求函数在给定区间上的最值

可以约去,理由就是无穷小在自变量趋近于极限点的过程中,并不等于0,所以分子分母约去一个不为0的公因式,值不变.例如lim（x→3）（x（x-3）/（x-3））这个分式的极限.这个分式的分子分母都有公因式x-3,当x→3的时候,x-3的极限是0,是无穷小.求极限就是x在x=3附近的邻域（不包括x=3这个点）无限接近3的时候,函数式的变化趋势.所以在求极限的过程中,x是在x=3附近（不包括x=3这个点）的邻域内取值的.这时候x-3≠0,所以可以约分.得到lim（x→3）（x（x-3）/（x-3））=lim（x→3）（x）=3

抓大头”的方法是一种简化极限计算过程的方法，主要针对的是有理分式函数的极限。其实不这样做，同学们也会求有理分式函数的极限，但有了这种方法，可以让我们思路更开阔，求解更简洁顺畅。如果熟练度不够，可以多去寻找这类题目做，熟能生巧。

水平渐近线和铅直渐近线的原理就是就是这个函数的图形在坐标上的倾斜角趋近于0或者90度。

(2) 积分函数 f(x) = (x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]用待定系数法，设分拆成以下有理分式 f(x) = A/(x-1) + B/(x+1) + C/(x+1)^2通分得 f(x) = [A(x+1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x-1)] / [(x-1)(x+1)^2]= [(A+B)x^2 + (2A+C)x + (A-B-C)] / [(x-1)(x+1)^2]与原式比较，分母同，分子中 x 同次幂的系数必然相同，得A+B = 1, 2A+C = 0, A-B-C = 1, 联立解得 A = B = 1/2, C = -1,则 f(x) = (1/2)[1/(x-1) + 1/(x+1)] - 1/(x+1)^2另题简单，仿做即可。

极点有限，所以非周期！

有理式分为整式和分式，整式包括单项式和多项式，如果将单项式看作特殊的多项式，可以将整式看作就是多项式。当函数解析式是整式是称为有理整函数，当函数解析式是分式时称为有理分式函数

关于MATLAB的数值积分 - [MATLAB应用]函数3 rat,rats 功能 有理分式近似.虽然所有的浮点数值都是有理数,有时用简单的有理数字（分子与分母都是较小的整数）近似地表示它们是有必要的.函数rat将试图做到这一点.对于有...

a是无理数吗？二次根？三次根？

求不定积分三x+x/x+1的天酸有理奇函数的积分。他是一个不定积分m分布积分法计算

其实有一个降幂公式挺好用的:

分离常数法是对于求分式型的函数，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式。a/c+(b-da/c)/(cx+d)可以称作分式一般式分离常数公式。 一、分离常数法公式 从分子到分母，每一项前系数依次设为 a，b，c ，d，将形如Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）的函数，分离常数，变形过程为（ax+b）/（cx+d)=[a/c(cx+d)+b-da/c]/(cx+d)=a/c+(b-da/c)/(cx+d) 。 a/c+(b-da/c)/(cx+d)可以称作分式一般式分离常数公式。 二、分离常数法概念 对于求分式型的函数，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法。分离常数法常用于求函数最值或值域等，在数列求和中也常用到，可参考例题理解。 还有一种分离常数法的应用方式是在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端）。 三、分离常数法用法 1.分离常数法适用于解析式为分式形式的函数。 2.在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。

对：G(S)=(S^2+3S+5)/[(S+2)(S+1)^2] 做有理分式分解；之后对每个分式查拉氏反变换表；将全部有理分式的拉氏反变换结果相加；就得到对应于传递函数G(S)的脉冲响应函数h(t)；具体作法请自己做一下。

要的

因为除以最高次幂后，每个小式子趋向无限时的极限就为0了，这是，只需考虑最高次那项的极限就可以了。 不过一些具体问题还得具体分析。我回答的就是为什么呀，有些得先去试才能发现。在求极限的问题时，尤其是好几个式子的，应该先把能算出来的解出来，通常极限为0经常会用到，然后再讨论复杂一些的，而对于分式的，要利用分子为常数，分母无穷大，极限为0这种方法，这道题便是。你最好能从头把极限的定义和求法好好看一下，尤其是方法，抓住特征。

一般来说是在有理分式的极限计算中会使用，其他地方看阶数或者等价无穷小转化为有理分式再抓大头。“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。求极限的方法：1、运用洛必达法则， 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限。2、 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。3、运用等价无穷小替换，求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

IIR滤波器设计中可以利用模拟滤波器的设计结果，采用各种变换法，比如双线性变换法，脉冲响应不变法来设计巴特沃斯滤波器，但是这些对于FIR滤波器设计是不适用的，因为无限长IIR滤波器的系统函数是有理分式的形式，而有限长单位脉冲响应FIR滤波器的系统函数只是1/Z的多项式。

　传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应，所以是有理分式，有理分式是数学术语，指分子、分母均为有理数或多项式的分式。　　扩展：　　1、传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作G（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是建立在传递函数的基础之上。传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一。　　2、在定义中要求是两个变量的比，一般为复变量 S 的有理分式，即 n ≧ m。且所有的系数均为实数。

待定系数法undeterminedcoefficients一种求未知数的方法.一般用法是,设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数,从而得到待求的值.例如,将已知多项式分解因式,可以设某些因式的系数为未知数,利用恒等的条件,求出这些未知数.求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法.从更广泛的意义上说,待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数,利用已知条件确定这些未知数,使问题得到解决的方法.求函数的表达式,把一个有理分式分解成几个简单分式的和,求微分方程的级数形式的解等,都可用这种方法.【又】一种常用的数学方法.对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式,得到以待定系数为元的方程或方程组,解之即得待定的系数.广泛应用于多项式的因式分解,求函数的解析式和曲线的方程等.[用待定系数法因式分解]待定系数法是初中数学的一个重要方法.用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.在初中竞赛中经常出现.待定系数法有一年全国高考题副题有一道题是这样的：分解因式xx－2xy＋yy＋2x－2y－3.分析待定系数法是初中数学的一个重要方法,我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项xx－2xy＋yy,可以分解成（x－y）?（x－y）.因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么这两个因式必定是（x－y＋m）（x－y＋n）的形式,其中m、n为待定系数,只要能求出m和n的值,多项式便能分解.解设xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y＋m)(x－y＋n)＝xx－2xy＋yy＋(m＋n)x＋(－m－n)y＋mn两个多项式恒等,它们的对应项的系数就对应相等.∴解之,得m＝－1n＝3∴xx－2xy＋yy＋2x－2y－3＝(x－y－1)(x－y＋3)通过本例可知,用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.该题最简捷的方法是分组,利用整体思维法（把x－y看成一个整体进行思考）分解因式.解原式＝?(xx－2xy＋yy)＋(2x－2y)－3＝(x－y)(x－y)＋2(x－y)－3＝(x－y－1)(x－y＋3)

不矛盾，一般的多项式次数都是有限的，你这个函数是极限的形式，分子分母的次数是趋于无穷大的，不适用于普通的有理分式了

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]

解函数的值域问题及解法值域的概念：函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.1．观察法用于简单的解析式.y=1-√x≤1,值域(-∞,1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).2．配方法多用于二次(型)函数.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）3．换元法多用于复合型函数.通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.特别注意中间变量（新量）的变化范围.y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞,2].4．不等式法用不等式的基本性质,也是求值域的普遍解法

解：例如函数y=x2+2x+1的定义域是x的取值范围其值域是y的取值范围常用的求值域的方法　　（1）化归法；　　（2）图象法（数形结合）；（3）函数单调性法；（4）配方法；　　（5）换元法；　　（6）反函数法（逆求法）；　　（7）判别式法；　　（8）复合函数法；　　（9）三角代换法；　　（10）基本不等式法等

根据可微的充要条件，和dy的定义，对于可微函数，当△x→0时△y=A△x+o（△x）=Adx +o（△x）= dy+o（△x） ,o(△x)表示△x的高阶无穷小所以△y -dy=（o（△x）（△y -dy)/△x = o（△x) / △x = 0所以是高阶无穷小扩展资料某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。求极限基本方法有1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

sinπx化简成sinx：将该三角函数展开利用 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ则有sin(π-x)=sinπcosx-cosπsinx=sinx求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期解∵ =|sinx|+|cosx|=|－sinx|+|cosx|=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|=f(x+π/2)

二次函数求根公式法：推导一下ax^2+bx+c=0的解。移项，ax^2+bx=-c两边除a，然后再配方，x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2[x+b/(2a)]^2=[b^2-4ac]/(2a)^2两边开平方根，解得x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。 二次函数求根公式 二次函数有很多种,ax^2+bx+c=0,(a不等于0,b^2-4ac>0)的二次函数只是其中的一种,其解是x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a,若b^2-4ac<0,则函数将产生虚根,x=[-b±i(b^2-4ac)^(1/2)]/2a式中i为虚数。 函数ax^2+bx+c+dy^2+ey+fxy+......=0,(未知数的最高项次不全为0)叫做多项式函数； (ax^2+bx+c+dy^2+ey+fxy+......)/(px^2+qx+r+my^2+ny+sxy+......)=g,(未知数的最高项次不全为0.分母不为0)叫做分式函数； (ax^2+bx+c+dy^2+ey+fxy+......)^(1/2)=m,(未知数的最高项次不全为0)叫做无理函数。 二次函数方程关系 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax 2 +bx+c, 当 y=0 时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax 2 +bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法，举例说如下。 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞） （答案：D）。 六．图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-1<x≤2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象 求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。 点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。 解：设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位 正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函数的值域（0，1）。 点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。 以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝） 2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0）

单叶解析函数的映射性质;分式线性函数及其映射性质:分式线性函数、分式线性函数的映射性质、两个特殊的分式线性函数;黎曼定理:最大模原理。

最佳答案y=cotx=cosx/sinx所以，定义域就是：sinx不等于0，就是：x不等于（k派),k属于整数。值域：因为：cotx=1/tanx,tanx值域是R，所以，cotx值域也是R。单调性：y"=-1/sin^2x,小于0，所以在他的每个周期上都是减函数。单调区间就是每个周期区间。奇偶性：y(-x)=cos(-x)/sin(-x)=cosx/-sinx=-y(x)所以是奇函数。最小正周期，与y=tanx同，所以是（派）。

等式与方程有什么关系？

看不清题目

分子分母如果都趋近于0，那极限的值可能是0，可能是常数，也可能是无穷。函数在一点有极限与这点是否有定义无关，但是函数在这点的邻域一定要有定义；一般地，函数在一点有极限，是指函数在这点存在双侧极限,且相等，只有区间端点，是单侧极限。扩展资料：求函数在一点的极限值有以下方法： 1、直接代入数值求极限；2、约去不能代入的零因子求极限；3、分子分母同除最高次幂求极限；4、分子（母）有理化求极限；5、应用两个重要极限的公式求极限；6、用等价无穷小量的代换求极限；7、用洛必达法则求极限；

这个是一定的，不过MBA考的的数学是不考高等数学的，只考初等数学，就是咱们小学、初中、高的的那些数学，而且内容不多。不像高等数学那样，知识特别多，需要背诵的也特别多。

这个是正割，余切，正切，你都不用看最后的口诀，高考根本不用考，我上大学，高等数学都还没有用到呢，你把最基本的三角函数求导记住就行了，这个不在高考范围内~

分步阅读确定函数类型，分为（c/0)型,（0/0）型，（无穷/无穷)x型（c/0)型：如lim(x→1)(4x-1）/(x^2-2x-3) 其结果为无穷;（0/0)型：如lim(x →3)(x^2-4x+3)/(x^2-9) 上下消去公因子（x-3) 得到lim(x →3)(x-1)/(x-3) 其结果为1/3;(无穷/无穷）型：如lim(x趋于无穷）（3x^2-3x+9）/(5x^2+2x-1) 分子分母除以分母最高次项 可化为lim(x趋于无穷）（3-3/x+9/x^2)/(5+2/x-1/x^2） 其结果为3/5分式形式的函数求极限是极限知识中的一个重点也是一个难点问题，在分式形式各异时，求极限的方法也不近一致，很多学生在遇到求分式形式的函数极限时，不知该用哪种方法来解答，甚至不知如何动手。本文从分子分母的极限特点出发，对分式形式的函数求极限方法进行了分类和总结。 二、方法分类 若 f（x）=A， g（x）=B （A，B 为常数或） ，下面根据 A，B 的取值特点对分式 在 x→x0 时极限常见情况进行分类讨论. （1）当 A，B 均为常数，且 B≠0 时，由极限的运算法则有： = = （B≠0） （2）当 A，B 均为常数，且 B=0 而 A≠0 时，则有： =∞分析：由于分母为无穷小，分子极限为不等于 0 的常数，则无穷小的倒数为无穷大。 分析：分子极限为 3，分母极限为 0. （3）当 A=B=0 时， 为 “ ”型的未定式，求极限方法还可细分：1） 当分子，分母可以因式分解约分化简时，则考虑约分.例 3、求 解： = = =6。2）当分子，分母中有根式时，则考虑有理化.例 4、求 解： =lim = =。3）当分子上有与 sinx 联系的三角函数且形式较简单时，则考虑与第一个重要极限 =1 的联系，利用结论 =1 求解.例 5、求 解： = ×2=2。4）当分子分母满足罗比达法则的三个条件时，则采用罗比达法则求解.例 6、求 解： = = = （2+ ） （4）当分子分母为无穷大时：1）满足罗比达法则的三个条件时，考虑用罗比达法则求解.例 7、求 解： = = = =0。2）分子，分母为 x 的多项式时，考虑用以下结论.一般地，当 a0≠0，b0≠0，m 和 n 为非负整数时，有 = 三、结语 对于形式为分式的函数求极限，一定要具体问题具体分析，根据分子，分母极限取值情况的特点来选择合适的方法，应多练习以求熟能生巧，更应注重方 法和方法的结合.

有理函数分式分解。待定系数法。不定积分 结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力。

f (-x) = -f(x)      f(x)为奇函数，依原点中心对称； f(0) = 0f(±∞) = ±8√5/5令：f "(x) = 0   ->  {x√(x^2+1)}"(1+5x^2) = 10x^2√(x^2+1)    (1){x√(x^2+1)}" = √(x^2+1)+x^2/√(x^2+1) 代入(1)(1+5X^2){1+x^2/(x^2+1)}√(x^2+1)=10x^2√(x^2+1)   (1+5x^2)[1+x^2/(x^2+1)]=10x^2                                          (2)整理后得到：3x^2 = 1                                                       (3)解出：x = ±√3/3 ≈ ±0.577350....                                       (4)    函数的极值点fmax(√3/3) = 2√5     fmin(-√3/3) =-2√5                              (5)总之解法：还是利用一阶导数为0求出极值点，再判断最大、最小值。

1、当1/x-1/y=5时，求分式(3x+5xy-3y)÷(x-3xy-y)的值。答案:5/42、已知a+b+c=0,求a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值。答案:-33、解方程:(x-8)/(x-3)-(x-9)/(x-4)=(x+7)/(x+8)-(x+2)/(x+3)答案:x=-2/34、当a为何值时，关于x的方程x/(x-3)=2+a/(x-3)会产生增根?答案:当a=3时，此分式方程会产生增根。5、华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预计能畅销，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元。商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按8折销售，很快售完，问这笔生意商厦赢利多少元?答案:这笔生意赢利90260元。6、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合作需6周完成，需工钱5.2万元;若甲公司单独作4周后，剩下的由乙公司来作，还需9周才能完成，需工钱4.8万元。若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司还是乙公司?请你说明理由。答案:从节约开支的角度考虑，应选乙公司单独完成。7、对于分式(x-5)/(2x-1),当x_______时有意义，当x________时无意义。答案:不等于1/2;1/28、方程(x-3)/(x-1)=m/(x-1)有增根，则增根为_____，m的值为______答案:1;-2

1/a + 1/b+c = 1/2 1/b + 1/c+a = 1/3 1/c + 1/a+b = 1/4 通分,整理一下： (a+b+c)/[a(b+c)]=1/2 (a+b+c)/[b(a+c)]=1/3 (a+b+c)/[c(a+b)]=1/4 a(b+c)/(a+b+c)=2 b(a+c)/(a+b+c)=3 c(a+b)/(a+b+c)=4 ab+ac=2(a+b+c)…………（1） ab+bc=3(a+b+c)…………（2） ac+bc=4(a+b+c)…………（3） （3）-（2）,得： ac-ab=a+b+c………………（4） （1）-（4）,得： 2ab=a+b+c ab=1/2(a+b+c)…………（5） 同理可得： ac=3/2*(a+b+c)…………（6） bc=5/2*(a+b+c)…………（7） 由（5）,（6）得： ac=3ab c=3b 由（5）,（7）得： bc=5ab c=5a 所以3b=5a,a=3/5*b 代入（1）,得： 3/5*b*b+3/5*b*3b=2(3/5*b+b+3b) (3/5+9/5)b=2(3/5+1+3) 12/5*b=46/6 b=23/6 a=3/5*23/6=23/10 c=3*23/6=23/2

2(x-2)=(x-3)+2 2x-4=x-3+2 x=3 （是增根） 3x-8=3(3x-6)+(3x-6)(3x-8) 3x-8=9x-18+ 9x^2-42x+48 9x^2-36x+38=0

答案在第五小题那          不懂的自己慢慢参考哈        

NO

m不等于2X

佛挡杀佛梵蒂冈地方规定

1.当K取何值时,分式方程6/x-1=x+k/x(x-1)-3/x有解? 2.若方程1/x-1=2/x-a有一个正整数解,求a的取值情况. 3.甲乙两地相距48km,一艘轮船从甲地顺流行至乙地所用的时间与这艘轮船逆流行完甲乙两地间路程的一半所用时间相等,已知水流的速度为4km/h,求这艘轮船在静水中的速度. 4.{x^2-y^2/xy}^2÷(x=y)*{x/x-y}^3 5.3-x/x-2÷(x+2-5/x-2) 1.关于x的分式方程1/(x-2)+k/(x+2)=4/(x^2-4)有增根x=-2,求k X+2+K(X-2)=4 代入K=1 2.关于x的方程x+1/x=c+1/c的解是x1=c,x2=1/c,若x-3/x=c-3/c的解是x1=c,x2=-3/c,则(1)x+2/x=a+2/a的解为_____；(2)x+3/(x-1)=a+3/(a-1)的解为_____. (1)x=a或x=2/a,(2)x=a或x=3/(a-1) 3.(1): 原题=1-1/2+1/2-1/3.+1/99-1/100 =1-1/100 (2):根据(1)得: 1-1/2+1/2-1/3+.+1/N-1/(N+1) =1-1/(N+1) 3.(1)1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=（1-1/2)+(1/2-1/3）+（1/3-1/4)+...+(1/99-1/100)=1-1/100=99/100 (2)1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n(n+1)==（1-1/2)+(1/2-1/3）+（1/3-1/4)+...+[1/n-1/(n+1)]=1-1/(n+1)=n/(n+1) 4x��+x分之5-x��-x分之1=0

分式有分数线并且分母中有字母,而整式即使有分数线,分母中也没有字母

整式加减就是合并同类项，乘除就需要分解因式，约分，类似分数加减法。分式，也就和整式乘除法差不多。你出两个题可以给你讲讲做法。

不是。m分之x是分数，但是可以换算为整式。整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式都统称为整式。分母中含有字母的式子一定不是多项式也不是单项式，因此其不是整式。所有单项式和多项式都是整式。由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式（monomial）。单独一个数或一个字母也叫单项式，如Q，0，-1，a。也叫常数项。

整式和分式统称有理式

除 分子分母 公因式

整式是单项式和多项式的统称。（分母中不含未知数）分式可以简单 记为分母中含有未知数的式子