x的立方-4xy的平方-2x的平方y+8y的立方 因式分解

如图

3（b＋c）（a b）（a c）

4a^3b^2-10a^2b^3c+2ab提取公因式2ab=2ab(2a^2b+5ab^2c+1)

a³-b³=（a-b）（a²＋ab＋b²）

用多项式展开慢慢乘!初二学数学要多动笔! (x-y-z)(xx+yy+zz-2xy-2xz+2yz)

9a的立方b-ab这样因式分解9a的立方b-ab=ab（9a的平方-1） ——提取公因式ab=ab【（3a）的平方-1】=ab（3a+1）（3a-1） ——运用平方差公式

（a＋1）×（a²－a＋1）

。。不明白

x的立方等于1， x的平方加上x加1等于3。解析：因为 x^3=1，所以 x=1，所以 x^2+x+1=1^2+1+1=1+1+1=3。

可以在百科中搜三次方程. 一元三次方程求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型. 　　一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式.归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和.归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B.方法如下： 　　（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 　　（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) 　　（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得 　　 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知 　 　（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化简得 　　（6）A+B＝－q,AB＝-(p/3) ^3 　　（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即 　　（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a 　　(9)对比（6）和（8）,可令A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-(p/3)＝c/a 　　(10)由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为 　　y1＝（－b＋（b－4ac）^(1/2)）/(2a) 　　y2＝（－b－（b－4ac）^(1/2)）/(2a) 　　可化为 　　(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)-(c/a))^(1/2) 　　y2＝－(b/2a)+((b/2a)-(c/a))^(1/2) 　　将(9)中的A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-(p/3)＝c/a代入（11）可得 　　(12)A＝－(q/2)-((q/2)＋(p/3)^(1/2) 　　B＝－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2) 　　(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 　　(14)x=（－(q/2)-((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3) 　 　式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了 但是,如果出现了复数的形式,由于三根不分主次,将会有9个结果,其中6个是错误的.公式可如下改良： 　　令k=(-q/2+√((q/2)+(p/3)))^(1/3),则 　　y1=(3k-p)/(3k) 　　y2=(3k^2w-p)/(3kw) 　　y3=(3k^2w^2-p)/(3kw) 卡尔丹公式的缺陷 三次方程x^3-7x+6=0 　　用因式分解法得 　　(x-1)(x-2)(x+3)=0 　　三个根为1,2,-3 　　应用公式求出的A,B为虚数,将得到非常复杂的算式,导致无法计算出解 编辑本段三次方程的其他解法 　　除了上文中的卡尔丹公式解法,三次方程还有其它解法,列举如下： 1.因式分解法 　　因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解．当然,因式分解的解法很简便,直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0 　　对左边作因式分解,得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1. 2.另一种换元法 　　对于一般形式的三次方程,先用上文中提到的配方和换元,将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简,得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入,得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x. 3.盛金公式解题法 　　三次方程应用广泛.用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性.范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法． 盛金公式 　　一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0）. 　　重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd, 　　总判别式：Δ=B^2－4AC. 　　当A=B=0时,盛金公式①： 　　X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c. 　　当Δ=B^2－4AC>0时,盛金公式②： 　　X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； 　　X2,3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a), 　　其中Y1,2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2,i^2=－1. 　　当Δ=B^2－4AC=0时,盛金公式③： 　　X1=－b/a＋K； 　　X2=X3=－K/2,　 　　其中K=B/A,(A≠0). 　　当Δ=B^2－4AC<0时,盛金公式④： 　　X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； 　　X2,3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a), 　　其中θ=arccosT,T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,－1<t<1). 盛金判别法 　　①：当A=B=0时,方程有一个三重实根； 　　②：当Δ=B^2－4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根； 　　③：当Δ=B^2－4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根； 　　④：当Δ=B^2－4AC<0时,方程有三个不相等的实根. 盛金定理 　　当b=0,c=0时,盛金公式①无意义；当A=0时,盛金公式③无意义；当A≤0时,盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时,盛金公式④无意义. 　　当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值?盛金定理给出如下回答： 　　盛金定理1：当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0（此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立）. 　　盛金定理2：当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）. 　　盛金定理3：当A=B=0时,则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）. 　　盛金定理4：当A=0时,若B≠0,则必定有Δ＞0（此时,适用盛金公式②解题）. 　　盛金定理5：当A＜0时,则必定有Δ＞0（此时,适用盛金公式②解题）. 　　盛金定理6：当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0（此时,适用盛金公式①解题）. 　　盛金定理7：当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时,适用盛金公式③解题）. 　　盛金定理8：当Δ＜0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值.（此时,适用盛金公式④解题）. 　　盛金定理9：当Δ＜0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1＜T＜1. 　　显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题. 　　注意：盛金定理逆之不一定成立.如：当Δ＞0时,不一定有A＜0. 　　盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义.任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解. 　　当Δ=0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方.与卡尔丹公式相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观.重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子,由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子）,其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美. 盛金公式出处 　　以上盛金公式的结论,发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷,第2期；1989年12月,中国海南.国内统一刊号：CN46-1014）,第91—98页.范盛金,一元三次方程的新求根公式与新判别法.</t<1).

你说的就是立方和公式和立方差公式。x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)

把a-b,b-c,c-a看成整体原式=(a-b+b-c)[(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2]+(c-a)^3=(a-c)[(a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2]=(a-c)[(a-b)(a-b-b c) +(b-c+ a-c)(b-c-a+c)]=(a-c)(a-b)(-3b 3c)=-3(a-c)(a-b)(b-c)

JKL

x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)

ab(a+b)(a-b)

a^3b+2a^2b^2+ab^3 =ab(a^2+2ab+b^2) =ab(a+b)^2 a^3表示立方 （a+b)^2表示（a+b)的平方

a+b =a+ab-ab-ab+ab+b =a(a+b)-ab(a+b)+b =(a+b)(a-ab+b)

这是一个常用公式 1的立方+2的立方+……+n的立方=ss=n平方*（n+1）的平方/4

这其实可以说是一个公式，只是书上好像没怎么出现a的立方+b的立方+c的立方=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）+3abc所以（a的立方）+（b的立方）+（c的立方）-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）

=（a-b）（a^2+ab+b^2）

立方和公式分解:8+x^3=(2+x)(4-2x+x^2)立方差公式分解:0.125-27b^3=(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b^2))

(2x-y)的立方不用再分解了，已经最简了

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

x³+8y³=(x+2y)(x²-2xy+4y²)x³-8y³=(x-2y)(x²+2xy+4y²)

a^3+b^3+c^3-3abc =[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc =[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc) =(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

这是完全立方公式a³-1=(a-1)(a²+a+1)a³+1=(a+1)(a²-a+1)

1、原式=x(x³-y^63)=x(x-y^21)(x²+xy^21+y^42) 2、原式=3（27+x³)=3(3+x)(9-3x+x³) 3、原式=y(y³-8)=y(y-2)(y²+2y+4) 4、原式=x²(x³+y³)=x²(x+y)(x²-xy+y²) 5、原式=2（9a²-25)=2(3a+5)(3a-5)

=（1-x)(1+x+x²)

a^3+b^3+c^3-3abc =[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc =[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc) =(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) 二个公式： a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) (a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2

x(x+1)(x-1)

解:原式=a方b-9b-(a立方-9a)=b(a方-9)-a(a方-9)=(b-a)(a方-9)=(b-a)(a＋3)(a-3)。

a³b²-2a²b³=a²b²(a-2b)

a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）

您好：8a立方b+8a平方b平方+2ab立方=2ab(4a²+4ab+b²）=2ab(2a+b)² 如果本题有什么不明白可以追问，如果满意请点击右下角“采纳为满意回答”如果有其他问题请采纳本题后，另外发并点击我的头像向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。O(∩_∩)O，记得采纳，互相帮助祝学习进步！

3x³一2x²一1＝3x³－3x²＋x²－1＝3x²（x－1）＋（x＋1）（x－1）＝（x－1）（3x²＋x＋1）

1a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3ab-3bc-3ca)=3*(9-6-6-6)=-272（m+1)^2(m^2-m+1)^2(m^6-m^3+1)^2(最后应该有平方)=(m^3+1)^2(m^6-m^3+1)^2=(m^9+1)^23根号在什么位置不明确,没办法做

4xy^2-4x^2y-y^3=-y(4x²-4xy+y²)=-y(2x-y)²-a+2a^2-a^3=-a(a²-2a+1)=a(a-1)²

（a²-b²）（a+b）-（a-b）³原式=（a+b）（a-b）（a+b）-（a-b）³ =（a-b）（a+b）²-（a-b）²（a-b） =（a-b）[（a+b﹚²-﹙a-b）²] = 4ab（a-b）

3x³y-27xy³=3xy（x²-9y²）=3xy（x+3y）（x-3y）

能（1-3）平方乘（1-3）分解平方.望采纳!

古今，古人 ，古代，远古，古诗，古董，古怪

高中数学经典的解题技巧和方法（不等式）【编者按】不等式是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。首先，解答不等式这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2．一元二次不等式（1）会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。（2）了解二地一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。（3）会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。4．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程。[来源:学科网]（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。好了，搞清楚不等式的基本内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。一、不等式的求解问题考情聚焦：1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现。2.常考查一元二次不等及可转化为一元二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主，属中档题。解题技巧：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化为一般形式，再求相应一元二次方程的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集。2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解。3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。例1：（2010·全国卷Ⅰ文科·T13）)不等式的解集是 .【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法【思路点拨】首先将因式分解，然后将化为三个因式乘积的形式，采用“序轴标根法”即穿根法求解集.【规范解答】，数轴标根得：【答案】二、不等式恒成立问题考情聚集：1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点，在各省市高考中占较大比重且点重要的位置。2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题，多以解答题的形式出现，属中档偏上题目。解题技巧：求解不等式恒成立问题的常用思想方法：1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。3.数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。例2：已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.(1)求f(1);(2)求f(x)的表达式；(3)设,定义域为D，现给出一个数学运算程序：若xn∈D,则运算继续下去；若xnD,则运算停止.给出, 请你写出满足上述条件的集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（满分13分）解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,∴f (1)=8.(2)设f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,对x∈R恒成立,∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.(3)由g(x)=由题意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5无意义，故D={,,-,-1}三、线性规划问题考情聚焦:1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能,是各省市高考的重点.2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题，多以选择、填空题形式出现。解题技巧：1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.例3: （2010·安徽高考文科·T8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（ ）（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。【思路点拨】由约束条件画可行域确定目标函数的最大值点计算目标函数的最大值【规范解答】选C．约束条件表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别是，目标函数在取最大值6，故C正确．【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．四、利用基本不等式求最值问题考情聚焦:1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法,为近几年各省市高考的热点.2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题，多以中档题形式出现.例4: （2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1)当时，,, =（2）当时，由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。（3）由（2）知：=由得：，令则，即：。同理，由得：另一方面，当且仅当，即=时，取等号。由（1）知=时h甲=h乙所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。

tanx泰勒展开式推导过程是：tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+...+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!+......(|x|<π/2)【注：B(2n-1)是贝努利数】。定义：数学中， 泰勒公式是一个用 函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够 平滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒中值定理：（1）泰勒公式是将一个在x=x 0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x 0)的n次多项式来逼近函数的方法。（2）若函数f(x)在包含x 0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式： 其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x 0处的泰勒展开式，剩余的R n(x)是泰勒公式的余项，是(x-x 0) n的高阶无穷小。

tan120度=tan(180度-60度)=-tan60度=负根号3拓展资料：三角函数是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的方程是：x2+y2=1

不 对 在底数a>1时,指数相同时,底数越大,函数值越大

柴油的密度范围为0.810～0.855，不同型号的密度不同。常用如：0＃柴油0.84公斤/升、＋10＃柴油0.85公斤/升、＋20＃柴油0.87公斤/升、－10＃柴油0.84公斤/升、－20＃柴油0.83公斤/升、－30＃柴油0.82公斤/升、－35＃柴油0.82公斤/升，通常柴油密度以0.84计算90#汽油0.722公斤/升 93#汽油0.725公斤/升 97#汽油0.735公斤/升

你好，你说的这个病不是成语的，有固定的结构和一定的意义。古字开头的成语有不少日常生活中比较常用的有古色古香，古往今来，古为今用，古道热肠。

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域. 点拨：根据算术平方根的性质,先求出√(2－3x) 的值域. 由算术平方根的性质,知√(2－3x)≥0, 故3+√(2－3x)≥3. ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性,即：（1）被开方数的非负性,（2）值的非负性. 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法. 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.（答案：值域为：｛0,1,2,3,4,5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数,再求出其定义域. 显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝. 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一. 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域.（答案：函数的值域为｛y∣y1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域. 点拨：将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求. 由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1,2].此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0,9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法. 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域. 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域. 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域. 将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0,解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解.∴函数的值域为2＜y≤10/3. 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数. 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域.（答案：值域为y≤－8或y>0）. 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域. 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域. 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域. ∵3x2+x+1＞0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得－1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小. 当x=-1时,z=－5；当x=3/2时,z=15/4. ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝. 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域. 练习：若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A．（－∞,＋∞） B．[－7,＋∞] C．[0,＋∞） D．[－5,＋∞） （答案：D）. 六．图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域. 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域. 点拨：根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象. 原函数化为 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-12) 它的图象如图所示. 显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,＋∞]. 点评：分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法. 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域. 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域. 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域. 点拨：由已知的函数是复合函数,即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域. 设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝. 点评：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域. 练习：求函数y=3+√4-x 的值域.(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域. 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域. 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域. 设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1). 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝. 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛. 练习：求函数y=√x-1 –x的值域.（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合. 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域. 点拨：将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域. 原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位 正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 . 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共 线时取等号. ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝. 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷.这是数形结合思想的体现. 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域.（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域. 例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域. 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数. 由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1. 当k=－3/5时,x=3/5,y=－4/5时,zmin=1. 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识. 练习：已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域. 点拨：将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和. y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1). ∵1/(x+1)≠0,故y≠3. ∴函数y的值域为y≠3的一切实数. 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法. 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式. 易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得,0＜x1或y

不 对 在底数a>1时,指数相同时,底数越大,函数值越大