有一劣弧长度等于圆正接三角形边长,求他所对圆心角弧度数

BC

BC

AB

AC

AB

AC

（1）证明：连接AC
∵AB=BC，且点A为

BC中点，
∴△ABC为等边三角形，
在AE上截取EF=BE，连接BF，
∵∠AEB=∠ACB=60°，且EF=BE，
∴△EFB为等边三角形，
∵∠ABC=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠EBF，
在△ABF和△CBE中
∵AB=CB
∠ABF=∠CBF
BF=BE
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∴AE=BE+CE．
（2）猜想的结果为：AE=|BE-CE|．
当E点在

AC上则有：AE=BE-CE．
证明：如图，连接AC，
∵AB=BC，且A为

BC中点，
∴△ABC为等边三角形，
在BE上取EF=AE，连接AF，
∵∠AEF=∠ACB=60°，且EF=AE，
∴△EFA为等边三角形，
∵∠BAC=∠FAE=60°，
∴∠BAF=∠EAC．
在△ABF和△ACE中
∵AB=AC
∠BAF=∠EAC
AF=AE
∴△ABF≌△ACE
∴BF=CE，
∴AE=BE-CE．
当E点在

AB上则有：AE=CE-BE．证明方法一样．
所以当点E在优弧

BC上运动时，线段AE、BE、CE之间具有的关系为：AE=|BE-CE|．

点评：
本题考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定．特别是证明一条线段是另外两条线段的和时，通常采用在长线段上截取一段等于其中一条线段，然后证明余下部分等于另一条线段．

圆的半径r=[1/sin1]
∴劣弧AB长度是l=Rα＝
1
sin1×2＝
2
sin1
故答案为：[2/sin1]

点评：
本题考点： 弧长公式．

考点点评： 利用弧长公式l=Rα求圆中的弧长时，一定要注意公式中的角α的单位是弧度．

（1）证明：∵∠D与∠C对同一弧，
∴∠D=∠C．
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°．
∴∠C+∠BAC=90°．
∵∠BAP=∠BDA，
∴∠PAB+∠BAC=90°．
即∠PAC=90°．
故AP是圆的切线．
（2）添加弧BD=弧AB．
∵弧AB=弧BD，
∴∠D=∠BCD．
∵∠DBE=∠DBC，
∴△BDE∽△BDC．
∴BD：BC=BE：BD．
即BD²=BE•BC．
（3）∵AC是半圆的直径，OD⊥BC，
∴∠ABC=∠OHC=90°，OD∥AB．
∵OD⊥BC，
∴点D是弧BC的中点．
∴AD是∠BAC的平分线．
∴AB：BE=AC：CE．
∴AB：AB=BE：CE=2：4=1：2．
∴AC=2AB．
∵AC=2AO=2OD，
∴AB=OD．
即AB与OD平行且相等，
∴四边形ABDO是平行四边形．
∵AO=OD，
∴四边形ABDO是菱形．
∵sinC=AB：AC=1：2，
∴∠C=30°，OD=AB，AB=2
3，AC=4
3，AP=ACtan30°=4．
∵点O，H分别是AC，BC的中点，
∴OH=[1/2]AB=
3，DH=OD-OH=
3．
∵PA是切线，PBC是割线，
∴PA²=PB•PC=PB（PB+BC）．
∴PB=2．
∴PH=PB+BH=5．
∴tan∠DPC=DH：PH=

3
5．

点评：
本题考点： 切线的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，角的平分线定理，平行四边形和菱形的判定等知识点的综合运用．

∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10；
故△PDE的周长为10．

点评：
本题考点： 切线长定理．

考点点评： 此题主要考查的是切线长定理，能够发现△PDE的周长和切线PA、PB长的关系是解答此题的关键．

1年前