已知多项式ax^3+bx^2+cx+d除以x-1时,所得的余数是1,除以x-2的余数是3,那么多项式ax^3+bx^2+cx+d除以(x-1)(x-2)时,所得的余式是什么?
(我是初二的学生,请讲得详细一点,谢谢!)
- cloud123
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不知道你有没有学过多项式的除法,就是把多项式当成数字像小学那样列出竖式来进行除法运算,按幂数从高到低的顺序把被除数逐项配平消掉,
例如,ax^3+bx^2+cx+d除以x-1,
第一步要把被除数ax^3+bx^2+cx+d中最高项ax^3配平,取商的第一项为ax^2,乘x-1得ax^3-ax^2,余下(ax^3+bx^2+cx+d)-(ax^3-ax^2) = (a+b)x^2+cx+d;
第二步就要把(a+b)x^2+cx+d中的(a+b)x^2消掉,取商的第二项为(a+b)x,乘x-1得(a+b)x^2-(a+b)x,余下[(a+b)x^2+cx+d]-[(a+b)x^2-(a+b)x] = (a+b+c)x+d;
最后再把(a+b+c)x消掉,取商的第三项为a+b+c,乘x-1得(a+b+c)x-(a+b+c),余下[(a+b+c)x+d]-[(a+b+c)x-(a+b+c)] = a+b+c+d
所以(ax^3+bx^2+cx+d)除以(x-1)余数为a+b+c+d
(希望你看得懂我在写些什么,只要把竖式列出来按我说的一步一步算应该就会了)
同样可以算出ax^3+bx^2+cx+d除以x-2余数为8a+4b+2c+d;
ax^3+bx^2+cx+d除以(x-1)(x-2)余数为(7a+3b+c)x+6a+2b-d
由已知得
a+b+c+d=1 (1)
8a+4b+2c+d=3 (2)
由(2)-(1)得7a+3b+c=2
由(2)-(1)*2得6a+2b-d=1
所以(7a+3b+c)x+6a+2b-d = 2x+1
即多项式ax^3+bx^2+cx+d除以(x-1)(x-2)所得的余式为2x+1
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问题补充:(我是初二的学生,请讲得详细一点,谢谢!)
这个嘛……在这边没法讲清楚,前半部分对初二来说太难了,一般考试不会考到的,除非老师有讲过。(或者有更简单的解法,是我把问题复杂化了,不过我现在只能想到这种方法,因为它的系数都是字母,不能用一般因式分解的方法。)
如果你真的想知道的话,建议你去问老师或者会的同学,面对面地讲才讲得清楚嘛
- 皮皮
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余数定理
若K除以A余数为M
K除以B余数为N
则K除以AB余数为MN
1*3=3 所以ax^3+bx^2+cx+d除以(x-1)(x-2)时,所得的余式为3.
仅当3整除ax^3+bx^2+cx+d时,
ax^3+bx^2+cx+d除以(x-1)(x-2),所得的余式为0。