高考数学中经常涉及一些判断复杂函数的零点个数问题，比如一些超越函数，高等数学中有没有一个统一定理判

高次方程不一定能解，通常有以下两种方法：因式分解在中学数学中占有一个比较重要的位置,但大部分同学对高次多项式的因式分解却比较陌生.这里,我们对一些高次多项式的因式分解的方法作分析介绍.1、高次多项式因式分解的一般方法，2、与首末两项等距离的项的系数相等的高次多项式的因式分解的方法，

高次方程因式分解技巧：1.提取公因式法。2、分组分解法。3、十字交叉法。4、公式法。5、试根法。6、高次降幂法。

降次

试根法高中数学中关于三次方程的解通常不会太复杂，不会用到卡尔丹公式，而是多用试根法也就是说通常其中一个解为-2、-1、-1/2、1/2、1、2中的某一个数，将这些数一一带入验证，就可以找到其中一个解x1，进而可以将三次方程分解成(x-x1)(ax²+bx+c)的形式

（1）对原式分解得x^2(x-1)+3(x-1)(x+1)=(x-1)(x^2+3x+3

解：3x^3+2x^2+1=03x^3+3x^2-x^2+1=03x^2(x+1)-(x-1)(x+1)=0(3x^2-x+1)(x+1)=0由x+1=0得x=-1,或3x^2-x+1=0，△=1-12=-11＜0即方程无解所以3x^3+2x^2+1=0的解为x=-1

九年级数学上册第一单元一元二次方程知识点讲解及习题练习本次课程我们专门来讲一下一元二次方程，为帮助大家很好掌握知识，咱们结合一元一次方程来进行相关的讲解，回味旧知识，学好新内容！1 你要认识的概念长相特征回忆旧知识：一元一次方程：含有一个未知数，未知数最高次数为1的等式为一元一次方程。例如：4x+4=0为关于x的一元一次方程。在旧知识的基础上改进，学习新知识：一元二次方程：首先必须是等式，其次是含有一个未知数，再次未知数的最高次数必须为2，这个方程就是关于某个未知数的一元二次方程。方程举例例如：x^2+1=0为一元二次方程，再如：a^2-4a+4=0为关于a的一元二次方程。学习就像交朋友一样，首先记住“朋友的长相”，才能接着向下进行相关的交流哦！2 你要处理的内容即考点概念你清楚了，接下来我们来说一下这一节中的考点：a 通过长相，判断是否为一元二次方程b 求解方程的解（根）怎么求方程的解呢？方法比较简单，通过移项，把等式右边变为零，等式左边进行因式分解求解。或者保持原来式子不动，进行配方求解。如果关于x的方程有两个解，我们通常记为x1和x2。下面给出四道题目进行讲解：1 x^2+x=0提取公因数x进行降次求解：x(x+1)=0，解为x1=0，x2=-12 x^2+4x+4=0完全平方和，(x+2)^2=0解为x=-23 x^2-4x-5=0十字相乘因式分解：(x+1)(x-5)=0，解为x1=-1，x2=54 x^2-15=0平方差公式因式分解，解为正负根号十五。利用原理：拆成两个数相乘为零的形式，进行相关的求解。（原理：xy=0，x=0或者y=0)c 究竟选择什么方法解方程一般能够因式分解的，首选因式分解解方程，实在不行考虑其他方法。这次课我们重点练习因式分解解方程，下次课讲解其他方法解方程！d 为何选择因式分解进行求解一般来说，对于高次方程都是采用降次进行因式分解求解的。分解为两个数相乘为0的形式进行求解，达到降次的目的。当然一元二次方程因式分解不是唯一的出路。时间关系我们侧重讲解因式分解解方程。3 习题练习先判断下列方程是否为一元二次方程，如果不是说明理由，如果是用因式分解法求方程的解：1 x^2=02 a+b^2=33 a+55=04 a^2+8a+16=05 x^2+8x-9=06 x^2+3x+2=07 x^2+3.5x+3=08 2x^2+x=19 3x^2+12x+12=010 3x^2+1=3x^2+x4 参考答案1 直接利用平方差公式即可。x=02 不是一元二次方程，因为其含有两个未知数a和b。3 不是一元二次方程，因为其最高次数为1次。4 直接利用完全平方和公式进行求解即可。a=-45 十字相乘因式分解即可。参考答案：x1=1，x2=-9。详细过程见下图：6 十字相乘因式分解即可。x1=-1，x2=-27 十字相乘因式分解：x1==2，x2=-3/28 十字相乘因式分解：x1=-1，x2=1/29 提取公因数以后进行完全平方公式的使用即可。x=-210 进行合并同类项，x=1不是一元二次方程，其最高次为1次。本次课程咱们就先讲到这里了，下次课再见！！！本次课程结束后，希望你能够学会一元二次方程的相关解法，结合一元一次方程来学习一元二次方程，一箭双雕！声明：本文为尖子生数理化教育的原创文章，未经作者同意不得进行相关的转载，翻版必究！！！

因式分解,可以降高次方程为低次方程: 例某4次方程分解后变为：47(aaxx+bx+c)(ex+f)(dx+g)=0 则只需要分别解以下各方程的 aaxx+bx+c＝0 ex+f＝0 dx+g＝0 得到原有方程的所有解

x的三次方减1分解因式为(x-1)*(x^2+x+1)。解：x^3-1=x^3-x^2+x^2-x+x-1=(x^3-x^2)+(x^2-x)+(x-1)=x^2*(x-1)+x*(x-1)+(x-1)=(x-1)*(x^2+x+1)即x^3-1可因式分解为x^3-1=(x-1)*(x^2+x+1)。因式分解与解高次方程有密切的关系：对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法，在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数，结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（a+1）(a*a-a-2)=(a+1)(a+1)(a-2)

方程的种类很多，不知LZ要解哪一种？对于代数方程来说：如果是多元方程，需要有“组”才能确定唯一的未知数的值。对于一次的解法有加减消元、代入消元、顺序消元（计算机常用）等。分式、无理等要化成整式再加减，代入等等。。。最后可能会是一个高次的。总之思想是多元化一元，分式、无理式化整式、高次化低次等等，最后解一个一元方程即可如果是一元方程，那么要化为整式，分清楚次数，按照不同次数对应的解法（公式）解。例如：一元一次方程：　　（1）有括号就先去掉　　（2）移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到另右边　　（3）合并同类项：使方程变形为单项式　　（4）方程两边同时除以未知数的系数得未知数的值一元二次方程：配方，然后开方；化为标准式AX方+BX+C=0，再用求根公式。对于一元高次方程，五次以下的一般方程都有公式解，使用时只要化为一般式的形式再把系数代入即可。五次及以上的，只有特殊形式的方程才有公式解。此外，对于一元高次方程还有因式分解法、配方法、猜根法等等解法，但只适合简单的。以上说的都是精确解法，还有求近似解的例如二分法、迭代法等等很多。非代数方程：如超越方程、微分方程（组）LZ可参考相关资料，太多了，一言难尽

关于三次方程，一个解需要自己猜出来，一般都是1或2这种比较容易猜的。例如这题，1就是这题的一个解。所以一部分就是x-1 另外的就将他都设为未知的，连起来就是（x-1）(ax²+bx+c)=0,之后再把他乘出来就是ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c=0之后和题目上的一一对应。所以a=1,b-a=-5,c-b=8,-c=-4所以a=1,b=-4,c=4  原式就是(x-1)(x²-4x+4)=0 所以x=1或x=2

这个方程用配方法解答一共需要六步，步骤如下：1.移项。移项的时候要把常数项移到等号的右边去，注意移项要变号。2.二次项系数化为1。注意每一项都要除以二次项系数。3.两边加上一次项系数一半的平方。注意两边都要加，同时别忘了是平方。4.配方。这一步是形式上的转换，用因式分解的方法形成。5.降次。这是所有解高次方程的思想，别忘了右边是平方根，存在两种情况。6.解出一元一次方程。注意得到两种情况，对应的是两个一元一次方程，都要解出来。   以上是用配方法解一元二次方程的具体步骤。补充以下几点：（1）当题目要求用配方法解一元二次方程时，可以按照这个步骤来进行思考。（2）在第五步降次时，要考虑到等号右边的数不能是负数，因为负数没有平方根，所以右边是负数时，原一元二次方程就无实数解。（3）如果把一元二次方程的一般式按照这个步骤进行解答时，你就可以得到一元二次方程的求根公式，这样便于你记忆公式。

4x^2-144=04(x^2-36)=04(x+6)(x-6)=0x=6or-6

(3A+2B+C)X+D

因式分解在初二，初三，一直到高中，和大学都有用。

解：x三次方+x平方-5x+3=0x^3+x^2-2x-(3x-3)=0x(x^2+x-2)-3(x-1)=0x(x+2)(x-1)-3(x-1)=0(x-1)(x^2+2x-3)=0(x-1)(x+3)(x-1)=0所以，方程的根为：x1=x2=1,x3=-3

r^4 - 1 = 0 ==> (r^2-1)*(r^2 + 1) = 0 ==>(r-1)(r+1)(r-i)(r+i) = 0 ==>r = 1,-1,i,-i不知是不是这个问题。。

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。举例：x²-5x+4=0(x-4)(x-1)=0所以x1=4，x2=1

定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。 相关结论：基本结论：分解因式为整式乘法的逆过程。高级结论：在高等代数上，因式分解有一些重要结论，在初等代数层面上证明很困难，但是理解很容易。1）因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。2） 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x⁴+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。)3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。

原式=（2x-y)(x+3y)-x+11y-6

假如你是高中生，或许我有办法。（老师就是这么教我们的）第一步：猜测一个特殊解，如“x=2”代入方程正好满足第二步：提取公因式（x-2）原式即为(x-2)6x^2 -(x-2)7x+(x-2)2第三步：合并： （x-2）（6x^2-7x+2）解题详细：第一步中(x-2)6x^2比原来的6x^2少了12x^2，所以原来的-19x^2就加上12x^2而变成-7x^2,其余的以此类推。

手算

一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。相关概念1、含有未知数的等式叫方程，也可以说是含有未知数的等式是方程。2、使等式成立的未知数的值，称为方程的解，或方程的根。3、解方程就是求出方程中所有未知数的值的过程。4、方程一定是等式，等式不一定是方程。不含未知数的等式不是方程。5、验证:一般解方程之后，需要进行验证。验证就是将解得的未知数的值代入原方程，看看方程两边是否相等。如果相等，那么所求得的值就是方程的解。6、注意事项:写"解"字，等号对齐，检验。7、方程依靠等式各部分的关系，和加减乘除各部分的关系(加数+加数=和，和-其中一个加数=另一个加数，差+减数=被减数，被减数-减数=差，被减数-差=减数，因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数)。

一元二次方程最简单解法：因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。数学中用以求解高次一元方程的一种方法。把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3．其他公式：(1)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2。

除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下： 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。 对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。 利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。如f(x）=x^3+x+1,移项得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1,y1的导数y1"=3x^2+1,得y1"恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0时，盛金公式3不存在开方；当Δ=0(d≠0)时，卡尔丹公式仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2-3ac；B=bc-9ad；C=c^2-3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。以上盛金公式解法的结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。

2(t-1)^2+8t=0(t-1)^2+4t=0t^2-2t+1+4t=0t^2+2t+1=0(t+1)^2=0t+1=0t=-1

因为写正负的目的是有两个根前面已经写±号了，再写±号没有任何用处哦如：±（±2）还是等于±2

1-x^n因式分解如下：=1^n-x^n=(1-x)[1+x+x^2+x^3+..+x^(n-1)]因式分解的作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。

对不起，我已遗忘

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 根式：若x^n=a，则x叫做a的n次方根，记作n√a＝x，n√a叫做根式。

一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以 此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 •2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a• a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方 根，即可选出答案。 课外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 次的整式方程。 一般形式为 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它 的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次 方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。 在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中 之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公 式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种 不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次 给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的 数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学 家还在方程的研究中应用了内插法

会解一元二次方程即可含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c<0（a不等于0）其中ax²+bx+c是实数域内的二次三项式。一元二次不等式的解法解法一解法二解法三解法四有四种解法最快回答，望采纳，谢谢有问题，可以追问

一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2.的整式方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)²=7（2）9x²-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)²，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解：(3x+1)²=7∴3x+1=±7(注意不要丢解)∴x=（±7-1）÷3∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x²-24x+16=11∴(3x-4)²=11∴3x-4=±11∴x=（±11+4）÷3∴原方程的解为x1=x2=2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c将二次项系数化为1：x²+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+x+()²=±()²方程左边成为一个完全平方式：(x+)²=当b²-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2将二次项系数化为1：x²-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-x+()²=+()²一元二次方程的解法：一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m±.2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c将二次项系数化为1：x²+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+x+()²=±()²方程左边成为一个完全平方式：(x+)²=当b²-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式)3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b2-4ac≥0时，x+=±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x===∴原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4．用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学）(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解：2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)∴x1=0，x2=-是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。(3)解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=-是原方程的解。(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）(x-2)(x-2)=0∴x1=2,x2=2是原方程的解小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。例5．用适当的方法解下列方程。(选学）（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0（2）x2+(2-)x+-3=0（3）x2-2x=-（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。（3）化成一般形式后利用公式法解。（4）把方程变形为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0(5x-5)(-x+13)=0∴x1=1,x2=13（2）解：x2+(2-)x+-3=0[x-(-3)](x-1)=0x-(-3)=0或x-1=0∴x1=-3，x2=1（3）解：x2-2x=-x2-2x+=0(先化成一般形式)△=(-2)2-4×=12-8=4>0∴x=∴x1=,x2=（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=04x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=02x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0∴x1=,x2=例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。(选学）分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法）解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0即(5x-5)(2x-3)=0∴5(x-1)(2x-3)=0(x-1)(2x-3)=0∴x-1=0或2x-3=0∴x1=1,x2=是原方程的解。例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0解：x2+px+q=0可变形为x2+px=-q(常数项移到方程右边)x2+px+()2=-q+()2(方程两边都加上一次项系数一半的平方)(x+)2=(配方)当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）∴x=-±=∴x1=,x2=当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p,q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。

一、1. x(12x+8)=0----x=0或12x+8=0----x=0或x=-2/3 2. 7x(x-3)+2(x-3)=0----(x-3)(7x+2)=0--x-3=0或7x+2=0--x=3或x=-2/7 3.(x-3)^2=0---x1=x2=3 4.(x+1)^2=3^2--x+1=3----x1=x2=2 5.[(4y-3)+(5y+1)][(4y-3)-(5y+1)]=0--(9y-2)(-y-4)=0--9y-2=0或-y-4=0 y=2/9或y=-4二、这类题一般是把各方程化为一般式，再用判别式，大于0就有两个不等实根，等于0就有两个相等实根，小于0无实根

如果你不回一元一次的话,最好不要学一元二次

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。【圆的平面几何性质和定理】[编辑本段]一有关圆的基本性质与定理 ⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。 ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理 ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。 切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。〖有关圆的计算公式〗1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr^2;/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl【圆的解析几何性质和定理】[编辑本段]〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实不用这样算 太麻烦了 只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为

分式无意义时不能约分通分，如果你约掉无意义的项分式的性质就会发生变化；等于0时可以约分，但要注意：不能约去等于0的项；有意义时可以约分，没有限定。

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这道题并没有什么好的简便算法就先算乘法，再算加法就可以了

4升油等于7.2斤。油是多种非常不同的物质的日常统称，因此它的分类并不系统，一般人们按它的来源、用途等分类，化学上生物油属甘油，它们与脂肪的区别在于它们的熔点比脂肪低。4升油等于多少斤许多植物油被用来食用(比如菜油、橄榄油等)，动物油中用作食用油的相对来说比较少(比如鱼肝油)，动物油与脂肪的区分也不十分明确。矿物油主要是从地下开采出来的石油，其主要组成部分是烷烃，大自然中的原油大多数含有杂物，除少数例外外都含有比较多的硫和其它物质。硅油是由硅和氧组成的半有机的高分子和非均相高分子化合物，它们的优点是不易氧化，硅油除被用作润滑剂外还在化妆工业被大量使用。

做题之后加强反思。 学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。 如何才能提高高三数学成绩 1.首先，学生们最好每次上课之前对课本上的内容进行简短地预习，这样对将要学习的知识点有个笼统的了解，标志出自己预习时不懂不太理解的内容，便于在老师上课时学生进行提问，有效解决学生学习问题。 2.其次，学生在上课时一定要勤于记笔记，对老师所讲内容要具有针对性，做到“取其精华，去其糟粕”。对于数学题目的解法，有时不能光靠脑子，一定要经过周密的笔头计算才能够发现其中的难点并且掌握化解方法，最终得到正确的计算结果。 3.接着课后一定要对老师所讲的内容进行不断练习巩固，把课堂把课堂例题反复演算几遍。加强课后练习，除了作业之外，找一本好的参考书，尽量多做一下书上的练习题(尤其是综合题和应用题)。熟能生巧，这样才能巩固课堂学习的效果，使你的解题速度越来越快。 4.学习数学要善于总结归类，寻找不同的题型、不同的知识点之间的共性和联系，把学过的知识系统化。举个具体的例子：高一代数的函数部分，我们学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等好几种不同类型的函数。但是把它们对比着总结一下，你就会发现无论哪种函数，我们需要掌握的都是它的表达式、图象形状、奇偶性、增减性和对称性。那么你可以将这些函数的上述内容制作在一张大表格中，对比着进行理解和记忆。在解题时注意函数表达式与图形结合使用，必定会收到好得多的效果。

惟妙惟肖 → 宵衣旰食 → 食不甘味 → 味同嚼蜡 → 拉拉扯扯 → 扯纤拉烟 → 烟波浩渺 → 渺无人踪→ 总而言之 → 之乎者也 → 野心勃勃 → 勃然大怒 → 怒不可遏 → 遏云绕梁 → 梁上君子

一升柴油约等于1.68斤。车用柴油的体积：V=1L，车用柴油密度：ρ=0.84g/ml，根据公式质量(m)=体积(V)x密度(ρ)进行计算，即m=Vxρ=1Lx0.84g/ml=840g=1.68斤。柴油的性能：轻质石油产品，是复杂的烃类混合物，碳原子数约10～22混合物。为压燃式发动机（即柴油机）燃料。主要由原油蒸馏、催化裂化、热裂化、加氢裂化、石油焦化等过程生产的柴油馏分调配而成（还需经精制和加入添加剂）；由原油、页岩油等经直馏或裂化等过程制得。根据原油性质的不同，有石蜡基柴油、环烷基柴油、环烷-芳烃基柴油等。柴油的用途高速柴油机（汽车用）比汽油机省油，柴油需求量增长速度大于汽油。柴油机较汽油机热效率高，功率大，燃料单耗低，比较经济，故应用日趋广泛。由于高速柴油机燃料耗量(50～75g/MJ)低于汽油机(75～100g/MJ)，使用柴油机的大型运载工具日益增多。柴油广泛用于大型车辆、铁路机车、船舰。主要用作柴油机的液体燃料，柴油具有低能耗、低污染的环保特性，所以一些小型汽车甚至高性能汽车也改用柴油。它主要作为拖拉机、大型汽车、内燃机车及土建、挖掘机、装载机、渔船、柴油发电机组和农用机械的动力，是柴油汽车、拖拉机等柴油发动机燃料。

分式无意义,分母;分式的值为零时,分子;据此求得,的值;然后将其代入所求的代数式求值.解:根据题意知,,即;,即,则.故答案是:.本题考查了分式有意义的条件,分式的值为零的条件.分式的值为零,分子为零,且分母不为零;分式无意义,分母为零.

当然,上课要认真听讲,掌握计算公式,然后还要仔细、认真等，祝你成功！~

放任自流 流言蜚语 语重心长 长治久安 安如泰山 山穷水尽 尽力而为 为人师表 表里不一 一字千金 金榜提名 名正言顺 顺水人情 情窦初开 开天辟地 地大物博

认真上课认真上课!

那就是0啊.

圆锥的侧面展开是扇形，所以根据扇形的面积计算公式得到圆锥侧面积=πLR（L是圆锥的母线长，R是圆锥半径）全面积=πLR+πR的平方L为圆锥的高加圆锥半径的平方和开方