求极限，有什么好方法？

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。同时，极限是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等，由此可见极限的重要性。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学生尤其是基础较差的中专学生较为头痛的问题。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。求的方法很多，针对中专学生的实际情况，笔者从基本概念、基本思路和计算方法三个方面总结如下。

一．基本概念

要求函数的极限，首先而且必须要正确理解函数的极限以及与其有关的几个重要的基本概念。

⒈ ； .

以上两个充要条件不仅给出了判断极限是否存在的一个准则，而且指明了含义为两方面；的含义为两方面。

⒉无穷大和无穷小

无穷大和无穷小（除常数0外）都不是常数，而是两类具有特定变化趋势的变量，如果变量在某变化过程中，其绝对值无限制地增大，则称在该变化过程中，为无穷大；如果在某变化过程中变量以零为极限，则称在该变化过程中，为无穷小。笼统说某变量是无穷大或无穷小而没有指出变化趋势都是不正确的。

要求极限必须理解下面几个与无穷大或无穷小有关的重要关系，它们对求函数的极限非常有用。

⑴函数的极限与无穷小的关系：

⑵无穷小与无穷大的关系：在同一变化过程中，若为无穷大，则是无穷小；若是无穷小，则是无穷大。

⑶无穷小与有界函数的关系：无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。

⒊函数连续与极限的关系

在某点处函数的连续性与极限既区别又联系。

区别是：函数在某点处连续不仅要求函数在这一点有极限，而且要求函数在这点处的极限值一定等于该点的函数值；而极限则是指函数在某点附近的变化趋势，而与函数在该点处是否有定义或该点处的函数值没有关系。

联系是：⑴函数在点连续的充要条件是：。由此充要条件在可以判断分段函数在分段点处的连续性。

⑵函数在点连续存在。

二． 求极限的基本思路

极限的计算题中分两大类：一类是确定型的极限，它包括以下几种情况：

⒈根据初等函数的连续性； ⒉直接利用极限运算法则；

⒊利用无穷大与无穷小的关系；⒋利用无穷小与有界函数乘积为无穷小。

另一类是未定型（也称未定式）的极限，它包括：、、∞—∞、1∞型。计算未定型限的基本思路是通过恒等变形等转化为确定型的极限进行计算，或利用两个重要极限，或罗必达法则进行计算。

三．求极限的方法

一．确定型的极限

⒈利用连续函数的连续性求极限——代入法

由函数在点连续定义知，。由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。

【例1】：求【解】∵是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。即=2·2＋2·2－5=3。

【例2】；求 【解】由于=在处连续，所以

⒉利用极限的四则运算法则求极限。

设= A，= B，则±=A±B； ·=A·B，特别地=C·A； 。

⒊利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”性质求极限。

利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”这一性质可以计算某些函数的极限，但在应用这一性质求极限时，要注意求解过程的写法。

【例3】求的极限 【解】当时，是无穷小，而是有界函数，因此利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小很快就会得解。于是，=0

⒋利用无穷大与无穷小的关系求极限。

无穷大与无穷小的关系：无穷大的倒数是一个无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小，其倒数为一个无穷大。

【例4】求极限

【解】因为=0。即是当时的无穷小，根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数是当时的无穷大，即。

⒌分别利用左右极限求得函数极限

求分段函数在连接点处的极，要分别求左、右极限求得函数极限。它根据以下定理：。对于分段函数考察是否存在就要分别求与。

二．未定型（也称未定式）的极限

⒈可化为连续函数的函数极限

求函数极限时，有时常常会遇到，函数在点没有意义，即函数在点不连续，这时就不能直接利用代入法求函数的极限。这时要视具体情况对进行适当的恒等变形，转化为连续函数，再利用函数的连续性求出极限，该方法常用于“”型的极限。在进行变形时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有关公式。其目的就是消去分母中的零因子。

【例5】求

【解】当时，，这时不能直接利用代入法求函数的极限，但对函数进行分母“有理化”的恒等变形以后，就可化为连续函数的函数极限，再用代入法求函数的极限，即：

⒉利用两个重要极限求极限

两个重要极限给出了求型、1∞型的极限的计算

⑴两个重要极限为：①②或

⑵由重要极限及替换可求下列极限：

① 若，则 ，极限过程改为其它情形也有类似的结论。

【例6】求

【解】

【例7】求

【解】

② 设，则利用重要极限有，其。

【例8】求极限

【解】=〔〕

⒊自变量趋向无穷大时有理分式求极限法则

⑴若分式中分子和分母的同次，则其极限等于分子和分母的最高次项的系数之比；

⑵若分式中分子的次数低于分母的次数，则该分式的极限是零；

⑶若分式中分子的次数高于分母的次数，则该分式的极限不存在（为无穷大）。

即当时有

⒋利用洛必达法则求未定式的极限

求型或型未定式更常用的方法是用洛必达法则。具体方法如下：

⑴设的空心邻域可导，，其中A可以是极限数也可以是。将改为或等也有相应的洛比达法则。

⑵应用上述法则是应注意：①若不存在，也不为，不能说明不存在。例如，不存在。

②必须验证应用法则的条件，必须是型或型未定式方可利用洛比达法则。例如，以下计算是错误的： 。事实=，这里不是型也不是型未定式。

③若是型或型，可连续用洛比达法则，只要符合条件，一直可用到求出极限为止。

<求极限十法 >

1、利用定义求极限。

2、利用柯西准则来求。

柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的自然数m有|xn-xm|<ε.

3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。

如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5

=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5

=1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)

可令x=y^mn

得：＝n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim sinx/x=1

　　x->0

(2)lim (1+1/n)^n=e

　　n->∞　

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的。

10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。