因式分解有哪些技巧

因式分解的方法　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。（实际上就是把见到的问题复杂化）

　　注意三原则

　　1 分解要彻底

　　2 最后结果只有小括号

　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 基本方法　　 ⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

　　 ⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

　　完全平方公式：a±2ab＋b＝(a±b）^2；

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

　　公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)

　　例如：a +4ab+4b =(a+2b)^2。

　　（3）分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 [编辑本段]竞赛用到的方法　　 ⑶分组分解法

　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

　　比如：

　　ax+ay+bx+by

　　=a(x+y)+b(x+y)

　　=(a+b)(x+y)

　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

　　同样，这道题也可以这样做。

　　ax+ay+bx+by

　　=x(a+b)+y(a+b)

　　=(a+b)(x+y)

　　几道例题：

　　1. 5ax+5bx+3ay+3by

　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

　　=(5x+3y)(a+b)

　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

　　2. x^3-x^2+x-1

　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

　　=x^2(x-1)+ (x-1)

　　=(x-1)(x2+1)

　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

　　3. x2-x-y2-y

　　解法：=(x2-y2)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y-1)

　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

　　 ⑷十字相乘法

　　这种方法有两种情况。

　　①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

　　图示如下：

　　a b

　　×

　　c d

　　例如：因为

　　1 -3

　　×

　　7 2

　　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

　　所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

　　 ⑸拆项、添项法

　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)．

　　 ⑹配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：x^2+3x-40

　　=x^2+3x+2.25-42.25

　　=(x+1.5)^2-(6.5)^2

　　=(x+8)(x-5)．

　　 ⑺应用因式定理

　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

　　例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

　　 ⑻换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

　　注意:换元后勿忘还元.

　　例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则

　　原式=(y+1)(y+2)-12

　　=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10

　　=(y+5)(y-2)

　　=(x^2+x+5)(x^2+x-2)

　　=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

　　也可以参看右图。

　　 ⑼求根法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，

　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

　　 ⑽图象法

　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.

　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

　　 ⑾主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

　　 ⑿特殊值法

　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则

　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

　　 ⒀待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

　　由此可得a+c=-1，

　　ac+b+d=-5，

　　ad+bc=-6，

　　bd=-4．

　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

　　也可以参看右图。

　　 ⒁双十字相乘法

　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:

　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

　　x、y为未知数，其余都是常数

　　用一道例题来说明如何使用。

　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

　　分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

　　解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

　　x 2y 2

　　① ② ③

　　x 3y 6

　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

　　双十字相乘法其步骤为：

　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。 [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

　　几道例题

　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

　　2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：

　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

　　（分解因式的过程也可以参看右图。）

　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．

　　∵a、b、c是△ABC的三条边，

　　∴a＋2b＋c＞0．

　　∴a－c＝0，

　　即a＝c，△ABC为等腰三角形。

　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)． [编辑本段]因式分解四个注意：　　因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考

　　例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

　　解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

　　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误

　　例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

　　这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

　　分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

　　考试时应注意：

　　在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了

　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

（3）分解因式技巧

1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左边必须是多项式；

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

[编辑本段]

竞赛用到的方法

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x^3-x^2+x-1

解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

图示如下：

×

c d

例如：因为

1 -3

×

7 2

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：x�0�5+3x-40

=x�0�5+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)�0�5-(6.5)�0�5

=(x+8)(x-5)．

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x�0�5+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x�0�5+5x+6的一个因式。(事实上，x�0�5+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

⑻换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.

例如在分解(x�0�5+x+1)(x�0�5+x+2)-12时，可以令y=x�0�5+x,则

原式=(y+1)(y+2)-12

=y�0�5+3y+2-12=y�0�5+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x�0�5+x+5)(x�0�5+x-2)

=(x�0�5+x+5)(x+2)(x-1)．

也可以参看右图。

⑼求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

⑾主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则

x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

也可以参看右图。

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

x、y为未知数，其余都是常数

用一道例题来说明如何使用。

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y�0�5+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。希望能帮到你

你好本方法　　 ⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

　　 ⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

　　完全平方公式：a±2ab＋b＝(a±b）^2；

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

　　公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)

　　例如：a +4ab+4b =(a+2b)^2。

　　（3）分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 [编辑本段]竞赛用到的方法 　　 ⑶分组分解法

　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

　　比如：

　　ax+ay+bx+by

　　=a(x+y)+b(x+y)

　　=(a+b)(x+y)

　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

　　同样，这道题也可以这样做。

　　ax+ay+bx+by

　　=x(a+b)+y(a+b)

　　=(a+b)(x+y)

　　几道例题：

　　1. 5ax+5bx+3ay+3by

　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

　　=(5x+3y)(a+b)

　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

　　2. x^3-x^2+x-1

　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

　　=x^2(x-1)+ (x-1)

　　=(x-1)(x2+1)

　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

　　3. x2-x-y2-y

　　解法：=(x2-y2)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y-1)

　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

　　 ⑷十字相乘法

　　这种方法有两种情况。

　　①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

　　图示如下：

　　a b

　　×

　　c d

　　例如：因为

　　1 -3

　　×

　　7 2

　　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

　　所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

　　 ⑸拆项、添项法

　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)．

　　 ⑹配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：x^2+3x-40

　　=x^2+3x+2.25-42.25

　　=(x+1.5)^2-(6.5)^2

　　=(x+8)(x-5)．

　　 ⑺应用因式定理

　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

　　例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

　　 ⑻换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

　　注意:换元后勿忘还元.

　　例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则

　　原式=(y+1)(y+2)-12

　　=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10

　　=(y+5)(y-2)

　　=(x^2+x+5)(x^2+x-2)

　　=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

　　也可以参看右图。

　　 ⑼求根法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，

　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

　　 ⑽图象法

　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.

　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

　　 ⑾主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

　　 ⑿特殊值法

　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则

　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

　　 ⒀待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

　　由此可得a+c=-1，

　　ac+b+d=-5，

　　ad+bc=-6，

　　bd=-4．

　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

　　也可以参看右图。

祝你愉快

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。（实际上就是把见到的问题复杂化）

你可以在网上找到相关的解说和例题

因式分解的十二种方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1

则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

解：令y= x +2x -5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

因式分解的方法　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。（实际上就是把见到的问题复杂化）

　　注意三原则

　　1 分解要彻底

　　2 最后结果只有小括号

　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 基本方法　　 ⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式

　　 ⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

　　完全平方公式：a±2ab＋b＝(a±b）^2；

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

　　公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)

　　例如：a +4ab+4b =(a+2b)^2。

　　（3）分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 [编辑本段]竞赛用到的方法　　 ⑶分组分解法

　　分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

　　能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

　　比如：

　　ax+ay+bx+by

　　=a(x+y)+b(x+y)

　　=(a+b)(x+y)

　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

　　同样，这道题也可以这样做。

　　ax+ay+bx+by

　　=x(a+b)+y(a+b)

　　=(a+b)(x+y)

　　几道例题：

　　1. 5ax+5bx+3ay+3by

　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

　　=(5x+3y)(a+b)

　　说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

　　2. x^3-x^2+x-1

　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

　　=x^2(x-1)+ (x-1)

　　=(x-1)(x2+1)

　　利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

　　3. x2-x-y2-y

　　解法：=(x2-y2)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y)-(x+y)

　　=(x+y)(x-y-1)

　　利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

　　 ⑷十字相乘法

　　这种方法有两种情况。

　　①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

　　②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

　　如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

　　图示如下：

　　a b

　　×

　　c d

　　例如：因为

　　1 -3

　　×

　　7 2

　　-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

　　所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

　　 ⑸拆项、添项法

　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

　　=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

　　=(c+b)(c-a)(a+b)．

　　 ⑹配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　例如：x^2+3x-40

　　=x^2+3x+2.25-42.25

　　=(x+1.5)^2-(6.5)^2

　　=(x+8)(x-5)．

　　 ⑺应用因式定理

　　对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

　　例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；

　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数

　　 ⑻换元法

　　有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

　　注意:换元后勿忘还元.

　　例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则

　　原式=(y+1)(y+2)-12

　　=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10

　　=(y+5)(y-2)

　　=(x^2+x+5)(x^2+x-2)

　　=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

　　也可以参看右图。

　　 ⑼求根法

　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，

　　则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．

　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

　　 ⑽图象法

　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

　　与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.

　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

　　 ⑾主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

　　 ⑿特殊值法

　　将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则

　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．

　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

　　 ⒀待定系数法

　　首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

　　由此可得a+c=-1，

　　ac+b+d=-5，

　　ad+bc=-6，

　　bd=-4．

　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

　　也可以参看右图。

　　 ⒁双十字相乘法

　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:

　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

　　x、y为未知数，其余都是常数

　　用一道例题来说明如何使用。

　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

　　分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

　　解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

　　x 2y 2

　　① ② ③

　　x 3y 6

　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

　　双十字相乘法其步骤为：

　　①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。 [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：　　①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

　　②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

　　④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”

　　几道例题

　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

　　2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：

　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

　　（分解因式的过程也可以参看右图。）

　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．

　　∵a、b、c是△ABC的三条边，

　　∴a＋2b＋c＞0．

　　∴a－c＝0，

　　即a＝c，△ABC为等腰三角形。

　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)． [编辑本段]因式分解四个注意：　　因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考

　　例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

　　解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

　　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误

　　例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

　　这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

　　分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

　　考试时应注意：

　　在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了

　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。