和差化积与积化和差公式

两角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa 
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota) 
cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)
倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2a=2sina*cosa
半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)
cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))
cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)
和差化积
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) )
2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)
-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tga=tana=sina/cosa
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a))

sinx+siny=2sin(x+y)
2sin(x/2+y/2)cos(x/2-y/2)=4sin(x/2+y/2)cos(x/2+y/2)
cos(x/2-y/2)=2cos(x/2+y/2)
cos(x/2)cos(y/2)+sin(x/2)sin(y/2)=2cos(x/2)cos(y/2)-2sin(x/2)sin(y/2)
3sin(x/2)sin(y/2)=cos(x/2)cos(y/2)
tan(x/2)tan(y/2)=1/3

和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导
附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

[1]
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA
倍角公式
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=2tanA/（1-tanA^2）
（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
=3sina-4sin³a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa
=4cos³a-3cosa
sin3a=3sina-4sin³a
=4sina(3/4-sin²a)
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos³a-3cosa
=4cosa(cos²a-3/4)
=4cosa[cos²a-(√3/2)²]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
和差化积
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tanA= sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα

设A=2a,B=2b,则由sinA+sinB=1得2sin(a+b)cos(a-b)=1
令cosA+cosB=2cos(a+b)cos(a-b)＝t,
则将上面两式平方后相加,得4cos^2(a-b)=t^2 +1

sin(a+b) = sina cosb + sinb cosa
sin(a-b) = sina cosb - sinb cosa
相减：
sin(a+b) - sin(a-b) = 2sinb cosa = 2cosa sin

在解三角形时给出两角的三角和的关系,如cos2b+cos2c=0得cos(b+c+b-c)+cos(b+c-b+c)=2cos(b+c)cos(b-c)=0,而在三角形中cos(b+c)不为0,得cos(b-c)=0.这个也可以用来证明在三角形中sina>sinb等价于a>b,你可以自己试试

sinA+sinB=2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2*sin[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]
cosA+cosB=2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
cosA-cosB=-2*sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
coa(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
coa(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
有负号

∵cos^2α=（1+cos2α）/2,sinαcosα=sin2α/2,2sin^2α =1-cos2α
∴cos^2α+sinαcosα+2sin^2α
=（1+cos2α）/2+sin2α/2+（1-cos2α）
=[1+cos2α+sin2α+2-2cos2α]/2
=3/2+（sin2α-cos2α）/2
=3/2+√2（sin2αcos45-cos2αsin45）/2
=3/2+√2[sin(2α-45)]/2
碰到这种三角函数的题,需要灵活运用并掌握有关公式
主要有：sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2α-sin^2α =1-2sin^2α =2cos^2α-1
tan2α=2tanα/（1-tan^2α）
sin^2α=（ 1-cos2α）/2
cos^2α=（1+cos2α）/2
cos（α-β）=cosβcosα+sinβsinα
cos（α+β）=cosβcosα-sinβsinα
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
tan（α+β）=（ tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）=tanα+tanβ+ tan（α+β）* tanαtanβ
tan（α-β）=（ tanα-tanβ）/（1+ tanαtanβ）

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[-2sinαsinβ]
其他的也是相同的证明方法：
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
=2[sinθ/2cosφ/2+cosθ/2sinφ/2][cosθ/2cosφ/2+
sinφ/2sinθ/2]
=2cosθ/2sinθ/2+2sinφ/2cosφ/2
=sinθ+sinφ
其他的也是相同方法证明：
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

sinA+sinB=2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
sinA-sinB=2*sin[(A-B)/2]*cos[(A+B)/2]
cosA+cosB=2*cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
cosA-cosB=-2*sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2].注意负号
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
coa(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
coa(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
sin2A=2sinAcosA
cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1=1-2(sinA)^2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
(sinA)^2=(1-cos2A)/2

积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
和差化积公式：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2](X-Y)]

化简
1.2sin(π/4-x)sin(π/4+x)=cosx*cosx-sinx*sinx=cos2x;
2.sin(nx-x)cos(nx+x)=1/2{sin[(nx-x)+(nx+x)]+sin[(nx-x)-(nx+x)]}=1/2[sin(2nx)-sin(2x)];
3.cos(mx-x)cos(mx-3x)=1/2{cos[(mx-x)+(mx-3x)]+cos[(mx-x)-(mx-3x)]}=1/2[cos(2mx-4x)+cos2x];
4.2sin(π/6+α)/cosα=2[(sinπ/6)cosα+(cosπ/6)sinα]/cosα=[cosα+√3sinα]/cosα=1+√3tanα.
证明
1.cos(α+β)cos(α-β)=cosα*cosα-sinβ*sinβ
左边=（cos^2α)*（cos^2β)-（sin^2α）*（sin^2β）=（cos^2α)*（1-sin^2β）-（1-cos^2α）*（sin^2β）=cosα*cosα-sinβ*sinβ=右边；
2.sin(α+β)sin(α-β)=sinα*sinα-sinβ*sinβ
左边=（sin^2α）*（cos^2β）-（cos^2α）*（sin^2β）=sin^2α*（1-sin^2β）-（1-sin^2α）*sin^2β=sinα*sinα-sinβ*sinβ =右边；
3.sin(α+β)cos(α-β)=sinα*cosα+sinβ*cosβ
左边=1/2{sin[(α+β)+(α-β)]+sin[(α+β)-(α-β)]}=1/2（sin2α+sin2β）=sinα*cosα+sinβ*cosβ=右边.

sin(A)+sin(B)=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
证明：sin(A)+sin(B)={sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}+{sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
cos(A)+cos(B)=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
sin(A)-sin(B)=2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]
cos(A)-cos(B)=-2sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]
证明同理可得,可以自己试试,
积化和差公式就是上述公式的变形
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)

我们江苏这不要求了
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
相加得:sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB
那么,把A+B看成C,A-B看成D
则有:sinC+sinD=2sin[(C+D)/2]cos[(C-D)/2]
记最好不要记,类似的几个在一起会记混了
用的时候小推一下,也不麻烦啊

tanα+tanβ = （tanα+tanβ ）/(1-tanatanβ)
sin α+tanα=sina(1+cosa)/cosa=2tana*cosa/2^2

一共二十六个

可是这不叫三角函数的和差化积
这叫合角公式
下面才是和差化积
三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2
cosα·sinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2
cosα·cosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2
sinα·sinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2

tan9°-tan27°-tan63°+tan81 =
tg9 + ctg9 - (tg27 + ctg27 ) =
sin9/cos9 + cos9/sin9 - (sin27/cos27 + cos27/sin27) =
1/(sin9cos9) - 1/(sin27cos27) =
2 * [1/sin18 - 1/sin54] =
2 * [1/sin18 - 1/cos36] =
2 * [2cos18/sin36 - 1/cos36] =
2 * [(2cos18cos36 - sin36)/sin36cos36] =
2 * [(2cos18cos36 - cos54)/sin36cos36] =
2 * [(2cos18cos36 - cos18cos26 + sin18sin36)/sin36cos36] =
2 * [(cos18cos36 + sin18sin36)/sin36cos36] =
2 * [cos18/sin36cos36] =
2 * [sin72 / (1/2 * sin72)] =
4
用到了和角公式,不知算不算和差化积.

记不住就自己推,用两角和差的正余弦：
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
这两式相加或相减,可以得到2组积化和差:
相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2
相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
这两式相加或相减,可以得到2组积化和差:
相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2
相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2
这样一共4组积化和差,然后倒过来就是和差化积了
不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

向量M=cosa+isina, 向量N=cosb+isinb
M/N=cos(a+b)+isin(a+b)
=(cosa+isina)/(cosb+isinb)
=(cosa+isina)(cosb-isinb)
=cosacosb+sinasinb+i(sinacosb-cosasinb)
cos(a+b)=cosacosb+sinasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasin

把sina-cosa平方
就是 sina²-2sinacosa+cosa²=1/2
又因为 sina²+cosa²=1
所以 2sinacosa=1/2
把sin α+cos α 平方
则 sina²+2inacosa+cosa²=1+2inacosa=1+1/2 = 3/2
再把 3/2 开方 就为 二分之根号6

f(x)=(3/2)sin wx+(3√3/2)cos wx +1
=3sin(wx+π/3)+1,
周期2π/w=π,∴w=2,
由f(x)=0得sin(2x+π/3)=-1/3,
2x+π/3=2kπ-arcsin(1/3),或(2k+1)π+arcsin(1/3),
a,b 是方程f(x)=0的两个根,a ≠k π+b (k ∈z ) ,
∴2a+π/3+2b+π/3=(4k+1)π,
∴a+b=(2k+1/6)π,
∴tan(a+b)=√3/3.

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.
记住就行了,不用口诀

解:y=sin(π/3-2x)+sin2x
=√3/2*cos2x- 1/2*sin2x+sin2x
= √3/2*cos2x+1/2*sin2x
=sin(π/3+2x)
T=2π/2=π

"奇余偶同,符号看象限”也可以说“奇变偶不变,符号看象限”
2.
和差化积：有相关的口诀
正加正,正在前,余加余,余并肩
正减正,余在前,余减余,负正弦
反之亦然

sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]

积化和差
都化为±1/2[fsin(a+b)±f(a-b)]
同名 f为余弦 异名 为正弦
和差化积
正和正余,正差余正,余和余,余差正

三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2
cosα·sinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2
cosα·cosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2
sinα·sinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2
还有种叫合角公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

可以用来进行因式的对消.从而简化因式,还可以直接求值

积化和差:sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]

积化和差：
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
和差化积：
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

证明：
先通分 再移向 得,
sinαcosα+sinβcosβ=2cosβcosα
（再提取公因式）
(sinα-cosβ)cosα+(sinβ-cosα)cosβ=0
因为α与β是锐角
所以α与β 的余弦值不可能=0
所以sinα-cosβ=0 sinβ-cosα=0
所以sinα=cosβ
cosα=sinβ
所以α=β=45°
所以α+β=90°

和差化积：
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
用于非特殊角的计算

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
sinx+siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)

sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]

仅以sina+sinb为例,其它同理.
sina+sinb=sin[(a+b)/2+(a-b)/2]+sin[(a+b)/2-(a-b)/2]
=sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]+cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]+sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]-cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
=2*sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

和差化积
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
积化和差
sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)]
cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]
sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]
cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]

这种恒等式变换技巧要求太高,超出我能力范围了,不好意思.
看来现在高中越学越变态了.

·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

记忆容易,不必死记,记住cos（A+B),COS(A-B)及sin的展开即可,用的时候脑中想这几个展开即可,简单加减,再乘除1/2即可,用时1、2秒就算出.你自己练一练试几次就熟练了.

1、建议自己推导一遍.是两角和与差的公式推导的.
2、记住的好处是：如遇到难题,有时候用这个公式比较快.但一般用得少
3、要是数学学得好建议记住.要是一般就不要了吧.
希望你满意.祝你愉快

cos(π/3)=1/2
cos(π/5)-cos(2π/5)=1/2
cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)=1/2
都可以用几何证明,画一个角,一直画等腰三角形,直到不能画.把边加起来就可以得证了.比如做∠MON=π/5,做 OA=AB=AC=1,容易证明OB=OC
即：1+2cos(2π/5)=2cos(π/5) ,答案就得出了.还有种容易想到的方法：
sin36°=cos54°
2sinx*cosx=4cosx^3-3cosx (x=18°)
4sinx^2+2sinx-1=0
解出sin18°,其它的就可以解了.
以上属于介绍.下面用裂项求(sin72°=cos18°,-cos126°=sin36°)
cos36°-cos72°=[2sin36°(cos36°-cos72°)]/2sin36°
=(sin72°-cos126°-cos18°)/2sin36°=1/2
cos72°-cos36°=-1/2
2cosxcosy=cos(x+y)+cos(x-y) 这个公式很简单,千万记住.
比如2sinxcosy=2cos(π/2-x)cosy=…,记住这个就相当于记住了全部!
并祝学习愉快.

和差化积的口诀：正弦加正弦,正弦在前面；如sinA+SinB=2sin（A+B）/2 ·COS(A-B)/2
正弦减正弦,正弦在后面,如sinA-SinB=2COS（A+B）/2 ·sin(A-B)/2
余弦加余弦,余弦肩并肩,如COSA+COSB=2COS（A+B）/2 ·COS(A-B)/2
余弦减余弦,余弦看不见,如COSA-COSB=-2Sin（A+B）/2 ·sin(A-B)/2
最后面个注意负号不要掉了!
积化和差：这个反推就行了
三角公式我原来高中就记了几个公式加口诀,ok,所有的题目ok啦!
希望有所帮助!

证明：
很容易,
任取-π/2≤A0,
cos[(B+A)/2]>0,
∴f(B)-f(A)>0,
即f(x)=sinx在[-π/2,π/2]上单调递增.

1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)
4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)
sin(a)sin(b)=-12⋅[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=12⋅[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=12⋅[sin(a+b)+sin(a-b)]
5.二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(b)
cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)
6.半角公式
sin2(a2)=1-cos(a)2
cos2(a2)=1+cos(a)2
tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)
7.万能公式
sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)
cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)
tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)
8.其它公式(推导出来的 )
a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan©=ba
a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan©=ab
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2
1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2

其实很简单,你多看下它们各自的结构,没事的时候多带一些值进去自己验算,自己分拆公式,多弄弄,甚至还可以自己编题给别人做,做题的时候也是要多观察题目给的形式,做点典型的题目,慢慢就有心得了 .想问当年还自己推了一遍正弦公式,用的面积法,其实这些都是相通的,多和它们玩玩就熟了,以后就得心应手了.