A是R2的线性变换,在基e1,e2下的矩阵w=[2 -5;1 -2],求A的所有不变子空间

知识点:线性变换在不同基下的矩阵相似
设 T 在某基下的矩阵为 A.
则由已知对任一可逆矩阵P,P^-1AP = A.
所以 AP=PA
所以 A 为一个数量矩阵 kE
故线性变换T为数量变换

矩阵是(1,1,1; 0,1,1; 0,0,1)
可逆就不用我做了吧?
2σ-σ(-1)直接带入计算就行了

前一题有点问题
后一题的关键是除法,对于代数元可以构造出1/f(α),对于超越元除法是不封闭的,有理函数才能构成域

证:设 k0a+k1B(a)+k2B^2(a)+……+k(n-1)B^(n-1)(a)=0 (1)
用B^(n-1)作用等式两边,因为B^n(a)=0,
故得 k0B^(n-1)(a)=0.
又因为 B^(n-1)(a)!=0,所以 k0=0.
(1)式变为
k1B(a)+k2B^2(a)+……+k(n-1)B^(n-1)(a)=0 (2)
再用B^(n-2)作用(1)式两边,
由B^n(a)=0,得 k1B^(n-1)(a)=0.
再由 B^(n-1)(a)!=0,知 k1=0.
得 k2B^2(a)+……+k(n-1)B^(n-1)(a)=0 (3)
如此下去,得 k0=k1=k2=...=k(n-1)=0.
所以 a,B(a),B^2(a),……,B^(n-1)(a) 线性无关.
又因向量组含n个向量,故为V的一组基.
B(a,B(a),B^2(a),……,B^(n-1)(a))
= (B(a),B^2(a),……,B^(n-1)(a),0)
= (a,B(a),B^2(a),……,B^(n-1)(a))*
0 0 ...0 0
1 0 ...0 0
0 1 ...0 0
......
0 0 ...1 0

是的
矩阵和线性变换是一一对应的,特别地,可逆矩阵和可逆线性变换也是一一对应的
补充问题：可以.实际上用矩阵乘法构造L(X)=AX则L对应矩阵为A

T(x1,x2,x3)'=(-x1-2x2+2x3,x2,x3)'
= A(x1,x2,x3)'
A=
-1 -2 2
0 1 0
0 0 1
-- A是在基本向量组ε1,ε2,ε3下的矩阵.
所以A的特征值为 -1,1,1.
(A+E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T
所以属于特征值-1的全部特征向量为 k1a1,k1为任意非零常数
(A-E)x=0 的基础解系为 a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,0,1)^T
所以属于特征值 1的全部特征向量为 k2a2+k3a3,k2,k3是不全为0的任意常数

这说明该变换在在某个标准正交基下是对角变换，当然正规

将A作用于L(α,Aα,…A∧k-1α）的基得到Aα,…A∧kα,由于α,Aα,…A∧kα线性相关,所以Aα,…A∧kα均能够由α,Aα,…A∧k-1α线性表出,所以是A-不变子空间；
假设U为A-不变子空间且包含α,那么也包含Aα,A^2α,……,A^kα,所以U包含L(α,Aα,…A∧k-1α）,也就是说L(α,Aα,…A∧k-1α）是包含α的最小的A-子空间

是随机过程的线性变换吧
线性变换 linear transformation
线性代数研究的一个对象,向量空间到自身的保运算的映射.例如,对任意线性空间V,位似σk：aka是V的线性变换,平移则不是V的线性变换,若a1,…,an是V的基,σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1,2,…,n）,则称为σ关于基｛a：｝的矩阵.对线性变换的讨论可藉助矩阵实现.σ关于不同基的矩阵是相似的.Kerσ＝｛a∈V｜σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核,Imσ＝｛σ（a）｜a∈V｝称为σ的象,是刻画σ的两个重要概念.
对于欧几里得空间,若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵,则称σ为正交（对称）变换.正交变换具有保内积、保长、保角等性质,对称变换具有性质：〈σ(a),β〉＝〈a,σ（β）〉.
关于线性变换和特征值的理解
首先我们来看这样一个事实.一个二维的直角坐标系XOY,然后逆时针方向旋转了ө角变为X’OY’后,那么我们考察一下后会发现,在XOY和 X’OY’的坐标系之间存在这样的转化关系. .这里我们进一步来理解这个等式的含义.就是说在XOY坐标系下的某一个点 在X’OY’坐标系下的坐标变为了 .那么我们同样来考察一下这两个坐标系下的基坐标.就是来考察在XOY坐标系下的基坐标 （1,0）和 （0,1）在新的坐标系X’OY’下的 基坐标下的投影大小用 （1,0）和 （0,1）来表示为这样的. （1,0）在 的投影 = ； （1,0）在 的投影 = ；.那么我们就说这个坐标旋转线性变换的变换矩阵为 .注意,这里的矩阵的排列是前面两个基坐标系数方程的专职矩阵,之所以写为转置矩阵是因为我们习惯这样来写基坐标的线性变换A =( , ) .我们可以看到这样的旋转变换的目的就是把坐标系旋转后来看一下.这样的旋转角度一旦确定以后,我们就能够得到原来的老坐标下的坐标点在新坐标系下的坐标为 .注意的是,这里的坐标是右乘变换矩阵.我们指出（从后面可以进一步清楚地理解,这里的旋转变换只不过是线性变换的一个具体的例子而已.更广义的线性变换的例子我们将在下面进一步理解）.下面我们来理解什么是线性变换.它的数学定义在一般的高等代数学书中都可以找到.A(a+b)=Aa+Ab,Aka=kAa.其中a,b是V中的线性空间（线性空间的定义还是继续看高等代数书吧）.这个定义就是说把空间中的元素（特殊地想为三维空间的向量）经过一个变换,而这种变换是具有线性的特性的（就是满足上面的那个和、乘关系.三维空间的一个坐标旋转就满这种关系,可见,所谓的线性变换只不过是一个很抽象的一类具体变换的集合,很多例子）.那么这种变换的从一个元素转变到另外一个元素的对应关系,我们可以用前面的一个矩阵来表示,称为线性变换矩阵.这个的意义就是给出从一个元素变化到另外一个元素的转换关系而已,这样来看的话,那么前面的坐标系旋转只不过是线性变换的一个具体例子而已.线性变换的生动例子太广了.为了后面的说明的需要,我们来仔细考察下面的一个很有意思的例子.在三维空间中,我们有一个球心在原点（XOYZ和 X’OY’Z’的坐标系具有不为零的三个欧拉角）的球面,球面上的每一个点当然都有一个空间矢量,现在呢,我们让这个球开始沿着X’OY’Z’的三个主轴方向变化,假设X’,Z’方向膨胀,Y’方向收缩,那么我们可以想见,只有这三个方向的位置矢量是沿着原来的方向变化着的,其它的位置矢量在新的位置都会和原来的位置矢量有一个夹角.容易直观的理解,这样的变换是线性变换,下面我们要考虑的问题是,怎样来描述这样一个变换过程.无疑我们可以用变换矩阵来表明表面上任意一个点在变化前后的位置对应关系.但是,我们似乎可以预计,如果用X’OY’Z’坐标系（一个基坐标）来描述这种变换的话,要比XOYZ坐标系（另外一个基坐标）下的变换矩阵要简单一些.呵呵,问题是,在一般情况下,我们得到的变换矩阵都是在一般的基坐标下的矩阵,怎样找到这个特殊的基坐标呢,自然也是我们的问题之所在了.好了,有了这个基础理解,下面我们来点理论的事情.前面的二维例子已经指出,变换矩阵就是把一个元素（向量）变换到另外一个元素（向量）的过程.那么,我们先来考察这个元素是基坐标的特列会得到什么样的结果.假设我们已经给出这样的一个变换矩阵. .那么我们再来右乘一个基坐标 变为 （注意,矩阵的这种乘法就相当于张量右向点乘一个矢量）.得到的结果就是这个基向量 = 变为了 = .变为了一个不和原来的基坐标同方向的矢量.同样地,其它两个基坐标也会变化为其它的方向.进一步我们指出,如果说空间中的向量（因为任何一个向量都可以用无关的基向量表述,所以我们可以自然拓广为包含基坐标的一般向量）在这个变换下得到的变换后的坐标与原来的关系为： = .我们可以想像,在这种变换矩阵的作用下,能否找到空间中某一个向量经过这种方式变换以后,具有和原来的向量同方向,但是只是它的这个大小具有 倍的关系,即我们经常见到的 .假设我们这样的向量 存在的话,那么我们的 就称为特征向量,（因为其具有线性变换下方向不变的特征）, 称为特征值.很显然,我们可以用前面的圆球变椭球来想象,这种情况是可能发生的,但是,我们指出,这种情况发生与否只与变换矩阵本身相关.关于变换矩阵的特征值和特征向量我们多说一句,其具体的求法就是求解一个特征多项式,得到特征值后,将每一个特征值反带回元原来的方程组得到特征向量.并且,我们指出,物理意义上相同的同一个线性变换,用不同的基坐标来表示得到的变换矩阵是不一样的（就拿旋转变换来说吧,假设我现在已经有了两个坐标系XOY和 X’OY’,现在又有第三个坐标X’’OY’’首先与XOY重合,然后在旋转一个角度,那么这个转转变换在XOY和 X’OY’坐标系下的变换矩阵显然是不一样的,因为针对不同坐标系的旋转角度是不一样的）.但是,可以证明同一种变换在不同的基坐标下的变换矩阵是相似的.并且可以证明相似矩阵具有相同的特征多项式,这也就是说同一个变换的特征多项式至于变换本身有关系,而与具体的选择的基坐标无关,是有变换本身的特性决定的.那么,我们自然可以相问,能否找到一个基,使得这个变换矩阵具有最简单的形式（当然是对脚矩阵了）.换句话说,就是能否找到一个矩阵和对角性矩阵相似.如果可以的话,那么这个对角形矩阵是由什么组成的,.下面,我们先来在假设第一个问题量是肯定的情况下,来看看第二个问题.我们还是用前面的圆球变椭球来想象,这种物理上的变换是不会随着基坐标系的改变而改变的.那么就圆球变椭球的例子,我们可以看到,在XOY坐标系下的变换矩阵不简单,但是,如果我们将基坐标选择为和 X’OY’重合,那么在这个坐标系下,同样基坐标方向上的那个向量在进行矩阵变换后只是变为原来的λ倍.由 = ,同样的,我们换用其它的两个基 = ； = .可以看出,要实现这样的变化只能是 = = = = = =0,而 , , .这样的话,在这个特征向量作为基的情况下,我们得到的线性变换的矩阵是最简单的对角形矩阵,并且对角线上的元素全是特征向量的特征值,至于具体的排列顺序没有严格的要求,但是,必须和你选择的基坐标的顺序一样,也就是说,如果选择 位置的话,那么就同时必须把 对应的特征向量作为X方向的基坐标.同时我们也可以看到,在三维空间中,变换矩阵表示为对角形的三个基向量是线性无关的,这个概念推广就是我们一般的结论那就是一个nxn维变换矩阵能相识于一个对角形矩阵（或者说可以在特征向量的基坐标下变化为对角形）的充要条件就是必须必须具有n个线性无关的特征向量.如果这一结论对多有矩阵都成立的话就比较完美了,但是可惜的是,并非所有矩阵都有和其维数一样多的特征向量.但是,我们可以得出如下的结论.1、属于不同特征值的特征向量彼此之间线性无关,2、如果某一特征值有几个线性无关向的特征向量,那么这几个线性无关向量和其它任何不同特征值的特征向量是线性无关的.3、矩阵相似与对角阵的条件是矩阵有和维数一样多的线性无关特征向量.好了,问题基本就解决了,我们最后指出,实对称矩阵必定可以对角化.最后我们来联系流体力学来看,张量 的意思就是把 变化到另外一个地方去.那么变形速度张量和一个 的右向内积就是得到一个变形速度.

.因为2cos^2 t-cos2t-1=0所以在实函数空间中1,cos^2 t,cos2t是线性相关的

线性是要求和的像等于像的和,且数乘的像等于像的数乘,即
f(a+b)=f(a)+f(b),且f(ka)=kf(a).
而映射与变换的区别在于,映射通常是指两个不同空间之间的对应,而变换也是映射,但是指一个空间到自身的映射.线性映射和线性变换则要求他们首先都是线性的.

T(1,x,x^2,x^3)
= (T(1),T(x),T(x^2),T(x^3))
= (0,0,2,6x)
= (1,x,x^2,x^3) K
K =
0 0 2 0
0 0 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0

可你线性变换,几何意义,其实是实现了函数的平移,旋转,所以没改变参数,和性质.
比如二次型化为标准型的过程中,
原方程
f=XAX'
转化后
f=YKY'
其中K是与A相似的对角阵.X=CY,C是单位正交矩阵.
X=CY,只是实现了从X坐标系转换到了Y坐标系,但是表征参数的矩阵,从A变成了K,可是他们的特征值是一样的,所以两个函数图象的参数是不变的.

判断线性变换,你就可以用线性变换的几个性质去检验,满足就是,只要有一条不满足就不是

是线性的.

这个问题对于一般的两个相似矩阵可能不是很好解决,仿照求矩阵到其Jordan标准形的过渡矩阵,可以提供一个也许可解的方法：
若A在基a1,a2,...,an与b1,b2,...,bn下的矩阵分别为A、B则有B=S^（-1）AS（S是基a1,a2,...,an到基b1,b2,...,bn的过渡矩阵）,等号两边左乘S,则AS=SB,这说明S是矩阵方程AX=XB的解.将X按列分块为（X1,X2,...,Xn）,B按行分块为（B1,B2,...,Bn）',则A（X1,X2,...,Xn）=X（B1,B2,...Bn）'——＞（AX1,AX2,...AX2）=（XB1,XB2,...,XBn）=（b11X1+b21X2+...+bn1Xn,b12X1+b22X2+...+bn2Xn,...b1nX1+b2nX2+.+bnnXn）,对应元素相等,若出现AXi=kXi形式,则Xi为A的属于特征值k的一个特征向量,解（A-kE）Y=0可得Xi；若出现AXj=Xp+sXj形式且Xp已求出,则可取Xj为（A-sE）Y=Xp的一个特解.
由上面的过程也可以看出已知线性变换在不同基下的矩阵求得的过渡矩阵是不唯一的.

这要用到实对称矩阵对角化与坐标变换的知识,不妨参考高等教育出版社,陈志杰老师主编的《高等代数与解析几何（下）》第九章第2节,第132页

设v、w是两个线性空间.一个v至w的线性映射T,就称为v至w的线性变换.
线性变换必须满足任意的x,y∈v 及任意实数a,b,有 T（ax+by）=aT（x）+bT(y)
如恒等变换 I .v→v,对任意的x∈v,有 I(x)=x
因为 I(ax+by)=ax+by= a I(x)+b I(y) 满足 T（ax+by）=aT（x）+bT(y)所以 I 是线性变换.
几何上恒等变换不改变图形的大小和位置.其在常用基下对应的矩阵为单位矩阵E.
是不是线性变换就通过看是否满足T（ax+by）=aT（x）+bT(y)来验证.
同理 旋转变换、伸缩变换（几何上表现为扩大缩小图形 X=kx;Y=ky）、切变变换（几何上表现为X=x+ky;Y=y+kx)、投影变换(投影在x或y轴上）、反射变换（几何上表现为关于某条直线对称）、零变换（O）等都是线性变换.
若一个变换是由几个线性变换复合而成,该变换也为线性变换.
学到后面基本都是考线性变换对应的矩阵的相关计算及应用.

线性代数研究的一个对象,向量空间到自身的保运算的映射.例如,对任意线性空间V,位似σk：aka是V的线性变换,平移则不是V的线性变换,若a1,…,an是V的基,σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1,2,…,n）,则称为σ关于基｛a：｝的矩阵.对线性变换的讨论可藉助矩阵实现.σ关于不同基的矩阵是相似的.Kerσ＝｛a∈V｜σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核,Imσ＝｛σ（a）｜a∈V｝称为σ的象,是刻画σ的两个重要概念.
对于欧几里得空间,若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵,则称σ为正交（对称）变换.正交变换具有保内积、保长、保角等性质,对称变换具有性质：〈σ(a),β〉＝〈a,σ（β）〉.

Aa表示A中的向量按照a的分量为系数进行线性组合的结果（把A按列分块乘出来看就明白了）,
然而把X和Y看作某一线性变换f的表示矩阵时,f(A)=AX,f(B)=BY,也就是把f的像按原来的基进行表示,自然是不会有f(A)=f(B)的,在类比的时候要注意每个量的意义.
如果要推导相似变换和过渡矩阵的关系,只要利用
AXa=f(A)a=f(Aa)=f(Bb)=f(B)b=BYb,再结合过渡矩阵的定义有A=BP,Pa=b,代进去就能得到PX=YP.

只需证明A的特征向量中能够选出n为向量空间的一组基：（不妨设A是n行n列的）
首先设λ是A的特征值,那么λ^2是A^2的特征值,
∴(A^2)ξ=λ^2*ξ=Eξ=ξ
∴λ^2=1
∴λ=±1
∴A只有特征根±1
先找到1所对应的一组线性无关向量特征向量：
就是满足：Aξ=ξ的一组线性无关向量
也就是(A-E)ξ=0
很显然解空间的维数是：n1=n-rank(A-E)
∴可以从中选出n1个线性无关的特征向量.
在考虑以-1为特征根的特征向量：
也就是Aξ=-ξ
∴(A+E)ξ=0
显然解空间的维数是：n2=n-rank(A+E)
∴可以从中选出n2个线性无关的向量.
现在n1+n2=2n-rank(A+E)-rank(A-E)
现在只需要证明：rank(A+E)+rank(A-E)=n
这一步的证明并不难：先证明rank(A+E)+rank(A-E)≥n
这是因为A^2=E∴detA=±1∴A可逆∴rankA=n
而又∵rankA+rankB≥rank(A|B)≥rank(A+B)
∴rank(A+E)+rank(A-E)≥rank2A=rankA=n
再证明rank(A+E)+rank(A-E)≤n
∵(A+E)(A-E)=A^2-E^2=0
∴A-E的列空间是(A+E)X=0的解空间的子空间
又∵A+E的解空间的维数是n-rank(A+E)
∴rank(A-E)≤n-rank(A+E)
∴rank(A-E)+rank(A+E)≤n
综上所述：rank(A+E)+rank(A-E)=n
∴n1+n2=n
∴n维线性空间有一组A的特征向量组成的基.
∴A可对角化
显然去上面的满足Aξ=ξ的n1个线性无关向量,取Aξ=-ξ的n2个线性无关向量
加起来总共n个,将他们以列向量的形式排成一个n阶方阵T,
∵其列秩为n
∴可逆
∴T^(-1)AT=diag(1,1,…,-1,-1)

对.
两个平凡子空间都是不变子空间
即 {0} 与 V 本身

结论不对啊.取A=【0 1
0 0】,向量a=【x
y】
则Aa=【y 0】^T,T是转置.
于是Aa=0的Ker空间要求y=0,即【x 0】^T是Ker空间的向量.
而Aa=【y 0】^T表明A的值域AV也是【x 0】^T这种形式的向量,因此
AV+A的Ker=AV=A的Ker,是一维空间,不等于V.

W是A的不变子空间的条件是? -----------------------AW含于W.

这是一个大课题,我们说个大概吧.设线性变换T在基底X1,……,Xn下的矩阵
为A,即（TX1,……,TXn）′＝A（X1,……,Xn）′.
把矩阵A化为Jordan标准型J:有满秩P,PAP^（-1）＝J
J＝分块对角阵（J1,……,Jk）,Ji都是Jordan块.
则关于基底PX1,……,PXn,T的矩阵为J.
在J1,……,Jk中任取j块,对应的行（列）序数为 j1,……,jt.
则PXj1,……,PXjt所张成的子空间皆为T不变子空间.
并且所有的T不变子空间都可以这样得来.

一般来说,我们把一个集合映到其自身(可以是它的子集)的线性映射称为线性变换

1. 0或1
2. 2；3
3. 利用行初等变换把A和B'都化成上三角阵即可.
4. 构造
B 0
0 A-B
利用初等变换即可.
等式成立条件不对,应该是BA^{-1}B=B
第三题写错了,难怪你看不懂,就帮你把第三题写详细些,第四题够清楚了,细节自己补.
取n阶可逆阵P(利用Gauss消去法),使得
PA=
R
0
其中R是r阶上三角阵,且对角元都非零.
取m阶可逆阵Q,使得
QB'=
L
0
其中L是r阶下三角阵,对角元非零.
于是
PABQ'=
RL' 0
0 0
rank(AB)=rank(PABQ')=r.

二维空间变换 (a,b)=(b,-a)
0 1
-1 0 ,没有本证值

应用一个小引理就好：
如果一个线性变换A能在基{a1,...,am,...,an}下写成
(A11 A12
0 A22)
A11是m*m的矩阵块,A22,(n-m)*(n-m).
那么有,W=V(a1,...,am)是A的不变子空间.
证明是挺简单,
A(ai)必然是a1-am的线性组合,a(m+1)-an的系数是0；
故,如果a是a1,...,am的线性组合,则A(a)是a1,...,am的线性组合,与a(m+1)-an无关.
所以必然是不变子空间.
用这个引理,+任意复方阵可以上三角化,
得到结论,
任意复线性变换,存在一组基a1-an,在这组基下的矩阵是上三角形.
这样,加引理得到,
空间Vi=V(a1,...,ai)是i维不变子空间.
大姐,您大人大量,给个采纳吧!这可是我的首秀啊!

(1) 两个子空间的和是直和只需要证明它们的交只有零向量.
设Y∈ker(A)∩im(A),则AY = 0且存在X使Y = AX.
∵A² = A,∴Y = AX = A²X = A(AX) = AY = 0.即ker(A)∩im(A) = {0},二者的和为直和.
(2) 充分性:对X∈ker(A),AX = 0.∴A(BX) = BAX = 0,BX∈ker(A).ker(A)是B的不变子空间.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴BY = BAX = A(BX)∈im(A).im(A)也是B的不变子空间.
必要性:ker(A)的维数为n-r(A),im(A)的维数为r(A).已证二者的和是直和,于是V = ker(A)+im(A).
对X∈ker(A),有AX = 0,∴BAX = 0.∵ker(A)是B的不变子空间,∴BX∈ker(A),∴ABX = 0 = BAX.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴AY = A²X = AX = Y,∴BAY = BY.
∵im(A)是B的不变子空间,∴存在Z使BY = AZ,∴ABY = A²Z = AZ = BY = BAY.
AB与BA在ker(A)和im(A)上的限制相等.又∵V = ker(A)+im(A),∴在V上有AB = BA.

dimσ的像+dimσ的核=n

设β1=(-1.1.1) T,β2=(1.0.-1)T β3=(0.1.1)T
ε1=(1.0.0)T ,ε2=(0.1.0)T,ε3=(0.0.1)T
线性变换&在在不同基下的矩阵是相似的,通过从一组基到另一组基的过渡矩阵实现.
显然（β1,β2,β3）=（ε1,ε2,ε3）P
其中
P=-1 1 0
1 0 1
1-1 1
设线性变换&在基ε1=(1.0.0)T ,ε2=(0.1.0)T,ε3=(0.0.1)T下的矩阵为A
则由线性变换&在 基1(-1.1.1) 基2(1.0.-1) 基3(0.1.1)下的矩阵是
B=
1 0 1
1 1 0
-1 2 1
可知
A=P^-1BP
求出P^-1,计算A=P^-1BP即可.

α1，α2，…αn线性无关，α可以表示为：α=∑kiαi。
因为α1，α2，…αn线性无关，所以变换矩阵的行列式不等于0，
即ki≠0。所以α=∑kiαi，(ki≠0)。

就是求逆矩阵

σ1=(ε+σ)/2
σ2=(ε-σ)/2
则 σ1,σ2是线性变换且满足条件
我纠结的是σ^2=ε这个已知条件没用到呢,所以一直没答

T =
0 1
1 0
T^2 = 单位阵

属于不同特征值的特征向量之和不是特征向量
属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合是特征向量

线性变换的特征多项式会有重根,这没有什么奇怪,线性变换的特征多项式就是一个一元多项式,多项式的根就是令多项式等于0所得的方程的根,我们知道方程是可以有重根的.比如方程(x-1)^3=0是一个三次方程,三次方程在复数域内必有三个根,而这个方程的三个根都等于1,故称为三重根.特征多项式重根的重数称为代数重数,它本身并不代表什么几何意义.
注意：是几何重数小于或等于代数重数,而不是代数重数小于等于几何重数.
代数重数指的是特征多项式的根的重数
几何重数则指的是抽象空间的几何图形在某一点的重数.
比如两个圆相切,则切点的几何重数就是二,再比如三条直线相交在一点,那么交点的几何重数就是三.
在这里,几何重数通常指的是特征子空间的维数,即该特征子空间中所含极大线性无关组的向量的个数.由于几何重数小于或等于代数重数,故当几何重数小于代数重数时,矩阵的线性无关的特征向量的个数就会小于矩阵阶数,故矩阵不可以对角化.

齐次线性方程组(I)的系数矩阵=
1 1 -1 0
0 1 1 -1
r2*(-1)
1 1 -1 0
0 -1 -1 1
方程组(I)的基础解系为 α1=(-1,1,0,1)^T,α2=(1,0,1,1)^T.
方程组(I),(II)的公共解β既可由α1,α2线性表示,又可由ξ1,ξ2线性表示.
设 β=k1α1+k2α2=t1ξ1+t2ξ2
则 k1,k2,t1,t2 满足
k1α1+k2α2-t1ξ1-t2ξ2=0
所以,求出满足上式齐次线性方程组的解即可.
(α1,α2,-ξ1,-ξ2)=
-1 1 1 -1
1 0 -1 0
0 1 -2 -1
1 1 -4 -1
-->
1 0 0 0
0 1 0 -1
0 0 1 0
0 0 0 0
所以 (k1,k2,t1,t2)^T=c(0,1,0,1)^T
所以方程组(I),(II)的公共解为:
β = cα2= cξ2 = c(1,0,1,1)^T.

题目有问题.
我想应该是：
设 f 是 n 维线性空间 V 上的线性变换,证明：R(f ) ⊆K(f)的充要条件是f^2 = 0.

明显不存在
反例：β1=α1+α2,因为α1,α2,……αn,是基,线性无关,不能用α1表示α2,也就不能表示β1=α1+α2.
所以这样的线性变换不存在

T(1,1,1)=(1,3,0)=x1+2x2-3x3
T(0,1,1)=(0,2,0)=2x2-2x3
T(0,0,1)=(0,0,-1)=-x3
故所求矩阵为
1 0 0
2 2 0
-3 -2 -1

将两组方程写成矩阵相乘的形式：Y=AX,BY=Z,将Y=AX带入BY=Z即可

设σ的左逆为L,右逆为R.
存在性：L=LσR=R,所以L是σ的双侧逆.
唯一性：如果C是σ的双侧逆,那么L=LσC=C.
线性性质你自己验证.

(1) 两个子空间的和是直和只需要证明它们的交只有零向量.
设Y∈ker(A)∩im(A),则AY = 0且存在X使Y = AX.
∵A² = A,∴Y = AX = A²X = A(AX) = AY = 0.即ker(A)∩im(A) = {0},二者的和为直和.
(2) 充分性:对X∈ker(A),AX = 0.∴A(BX) = BAX = 0,BX∈ker(A).ker(A)是B的不变子空间.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴BY = BAX = A(BX)∈im(A).im(A)也是B的不变子空间.
必要性:ker(A)的维数为n-r(A),im(A)的维数为r(A).已证二者的和是直和,于是V = ker(A)+im(A).
对X∈ker(A),有AX = 0,∴BAX = 0.∵ker(A)是B的不变子空间,∴BX∈ker(A),∴ABX = 0 = BAX.
而对Y∈im(A),存在X使Y = AX,∴AY = A²X = AX = Y,∴BAY = BY.
∵im(A)是B的不变子空间,∴存在Z使BY = AZ,∴ABY = A²Z = AZ = BY = BAY.
AB与BA在ker(A)和im(A)上的限制相等.又∵V = ker(A)+im(A),∴在V上有AB = BA.

第一问：设ξ是线性变换T的任一个特征向量,对应的特征值是λ,则有Tξ=λξ,两边左边用T作用,得T^2(ξ)=T(Tξ)=λTξ=λ^2ξ,而由已知,T^2=I,故λ^2ξ=ξ,因为ξ≠0 ==>λ^2=1 ==>λ=1或-1.由ξ的任意性知道,T的特征值只能是1或-1
第二问：题面没有看懂,是否完整?
希望我的回答对你有所帮助,祝你在数学上更上一层楼.）

映射：集合A中的每个元素在集合B中都有唯一一个元素与之对应,则称这种对应关系为集合A到集合B的映射.
映射中不要求一一对应,也就是说,B中可以有元素不与A中的元素对应,而B中的同一个元素又可以与A中的多个元素对应.
线性变换：线性代数研究的一个对象,向量空间到自身的保运算的映射.这是一一对应的映射,即A中的每个元素在B中都有唯一一个元素与之对应,且B中的元素全部都与A对应.