复合函数的解析式是怎么求的？带绝对值符号的二次函数，分式函数的单调区间怎么求？

这个关键看二次项系数a正负，如果a＞0开口向上，如果a＜0则开口向下。二次函数y=ax²+bx+c=a(x＋b/2a)²＋(4ac-b²)／4a图像关于x=-b/2a对称，顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b²)/4a)当a＞0时，在对称轴左边y随x的增大而减小，在对称轴右边y随x的增大而增大。当a＜0时，在对称轴左边y随x的增大而增大，在对称轴右边y随x的增大而减小。

先另其为0，再求出根，根据图像

应该是2次函数有正根。。一般2次函数的解都是2个根或2个相等实根或者无解。此时我可利用伟达定理求解。ax^2+bx+c=0.若此二次方程有玩正根。则x1+x2大于0.x1*x2大于0.x1+x2=-b/a. x1x2=c/a

都是根据定义域来算的，一个函数的值域由定义域及对应法则完全确定，先求定义域然后慢慢算就出来了，应该很容易的。反函数就是用原函数Y表示X，求出的定义域值域分别为原函数的值域定义域

只需弄懂这5个题型，你就能全面掌握一元二次不等式的解法，高考数学_高中数学不等式课程。一元二次不等式一般有以下几种：1、普通的一元二次不等式；2、分式形式的一元二次不等式；3、含有参数的一元二次不等式。这节课将从易到难，用5个题型详细讲解这三种形式的一元二次不等式的解法。第1题这实际上是一个一元二次不等式组，如下，①和②两个不等式的解集的交集就是原不等式的解集。第2题这是一个分式不等式，其中的一种解法是去分母，即不等式两边同时乘以分母x＋4，分母的符号决定着不等号的方向是否改变，所以要分两种情况进行讨论，即如下（一）和（二），这两种情况的x的范围的并集即是不等式的解集。不要忘了，去完分母的整式不等式的解集（如①）与前提条件如“x＞－4”需要求交集（如②）。分式不等式的另一种解法是把不等号右边的数字移到左边，然后通分，再解不等式，你可以动手一试。第3题这是一道典型的含有参数的一元二次不等式，对应的一元二次方程的两个解含有参数，这两个解的大小无法确定，故要分三种情况进行讨论：小于、等于和大于。第4题一元二次不等式含有参数，也不一定需要分类讨论，就如本题，对应的一元二次方程的两个解之间的大小可以比较出大小，就不需要分类讨论。说明：之所以第一步对不等式进行了等价变形，是为了使二次项系数变为正数，这是为了使其符合标准的一元二次不等式。为了方便大家更好地学习数学，我在功众号“爱做数学题”中把所有发布的课程和专题按照课本顺序进行了分类整理。第5题给出解集，可以确定出一元二次不等式，如下①及之前的过程，一定要理解并熟练掌握这个过程，这是一元二次不等式部分常考的难点之一。详细说明：不等式ax＋bx＋c＞0解集为{x∣2＜x＜3}，有两层含义：（1）、2和3是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两个解；（2）、二次项系数a是负数；根据初中学的因式分解法解一元二次方程的原理，可以写出这个不等式为a(x－2)(x－3)＞0，不等式两边同时除以正数－a即可把不等式变形为：－(x－2)(x－3)＞0，去括号化简即可得到不等式①。为何是除以－a，而不是除以a？因为除以－a后不等式二次项的符号（负数）不会改变，这样做是为了接下来更好地确定出不等式ax－bx＋c＞0的各个系数。高中、高考、基础、提高、真题讲解，专题解析。加油

函数一共有7种，分别是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三角函数、三角函数、对数函数。1、正比例函数一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数(k为常数，x的次数为1，且k≠0)(简称f(x))，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b=0，即所谓"y轴上的截距"为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为:y=kx(k为比例系数) 当K>0时(一三象限)，K的绝对值越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大. 当K<0时(二四象限)，k的绝对值越小，图像与y轴的距离越远。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。2、反比例函数如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。3、一次函数在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果满足这样的关系：y=kx+b(k为一次项系数且k≠0，b为任意常数，)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量 (又称函数）。一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k≠0），y叫做x的正比例函数（direct proportion function）。4、二次函数二次函数表达式y=ax²+bx+c的定义是一个二次多项式，因为x的最高次数是2。 如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。5、三角函数三角函数（也叫做"圆函数"）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有：解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其解题步骤是：①设 ②列 ③解 ④写复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。①因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0 两种情况为且型(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组基本思路是：把√m化成完全平方式。即：方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。解含参方程一般要用‘分类讨论法"，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。(2)ax2＋bx＋c＝0对于任意x都成立关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有无数解a=0、b=0、c=0。由一元二次不等式解集为R的有关结论容易得到下列恒不等成立的条件：图像的平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是：讨论函数性质的重要方法是图像法——看图像、得性质。定义域 图像在X轴上对应的部分值 域 图像在Y轴上对应的部分单调性 从左向右看，连续上升的一段在X轴上对应的区间是增区间；从左向右看，连续下降的一段在X轴上对应的区间是减区间。最 值 图像最高点处有最大值，图像最低点处有最小值奇偶性 关于Y轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数方程的根▼函数图像与x轴交点横坐标▼不等式解集端点一元二次不等式可以用因式分解转化为二元一次不等式组去解，但比较复杂；它的简便的实用解法是根据“三个二次”间的关系，利用二次函数的图像去解。具体步骤如下：二次化为正▼判别且求根▼画出示意图▼解集横轴中一元二次方程根的符号问题或m型问题可以利用根的判别式和根与系数的关系来解决，但根的一般问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关系，利用二次函数的图像来解决。“图像法”解决一元二次方程根的问题的一般思路是：题意▼二次函数图像▼不等式组不等式组包括：a的符号；△的情况；对称轴的位置；区间端点函数值的符号。我们学过的一次函数、反比例函数、二次函数等有名称的函数是基本函数。基本函数求值域或最值有两种情况：(1)定义域没有特别限制时---记忆法或结论法；(2)定义域有特别限制时---图像截断法，一般思路是：画出图像▼截出一断▼得出结论应用题中，涉及“一个变量取什么值时另一个变量取得最大值或最小值”的问题是最值型应用题。解决最值型应用题的基本思路是函数思想法，其解题步骤是：设变量▼列函数▼求最值▼写结论穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好方法。其一般思路是：首项化正▼求根标根▼右上起穿▼奇穿偶回注意：①高次不等式首先要用移项和因式分解的方法化为“左边乘积、右边是零”的形式。②分式不等式一般不能用两边都乘去分母的方法来解，要通过移项、通分合并、因式分解的方法化为“商零式”，用穿线法解。

有分式的话，至少要化简一下，例如可以化成顶点式等等

函数解析式的求法:1,配方法 2，换元法 3，解方程组法值域的求法：1，配方法 2，换元法 3，基本不等式 4，反函数法（分式函数）5，单调性法6，导数法 7，数形结合 8，向量法 9，判别式法 10，构造法

1.配方法（二次函数）2.分离常数法（分式函数）3.反函数法（分式函数）4.基本函数性质法5.换元法【无理函数、高次函数等】（换元必换限）6.基本不等式法（耐克函数）7.单调性法（单调区间的值域与最值）8.数形结合法。

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1)直接法——从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围2）配方法——配方是求“二次函数类”值域的基本方法，形如f(x)=af(x)方bf(x)方+c的函数的值域问题，均可使用配方法3）反函数法——利用函数与他的范函数的定义域与值域的互逆关系，通过求范函数的定义域，得到原函数的值域。一次分数式型均可使用反函数，此外，此种类型也可使用“分离常数法”求得4）判别式法——把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,通过方程有实根，判别式“的塔”>=0，从而求得原函数的值域。通常用于球二次分式型5）换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求的函数的值域形如：y=ax+b-根号cx+d(a,b,c,d均为常数，且a不为0）的函数常用此方法求解6）不等式法利用均值不等式求函数的值域，“一正、二定、三相等”7）单调性法确定函数在定义域（或某个定义域上的子集）上的单调性求出函数的值域分母中含根号的分式的值域均可使用此方法求解8）求导法当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值9）数形结合当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域

　　高一数学必修一函数及其表示知识点 篇1 　　高一数学必修一函数及其表示： 　　函数及其表示 　　知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等 　　文档首页截图如下： 　　1。函数与映射的区别： 　　2。求函数定义域 　　常见的用解析式表示的函数f（x）的定义域可以归纳如下： 　　①当f（x）为整式时，函数的定义域为R。 　　②当f（x）为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。 　　③当f（x）为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。 　　④当f（x）为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。 　　⑤如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。 　　⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。 　　⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。 　　3。求函数值域 　　（1）、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域； 　　（2）、配方法；如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域； 　　（3）、判别式法： 　　（4）、数形结合法；通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域； 　　（5）、换元法；以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域； 　　（6）、利用函数的单调性；如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域； 　　（7）、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域； 　　（8）、最值法：对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f（x），可求出y=f（x）在区间[a，b]内的极值，并与边界值f（a）。f（b）作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域； 　　（9）、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。 　　高一数学必修一函数及其表示知识点 篇2 　　知识点总结 　　本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的"图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。 　　一、函数的单调性 　　1、函数单调性的定义 　　2、函数单调性的判断和证明： 　　（1）定义法 　　（2）复合函数分析法 　　（3）导数证明法 　　（4）图象法 　　二、函数的奇偶性和周期性 　　1、函数的奇偶性和周期性的定义 　　2、函数的奇偶性的判定和证明方法 　　3、函数的周期性的判定方法 　　三、函数的图象 　　1、函数图象的作法 　　（1）描点法 　　（2）图象变换法 　　2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。 　　常见考法 　　本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。 　　误区提醒 　　1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。 　　2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。 　　3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。 　　4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。 　　5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

初中数学中考知识重难点分析 0 1 函数 一次函数、反比例函数、二次函数中考占总分的15%左右。二次函数是中考的重点，也是难点，在填空、选择、解答题中均会出现。 而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。 0 2 整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。 中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系。 0 3 应用题 中考中占总分的30%左右，包括方程（组）应用，一元一次不等式（组）应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。 一般会出现2~3道解答题（30分左右）及2~3道选择、填空题（10分~15分），占中考总分的30%左右。 0 4 三角形、四边形 三角形：全等、相似、角平分线、中垂线、高线、解直角三角形、四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，中考中占总分25%左右。 解三角形在初三下册学习，是以直角三角形为基础的，在中考中会以船的触礁、楼高、影子问题出现一道大题。 四边形在初二进行学习的，其中特殊四边形的性质及判定定理很多，容易混淆，四边形中题型多变，计算、证明都有一定难度。经常在中考选择题、填空题及解答题的压轴题中出现。 0 5 圆 中考中占总分的10%左右，包括圆的基本性质，点、直线与圆位置关系，圆心角与圆周角，切线的性质和判定，扇形弧长及面积。 其中切线的性质和判定、圆中的基本性质的理解和运用、直线与圆的位置关系、圆中的一些线段长度及角度的计算是重点也是难点。 本文由为您服务教育网收集整理，仅供参考。

分式有意义，即分母不为零。此分式分母为二次函数3x^2-6x+m，分母不为零即二次函数取不到零根。从图像上来看，3x^2-6x+m为开口向上的抛物线，取不到零根可以理解为抛物线与X轴无交点，即抛物线的顶点纵坐标大于零。由抛物线的顶点坐标公式可知，(12m-36)/12>0，所以可知m>3.

不

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵∴即函数的值域是{y|y2}③④当x>0，∴=，当x<0时，=－∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数的值域方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①当y11时∵x?R∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得(5y+1)0检验时（代入①求根）∵2?定义域{x|x12且x13}∴再检验y=1代入①求得x=2∴y11综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}方法二：把已知函数化为函数(x12)∵x=2时即说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数的值域解：设则t0x=1-代入得5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

我觉得题主的问题不在一道题上，应该在一类题上，甚至在于如何提高数学能力上数学思维还是要长期训练！刷题是很有必要的，只不过刷多刷少。刷得多和刷得少的区别在于：1、题目够不够典型2、做完以后能不能总结出规律 传说中的题感大约来自于这里~ 所以关于为什么打不开思路，很可能就是练得少~或者做题时间中间有间断（跟体育锻炼差不多，本人大概一两个星期不做，题感找回来就难了TvT）。还有一种方法可以解决，是个人总结出来的方法，不一定适用在你身上~先审清题干再做题，由已知条件开始联想再看题目需要哪些知识点。不过这样做练不够多就不够快，会hin浪费时间！！总之就是多做做题！懒得话就看答案记思路，做题尽量做代表性强的！

因为x趋于0，所以lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e解题过程如下：原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x =lim e(ln(1+x)/x -1)/x =e lim (ln(1+x)-x)/x²=e lim (1/(1+x)-1) / 2x =e lim -x/(2x(1+x))=lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e扩展资料求函数极限的方法：利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

1 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长 S面积 a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

多做题

自己想

数学学习一直是很多同学比较头疼的科目，尤其是到了初二，某些同学的数学成绩出现了大幅的下滑，眼见成绩节节下滑，却无能为力。为什么么初二数学成绩会出现很大的波动呢？一部分学生是因为数学一直都不太好，在之前还马马虎虎能跟得上，到了初二随着知识点难度的增加和题目综合性的增强，学习中的问题凸现，导致成绩大幅下降。另外还有一部分学生，基础还可以，可是到了初二后学习状态出现下滑，听课质量下降，作业完成质量不高，学习方法跟不上，学习效率低下，导致成绩出现波动。 、 那么该如何应对初二数学跟不上的问题呢？如果是基础太差，就需要及时去弥补之前所缺的内容，否则在做题是往往会一脸茫然，不知所措；如果是学习状态出现了问题，就需要家长做好引导和调整，在初二的学习中如果没有好的学习状态是很难取得不错的成绩的。初二的数学难在什么地方呢？以北师大版本为例，来分析初二上册的学习内容，初二上册包含了勾股定理、实数和二次根式，平面直角坐标系，一次函数，一元二次方程组，数据分析、证明等章节的内容。很多同学在二次根式和一次函数的学习中遇到了很大的问题，特别是一次函数，很多同学理解不了。一次函数的学习应该注意和掌握哪些内容呢？1、一次函数的基本关系式y=kx+b，这是一次函数学习的基础，理解和学习时需要注意k 0，。当b=0时，函数变为正比例函数，是特殊的一次函数。2、一次函数的图像是学习的重难点所在。在学习时无需死记硬背，要掌握判断的技巧和方法，一次函数的图像与k值和b值有关。3、一次函数的性质。函数的性质的学习与研究需要与图像相结合，在一次函数中简单来说，k 0时，函数值y随着自变量x的增大而增大，对应着函数图像从左向右呈上升趋势；k 0时，函数值y随着自变量x的增大而减少，对应着函数图像从左向右呈下降趋势；掌握基本知识点后还需要了解常见的基础题型：1、判断一个式子是否为函数，需要根据函数的解析式来判断，注意x的系数和次数。2、根据一次函数的额特征来求字母参数的值或取值范围，会运用到方程和不等式的相关知识点。3、根据k和b的取值情况来判断函数图像的特征，如经过的象限，与坐标轴交点为位置、函数图像的走势。4、根据函数图像的走势和特征来计算和判断k和b 的取值或范围，多个函数图像相结合，根据图像来分析和判断。5、根据函数的k的正负性来判断函数的增加性，对函数值进行比较。6、已知点在一次函数图像上，求字母参数的值，或判断点是否在函数图像上，常运用方程思路来解答。6、求函数图像与两坐标轴交点的坐标，这是重点。方法就是根据坐标轴上点的特征列方程解方程即可，求与x轴交点，可令y=0，得到关于x 的方程，求出x的值即为与x轴交点的横坐标；求与y轴交点，可令x=0，得到关于y 的方程，求出y的值即为与y轴交点的纵坐标；7、求一次函数的解析式：这是一次函数学习的重中之重，考试必考，基本方法：应用举例：8、函数图像的平移，平移只改变与y轴的交点 ，即只改变b的值，不改变k的值常运用这个知识点求函数的解析式。9、求两个一次函数图像的交点坐标，将两个函数解析式联立组成方程组，解方程组即可。一次函数的学习首先需要掌握这些基础的知识点和基础题型的解法。在掌握这些知识点之后在去学习一些比较复杂和综合性较强的题目，如一次函数与面积结合的问题。与三角形结合的问题，一次函数动点问题，一次函数的实际应用等。 初二的知识点很多，而且难度在加大。首先我们看下目录：全等三角形是中考的重点之一，所以会有部分中考题出现在练习和测试中。当然，相比相似三角形来说，全等三角形的证明是相对简单很多的。因式分解是一个难点，需要学生有一定的灵活性。虽然表面上看起来，也就是那么几种方法，但是压轴题经常会出现。而分式的运算，以及分式方程的解法，只要按照步骤来，一般都不会有太大问题。 实际上，知识点都是可以掌握的，但是灵活运用就考验学生了。之所以出现跟不上，一般来说有两种情况： 1、基础知识没有掌握好：这个可以通过回归课本，把每个知识点都弄明白，先从简单的地方入手。 2、如果是压轴题搞不定：这个建议先多看参考书上面的解题过程，然后再自己思考，一般来说进步都会比较快！动点问题，很多学生都不习惯，不知道如何下手：不少同学一看到动点问题，直接就脑袋一片空白。实际上，动点问题是有章可循的。 比如本题，这个一定是特殊形状的，先猜一下，然后再证明：等腰是比较容易看出来的，但是直角就稍微难一点了。这需要多去看一些题型，就能慢慢找到感觉。如果思路不是很顺畅的同学，建议先看十几个同类型的题，然后再试着做练习，慢慢就能找到感觉。 初二是个分水岭，整个初中数学，初一注重运算，规定了小学没有的一些新算法，对于计算题，只要勤加练习，注意细节，就可以！算得对算得快，就可以！不需要太动脑子！但是到了初二就会接触图形证明题，函数问题，这些都是需要动脑子，讲究解法的，计算只是基础的，首先你得知道这个题怎么解，下一步才是算得问题，往往很多孩子就是倒在了第一部，如果老师给他一个提醒，他就很快能算出这个题目，如果老师不给提醒，那他往往就不知道如何下手了！对于这样的情况该如何解决，我觉得，应该去多背题型的解法，和思路，脑子里面有套路才能一一对应去解题，解的题目多了，自然而然就变成了自己的！很多小孩只知道做题，不会总结，记不住解法，就算找老师给讲解完，不去记解法，下次碰到还给新题一样，不知如何下手！这样的学生我见过很多很多！数学讲究举一反三，这是数学的精髓，就是用一个题的解法，能够套出来其他相似题型的解法，当你掌握了这种能力，数学想不好都难！ 很多学生到了初二，成绩开始直线式下滑，初二成了学习的一个“分化点”，而成绩一旦跟不上往往又开始畏惧数学，对数学学习失去自信心，成绩继续下滑。事实上，数学成绩“分化”不是一下子的事情，它是有过程的，在每个学段都有不同的分化点，只是在初二特别明显。 比如到初一下学期已经有了相交线与平行线、三角形等平面几何的内容，对于部分逻辑思维能力和空间想象能力较弱的同学，学习这部分就会感到吃力，但此时的成绩可能不会有明显的退步，因为积累的问题还不算多。 但到了初二“画一次函数的图像、分析图像的特性与函数解析式之间的关系”时，前面留下的隐患就暴露无遗，一个又一个问题令学生茫然不知所措，成绩会明显下滑。 那么我们应该怎么学，才能学好数学呢？ 第一，不要紧张，越紧张越难学会。学新东西的时候大脑思维需要转换的过程，这需要一些时间的，紧张的时候大脑是处于迟钝状态，不利于知识的理解与吸收。第二， 记忆习惯。对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。第三，多做一些题。见得多了就知道平时那些习题基本上就那么几个套路，而且熟练了自己做题才有感觉。 第四，试着自己总结一些东西。那些你想不到的辅助线都有什么特点，以后碰到不会的题不妨先用类似的方法试试。第五，准备错题集的习惯。每次考试之后整理错题，找到可以接受的同类型题、同等程度的知识点研究一下，再把同类型攻下来。 　　 总之，数学的学习不是一蹴而就的，他需要一个积累的过程，不要因为一时没有提高而中途放弃，坚持到底，才能学好。 很多学生都有这种感觉，觉得初一好简单啊，不需要怎么花心思就能学好。于是初二时就没那么用心，也只是随便学学，后来发现自己已经跟不上了。 初一的数学还可以靠小学的数学底子撑一撑，毕竟初一的数学没有非常深入的学习，最重要的就是有理数与多项式，解方程这些东西，而图形就是三角形的基础以及平行线的基础，这些东西如果课上稍微听一点，并且计算能力不弱的话，都能很快掌握。 而进入初二以后，数学里面增加了二次根式，增加了坐标系和函数的概念，很多人开始懵了。这些概念以及其中的运算已经与小学时的那些运算差了很多了，而且随着学习内容的增多，题目的综合性也越来越强，不只是单一知识点可以解决的。 在对知识点的理解上，也需要用到以前所学的知识，但是以前所学的知识并没有那么扎实，导致在学习的理解以及做题上就没有那么得心应手了。 如果现在已经感觉跟不上了，那么将初二的课本再从头到尾翻一遍，看看自己学了哪些知识，自己哪些是没有掌握的，将之前的练习册中的错题自己再重新做一遍，将书本中的那些概念理解透彻。多做一 些单元的综合练习和期末的综合练习。对于其中涉及到的知识点自己忘记了的，全部都标记出来，同时有意识地先理解。 这样经过一段时间地高强度训练以及复习，很多知识自己是能够捡起来的。 初二数学跟不上怎么办？ 初二数学成绩下降跟不上，应该是初一的时候数学就已经有这个苗头了，只是孩子和家长没有看出来。 孩子成绩的表现结果一定是滞后的，至少是半学期一学期有的，有可能一学年。 也就是孩子上初中之后没有适应初中的数学学习，还是用原来小学的学习方式来学习，对初中数学的学习没有一个好的思维转变。 已经初二了怎么办？一定先补习。 第1块就是讲初二的知识。初二跟不上，说明初二课堂上老师讲的这些内容，孩子已经听不太懂了，所以找一个补课的老师讲课本上的知识。 第2块就是讲初一的知识，初一的知识是以总体学习的形式来讲解。 他们俩的差别就是初二的知识讲的要慢，初一的知识讲要快速的过，过了之后以做题的形式来查找初一知识的不足。 遇到一个好的老师是非常重要的，所以找补习的老师也很关键。 找补习老师，首先是给孩子诊断一下子现在的知识情况，知识掌握程度以及学习方法等。对孩子有一个全面的诊断，同时提出孩子的补习方案。 这些老师这块并不一定说是越明师越好，而是一定要适合你自己孩子的就可以了。 要注意的是不要去嗯那种大的培训机构上那个补课班，因为这样对孩子的成绩没有什么好的影响，有可能会影响孩子学习的兴趣。 孩子已经跟不上了，那就说明成绩下降很大，很多知识听不懂了，所以一定是1对1的补课老师来讲。 @家长陪着学我是一名家长，陪着孩子学习，从家长的角度更能够理解孩子的学习，家长有多么的焦虑，当然我也就能知道家长是想希望找一个什么样的老师来给孩子补课。 一、分析初二数学分化的原因所在。不可盲目投医。因为数学分化是一个渐进的过程，每一个学段的数学分化都有不同的因素影响；r二、以勤补拙。要提高数学成绩，需从智力因素和非智力因素两个层面去思考，找到解决问题的办法。r三、引导学生正确的学习方法：r 1.养成良好的记忆习惯。识记是必须的，比如数学公式、概念、定理、定律；r 2.养成良好的预习习惯。预习之作用是促进学生找到问题，带着问题进入课堂，在老师的指导下去想办法，解决问题，经历获取数学知识的整个历程；r 3.正确使用“易错本”。引导学生能够将自己做错了的试题，用这本子记载下来，分析原因，便于在复习阶段，更好地总结；r 4.引导学生出测试题。学生能够选择试题，用于测试，可以促进学生系统去归纳、小结，做到举一反三的目的，从而提高学生的综合能力。 我来回答吧 。没有被邀请主动答题，请见谅！ 我初二的数学是班里前三，我觉得我有资格会答这个问题。 学好初二数学，有几个方法。 第一，把所有的概念背熟。不管理解不理解，先背熟，书读百遍其义自见。概念背熟了，意思也就明白了。我当时数学老师每天上课都先提问概念。背不出来手上要挨板子。第一次叫我背几何概念，（快二十年了那个概念我依然记得非常清楚）"平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的两条弧"，在周围同学的帮助下我坑坑洼洼背出来了，老师走到我跟前说说背的不熟，再背一遍，老师在跟前没人帮忙，我没有背出来，可怜我的手挨了十几板子。后来一上数学课之前我就赶紧拿出各类概念赶紧背，同桌笑话我上次挨打了长记性了。后来每次上课老师提问我都对概念倒背如流。期末考试我的数学成绩全班前三。。。。 快二十年了，那个概念，那个老师，那次成绩我至今难忘！ 第二，是做好每一个例题。每个例题都是经典中的经典，需要反复思考推敲分析记忆。不要觉得例题那么简单，要记得例题是对概念知识内容的最完美的应用展现！反复思考分析例题，对你做后面练习题乃至考试题有极大的帮助。而且是不可替代的帮助！ 第三，我觉得还得要学会多角度思考。初二我班上一个同学，现在三十岁，在一个乡镇当副镇长，当时初二的时候，老师几乎每一道题目，他都能找到不同方法解答，个别题目甚至能找到三种不同方法解答，有的方法老师都没有想到，每次讲完一道题，老师都问还有没有其他方法？同学们都转过脸看他，他从教室后面跑到黑板上给大家演示他的与老师不同的方法。他是我们班上当时独特的一道风景，后来期末考试，他是全班数学第一，总分第三！ 谢谢题主，这个问题让我回想起了自己初中时候的美好时光，希望我的方法能对你有用，再次感谢！ 初二数学更不上， 首先，你要把课本上已经学习过的内容，没事的时候，多看几遍，包括例题和定律。最好把例题，在不看课本的情况下，自己重新做做，另外，课本后面的练习题，虽然已经做过了，自己也可以动手再做几遍，最好反复两次以上。这样做的好处，能夯实你的基础知 其次 你要多刷题，平时一般学校都给学生发有配套练习册，你自要认真做，不会做的题，最好多做几遍，同时把这些自己不会的题，单独整理到在一个笔记本上，积少成多，平时没事的时候，多看看笔记本。 最后，上初中了，不是小学了，不要什么都要靠老师，要发挥自己的主动性，在网上下载一些初二数学配套的练习题。或者自己在网上多买些练习册或者习题。多多练习。熟能生巧呀。不要老师，布置什么，做什么，老师不布置了。就什么也不做。 数学要想学好，就是要多刷题，只有多刷题，才能把 你的大脑发动起来。 解决这个问题，我觉得课堂教学可能已经不能改善了，你需要做一些专项的训练或者综合训练，做题，虽然不是改变学习成绩的唯一方法，但却是一个非常有效的方法。 首先初二阶段我们可以寻找到很多的网络资源，或者在书店里买一些书籍，解决一些专项的问题，考试过程之后我们会发现我们的失分点，根据失分点，我们就要做一些针对练习，今天练习的过程中要勤于思考，多加想象，毕竟从抽象图形开始，我们的思维能力显得越来越重要。 第二还是要勤学善问吧，因为老师在讲课的过程中不可能照顾的面面俱到，如果能在哪一个知识点上有疑问，或者说在做哪一道题有疑问的时候，最好的方法是去寻求老师的帮助，毕竟老师的解决方案可能起到画龙点睛的作用。 第三还是要给自己树下一个目标不能知难而退而应当坚持学习学习的提升和提高是浪费了很多时间才能够实现，有的时候我们一个小小的退让就会造成我们整个学习的失败。 知识方面的学习是给有准备和有毅力的人的，如果没有毅力没有恒心的话，无论再好的学习方案，再好的学习习惯，短期内不坚持最终也是失败。

三角形，函数，不等式

高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。3. 注意下列性质： 要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……an,都有2种选择，所以，总共有 种选择， 即集合A有 个子集。当然，我们也要注意到，这 种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 ，非空真子集个数为 （3）德摩根定律：有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 上单调递减，在 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根5、熟悉命题的几种形式、命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） 满足条件 ， 满足条件 ，若 ；则 是 的充分非必要条件 ；若 ；则 是 的必要非充分条件 ；若 ；则 是 的充要条件 ；若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：  分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数  余切函数  反三角函数的定义域函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？ 义域是_____________。 复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，可由 解出x的范围，即为 的定义域。例 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 。分析：由函数 的定义域为 可知： ；所以 中有 。解：依题意知： 解之，得 ∴ 的定义域为 11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y= 的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y= -2x+5，x [-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数y= 值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y= ， ， 的值域。6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y= （2≤x≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数y=x+ 的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，例求函数y= + 的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y= + 的值域解：原函数可变形为：y= + 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y =∣AB∣= = ，故所求函数的值域为[ ，+∞）。注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法利用基本不等式a+b≥2 ，a+b+c≥3 （a，b，c∈ ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数y= 的值域多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x；②互换x、y；③注明定义域）在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004.全国理)函数 的反函数是（ B ） A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1) C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1)当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函数定义域为 x〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称 ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数 ，则方程 的解 __________.15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求 的正负号或者 与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与 在f(x)的同号区间里反向变化。⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增 增 增 增 增增 减 减 / /减 增 减 / /减 减 增 减 减∴……）16. 如何利用导数判断函数的单调性？ 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3∴a的最大值为3）17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。判断函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.三、 复合函数奇偶性f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)奇 奇 奇 奇 偶奇 偶 偶 非奇非偶 奇偶 奇 偶 非奇非偶 奇偶 偶 偶 偶 偶18. 你熟悉周期函数的定义吗？ 函数，T是一个周期。）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导： ，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 如： 19. 你掌握常用的图象变换了吗？ 联想点（x,y）,(-x,y) 联想点（x,y）,(x,-y) 联想点（x,y）,(-x,-y) 联想点（x,y）,(y,x) 联想点（x,y）,(2a-x,y) 联想点（x,y）,(2a-x,0)（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换：19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k为斜率，b为直线与y轴的交点) 的双曲线。应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程②求闭区间〔m，n〕上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！ （注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）20. 你在基本运算上常出现错误吗？21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、 代y=x，2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1 几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2. 幂函数型的抽象函数 f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（ ）＝ 3. 指数函数型的抽象函数 f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4. 对数函数型的抽象函数f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x•y）＝f（x）＋f（y）；f（ ）＝ f（x）－f（y）5. 三角函数型的抽象函数f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝ 例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1） 判断f（x）的奇偶性；（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3） 若a≥0且f（a＋1）≤ ，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（x1）＝f（ •x2）＝f（ ）f（x2）； （3）0≤a≤2.例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x•y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）•g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝ ；② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；（2） 求证：f（x）为偶函数；（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－ ）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；（2） 令y＝ －1；（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2） f（x）在x∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3） 受指数函数单调性的启发：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝ ，进而由x1＜x2，有 ＝f（x1－x2）＞1.练习题：1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）（A）f（1）＝0 （B）f（ ）＝ f（x） （C）f（ ）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1－x2）＝ ，则f（x）为（ ）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数参考答案：1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ (和三角形的面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)

分子和分母都是二次函数的分式型有理函数 y = (ax²+bx+c)/(dx²+ex+f)，可化简为前几种类型。如果分母无零点，则是连续的。例如：y=(x²-1)/(x²+2) = 1 -3/(x²+2)y min=-0.5(x=0)渐近线是 y=1定义域是x∈R，值域是y∈[-0.5,+1)

你可以左右两边平方，然后找y和x的关系，一般可以化为解析几何里的解析式方程（如：圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线等），然后画出关于它的图像，别忘了y要取正值，就是只要y轴的正半轴上的图像。

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。 4．快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．5．什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6． 常用的函数表示法及各自的优点：○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数 （参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7．函数单调性（1）．增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x1)－f(x2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性u=g(x) 增 增 减 减y=f(u) 增 减 增 减y=f[g(x)] 增 减 减 增注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8．函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ *．当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）．当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．实数指数幂的运算性质（1） ? ；（2） ；（3） ．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>1 0<a<1图象特征 函数性质向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；（3）对于指数函数 ，总有 ；（4）当 时，若 ，则 ；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；○2 ；○3 注意对数的书写格式．两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数 ；○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．2、 对数式与指数式的互化对数式 指数式对数底数 ← → 幂底数对数 ← → 指数真数 ← → 幂（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：○1 ? ＋ ；○2 － ；○3 ．注意：换底公式（ ，且 ； ，且 ； ）． 利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） ．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．2、对数函数的性质：a>1 0<a<1图象特征 函数性质函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．3、函数零点的求法：求函数 的零点：○1 （代数法）求方程 的实数根；○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数 ．1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

每天读10000000000000遍

你说的应该是实际问题吧？因为你没有试题，所以我说一下解决二次函数实际问题的自变量取值范围的点拨和技巧吧！题目一般是要你先列出了二次函数的解析式后求自变量取值范围，那么你就要根据题中与已知条件有关系的自变量来求。例如：利润问题中，一般是设降价X元，那么你就要找到售价为多少，（假设售价为50）即你最多只能降价50元，超过50的话是负值，不符合实际，从而可确定X<50，又因为降价不可能是0元（是0元就不叫降价了），所以最终可知自变量取值范围：0<x<50因为题目类型太多，我只举了一种情况，如果你还有什么不懂的就直接追问我吧，希望对你有帮助。

高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aÏA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC④ 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA ={x | xÎS且 xÏA}SCsAA（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4．快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．5．什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数 （参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．补充二：复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7．函数单调性（1）．增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数 单调性u=g(x) 增 增 减 减y=f(u) 增 减 增 减y=f[g(x)] 增 减 减 增注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8．函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ *．当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）．当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．实数指数幂的运算性质（1） · ；（2） ；（3） ．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential ），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>1 0<a<1图象特征 函数性质向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；（3）对于指数函数 ，总有 ；（4）当 时，若 ，则 ；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）说明：1 注意底数的限制 ，且 ；2 ；3 注意对数的书写格式．两个重要对数：1 常用对数：以10为底的对数 ；2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．对数式与指数式的互化对数式 指数式对数底数 ← → 幂底数对数 ← → 指数真数 ← → 幂（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：1 · ＋ ；2 － ；3 ．注意：换底公式 （ ，且 ； ，且 ； ）．利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） ．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．2 对数函数对底数的限制： ，且 ．2、对数函数的性质：a>1 0<a<1图象特征 函数性质函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．3、函数零点的求法：求函数 的零点：1 （代数法）求方程 的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数 ．1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

原函数可变为x=2y/(1-y)，则2y/(1-y)不等于1且1-y不等于0，解得y不等于1/3且不等于1。

2-x/（x-y）-x/（y-x） =2-x/（x-y）+x/（x-y） =2/x-y

你太棒了，简直就是数学天才

x/√10=x/√(x^2+9),化为x[√(x^2+9)-√10]=0,所以x1=0,或√(x^2+9)-√10=0，后者变为x^2=1,x2,3=土1.

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-8xy^2/2x^2y=-4y/x7a^2b-3ab-7ba-2a^2b=5a^2b-10ab=5(a^2b-2ab)

1、加减型化简主要用到的知识就是分解因式、通分、约分。例1、化简 （08宁波市）解：例2、化简：（08泸州市）解： =====。2、乘除型化简 例3、化简：（08年大连市改编）分析：在解答化简问题时，我们要做到如下几点：1、当分子、分母是多项式时，先进行分解因式；2、进行通分；3、进行约分，化成最简形式。4、遇到除法问题，经常是把除法利用倒数的原理转化成乘法问题。解：===3、加减乘除混合型化简例4、化简：（08福州）分析：在解答化简问题时，我们要做到如下几点：1、当分子、分母是多项式时，先进行分解因式；2、进行通分；3、进行约分，化成最简形式。4、有括号先计算括号里的。解：=例5、化简的结果是（ ）（08年临沂市）A． B． C． D． 分析：先计算括号里的，再把除法利用倒数的原理转化成乘法问题，问题就可以顺利获解。解：==，所以，选D。二、化简求值问题1、加减型化简求值例6、先化简，再求值：，其中．（08年江西中考课标版）分析：在解答时，必须严格遵循题目的要求，要先把分式化成最简分式的形式，然后再代入进行求值。如果直接代入计算的话，就不可能得分了。解：=== 当时， =2 2、加减乘除混合型化简求值这是最主要的题型。例7、先化简，再求值：，其中．（08威海市） 解：＝ ＝ ＝． 当时，原式＝例8、先化简，再求值：，其中（08年嘉兴市）解：当时，原式例9 、已知，求代数式的值。小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程。（08年扬州市）分析：这是化简求值问题的又一种提出问题的方式。解：====，是个固定的常数，所以，与x的值没有关系，所以，当时，原式的值是。评注：体会到先化简的好处了吗。练习：3．3ab-4ab+8ab-7ab+ab=______．4．7x-(5x-5y)-y=______．5．23a3bc2-15ab2c+8abc-24a3bc2-8abc=______．6．-7x2+6x+13x2-4x-5x2=______．7．2y+(-2y+5)-(3y+2)＝______．11．(2x2-3xy+4y2)+(x2+2xy-3y2)=______．12．2a-(3a-2b+2)+(3a-4b-1)=______．13．-6x2-7x2+15x2-2x2＝______．14．2x-(x+3y)-(-x-y)-(x-y)＝______．16．2x+2y-[3x-2(x-y)]=______．17．5-(1-x)-1-(x-1)=______．18．( )+(4xy+7x2-y2)=10x2-xy．19．(4xy2-2x2y)-( )=x3-2x2y+4xy2+y3．21．已知A=x3-2x2+x-4，B=2x3-5x+3，计算A+B=______．22．已知A=x3-2x2+x-4，B=2x3-5x+3，计算A-B=______．23．若a=-0.2，b=0.5，代数式-(|a2b|-|ab2|)的值为______．25．一个多项式减去3m4-m3-2m+5得-2m4-3m3-2m2-1，那么这个多项式等于______．26．-(2x2-y2)-[2y2-(x2+2xy)]=______．27．若-3a3b2与5ax-1by+2是同类项，则x=______，y=______．28．(-y+6+3y4-y3)-(2y2-3y3+y4-7)＝______．29．化简代数式4x2-[7x2-5x-3(1-2x+x2)]的结果是______．30．2a-b2+c-d3=2a+( )-d3=2a-d3-( )=c-( )．31．3a-(2a-3b)+3(a-2b)-b=______．32．化简代数式x-[y-2x-(x+y)]等于______．33．[5a2+( )a-7]+[( )a2-4a+( )]=a2+2a+1．34．3x-[y-(2x+y)]=______．35．化简|1-x+y|-|x-y|(其中x＜0，y＞0)等于______．36．已知x≤y，x+y-|x-y|=______．37．已知x＜0，y＜0，化简|x+y|-|5-x-y|=______．38．4a2n-an-(3an-2a2n)＝______．39．若一个多项式加上-3x2y+2x2-3xy-4得2x2y+3xy2-x2+2xy，则这个多项式为______．40．-5xm-xm-(-7xm)+(-3xm)=______．41．当a=-1，b=-2时，[a-(b-c)]-[-b-(-c-a)]＝______．43．当a=-1，b=1，c=-1时，-[b-2(-5a)]-(-3b+5c)＝______．44．-2(3x+z)-(-6x)+(-5y+3z)=______．45．-5an-an+1-(-7an+1)+(-3an)＝______．46．3a-(2a-4b-6c)+3(-2c+2b)=______．48．9a2+[7a2-2a-(-a2+3a)]=______．50．当2y-x=5时，5(x-2y)2-3(-x+2y)-100=______．52.9/4a+3/2b+c=1/9a+1/3b+c=______。希望你学习进步有什么事加我QQ我是某校的数学教师!

一楼的法二，用待定系数法把分式化为部分分式，是最常用的方法。他的法一，是拼凑法，需要较强的心算能力。

第一题是应用题中“盈亏问题”的“一盈一亏”问题。我们可以这样想：题目中的不变量是班级个数和福娃套数，比较两次不同的分配，可知福娃相差：4 + 5 = 9（套）；相差9套福娃，亳无疑问是由于两次分配中，每个班级相差福娃13 - 10 = 3 (套)而造成的，所以可求班级：（4+5）÷（13-10）=3（个）。则福娃有：3×10 + 5=35（套）or 3×13 - 4=35（套）公式：（盈+亏）÷两次分配数之差=“每”××

我觉得怎么学习数学不是一句话就能说清楚的，不过我可以就我的看法来说一下。先来谈一下平时怎么做吧！针对你的具体情况，你应该多看一下课本，书是最重要的东西，一般来说，只要你把书上的知识搞透澈，不管出题人怎么考你，你也可以应付过来，为什么呢？你应该知道，考试万变不离其宗，它的原型永远是书上的知识，不管一个题目有多难，我们都可以把它分解成几个小题，而这些小题，又基本上来自于书上。让你看书，不是让你一个字一个字的读，而是要仔细品读里面重要的东西，比如说公式，这肯定是要过关的（当然不止这一个因素），像我在高中的时候，我总是以课本为主，所以在我整个高中数百次考试，90%以上的时候我是第一名，现在，我是一个家庭教师，我教的一个学生，什么都可以，就是公式记得不是很牢，就因为这，他的数学成绩就很难上去，后来，我让他把书读好，他的成绩果然有所提升。平时要适量做一下题目，不要做得过多，当然也不能做得太少，做少了的话，考试时做题就可能会很生疏的！再来谈一下考试问题，关于考试，首先是时间问题，做数学的时间不够对大多数人来说是很正常的，所以有很多时候，你不要总是想着怎么才能把试卷做完，以前我的数学老师说过，放弃一定的题目是很明智的，尽量要保证做完的题目的正确性，不过这也不是让你故意放弃一些题目不做，而刻意的去检查，要视具体情况而定。比如说当你觉得个别题目，你确实做不出来，而且你之前又有很多题目（难度不是很大）不确定，那你就完全可以到前面去检查一下，不要抱侥幸心理，总想着：“也许我前面做的可能是正确的”，前面一个就是五分以上，丢了可惜！或者说如果你觉得前面做得不错，后面又有一定量的题目（感觉能做出来）没做的话，你又应该去做一下后面的，毕竟后面还有那么多分没拿到手嘛！另外，做小题的时候，要尽量注意技巧，不要总是老老实实地算，120分钟，哪能去那样做，你要尽量用一些简便方法，而这些，我觉得很多书上都讲得很清楚，只要你认真去体会，领略其中的妙处，掌握那些方法是没问题的！说一些其它的问题，就是你做题目的时候，尽量不要想其它的事情，不要想我这次一定要考多少分，不要想我考不好会有什么不好的结果，反正一句话，做的时候要专心！注意力要高度集中！还有一点我想说一下，千万不要太在意平时的成绩，如果太在意的话，可能会花掉你大部分精力。如果你有这样的精力，你不如用在学习上，这样效果可能会更好一些。要相信自己，没有必要很担心，只要你不要灰心，应该没问题。我始终认为学习中是没有什么固定的方法的，这些要视具体情况而定，所以不能以为别人有什么好的方法，很有可能，你就有一种很好的方法，只是你没有挥出来而已！ 高一是数学学习的一个关键时期。许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟斗就栽在数学上。对众多初中数学学习的成功者，进高中后数学成绩却不理想，数学学习缕受挫折，我想造成这一结果的主要原因是这些同学不了解高中数学的特点，学不得法，从而造成成绩滑坡。 一、 高中数学与初中数学特点的变化。 1、数学语言在抽象程度上突变。 不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2、思维方法向理性层次跃迁。 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等、、、、、、分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，正如上节所述，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的事，这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证形思维。 3、知识内容的整体数量剧增 高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这就要求第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识；第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中；第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法；第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二、不良的学习状态。 1、 学习习惯因依赖心理而滞后。 初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教学中教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了，由“参与学习”转入“督促学习”。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2、 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，而且有的可能还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此，高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。因为在我们广州市可以说是普及了高中教育，因此中考的题目并不具有很明显的选拨性，同学们都很容易考得高分。但高考就不同了，目前我们国家还不可能普及高等教育，高等教育可以说还是属于一种精英教育，只能选拨一些成绩好的同学去读大学，因此高考的题目具有很强的选拨性，如果心存侥幸，想在高三时再发奋一、二个月就考上大学，那到头来你会后悔莫及的。同学们不妨打听打听现在的高三，有多少同学就是因为高一、二不努力学习，现在临近高考了，发现自己缺漏了很多知识而而焦急得到处请家教。 3、 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 4、 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。 5、 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法，实根分布与参变量的讨论，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。 三、 科学地进行学习。 高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动学习，才能提高学习成绩。 1、培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 (1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳打稳扎，它是推动我们主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。 (2)课前自学是上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。 (3)上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。学数学必须先培养兴趣，上课时认真听讲，又不懂得马上问，别等着下课，要对公式……要理解，不要死记硬背，还要多练是为了，考试时，大的顺利，不用浪费时间。 数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。那么，怎样才能学好数学呢？现介绍几种方法以供参考： 一、课内重视听讲，课后及时复习。 新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。 二、适当多做题，养成良好的解题习惯。 要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。 三、调整心态，正确对待考试。 首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。 在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。 由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。 如何学好数学2 高中生要学好数学，须解决好两个问题：第一是认识问题；第二是方法问题。 有的同学觉得学好教学是为了应付升学考试，因为数学分所占比重大；有的同学觉得学好数学是为将来进一步学习相关专业打好基础，这些认识都有道理，但不够全面。实际上学习教学更重要的目的是接受数学思想、数学精神的熏陶，提高自身的思维品质和科学素养，果能如此，将终生受益。曾有一位领导告诉我，他的文科专业出身的秘书为他草拟的工作报告，因为华而不实又缺乏逻辑性，不能令他满意，因此只得自己执笔起草。可见，即使将来从事文秘工作，也得要有较强的科学思维能力，而学习数学就是最好的思维体操。有些高一的同学觉得自己刚刚初中毕业，离下次毕业还有3年，可以先松一口气，待到高二、高三时再努力也不迟，甚至还以小学、初中就是这样“先松后紧”地混过来作为“成功”的经验。殊不知，第一，现在高中数学的教学安排是用两年的时间学完三年的课程，高三全年搞总复习，教学进度排得很紧；第二，高中数学最重要、也是最难的内容（如函数、立几）放在高一年级学，这些内容一旦没学好，整个高中数学就很难再学好，因此一开始就得抓紧，那怕在潜意识里稍有松懈的念头，都会削弱学习的毅力，影响学习效果。 至于学习方法的讲究，每位同学可根据自己的基础、学习习惯、智力特点选择适合自己的学习方法，我这里主要根据教材的特点提出几点供大家学习时参考。 l、要重视数学概念的理解。高一数学与初中数学最大的区别是概念多并且较抽象，学起来“味道”同以往很不一样，解题方法通常就来自概念本身。学习概念时，仅仅知道概念在字面上的含义是不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式。例如，为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，而y=f(x）与x=f-1(y)却有相同的图象；又如，为什么当f（x－l）＝f（1-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称，而 y＝f（x－l）与 y＝f（1-x)的图象却关于直线 x＝1对称，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。 2‘学习立体几何要有较好的空间想象能力，而培养空间想象能力的办法有二：一是勤画图；二是自制模型协助想象，如利用四直角三棱锥的模型对照习题多看，多想。但最终要达到不依赖模型也能想象的境界。 3、学习解析几何切忌把它学成代数、只计算不画图，正确的办法是边画图边计算，要能在画图中寻求计算途径。 4、在个人钻研的基础上，邀几个程度相当的同学一起讨论，这也是一种好的学习方法，这样做常可以把问题解决得更加透彻，对大家都有益。 答一送一： 如何在学习上占第一 学习上占第一，每个同学都可以做到。之所以你占不了第一，主要有两个原因：第一、生活方式、学习方法不正确，第二、没有坚强的毅力。在这里面毅力是第一重要的，学习方法是第二重要的。在现实生活中，全中国仍有70％以上的占第一的学生虽然占了第一，但他们并不是毅力最强的，或者说学习方法生活方式不是最好的。他们也许今天是第一，明天就不是了。也就是说，你如果按占第一的方法去学习、去锻炼，一般都会超过现有的第一。 辉煌的第一是不是要经过艰苦的努力才能得到呢？说它艰苦是因为“培养坚强的毅力”是世上最艰苦的工作，只有你具有了坚强的毅力才可能成为第一，当然正确的生活方式和学习方法也是特别重要的。在这里什么是坚强的毅力呢，只要你能按下面几点要求去做，而且每天都做记录，持之以恒，每天都不间断地坚持一个学期、一年、三年，那么你的毅力就足以达到占第一的要求了。在这项锻炼中就怕你中间有间断，风雨、心情、疾病、家务等等都不是你中断锻炼的理由。你要记住，学好学业是你学生生活中最重要的，没有什么工作的重要性会超过它。除了坚强的毅力，正确的学习方法和生活方式也是很重要的。 第一人人可以占，原来占第一的同学也不一定就比你更聪明多少，脑细胞也不一定比你多。爱迪生不是说过“天才是百分之九十九的汗水加上百分之一的灵感”吗？！所以你第一要过心理关，就是说：要坚信你一定能成功，一定会超过现有的第一，包括现在是第一的你自已。 第二、你要天天锻炼。没有一个健康的身体，你什么事也做不好，即使偶尔做好了，也不能长久。每天30分钟左右的锻炼一定要天天坚持。锻炼的形式多种多样，跑步、打乒乓球、打篮球、俯卧撑、立定跳远等等都可以。有些同学好面子，见到别人不跑步，怕自已跑别人看见了不好意思，那就错了，真正不好意思的是辛苦了几年考不上大学，是上了几年大学还要下岗。如果将来自已养活不了自已，那才是真正不好意思的。 第三、学习态度要端正。每次上课前，一定要把老师准备讲的内容预习好，把不好理解的、不会的内容做好标记，在老师讲到该处时认真听讲。如果老师讲了以后还不会，一定要再问老师，直到明白为止。当一个问题问了两遍三遍还不会时，一般的同学就不好意思问了，千万别这样，老师们最喜欢“不问明白誓不罢休”的性格了。上课时要认真听讲，认真思考，做好笔记。做笔记时一定要清楚，因为笔记的价值比课本还，将来的复习主要靠它。 课下首先要做的不是做作业，而是把笔记、课本上的知识点先学好，该记的内容一定把它背熟。这样会大大提高你做作业的速度，即平常说的“磨刀不误砍柴功”。做作业时应该独立思考，实在不能解决的问题，再和同学、老师商量。问同学时，不要问这道题结果是什么，而是要问“这道题究竟怎么做？”“这道题为什么这样做？” 第四、正确面对错误和失败。当有的知识你没有在课上学会、当你的练习做错时或者在考试中成绩太差时，你既不要报怨，也不要气馁，你应该正视这自已不愿得到的现实。没有学会不要紧，把该知识写到你的《备忘录》中，然后问同学问老师，再把正确的解释或结果，写到其它页上。错了题也是这样，考试失利不就是错的题多点吗，正确的方法是把原题抄到《备忘录》中，把正确的做法学会后，把做法和结果写到其它页上，如果能注上做该类题的注意事项，就会把你的学习效率又提高30％－60％。之所以把答案或解释写到其它页上，就是为了下次看知识点或错误的题目时，再动动脑筋，想想该知识点的理解和解释情况，再练练该题的做法和答案。错误和失败并不可怕，只要你能正视它，一切都会成为你成功的动力。 第五、记帐。你的学习一定要有一本帐，你什么时候做得好，记下来，什么时候错了题，记下来(注：帐本上只记“今天错题为《备忘录》××页×题)。课下几点几分学了英语，记录好；几点几分至几点几分学了物理记下来。把你生活中锻炼、学习的分分秒秒记录在你的帐本上，把你每次作业和考试中的正确题数、错误题数和错误题号(《备忘录》上的页号题号)一一记录在你的帐本上。把你每天学会的知识点都记录在帐本上，以备明天、后天再检查一下自已是否真正掌握了这些知识点。在帐本上过去了几天的知识点，你一定要学会并能熟练掌握。 帐本记录的是你学习、锻炼中每一个细节。这样记下来，在校生活中，每天约有一页32开纸的记录量，不在校时可能有两页32纸的记录量。在星期和假期里千万不能间断。把你的帐一天天积累起来，这就是你所走过的第一之路。 虽说在素质教育的今天学校不排名次，但学习出类拔萃是我们努力的目标，是我们考上高一级学校的必要条件，也是我们走向社会后，做好每一件工作的资本。同学们，去争取第一吧。如果你一年年按上面的要求做，你一定能占第一。 如果大家都这样去做，即使你占不了第一，一定是中国出类拔萃的学生，因为中国大多数的同学没有这样的毅力，没有这样好的学习方法和生活方式。同学们，为美好的明天奋斗吧 物理的跟数学差不多吧！有了方法，一切都能学好！ 内容提要： 我们从网上和书中、以及调查中发现了许多学生提高数学学习的案例，为了提高中学生的数学学习我们希望对你的今后的数学学习有所帮助。 我们从网上和书中、以及调查中发现了许多学生提高数学学习的案例，为了提高中学生的数学学习我们希望对你的今后的数学学习有所帮助。案例1：任静初三以前数学从未及格过，因此他爸让老师辅导她。其实她也没做什么，只是每周到老师家讲一次课，让她把课堂上学的东西讲给老师听，直到老师满意为止。半年下来，他的数学成绩取得了突飞猛进的进步。高三毕业那年，她参加的二次模拟考试，一次得了 148 分，一次得了 149 分。后来保送进北大了。进北大不到一年，又考取了美国的一所大学，去美国念书去了。去年她给老师发 E-mail 说，她的美国同学说他是数学天才，可是美国同学根本就不知道她在初三以前数学是多么的差啊！ 案例2：一个老师带着一个数学成绩很差的初一班，他每周都测验他的学生，而且公开告诉他的学生，考题全部是他上课讲的例题。学生开始一片哗然，但 90% 的学生却有了信心拿满分，只有班上几个最差的学生不敢这么说，很快第一次测验结果出来了，及格率 48% ，满分率不到 8% ，第二次情况有所好转，初一时这个班数学成绩与同年级数学特长班平均分相差 12.5 分。初二时与数学班只差 1.5 分，比年级平均分高 10 分。初三毕业，这个班几乎与数学特长班没有区别。所以，学会例题学好例题才能举一反三，是学好数学的一条捷径。 案例3：马一扬在学习报上看了下列对学生学习数学特点的分类：第一种，优秀型．双基扎实，学习有法，智力较高，成绩稳定在优秀水平．第二种，松散型．学习能力强，但不能主动发挥，学习不够踏实，双基不够扎实，学习成绩不稳定．第三种，认真型．学习很刻苦认真，但方法较死，能力较差，基础不够扎实，成绩上不去．第四种，低劣型．学无兴趣，不下功夫，底子差，方法死，能力弱，学习成绩差，处于 “ 学习脱轨 ” 和 “ 恶性循环 ” 状态。对不同类型的学生，指导方法和重点要不同．对第一种侧重于帮助优生进行总结并自觉运用学习方法；对第二种主要解决学习态度问题；对第三种主要解决方法问题；对第四种主要解决兴趣、自信心和具体方法问题．马一扬认为自己属于第三种类型，于是请教老师数学学习方法，老师认真地给他指出上课、预习、复习、作业的具体操作方法，他坚持应用了三个月，在一次单元测验中，考得 92 分。 案例 4 ．马雅萍是一名中等生，她为了提高数学学习成绩，每天严格按数学老师说的反思卡的内容进行学习，这种反思卡按评价指标分为认知领域和情感领域。按时间分为课上课下：认知领域包括： 1 ．听课科目（几何或代数）； 2 ．讲课内容； 3 ．课上掌握情况； 4 ．没掌握的内容及原因； 5 ．做作业情况； 6 ．一天中学习数学的时间。情感领域包括： 1 ．听课情绪； 2 ．数学学习感觉； 3 ．对任课教师说几句话； 4 ．对自己说几句话。通过 9 周的实验过程，马雅萍在进行单元测验和期中考试中，数学成绩都有很大提高。 案例 5. 北京的一位数学老师给自己的学生主要传授以下五种具有可操作性的、行之有效的、适合中学阶段的学习方法： 1 、培养彻底掌握基础知识的方法与习惯； 2 、培养吃透典型例题的方法； 3 、培养课堂记忆的良好习惯； 4 、培养运算准确性的自信心； 5 、培养研究分析的方法和习惯。沙文华同学觉得 5 种方法中， “ 计算准确性 ” 最适合自己。在平时，他很容易犯马虎的问题，不是数抄错，就是加号看成减号，期中物理考试就出现了此类问题。于是他让老师将如何解决 “ 计算准确性 ” 的各种措施告诉他，他就按着方法一步一步地做，不但不犯马虎毛病，而且做的时间还缩短，考试成绩有了较大的提高。

摘要：数学类比和对比法是数学教学中常用的一种重要方法，文章通过实例阐述数学类比和对比法在初中数学教学中的应用。数学问题浩如烟海，面对一个个数学问题如何着手求解?有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍稍变换一下，就不知所措，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。掌握一种新的思考方法要比学会解几道具体习题更为重要，这些解题方法和技巧是进一步学习数学不可缺少的工具，数学方法的学习，在数学学习中起到事半功倍的效果，本文就数学类比和对比法在初中教学中的具体应用进行阐述。类比是根据两个对象有一部分性质类似，推出与这两个对象的其他性质相类似的一种推理方法。因此，类比是从特殊到特殊的推理。通过类比，可以发现新旧知识的相同点，利用已有的旧知识，来认识新知识。对比是通过比较，找出一事物区别其他事物的特点，通过对比可以找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解。类比和对比这两种方法是相辅相成的，都是通过新旧知识的相互联系，利用已有的旧知识，揭示新知识的本质。例如：在学习分式这章时，关键是要用与分数类比的方法导出分式概念，分式基本性质与分式的四则运算法则，这样新知识易为学生接受与掌握，具体操作如下：首先，复习小学学过的分数概念：两数相除，可以表示成分数的形式.如3÷4= ,(-7)÷2=- ,5÷(-9)= ， 一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零，为什么分母不能为零呢?因为零不能做除数，分数有正分数、负分数，如果分子等于零，只要分母不是零(不论是正数还是负数)，这个分数的值就是零。把分数的概念引伸到代数式来，如 这两个式子有什么特点?(1)分式由分子、分母与分数线构成；(2)分母中含有字母，这就是分式，这样就很自然地引入了分式的概念，接着，指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。其次，在讲分式的基本性质时，先复习分数的基本性质，推想分式的基本性质，我们来看如何做不同分母的分数的加法： ； ，这里先将异分母化为同分母， ，这是根据什么呢?根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，因此，分式应该有 ，这里，A、B、M是整式，根据分式的概念应该要求B 0，由分数的基本性质应该想到M 0 。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。第三，分式的四则运算顺序也可以类比分数进行，先做括号内的运算，然后再进行乘除运算，最后进行加减运算，这个顺序和步骤正是分式四则混合运算的顺序和步骤。概括地说是：“先乘除，后加减、括号内先进行”。在几何教学中，在讲解相似三角形判定定理可类比全等三角形得到，全等形与相似形的关系：全等三角形是相似三角形，当相似比值K＝l时的特例，全等与相似条件的比较：(1)两角相等——两三角形相似两角相等，夹边相等——两三角形全等；(2)两边成比例、夹角相等——两三角形相似两边相等，夹角相等——两三角形全等；(3)三边对应成比例——两三角形相似三边对应相等——两三角形全等。此外，在多项式除法与多位数除法，因式分解与质因数分解：开立方与开平方，中心对称与轴对称；分比定理与合并定理；扇形面积公式与三角形面积公式等等，都可以通过类比和对比进行教学，这种数学方法的教学，学生在学习过程中能较轻松地接受新知识，在实践中也证明，这种类比和对比的数学方法，学生掌握的知识扎实，理解也较好。当然，类比和对比只能用来帮助我们建立猜想，作为研究问题的线索。

将分数2x+Y的平方中的X和Y展开为原始的3倍，并将分数2xx+Y的正方形中的X与Y展开为初始的3倍。分数的值为分数X²/（2x+Y）中的X和Y扩展为原始分数的三倍后，新分数为：（3x）&35178/（3×2x+3y）=9x²/（6x+3y）＝3x²/（2x+Y）手柄分数X&178/X和Y（2x+Y）扩展为原始的三倍，分数的值是原始分数的3倍

高中数学分式光出分数线，不显示数，是系统原因。根据资料显示，数是由工作人员输入到系统中再从手机显示出来的。

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这种类型的题一般都是要求每个分式的分子比分母的最高项次数少一，是为了保证分式情况的完全性，也是为了保证通分以后每个分式的分子最高项次数都相同。

不知道你学得是哪个教材的..怎么数学还出这么无聊的计算繁杂的题..第一题不懂啥叫最简部分分式,好像是那种分开写的分式和吧..第二题.嗯.X^2-(7N+6)X+2(N+1)(5N+4)=0用十字相乘啦.一眼就可以看出来一个根是x=5N+4,一个根是x=2n+2.如果产生整根的话,必然n是整数,所以两个根都可能等于该二次函数图象与X轴两个交点的横坐标的差的平方.现在只要算出图象与X轴两个交点的横坐标的差的平方是多少,两者相等就可以了.那么图象与X轴两个交点的横坐标的差的平方等于(根delta/4)方=delta/16(delta就是判别式,读delta嘛~~)继续等于~=[64n^2+16(3n+2)]/16=4n^2+3n+2得出这个式子,只要等于2n+2,或等于5n+4就可以了.那么最后列出两个方程,解出来,第一个得n=0,第二个得1,(分数根我舍了)好啦....答案就是n=0或1,我检查过啦.两种情况都正确~咳.一楼正解.我就不弄斧了.害得我用十字相乘跟人家的待定系数比功夫.

(2x³-x²+1)/（x²+1）（x²+2）=[(Ax+B)/（x²+1）]+[(Cx+D)/（x²+2）]=[(Ax+B)（x²+2）+(Cx+D)（x²+1）]/（x²+1）（x²+2）=[(Ax^3+2Ax+Bx²+2B)+(Cx^3+Cx+Dx²+D)]/（x²+1）（x²+2)=[(A+C)x^3+(B+D)x²+(2A+C)x+(2B+D)]/（x²+1）（x²+2）等式两边对应系数相等得:A+C=2................(1)B+D=-1................(2)2A+C=0..............(3)2B+D=1..............(4)解得:A=-2,B=2,C=4,D=-3所以(2x³-x²+1)/（x²+1）（x²+2）=[(2-2x)/（x²+1）]+[(4x-3)/（x²+2）]