等比数列

　　数学是一门让人很头疼的学科，但是如果教学的时候加上教案可能会容易理解的多。下面是由我精心为大家整理的“高中数学教案《等比数列》”，更多优秀的文章尽在，欢迎大家阅读，内容仅供参考，希望对您有所帮助! 　　高中数学教案《等比数列》 　　教学目标 　　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。 　　(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念; 　　(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项; 　　(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题。 　　2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。 　　3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。 　　教材分析 　　(1)知识结构 　　等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用. 　　(2)重点、难点分析 　　教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用. 　　①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点. 　　②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点. 　　③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点. 　　教学建议 　　(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用. 　　(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义. 　　(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解. 　　(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象. 　　(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现. 　　(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 　　教学设计示例 　　课题：等比数列的概念 　　教学目标 　　1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式. 　　2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力. 　　3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度. 　　教学重点，难点 　　重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导. 　　教学用具 　　投影仪，多媒体软件，电脑. 　　教学方法 　　讨论、谈话法. 　　教学过程 　　一、提出问题 　　给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片) 　　①-2，1，4，7，10，13，16，19，… 　　②8，16，32，64，128，256，… 　　③1，1，1，1，1，1，1，… 　　④243，81，27，9，3，1，，，… 　　⑤31，29，27，25，23，21，19，… 　　⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，… 　　⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，… 　　⑧0，0，0，0，0，0，0，… 　　由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列). 　　二、讲解新课 　　请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 　　这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步) 　　等比数列(板书) 　　1.等比数列的定义(板书) 　　根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语. 　　请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识： 　　2.对定义的认识(板书) 　　(1)等比数列的首项不为0; 　　(2)等比数列的每一项都不为0，即 　　问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件? 　　(3)公比不为0. 　　用数学式子表示等比数列的定义. 是等比数列 　　①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好;接下来再问，能否改写为 是等比数列?为什么不能? 式子给出了数列第项与第 　　项的数量关系，但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值?所以要研究通项公式. 　　3.等比数列的通项公式(板书) 　　问题：用和表示第项 　　①不完全归纳法 　　②叠乘法 ，…，，这个式子相乘得，所以 　　(板书)(1)等比数列的通项公式 　　得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式. 　　(板书)(2)对公式的认识 　　由学生来说，最后归结： 　　①函数观点; 　　②方程思想(因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已). 　　这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题，还要注意规范表述的训练) 　　如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题。 　　三、小结 　　1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式; 　　2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比; 　　3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用。 　　探究活动 　　将一张很大的薄纸对折，对折30次后(如果可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。 　　参考答案： 　　30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器算一下吧(对数算也行)。

（a-1)+(a^2-2)+....+(a^n-n) =(a+a^2....+a^n)-(1+2+....n)=[a(1-a^n)/(1-a)]-[(1+n)n/2](2-3*5^(-1))+(4-3*5^(-2))+...(2n-3*5^(-n)) =2+4+...+2n-[(3*5^(-1)+(3*5^(-2)+...(3*5^(-n)]=(1+n)n-[3/5((1-(1/5)^n)/1-1/5]s1=1+2x+3x^2+...nx^(n-1)s1*x=1x+2x^2+3x^3+nx^ns1-s1x=(1+2x+3x^2+...nx^(n-1))-(1x+2x^2+3x^3+nx^n)=1+x+x^2+x^3+...x^(n-1)-nx^n

等比数列求和公式为：Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) （q不等于 1）。等比数列的意义：一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，这个数列叫等比数列，其中常数q叫作公比。如：2、4、8、16......2^10　就是一个等比数列，其公比为2，可写为（A2）的平方=（A1）x（A3）。特殊性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。通项公式 an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)S∞=a1/(1-q) （n-> ∞）（|q|<1）(q为公比，n为项数）等比数列求和公式推导：（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)（2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)（3）Sn-q*Sn=a1-a(n+1)（4）(1-q)Sn=a1-a1*q^n（5）Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)（6）Sn=(a1-an*q)/(1-q)（7）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（8）Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)

等比数列的求和公式如下对于有限项的等比数列，求和公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示等比数列的前 n 项的和，a 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。这个公式可以用来计算等比数列的前 n 项的和。例如，如果我们要计算公比为 2，首项为 3 的等比数列的前 4 项的和，可以将公式中的 a 替换为 3，r 替换为 2，n 替换为 4，计算得到：S4 = 3 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 3 * (1 - 16) / (-1) = -45所以，该等比数列的前 4 项的和为 -45。需要注意的是，这个求和公式仅在公比 r 的绝对值小于 1 时成立。若 r ≥ 1 或 r ≤ -1，等比数列的和将会趋向无穷大或无穷小，分别没有有限的结果。等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。3. 等比缩放和增长率在几何、地图绘制、模型设计等领域，经常需要进行等比缩放或计算增长率。通过等比数列的求和公式，可以确定每一级的尺寸或增长量，并计算总体的尺寸或增长量。4. 科学和工程问题在科学和工程中，等比数列的求和公式可以用于建模和分析。例如，在电路分析中，可以使用等比数列的求和公式计算电阻、电感或电容网络的总阻抗。这些只是等比数列求和公式的一些应用示例。实际上，等比数列的求和公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助解决许多与序列、累积和增长有关的问题。等比数列的求和公式的例题例题：计算等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和。解法：首先，观察给定的数列可以发现，公比 r = 3，首项 a = 2，项数 n = 5。根据等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)将具体的数值代入公式中，我们可以得到：S5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)计算结果为：S5 = 2 * (-242) / (-2) = 242所以，等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和为 242。通过这个例题，我们可以看到等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前 n 项的和，而不需要逐个相加。这在数学、财务和科学等领域的计算中非常实用。

公式等比数列求和公式为：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等于1）特殊性质①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列；③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；④若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G≠0）；⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。扩展资料：等比数列求和公式推导由等比数列定义a2=a1*qa3=a2*qa(n-1)=a(n-2)*qan=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q即Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/（1-q）(n≥2)当n=1时也成立.当q=1时Sn=n*a1所以Sn=n*a1（q=1）；(a1-an*q)/（1-q）(q≠1)。错位相减法Sn=a1+a2+a3+...+anSn*q=a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q=a2+a3+...+an+an*q以上两式相减得（1-q）*Sn=a1-an*q数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；这就是说，当n=k+1时，等式也成立；由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。

① 知识点定义来源&讲解：等比数列是指一个数列中的每一项与它前一项的比的值都相等，这个比值被称为公比，通常用字母q表示。等比数列的求和公式是在数列已知的情况下，计算数列中所有项的和的公式。等比数列的求和公式是一个常见的数学公式，可以用于数学、应用数学、物理等许多科学领域中的计算。等比数列的求和公式是：当q≠1时：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 当q=1时：Sn=n*a1其中，n表示数列中项数，a1表示首项，Sn表示该等比数列的总和。② 知识点运用：等比数列的求和公式可以应用于很多场合，如利润、利息、总和、复利等的计算，以及金融、财务、统计等方面的问题。此外，在物理学中，等比数列的求和公式也可以用于计算电阻、电容等的总和等问题。③ 知识点例题讲解：例如，已知一个等比数列的首项为2，公比为3/2，一共有5项，那么计算这个等比数列的总和。根据公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)可得，该等比数列的总和为：S5=2*(1-(3/2)^5)/(1-(3/2))=-62因此，该等比数列的总和为-62。

求和公式：求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)。求和公式用文字来描述就是：Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，则等比数列中每项都相等。简介公式一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。注：q=1时，an为常数列(n为下标）。等比数列通式若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。（1）等比数列(Geometric Sequences)的通项公式是：an=a1×q^（n－1）【（a1≠0，q≠0）。】

等比数列公式an的公式介绍如下：等比数列的通项公式：an=a1×q^(n-1)(a1为等比数列首项，q为公比)。等比数列的前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)。等比数列求和公式：（1）q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（2）q=1时，Sn=na1。(a1为首项，an为第n项，q为等比)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)的推导过程：Sn=a1+a2+……+anq*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)扩展资料等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N). (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比,n为项数） (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am×an=ap×aq； ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=aq^2 (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项.等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x),1,

① 知识点定义来源&讲解：等比数列是指一个数列中的每一项与它前一项的比的值都相等，这个比值被称为公比，通常用字母q表示。等比数列的求和公式是在数列已知的情况下，计算数列中所有项的和的公式。等比数列的求和公式是一个常见的数学公式，可以用于数学、应用数学、物理等许多科学领域中的计算。等比数列的求和公式是：当q≠1时：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 当q=1时：Sn=n*a1其中，n表示数列中项数，a1表示首项，Sn表示该等比数列的总和。② 知识点运用：等比数列的求和公式可以应用于很多场合，如利润、利息、总和、复利等的计算，以及金融、财务、统计等方面的问题。此外，在物理学中，等比数列的求和公式也可以用于计算电阻、电容等的总和等问题。③ 知识点例题讲解：例如，已知一个等比数列的首项为2，公比为3/2，一共有5项，那么计算这个等比数列的总和。根据公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)可得，该等比数列的总和为：S5=2*(1-(3/2)^5)/(1-(3/2))=-62因此，该等比数列的总和为-62。

等比数列求和公式高中如下：等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。性质（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。（3）若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。（6）等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

1）等比数列：a（n+1）/an=q,n为自然数.（2）通项公式：an=a1*q^（n－1）； 推广式：an=am·q^(n－m)； （3）求和公式：Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即a-aq^n) (前提：q不等于 1) （4）性质：①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq； ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.(5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.（6）在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方.

等比数列的求和公式如下对于有限项的等比数列，求和公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示等比数列的前 n 项的和，a 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。这个公式可以用来计算等比数列的前 n 项的和。例如，如果我们要计算公比为 2，首项为 3 的等比数列的前 4 项的和，可以将公式中的 a 替换为 3，r 替换为 2，n 替换为 4，计算得到：S4 = 3 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 3 * (1 - 16) / (-1) = -45所以，该等比数列的前 4 项的和为 -45。需要注意的是，这个求和公式仅在公比 r 的绝对值小于 1 时成立。若 r ≥ 1 或 r ≤ -1，等比数列的和将会趋向无穷大或无穷小，分别没有有限的结果。等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。3. 等比缩放和增长率在几何、地图绘制、模型设计等领域，经常需要进行等比缩放或计算增长率。通过等比数列的求和公式，可以确定每一级的尺寸或增长量，并计算总体的尺寸或增长量。4. 科学和工程问题在科学和工程中，等比数列的求和公式可以用于建模和分析。例如，在电路分析中，可以使用等比数列的求和公式计算电阻、电感或电容网络的总阻抗。这些只是等比数列求和公式的一些应用示例。实际上，等比数列的求和公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助解决许多与序列、累积和增长有关的问题。等比数列的求和公式的例题例题：计算等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和。解法：首先，观察给定的数列可以发现，公比 r = 3，首项 a = 2，项数 n = 5。根据等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)将具体的数值代入公式中，我们可以得到：S5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)计算结果为：S5 = 2 * (-242) / (-2) = 242所以，等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和为 242。通过这个例题，我们可以看到等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前 n 项的和，而不需要逐个相加。这在数学、财务和科学等领域的计算中非常实用。

http://baike.baidu.com/view/1149632.htm?subLemmaId=1149632&fromenter=%B5%C8%B1%C8%CA%FD%C1%D0%B5%C4%C7%F3%BA%CD%B9%AB%CA%BD

（1）等比数列：An+1/An=q,n为自然数。（2）通项公式：An=A1*q^（n－1）；推广式：An=Am·q^(n－m)；（3）求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)（4）性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.(5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.（6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

　　数学是许多学生的难点，那么高中的等比数列求和公式是什么呢?快来和我一起看看吧。下面是由我为大家整理的“等比数列求和公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。 　　等比数列求和公式 　　1.等比数列通项公式 　　an=a1×q^(n-1); 　　推广式：an=am×q^(n-m); 　　2.等比数列求和公式 　　Sn=n×a1(q=1); 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1); 　　(q为公比，n为项数)。 　　3.等比数列求和公式推导 　　(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q); 　　(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1); 　　(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1); 　　(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n; 　　(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q); 　　(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q); 　　(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q); 　　(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。 　　拓展阅读：等比数列的性质 　　(1)若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。 　　(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 　　(3)若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab(G≠0)”。 　　(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。 　　(5)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。 　　(6)等比数列前n项之和。 　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。 　　注意：上述公式中An表示A的n次方。 　　(7)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)×qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

1）等比数列：An+1/An=q, n为自然数。（2）通项公式：An=A1*q^（n－1）；推广式： An=Am·q^(n－m)；（3）求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)（4）性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.

等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。1、等比数列常用公式。等比数列是指一个数列中每个数与它的前一个数的比例都相等的数列。其公式为：an=a1× r^(n-1)。其中，an是数列的第n项，a1是数列的第1项，r是固定的比例系数，n是项数。而等比数列的前n项和公式为：Sn=a1×(1-r^n)/(1-r)。其中，Sn表示数列的前n项和，a1是数列的第1项，r是固定的比例系数，n是项数。这个公式的中分子是根据等比数列的求和公式推导的，等比数列的前n项和公式为：Sn=a1×(1-r^n)/ (1-r)。简单解释一下，分子就是数列前n项相加的结果，分母是一个定值，用来保证分子与后面项的和的比例都一样。这个公式可以方便地计算等比数列的前n项和，也是数学中常用的公式之一。2、需要注意的事项。在应用等比数列的公式计算时，要先使用$a_1$和$q$确定数列的特征，然后根据需要求取特定项或前n项的和。此外，还需要注意选择适当的计算方式，并注意公式中各参数的含义。等比数列介绍：等比数列是一种数列，其中相邻两项的比值是一个固定的常数，这个常数被称为公比。设等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列的一般形式为：a1，a1×q，a1×q^2，a1×q^3等。即首项为a1，后面的每一项都是前一项乘以公比q。这里的q可以是正的、负的或零，只要它不等于1，就可以构成一个等比数列。等比数列有些特殊性质，从第二项开始，相邻两项之间的比值都是相等的，即a2/a1=a3/a2=a4/a3=...=q。从第n项开始，任意两项之间的比值都是相等的，即an/am=(an-1)/a(m-1)=q^(n-m)。等比数列在数学中应用非常广泛，比如可以用于计算复利、等比年增长率、等比缩放等问题。此外，在物理、天文学、生态学等科学领域，等比数列也常常被用来描述各种自然现象的规律性。

等比数列求和公式为：Sn=n*a1（q=1）Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q不等于1）。等比数列求和公式为：Sn=n*a1（q=1）Sn=a1（1-q^n）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q不等于1）。一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，即：A（n+1）/A（n）=q（n∈N*），这个数列叫等比数列，其中常数q叫作公比。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列 。这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速的计算出该数列的和。等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an（公比为q）。qSn=a1q+a2q+a3q+...+anq=a2+a3+a4+...+an+a（n+1）。Sn-qSn=（1-q）Sn=a1-a（n+1）。a（n+1）=a1qn。Sn=a1（1-qn）/（1-q）（q≠1）。等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。等比数列的前n项和同样的是与首项，公比有关，所以一道题目让你算通项公式和前n项和没有区别，只是需要注意等比数列的前n项和的公式还与公比是否为1有关，因为是否为1，导致前n项和的求和公式不同。

等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。其中常数q叫作公比，在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公式可以快速的计算出出该数列的和。一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数(这个常数通常用q来表示)且数列中任何项都不能为0。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。扩展资料：等比数列是指如果一个 数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，a n为 常数列。请点击输入图片描述（最多18字）

等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。 等比数列求和公式 通项公式 an=a1×q^(n-1) 求和公式 a1(1-q^n)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1) 求和公式推导 （1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) （2）qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1) （3）Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1) （4）a(n+1)=a1q^n （5）Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1) 等差数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n 末项=首项+(项数-1)×公差 项数＝（末项－首项）÷公差+1 首项=末项-(项数-1)×公差 和=(首项+末项)×项数÷2 末项:最后一位数 首项:第一位数 项数:一共有几位数 和:求一共数的总和

给分！！a1(1+q^n)÷(1-q)，a1为首项，q为公比。

等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比相等。数列的一般项可表示为 a, a*r, a*r^2, a*r^3, ...，其中a是首项，r是公比。要推导等比数列的求积公式Tn，我们可以根据等比数列的性质进行推导。我们设等比数列的首项为a，公比为r，数列的第n项为an。根据等比数列的性质，我们知道：an = a * r^(n-1)然后我们考虑前n项的乘积，可以表示为：Pn = a * (a * r) * (a * r^2) * ... * (a * r^(n-1))可以将Pn中的每个因子(项)中的a分离出来，得到：Pn = a^n * (r^0) * (r^1) * (r^2) * ... * (r^(n-1))观察这个乘法式子，我们可以发现只有指数部分在变化，而指数部分正好是一个等差数列0, 1, 2, ..., n-1。根据等差数列的求和公式，我们可以得到：r^0 + r^1 + r^2 + ... + r^(n-1) = (r^n - 1) / (r - 1)将等差数列的求和公式代入Pn中，得到：Pn = a^n * (r^n - 1) / (r - 1)这就是等比数列求积的公式Tn。需要注意的是，在使用等比数列求积公式时，要确保公比r不等于1，否则公式会出现除数为0的情况。当r等于1时，等比数列实际上变成了等差数列。

等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数） (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am×an=ap×aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2 (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)

[CLASSIC] 等比数列是一种数列，其中每个后续项都是前一项乘以相同的公比得到的。求等比数列的和可以使用以下公式：S = a * (r^n - 1) / (r - 1)其中，S表示等比数列的和，a表示首项，r表示公比，n表示项数。这个公式是根据等比数列的性质推导出来的。首先，我们可以将等比数列的每一项表示为 a, ar, ar^2, ar^3, ...，其中 a 是首项，r 是公比。然后，我们可以将等比数列的和表示为：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...接下来，我们将这个和乘以公比 r：rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...我们可以发现，将这两个式子相减，大部分项都会抵消，只剩下首项和最后一项：S - rS = a - ar^n将公因式 a 提取出来，并将等比数列的最后一项表示为 ar^n，得到：S(1 - r) = a(1 - r^n)最后，将公式两边除以 (1 - r)，得到等比数列的求和公式：S = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式可以用来计算等比数列的和，只要知道首项、公比和项数即可。请注意，在使用这个公式时，要确保公比不等于 1，否则公式将无法成立。

① 知识点定义来源&讲解：等比数列是指一个数列中的每一项与它前一项的比的值都相等，这个比值被称为公比，通常用字母q表示。等比数列的求和公式是在数列已知的情况下，计算数列中所有项的和的公式。等比数列的求和公式是一个常见的数学公式，可以用于数学、应用数学、物理等许多科学领域中的计算。等比数列的求和公式是：当q≠1时：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 当q=1时：Sn=n*a1其中，n表示数列中项数，a1表示首项，Sn表示该等比数列的总和。② 知识点运用：等比数列的求和公式可以应用于很多场合，如利润、利息、总和、复利等的计算，以及金融、财务、统计等方面的问题。此外，在物理学中，等比数列的求和公式也可以用于计算电阻、电容等的总和等问题。③ 知识点例题讲解：例如，已知一个等比数列的首项为2，公比为3/2，一共有5项，那么计算这个等比数列的总和。根据公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)可得，该等比数列的总和为：S5=2*(1-(3/2)^5)/(1-(3/2))=-62因此，该等比数列的总和为-62。

等差数列和公式 Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d 等比数列求和公式 q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

当公比q为1时.Sn=na1 当公比q不为1时Sn=a1(q^n-1)/(q-1)

等比数列的求和公式如下对于有限项的等比数列，求和公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示等比数列的前 n 项的和，a 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。这个公式可以用来计算等比数列的前 n 项的和。例如，如果我们要计算公比为 2，首项为 3 的等比数列的前 4 项的和，可以将公式中的 a 替换为 3，r 替换为 2，n 替换为 4，计算得到：S4 = 3 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 3 * (1 - 16) / (-1) = -45所以，该等比数列的前 4 项的和为 -45。需要注意的是，这个求和公式仅在公比 r 的绝对值小于 1 时成立。若 r ≥ 1 或 r ≤ -1，等比数列的和将会趋向无穷大或无穷小，分别没有有限的结果。等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。3. 等比缩放和增长率在几何、地图绘制、模型设计等领域，经常需要进行等比缩放或计算增长率。通过等比数列的求和公式，可以确定每一级的尺寸或增长量，并计算总体的尺寸或增长量。4. 科学和工程问题在科学和工程中，等比数列的求和公式可以用于建模和分析。例如，在电路分析中，可以使用等比数列的求和公式计算电阻、电感或电容网络的总阻抗。这些只是等比数列求和公式的一些应用示例。实际上，等比数列的求和公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助解决许多与序列、累积和增长有关的问题。等比数列的求和公式的例题例题：计算等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和。解法：首先，观察给定的数列可以发现，公比 r = 3，首项 a = 2，项数 n = 5。根据等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)将具体的数值代入公式中，我们可以得到：S5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)计算结果为：S5 = 2 * (-242) / (-2) = 242所以，等比数列 2, 6, 18, 54 的前 5 项的和为 242。通过这个例题，我们可以看到等比数列的求和公式可以帮助我们快速计算等比数列的前 n 项的和，而不需要逐个相加。这在数学、财务和科学等领域的计算中非常实用。

a1×（1-q^n）/（1-q）

错位相减法，可以看作是通项为等差*等比的数列求和

Sn=na1+n(n-1)d/2S4=4a1+6dq^3=b4/b1=a4/a1=(a1+3d)/a1q^3=1+3d/a1Tn=b1(q^n-1)/(q-1)T4=a1q^4+a1q^3+a1q^2+a1q+a1S4-T4=4a1+6d-(a1q^4+a1q^3+a1q^2+a1q+a1)=3a1+6d-a1q^4-a1q^3-a1q^2-a1q=2a1+3d-(a1q^3+a1)q-a1q^2=2a1+3d-(2a1+3d)q-a1q^2=(2a1+3d)(1-q)-a1q^2因a1＞0,d＞0，所以d/a1＞0，q^3＞1，q＞11-q＜0，又2a1+3d＞0，a1q^2＞0，所以S4-T4=(2a1+3d)(1-q)-a1q^2＜0，即S4＜T4。

设an的公差为d，bn的公比为qa2=a1+d=3+d，b2=b1*q=qban/ba(n-1）=q^(an-a(n-1))=q^d=64（明显q不等于1）b2s2=646q+dq=64,an各项均为正数,d>0且为正整数，所以64/q为正整数且大于6，q可能取值为2,4,8带入d=64/q-6，d对应取值为26,10,2符合q^d=64的只有q=8，d=2所以an=3+2（n-1)=2n+1，bn=8^(n-1)Tn=a1b1+a2b2+......+anbn 等式（1）两边都乘以公比q得到qTn=a1b2+a2b3+......+等式（2）(1）-（2）-7Tn=a1b1+(a2-a1)b2+(a3-a2)b3+........+(an-a(n-1))bn- =a1b1+b2+b3+....+bn-anb(n+1)=2+(b1+b2+...+bn)-anb(n+1) =2+(8^n-1)/7-(2n+1)*8^nTn=(2n+1)*8^n/7-(8^n-1)/49-2/49

（1）∵S2=a1+a2═6+d，b2=q，∴q+6+d＝126+dq＝3，解得d=3，q=3，故an=3+3（n-1）=3n，bn=1?3n-1=3n-1．（2）由（1）可知，Sn＝n(3+3n)2，∴cn=3Sn=2×3n(3n+3)＝2n(n+1)=2（1n?1n+1），故{cn}的前n项和Tn=2（1?12+12?13+…+1n?1n+1）=2（1?1n+1）=2nn+1．

http://baike.baidu.com/link?url=SZolBQmTUsmS6hgp6YINJGlf81Fdo1oVF_EcZY4u2sdfEqy0wemN4ruuEJiojrFrZmyiQuyAYGggjlTHrvD4tahttp://baike.baidu.com/link?url=9LTMtqHmuPygg8u2y0EjyJDNR5cR3ez1E1i5-jkfOSUg7jpqfuzi_jFT7mFRu-d4VMJt1ogTruOBGBjZ6pAGAa

望采纳

a,b,c成等比数列，则可表示为a，ar,ar^2余弦定理：(ar)^2=a^2+(ar^2)^2-2a(ar^2)cosB整理得2r^4-5r^2+2=0 r=1/√2 或 r=√2所以三边的比为1:√2:2或者2:√2:1因此不妨令a为最短边（若令c为最短边，结果一致）从三角函数关系易得sinB=√7/4通过正弦定理，sinA=√7/(4√2), sinC=√7/(2√2)通过余弦定理，或sin^2+cos^2=1可以求出 cosA=5/(4√2), cosC=-1/(2√2)cotA+cotC=5/√7-1/√7=4/√7a*c*cosB=3/2 得ac=2, c=2a =>a=1, c=2 a+c=3

a,b,c成等比=> b^2=ac =>b^3=abc=512 => b=8=>a=8/r ,8,c=8r => 8/r ,10,8r成等差=> 8/r +8r =20=>2+2r^2-5r=0 => 2r^2-5r+2=0=(2r-1)(r-2)=> r=0.5 or 2=> a=16,b=8,c=4 or a=4,b=8,c=16....ans

1

没错，这样就行了

S(n+m) = a1[1-q^(n+m)]/(1-q)S(n) + q^n * S(m) = a1(1-q^n)/(1-q) + q^n * a1(1-q^m)/(1-q)=a1[1-q^n + q^n -q(m+n)]/(1-q)=a1[1-q^(n+m)]/(1-q)所以 Sn+m=Sn+q^nSm

Sm*q*n=Sn+1+......+Sn+m,再加上 Sn就是Sn+m了