势。能体会“腾挪”，则虚虚实实、实实虚虚之妙用便愈练愈细巧、精密，便能“腾挪乘虚任意入”。 　　“闪展”是动度极小的避实就虚之法，方向、角度、力点突然转换，小圈转关，迅速发劲，谓之“闪展”，也就是富于弹性的一种抖劲。眼、身、手、腰、腿相顺相随，一气呵成，劲向前发，迅若雷电，一往无敌，乃惊战之法。其特点是不与来力顶撞，似挨非挨，突然一转，避实就虚，善于以小力胜大力，使对方有力无所施其技，这就是“闪展空费拔山力”的技术。 　　17.刚柔俱泯一片神行 　　前辈太极拳家功夫达到“柔中寓刚”“刚柔内含”后，再从虚静上专一锻炼，处处体会“空、松、圆、活”的意趣，练拳时看似至柔，其实至刚;看似至刚，其实极柔，以至看不出刚柔的痕迹，只见一举一动，至虚至灵，一片神行，无迹像可寻，无端绪可指，浑然一太极圆像。技艺至此，真神品矣。 　　18.培养本元勤学苦练 　　在太极拳普遍推广中，须及时继承发扬前辈太极拳家积累的锻炼 经验 ，使太极拳技术不致失传。拳技以精、气、神为三宝，而尤重武德。清初黄百家述“内家拳”有“五不传”，以“心险者”为首。择人而传，首重武德。 爱好 陈式太极拳之年轻力壮者，如能尊师爱友，勤学苦练，拳套、基本功、推手同时并进，则三年小成，十年大成。三十岁以内，即须练成过人劲力。坚持不懈，蒸蒸日上，拳艺永无止境。清心寡欲，培养本元，毋使损伤，则老而弥健。热心指导普及，因材施教，则疗病保健作用更为显著。  

放松的关键环节时，讲得更具体、更生动。他说:“要特别注意胸部的放松，只有胸部能放松，才有胸中运化。胸部太僵，就会气贯满胸，胸贯满，就不能调整上下关系;胸部不能运化，就要挨打。”又说:“打拳紧要处全在胸腰运化，胸部任何时候都不能领劲，胸部开合都要放松。胸部放松的关键又在于两肩的放松。所以拳论中说，转关在肩，运化在胸腰。而腰部的松活关键又在两胯，胯不松。腰也不会活。”

作者 魏坤梁 初学太极拳时的印象，从老师那里听到的和后来在一些书刊上看到的，都说练拳时前进后退胯裆应当“平移”。当时认为“平移”很简单，其实这是对于“平移”懵懵懂懂、笼统、表面、片面的认识。到了九十年代，我对于“平移”的说法发生了迷惑，因为我从音像制品中看到某一些杨式名家向前移动其胯裆明显是上弧形的轨迹。比如在单鞭形成的过程中，身躯前移开始是渐渐略微升高，然后渐渐降低，当弓步形成时身躯才降低到了原来的高度。心想难道传统正宗杨家的“平移”就是这样的？心里总觉得这样不对，但又说不出什么道理。当时又有位传统陈式名家提出练拳胯裆应该是“走锅底形的下弧”，看了他的书与录像觉得确实有道理，由于这样做，两腿也能吃上力，觉得很能够锻炼两腿的功力。而后来我在邻区看到一位教传统杨式拳的弓步起始中下弧的幅度十分的大，上下相差大约有20公分，就像是台风天气海里有波谷波峰的波浪，心想这样也不对，但也说不出什么道理来。又后来我看到了濮冰如、郑曼青先生的练拳录像，由衷觉得他们身躯的移动应该是练拳“平移”的楷模。但究竟为什么这样的“平移”是对的，我也说不出什么道理来。其实对于“平移”仍然是懵懵懂懂笼统表面的认识。之后在练拳与推手实践中不断地摸索、体悟，终于我对于“平移”有了较深入的理解与体会，最终形成了我现在确切的认识。我的认识是这样的： 武术中身躯的向前移动都是为了攻击人。而无论是脚移动还是脚不移动，攻击人要么是在前进到位的瞬间实施，要么就是在前进途中就开始实施。有前辈反映，杨家传统发劲攻击人，往往就是前脚或后脚偷上半步，或者也是进步即跟步的。这从孙南馨先生《杨式太极长拳》的套路动作介绍中可以清楚地体会到。虽然陈微明先生将孙式拳的一些东西吸收进了杨式太极长拳，而杨家原来就是有太极长拳的，进步即跟步其实也是武术中常见的一种步法。而不论何种形式身躯的移动，使用由脚而起传递性的劲力，发劲无论大小，“沉”都是必需的关键因素之一。这“沉”说得具体点，重要的关键因素之一就是髋关节中的髋臼与股骨头紧紧相抵，自我感觉就是骨盆尤其地后移下坠的“坐”。而正确发劲的瞬间必然是尤其的“沉”。由人体“动量传递”的原理可知，这是劲力由腿脚传递到身躯与手臂必不可少的因素，如果没有这一关键因素，劲力由腿脚传递到身躯与手臂的发劲是不可能实现的。孙剑云前辈在《孙式太极拳诠真》中说后脚跟步着地的瞬间身体重心就是落在后脚，在实战中就是为了跟步中的后脚着地与攻击人的发劲为同一瞬间。七、八十年代我曾经跟汪老师学习传统形意拳，劈、崩、钻、炮、横都有震脚，当时我和一些同学者还以为是脚猛然蹬地，后来我才渐渐明白这其实是身体重心落于着地后脚发劲自然形成的。这种情况竞赛套路陈式太极拳中也有，如闪通背转身推掌与退步压肘的震脚其实都是身体重心落在着地后脚自然形成的，根本不需要故意蹬脚。而要能够出现这样自然震脚的情况，身躯移动中这种骨盆后移下坠之“坐”的“沉”必需始终保持着，不然，这样的情况就不能出现。而要始终保持这种“沉”，只有“平移”才能够保证。很多人练拳不会这种不是故意脚蹬地之自然震脚，原因之一就是不会“沉”和不会“平移”。竞赛套路陈式太极拳的连珠炮尤其能够体验到这种“平移”的必需。因为这样的“平移”，没有多余的动作，不需要发劲的准备时间，跟步的后脚着地与发劲可以是在同一瞬间，因而发劲的速度最快，最能够成功抓住稍纵即逝的机会。而如果是“走锅底下弧形”，那么其一，这“走锅底下弧形”是有动作过程需要时间的，因而增加了多余的动作与发劲的准备时间。道理很简单，物体的直线移动肯定比弧线移动的路程短、时间少。而武术中的各种机会几乎都是转瞬即逝的，“走锅底下弧形”不是自增麻烦吗？其二，这样一经“走锅底下弧形”，如果原来是“沉”的，这样的“沉”也就丢失了。因为“走锅底下弧形”其实是一种重心发生了不稳定的“浮”。这个道理也很简单，就运动力学讲，物体凡是有上下升降，重心就必然会发生变化。这一规律也可以加以简单的验证，比如站到磅秤上身体上下升降一下，磅秤的重量指示就同时发生了变化，这就反映了重心发生了不稳定。而“重心不稳定”其实就是一种“浮”。但是太极拳发劲是必需要的“沉”的，那么发劲所需要的“沉”就只能在跟步的后脚着地后也就是“走锅底下弧形”完成后重新形成，劲力由脚而起的发劲也必需在“沉”后再发生，这样又增加了发劲的准备时间。因而这样的“走锅底下弧形”作为基本功锻炼是可以的，在实战中也这样，那必然是画蛇添足，很可能会坐失良机反遭别人反袭的。 有人体会“走锅底下弧形”能够增强发劲的威力。然而从其具体的分析介绍中明显发觉这种体会是片面的、不真实的，是一种错觉。这种分析介绍将“裆走下弧”说明为是“倒换重心时，裆要压住，要沿着微向下的弧线形运动路线移动，裆的中心点移动的轨迹是一个度数微小的下弧形”。然而其一、毋庸置疑，发劲向前移动身躯是倏忽一闪的动作，尽管太极拳很注重“软着陆”的发劲，但这“软着陆”也是尽量追求越快越好的。在这样倏忽一闪的时间中怎么可能作出与体会到“微向下的弧线轨迹运动”的动作与感觉？这是人的感官体会所需要的时间不允许的。也就是说不可能体会到的。其二、武术之“沉”不是“锅底下弧形”，而是“自我感觉骨盆尤其地后移下坠的‘坐"”。打个比方，有点像书法横笔开始的“藏峰”笔划，就是毛笔先略往左下一顿，再向右横的运笔。这“沉”主要是自我的体内反应与感觉，外形方面虽然凡“沉”必然反映为后腿的臀纹角度较尖，但仅仅这样的姿势也不一定就是“沉”，因为“沉”在外形方面的反映是不明显的，除了真正有“沉”经验的人是难以觉察的。而既“沉”了再上升显然又是“浮”了。“锅底形下弧”不正又是“沉而复升”的“浮”吗？所以，即使人的感觉能够精确到在倏忽一闪之间体会到这样的“锅底形下弧”，这种“锅底形下弧”也是不符合“沉”之特性的。其三、既“沉”了何必再往下“沉”？这样的“沉”而再“沿着微向前下的弧线运动”的降低其实已经是将原来的“沉”破坏了。道理也很简单，以上下颠倒来比方，就是以向上比喻为“沉”、 向下比喻为“浮”；假如在平静的河水里浮着一块木头，用竹竿抵住这块木头推着这块木头在水面移动就会感到得力，这就相当于“沉”了；而如果这块木头是在大海里，推动这块木头在水面移动的过程中海里起了微微平缓起伏的波浪，这块木头随着微微平缓起伏的波浪缓缓的上升，这就相当于是“沉而再降”了，竹竿抵住这块木头还可能有原来的得力感吗？显然是不可能的了。所以这种“沉而再降”是破坏了原来之“沉”的了。其实，这种认为“走锅底下弧形”能够增强发劲威力的体会真实的客观情况是将原来的没有“沉”骤然变成“裆要压住”的“沉”这一过程当作了“裆走下弧”。在表述上是不确切不真实的。武术追求“裆要压住”的“沉”无疑正确的，但“裆走下弧”显然与“沉”是不能共存的。而且，决定发劲威力大不大的因素并非仅仅是“沉”，如重心稳定中正、腰脊后撑、两手的怀抱姿势、借了对方的力得机得势等等都是重要的因素。能够发人很远也不一定就是劲力特别大。所以，认为“沉”了就能够使得发劲威力大，这样的认识是片面的。 一般地说，能够成功地发劲，“沉”之“平移”是一个重要的因素。许多人在推手中往往感到需要发劲时却一时发不出劲来，不会“沉”和不会“平移”就是一个很主要的原因。“上弧形”同样也有“裆走下弧”这样的弊端。“上弧形”之所以形成，是由于原来就没有“沉坐”，也就是后腿的臀纹沟处没有吃上躯体的重力，外形方面往往表现为臀纹沟几乎没有角度，身躯前移必然就不是像坐在凳子上平的移动，后腿蹬直必然就推动身躯往上升，从力学角度说就是重心上升，从太极拳角度说就是“浮”起来了。上述这些，稍微能够“沉”的人是完全可以通过实践检验证明的。而太极拳后退的移动如倒撵猴，是以退为攻，同样必需身躯始终是“沉坐”的，因而也同样是表现为“平移”的。至于太极拳在“沾粘连随”中的身躯移动，“沾粘连随”必须要有的效果就是要使得对方“终不得力、处处落空”，而要具有这样的效果，自己身体重心的稳定、不易被引动的“沉坐”同样是至关重要的，所以也是表现为“平移”的。当然，仅仅的“平移”不一定就是杨家传统的“平移”。 杨家传统的“平移”还有身躯移动之始瞬间的微微缩胯、身躯在移动过程中没有俯仰摆动的“三线并进”也就是“拥”等要素。所以，杨家传统的“平移”不是故意的结果，故意往往是矫揉造作，矫揉造作那就往往东施效颦、弄巧成拙；实际上杨家传统的“平移”是由于正确“沾粘连随”与正确“发劲”所需要的“沉坐”与其它多种要领共同作用所自然形成的，是“沉”之整体的一种某一角度的反映。如果真正有了太极拳之“沉”的技能，“平移”、身躯移动之始瞬间的微微缩胯、身躯在移动过程中没有俯仰摆动等等也就不求而得在其中了。而综上所述，对于太极拳与其他使用传递性劲力发劲的武术而言，身躯无论如何移动都应该是“平移”的，“上弧形”与“走锅底下弧形”都是错误的。

太极拳明师林泉宝先生在《武当太极拳行功心悟》一文中讲到一个有趣的故事：以前有一伙强盗在江河中抢劫客船财物，并把所有船上的人捆绑其手脚后抛向江中，船上许多人会游泳但均因手脚被困而溺死，唯有一人用海豚式游泳自救而生。通常我们习惯于蛙泳、自由泳、仰泳、蝶泳，这些姿势都是以手脚的动作来游划，而豚泳是以身体的扭动来前进的，可从不依靠肢体的动作。虽然游泳和太极拳并无直接的联系，但这个故事对我们练习太极拳强调“以身领手”，以身法来统帅太极拳走架揉手，是有一番启迪的。太极拳的所有动作，初级时是以手领手，也就是以手指挥整个太极拳运动；然后是以身领手，就是身法主宰全身的运动，每一招一式，一切运动之主宰皆由胯节指挥。太极拳名家郑悟清先生曾经有这样的比喻，以此说明胯在太极拳的重要地位。他深入浅出地说：木偶戏是中国的传统艺术，当木偶在舞台上表演各种动作时，都是用台下演员的手来指挥，演员的手拉得越好，木偶表演得越精彩。太极拳的胯动作也是同样道理，一切动作的变化莫测全依赖胯的动作。以胯根为主宰，牵连发动全身运动。通俗点说，通过用意不用力方式使胯骨部位的收束、开张以及旋动整合起来，带动周身骨骼联动出击，化节节分开，发节节合拢，就是这样依靠胯部运动来发力传劲。譬如出右手，而不是右手要出击，乃是由胯裆（裆是指会阴部分和两大腿根内侧）把手击出。再如要收回右手，也是胯裆把它收回来。收与放全凭胯间。又如推手练习，对方用手封住我的左手并向我中心发劲，而我虽然被对方封着左手，但我的胯裆己转换，左重则左虚，右重则右杳，不进则己，如进必使其落空，因为我的身法己经改变，重心也变了，并相机得势用劲使对方失去重心跌出。太极拳名师张志俊先生在《太极技击功夫对身体各部位的要求》一文中谈到腰胯时说：“太极拳理日‘不得机不得势时，腰腿求之"。我认为这里少了一个字，应该是‘腰腿间求之"。腰腿间是胯，其位置格外重要。脚把地面的反作用力通过膝盖送到了胯上，松胯便可在刹那间将力量送到腰部。不能松胯将会瞬间断劲，功亏一篑。会松胯可卸掉对方来力之一部分乃至一大部分，降低了自身的重心，使下盘稳固，为裆走下弧创造了条件；可加大腰部转动的幅度，便周身协调；松胯是形成浑元之力的必要条件；松胯有利于调整身法、步法、得机得势使下肢运行变得轻灵”。本人基本认同张志俊先生对松胯的看法。松是太极拳的灵魂，整个放松功夫最难练的部位应是中、下盘，就是胯、膝、踝。尤其是胯，因为胯是一般人习惯承载力量的地方，可能是倚赖骨盆大的缘故吧。大多数人用胯吸收身体上半身的重量，再加上姿势种种毛病，所以部分人练成腰酸背痛，脊椎受伤。通常胯放掉的力量会跑到膝盖上，若膝盖没有放掉从胯转移过来的力量，就容易损伤膝盖（即为膝关节，由股骨下端、胫骨上端和髌骨构成，是人体较大又较为复杂的关节），进而阻碍练功的深入。因为膝关节受伤后，轻则影响走路行动，重则需要找医生治疗，练拳行功难以真正心静体松，专心聚神。如果进一步把膝盖力量放掉，转移至踝（又称踝关节，由胫、腓两骨下端与距骨滑车构成）就进入落地生根的阶段了。对技击功夫颇有研究的太极拳名家松绪金先生说：对于太极拳推手、散手而言，一是借人之力；二是借地之力。要练到胯松透的境界，才能把膝盖力量通过踝关节、涌泉穴放入大地。 对于初学太极拳的爱好者来说，欲练松胯就先要明白胯的部位。在生理学上所谓的胯系指股骨上节，大腿的折叠下陷处。换句话来说，我们通常把腰和腿之间的部分叫做胯，胯关节由骶髂关节、髋关节、髋骨与脊柱的韧带联合、耻骨联合、骨盆等部分组成。练松胯的重点之一是体悟摇臀荡胯，所谓摇臀是以臀部一侧胯关节为圆心，以骨盆为半径的旋转动；荡胯则指弧线提胯和弧线落胯运动。放松骶髂关节对加速松腰起到重要作用，行拳时从大腿根部放松，注意操练髋关节的柔韧性和灵活性，这样达到开活两胯的作用。如果练拳时真的松开胯，尾闾就如一个钟锤，向左偏时左胯落，同时右胯荡起，既而有右胯落时尾闾己经靠过来了，由胯带动全身直至手指、脚下涌泉。放松腹股沟和会阴穴、松腰敛臀（亦俗称塌腰）对松胯圆裆亦起到较大作用。另外注意放松胯关节和放松臀部、腰部的肌肉，不能死顶骨盆，夹僵胯部。松胯起码要达到二个目的：一是轻灵，通过胯关节的肌肉韧带合理收缩舒张，胯关节的各骨关节能灵活转动，不产生辅助肌肉韧带做负功的现象。二是松腰沉稳，通过松胯更好松腰，以身带领肢体内外运动，恰到好处的使意气劲合一，能使身体协调完整，松而不懈，沉而不僵。 对形体而言；坚持科学、系统的锻炼，长期活动可使胯范围诸如骶骼关节髋关节等关节软骨增厚，肌腱、韧带增粗，在骨附着处直径变大，胶原纤维量增加，从而提高胯关节的抗拉能力及稳固性。通过放松伸展性练习，即可使参与关节运动的原动肌力量得到增强，又可使对抗肌的伸展性提高，与此同时关节囊、韧带等软组织在力的作用下伸展，增大了关节的灵活性，提高了关节的运动幅度，太极拳运动的重心变换离不开胯关节的有效活动。 对修炼太极拳内功而言：以胯裆为主宰的行拳练功，使之以身领手。引动腹内的太极轮转，支配了很自然的逆腹式呼吸，一系列的上下相随、内外相合、连绵不断，皆由此而成。阴阳、虚实以及丹田呼吸全赖胯裆之运转，在外是拳架、揉手（亦俗称推手）的练习，在内则是丹田的运转，最后练就心意合一，由丹田统帅整个身体的运动。劲力的基础在脚下，起动能的来源是腰胯。胯根是轴心，带动各关节进行运动。裆劲转圈由外达内，由内达外，浑然一体。 裆圆胯撑（中级阶段）和松胯活裆（高级阶段）这二句话，似乎不难明白，但如何练到位却是不易练好的。为了让太极拳爱好者有利于体悟松胯，在这里借杂志园地抛砖引玉，把自己多年的练法与经验粗略整理，供同道参考，本文运用举例指杨氏115式太极拳，兹简单介绍以下：一、缩胯 缩胯是由前脚至后脚的髋骨和肌肉韧带向后向内收缩，与腰腿合胯为一，而不是屈胯凸臀。缩胯在从以守为攻（前半部分为防守，后半部分为进攻）的动作中运用较多。一般情况下前半部分做缩胯动作，既能形成身整退化，又能使下盘稳于泰山，并为后半部分进攻发劲提供足够的动力距。缩胯用于揽雀尾的按势后推、如封似闭、倒撵猴、海底针，或是其它弓步转为半马步的动作。二、落胯 落胯是指在放松腹股沟的状态下，髋骨和肌肉韧带向下落。落胯时前脚宜内扣一些，在胯关节松开时腹部下沉。落胯亦叫沉胯，太极名师孙以昭在《杨式太极真功》一书中说：“沉胯之法，在于先抽胯，其方法是如出左步时，左胯微向后抽，同时右胯微向前挺。反之亦然。这样不仅可使步子大小一致，而且抽胯后再向下落沉也极为容易，做时注意肩与胯合即成。做到了松竖脊柱，松腰沉胯，就能做到上下成为一个整体，即周身一家，劲起于脚跟，主于腰间，形于手指，发于脊骨，就能上下两膊相系，下于两腿相随，开合有致，收发有心了。”胯以下肢体松沉至涌泉穴，胯以上肢体向上领劲（即虚灵顶劲）。要落胯沉稳与脚蹬腰发协调顺达，才能形成足够大的反弹力，在稳固的下盘支撑下将劲道作用于目标上，产生预期的发放效果。落胯应是放松境界的层次，而非表面姿势的技巧。因为技巧无论多高，摆出的落胯一旦受到外力，仍习惯本能去顶。然而进入松透的落胯，外力进来不是被吞入身体，就抑或是被轻松化掉。太极拳名师林文涛先生应邀在广西钦州太极推手辅导站教学中说：接劲就是落胯，落胯要敏捷。落胯用于揽雀尾、栽捶、指裆捶等动作。三、坐胯 坐胯是指在落胯的基础上，臀再加点下坠的意思。下坠的时候注意胯仍持着落，胯不能挺出去。坐胯时立身中正，臀部肌肉、胯骨自然下垂。膝盖要朝着脚尖的方向微微顶一点儿，实脚尖有回扣之意。要体悟下肢在放松状态下的对拉，要领做对了，脚尖、小腿肚、腿弓、胯根都会有沉胀的感觉。太极拳名家陈微明先生教授太极推手时指出：化劲首以松腰坐胯，以腰松沉之转动为主。坐胯用于揽雀尾、搂膝拗步掌等动作。四、塌胯 塌胯与顶头悬同是太极拳身法立身中正的重要规则，从作用上说它与沉劲、化劲、发劲等关系密切。太极拳名师张义敬先生在《太极拳拳理传真》一书中谈到塌胯时说：“太极拳多用弓箭步，初练塌胯，后腿髋关节必然紧张，很不自然，这正是不松的缘故。”弓箭步的后脚，膝关节应力微曲，但弯曲过多，髋关节就达不到锻炼的目的。但膝关节僵直也不对。这真是说来容易做时难，对于初学考者的确是非师指难明的事。粗看后脚似直非直，其实胯根撑开而松沉，后脚似弓膝微屈。松腰塌胯，在求髋关节的灵活，特别是在立身中正身体下的灵活。小腹是一身重心所在，所谓气沉丹田、松腰塌胯、开裆、沉气等等说法，都不过是在强调降低重心而又灵活安稳。在髋关节灵活之后，再加以腰部的旋转自如，才可能化解对方的来力，安稳不败。一般化劲功夫不好的人，大多是没有终经过严格的塌胯训练，髋关节未能松柔灵活的结果”。运用弓步时前落胯，后塌胯。塌胯时腰背部、臀部肌肉放松，胯骨自然下垂，胯骨与脚底涌泉穴形成弹弓势。太极拳名家林墨根先生在四川省太极推手教练员学习班上说：发劲时松腰塌胯，对方就跌出去了。塌胯用于揽雀尾的按势前推、搂膝拗步掌、撇身捶等动作。五、开胯 它不是指广义的开胯，而是狭义的开胯，是指左右两胯的对拉松开，膝盖外展。胯的对拉松开是以意气带动形体，是胯关节周围的肌肉韧带内藏匀劲的绷松，不是松懈式机械的拉开。开胯后，其势产生一种既沉稳又灵活的弹力，与意念一起形成整体劲。开胯发劲时应是瞬间爆发的，不宜延时僵滞。开胯用于单鞭掌、扇通臂等动作。六、合胯 合胯是指组成胯关节的各部分向命门穴至会阴穴之间聚合，与腰和腿形成一个有机整体。做好合胯能使身势整体稳固，若与意、气、劲合理配合，必然使根基如泰岳之稳固。合胯是从外向里合，不是胯关节自身的紧缩和僵死。合胯发劲时应是瞬间爆发的，不宜延时僵滞；合胯化劲时则相机慢些，合至对方来劲化净即可。合胯用于打虎势、弯弓射虎等部动作。七、转胯 转胯是指前脚的胯关节及肌肉韧带沿水平方向由内转外或由外转内的状态，常用于进退行步时中间过渡的提脚动作，或在直劲转横劲一或横劲转直劲的动作。若是行步时转胯就是以胯领起虚脚提起迈出，前实脚转胯的幅度以转至后脚跟、后脚掌、后脚趾先后提起离地之时为准。转多了会使身势歪扭而影响重心，转少了则提脚不自然，要周身协调。实脚沉稳，虚脚轻灵。拳谚说：“腰胯微转鸟难飞”，既强调了腰胯在技击发化劲时的重要性，也说明了部分动作最终的劲力是由身体单侧作用到目标上，在完成技击过中，胯关节为了协调整体动作的完成，必须作出相应的转胯动作。八、旋胯 旋胯是指虚脚的胯关节及肌肉韧带沿立圆方向由下转上的状态，用于横向行步中间过渡时的提脚、收脚动作。譬如云手、十字手等动作。旋胯就是以胯领起虚脚提起横向移步靠拢或迈出，虚脚旋胯的幅度以旋至脚跟、脚掌、脚趾先后提起离地之时为好。旋多了会使身势变形而影响重心的稳定度，旋少了则提脚不顺。要周身协调，实脚沉稳，虚脚轻灵。九、脱胯 脱胯是指髋臼和股骨头好似脱开一样的感觉，故有“胯松欲脱”之说，常用于右左分脚、踢脚、蹬脚等动作。太极拳的起脚击打动作主要是由髋臼和股骨头构成的髋关节来完成，又有胯关节周围的韧带、髂骨股韧带、耻骨囊韧带、坐骨囊韧带等和腰肌、腹肌、盆带肌、大腿肌等辅助完成，不同的脚打动作是一个复杂的协调工作。踢脚或蹬脚时把部分注意力放在脚尖或脚跟，以脚的末端上领，这样做法可以减少胯关节的支配意识，无意间就把胯关节放松了。还要做好整个身势的虚实变换，若能配合丹田内气发放则效果更好。十、提胯 提胯是指实脚的胯关节及肌肉、韧带向下松沉，同时虚脚的胯关节及肌肉、韧带向上提起，形成上下相争的松胯状态。用于提手上势、金鸡独立等动作。提胯利用上下折叠的劲道，能较好的传递地面反座力，达到借地之力又借人之力来打击对方。十一、送胯 送胯亦俗称跟胯，指对应前脚膝关节前面的胯部向前挺出。应意念命门穴把胯侧前送去，或者想着骶骨托起胯关节向侧前推去，有如太极拳名家叶大密先生所说：“尾闾如行舟之舵”的意思。此时注意放松会阴穴和腹股沟、膝关节，让腰、胯、腿的肌肉、韧带恰到好处。送胯前脚是虚脚有虚脚的用法，是实脚亦有实脚的用法，目的是基本相同的，但中间过渡动作不一样。由胯将劲力传达至腰部，以爆发内劲将对方击打、发放，如果在送胯动作做成缩胯（除了用于引化的缩胯之外）会使胯关节本身及附着在胯关节上的腰、大腿的某些肌肉、韧带出现负功，将起于脚的部分气力在胯关节处被抵消或改变方向，错失机会和势能，很大程度上影响了击打、发放效果。恰到好处的送胯，是得机得势的表现。送胯用于斜飞势、白蛇吐信、边化边发的动作等等。十二、抽胯 抽胯是指左胯部或右胯部用意向前送出一点（但是不能着意用力向前挺），同时髋关节向上翻的松胯状态。有如水泵抽水吸上之意。抽胯能把虚脚从脚跟、脚掌、脚趾很自然的带起离地，用于进、退行步的虚实转换。十三、扣胯 实脚的胯根内收，俗称扣胯。扣右胯时如把右手拇指放在右腿腹股沟，拇指就会有被胯含咬的感觉，故有老师称“扣胯”为“咬胯”。实脚胯根内扣能带动虚脚掌、虚脚趾离地（虚脚跟先由实脚转胯带动离地），比如用于掤手上势与揽雀尾中间的过渡动作，单鞭掌与提手上势中间的过渡动作等等。初学者扣胯的常见毛病是凸臀，扣胯的的要领是胯根内扣时，放松腹股沟，放松臀部和腰背的肌肉，做到含胸拔背、垂臀，放松大椎穴往上领，同时放松腰背、臀部往下沉。扣胯时，实脚沉稳，虚脚轻灵。 以上介绍了十三种松胯状态，便于习拳者在盘拳架、练推手时对号入座自查。这个动作哪个势是否松开了胯？太极拳特有松活的感觉是否良好？起落犹似猫行的太极步包含落胯、塌胯、转胯、扣胯、抽胯、送胯等，多练太极步，练好太极步，对于体悟松胯很有帮助。十三种松胯状态中，落胯、塌胯、转胯、扣胯较为重要。 太极拳是门内家拳，有看得见的形体动作，亦有不易观察的内功运行。腰胯在太极拳中起着提纲挈领的作用，如何具体运作，用文字词句来描述表达，其准确性的难度是很大的，故有“只可意会，不可言传”之说。由于本人掌握太极拳技艺有限，文字整理水平亦有限，恕有某些细节内容文不达意。所以说练拳者在聆听了明师的指教讲解后，还得在明师的同意下，用手抚摸一下明师示范动作松胯时骨、肉、皮的变化，这样学法心中有数，比较明白。要想活胯首先从松柔入手练起，对于成年人学练太极拳，由于胯骨、胯肌肉、胯韧带钙化变硬，所以相对青少年来说，中年、中老年人不易把胯松开，二、三年时间能松开胯，己经算是较快的了。除了盘拳架、练推手之外，还要在明师指教下练些抖松胯骨肉、平圆立圆转胯的辅助功法（注意的是不要误练成扭胯翘臀的舞蹈基本功），提高支配胯部灵活运动的意识与能力。但是真正的松胯仍在用意，不用拙力。

全排列的排列数公式为n！，通过乘法原理可以得到。从n个数中选取m（m<=n）个数按照一定的顺序进行排成一个列，叫作从n个元素中取m个元素的一个排列。由排列的定义，显然不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m个元素的所有排列的个数，称为排列数。从n个元素取出n个元素的一个排列，称为一个全排列。全排列的排列数公式为n！，通过乘法原理可以得到。列出全排列的初始思想：我们现在做这样的一个假设，假设给定的一些序列中第一位都不相同，那么就可以认定说这些序列一定不是同一个序列，这是一个很显然的问题。有了上面的这一条结论，我们就可以同理得到如果在第一位相同，可是第二位不同，那么在这些序列中也一定都不是同一个序列。

奥林匹克书上有```p什么的``很难写排列数,从n个中取m个排一下,有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种,即n!/(n-m)!组合数,从n个中取m个,相当于不排,就是n!/[(n-m)!m!]

A16=16！Ann=n·（n-1）·（n-2）········ 3·2·1 就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积。正整数一到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示。

排列数公式: P=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)…2 1;

对不起 我不会

组合公式是从n项中随机把n个数组合在一起的方法。二排列数公式是在组合数公式的基础上建立的，可以理解为把那n个数考虑顺序的组合方法。看懂了吗？

1、利用排列数公式：C10（2）=A10（2）/2！=452、利用组合数公式：C10(2)=10!/(8!)(2!)=45计算方法如下：排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!；例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6扩展资料互补性质即从n个不同元素中取出m个元素的组合数=从n个不同元素中取出 (n-m) 个元素的组合数；这个性质很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。规定：C(n,0)=1 C(n,n)=1 C(0,0)=1组合恒等式若表示在 n 个物品中选取 m 个物品，则如存在下述公式：C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

三个数字有多少种组合要分情况：1、不同的三个数字(零除外)有6种组合(如:1，2，3等)。2、两个相同一个不同的数字(零除外)有3种组合(如2，2，3)。3、三个相同的数字(零除外)有1种组合(如:2，2，2)。所以，三个数字分别用6、3、1种组合。排列组合的计算公式是：排列数,从n个中取m个排一下,有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种,即n/(n-m)组合数,从n个中取m个,相当于不排,就是n/[(n-m)m]。扩展资料从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。组合总数（total number of combinations）是一个正整数，指从n个不同元素里每次取出0个，1个，2个，…，n个不同元素的所有组合数的总和，即n元集合的组合总数是它的子集的个数。从n个不同元素中每次取出m个不同元素而形成的组合数  的性质是：1、 2、利用这两个性质，可化简组合数的计算及证明与组合数有关的问题。

zfjsdc翟玉兰 发表于 2007-3-3 15:14:00 排列与组合的概念与计算公式 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

 

设a=（x，y），b=(x"，y")。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。ab+bc=ac。a+b=(x+x"，y+y")。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0ab-ac=cb.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x",y")则a-b=(x-x",y-y").4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x"+y·y"。向量的数量积的运算率a·b=b·a（交换率）；（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。a⊥b〈=〉a·b=0。|a·b|≤|a|·|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。3、|a·b|≠|a|·|b|4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a∥b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量ab/向量cd”是没有意义的。

ab均表示向量 |a| |b| 表示ab向量的模长 cosα表示向量ab的夹角有a^2=|a|^2 b^2=|b|^2|a+b|=√(a+b)^2=√|a|^2 +|a|*|b|*cosα+|b|^2|a-b|=√(a-b)^2=√|a|^2 -|a|*|b|*cosα+|b|^2cosα=a*b/|a| *|b| a*b=|a|*|b|*cosα若a（x，y）b（z，q）|a|=√x^2+y^2 |b|=√z^2+q^2a*b=√x*z+y*q若x*z+y*q=0 则a向量和b向量垂直若x*q-y*z=0 则a向量和b向量平行

向量a乘以向量b的几何意义是以向量a，b所组成的平行四边形的面积呀，右边就是该平行四边形面积的计算公式啊，自己画画

向量相加公式是a+b=(x1+x2，y1+y2）。三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁，向量的加减则是用代数方法进行几何运算。

向量相乘公式如下：，（0°≤θ≤180°）向量积（向量相乘），数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。扩展资料：向量积性质：一、几何意义及其运用叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。二、代数规则1、反交换律：a×b=-b×a2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

1、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x"+y•y"。 向量的数量积的运算律 a•b=b•a（交换律）； (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)•c=a•c+b•c（分配律）； 向量的数量积的性质 a•a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a•b=0。 |a•b|≤|a|•|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。 3、|a•b|≠|a|•|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 5、三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy"-x"y=0。 零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 a•b=0。 a⊥b的充要条件是 xx"+yy"=0。 零向量0垂直于任何向量.

等于根号下（（向量a的长度）的平方加上（向量a与b的数量积的2倍）再加上（向量b的长度）的平方）有点乱，希望你能看懂，就像完全平方式一样。

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量的和垂直。向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ(θ是a,b夹角)PS:向量之间不叫"乘积",而叫数量积..如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b希望能帮到你，满意望采纳哦。

向量相乘公式如下：，（0°≤θ≤180°）向量积（向量相乘），数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。扩展资料：向量积性质：一、几何意义及其运用叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。二、代数规则1、反交换律：a×b=-b×a2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则AB+BC=AC；a+b=(x+x"，y+y")；a+0=0+a=a2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3、向量的减法：如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0；AB-AC=CB，即“共同起点，指向被减”；a=(x，y) b=(x"，y") 则 a-b=(x-x"，y-y")。扩展资料：1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

点到向量的距离公式是d=|nMP|/|n|，n是平面α的一个法向向量，M是平面α内的一点，MP是向量，在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。向量间的距离公式是d=√[(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2]，在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2，3)是一向量。

向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a，b>。向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。向量介绍在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中（2，3）是一向量。

1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。向量的运用。物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。

a⊥b时,a*b=xm+yn=0a‖b时,a*b=xn-ym=0下面那个公式是求坐标的。

设a=（x，y），b=(x"，y")。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x"，y+y")。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x",y") 则 a-b=(x-x",y-y"). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx"+yy"。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉ab=0。 |ab|≤|a||b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。 3、|ab|≠|a||b|

设a=（x，y），b=(x"，y")。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x"，y+y")。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x",y") 则 a-b=(x-x",y-y"). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx"+yy"。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉ab=0。 |ab|≤|a||b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。 3、|ab|≠|a||b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy"-x"y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 ab=0。 a⊥b的充要条件是 xx"+yy"=0。 零向量0垂直于任何向量.

两个向量相乘公式：向量a•向量b =|向量a|*|向量b|*cos，设向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)，|向量a|=√(x1^2+y1^2)，|向量b|=√(x2^2+y2^2)。向量的乘积公式向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ(θ是a,b夹角)PS:向量之间不叫"乘积",而叫数量积..如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b向量积公式向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>向量相乘分内积和外积内积 ab=丨a丨丨b丨cosα（内积无方向，叫点乘）外积 a×b=丨a丨丨b丨sinα（外积有方向，叫×乘）那个读差，即差乘，方便表达所以用差。另外 外积可以表示以a、b为边的平行四边形的面积＝两向量的模的乘积×cos夹角＝横坐标乘积+纵坐标乘积

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x",y+y").a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被 向量的减法减” a=(x,y)b=(x",y") 则a-b=(x-x",y-y").3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向； 向量的数乘当λ＜0时,λa与a反方向； 向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x"+y·y".向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.向量的向量积运算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

是a-b=(x1-x2,y1-y2)。向量的减法：如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。0的反向量为0OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”，例如：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。代数规则1、反交换律：a×b=-b×a。2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。