关于分式方程的增根和无解

你好，所谓的名师这些头衔都是虚的，他们讲的一些东西其实并不适合真实教学。还是建议找自己的老师辅导效果会比较好。（百度传课网上有相关的初中数学的教学视频，可以搜索去看看）

初中名师资源@数学好教师整理   https://pan.baidu.com/s/1ovafXQyHBD0Bg4L_NYeRIw?pwd=gw2m 提取码: gw2m    初中名师资源@数学好教师整理|升级版人教版初中数学|人教版初中数学-国家特教教学视频|黄冈中学初中数学|海南省初中数学青年教师课堂教学评比活动获奖视频|各地比赛获奖视频|模拟教学《直角三角形中的射影定理》二等奖【周惠瑜】.flv|模拟教学《直角三角形中的三角函数》二等奖【张少云】.flv|模拟教学《一元二次方程实根的判别式与求根方法》一等奖【卢国仁】.flv|模拟教学《一元二次方程实根的判别式与求根方法》二等奖【柯璎倩】.flv|模拟教学《一次函数与正比例函数》二等奖【范雨】.flv|模拟教学《韦达定理及其应用》一等奖【肖科】.flv|模拟教学《韦达定理及其应用》二等奖【杜萍】.flv|模拟教学《简单的分式方程与根式方程》二等奖【史亚妮】.flv|模拟教学《简单的二元二次方程组解法》一等奖【郑若蕊】.flv

3/x-7/（x+1）=0解：方程两边乘以 x（x+1）3（x+1）-7x=03x+3-7x=03-4x=04x=3x=3/4

一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。　　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。

应该是，因为分式方程可以转化成含有未知数的分式

分类讨论

一般方程题所设的x都是题本身所问的量.

初中有一元一次方程，一元二次方程，分式方程，根式方程，二元一次方程组。望采纳，谢谢

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在数学教学中，转化“后进生”的能力与学业成绩的提高是是很多教师探讨的话题。我作为一名教师，根据多年的教学经验，认为可从以下三个方面入手： 一、教师心中要有大爱，正确对待后进生。 1. 要力求每一个学生的发展 。任何一个班级的学生基础不可能完全一致，学习知识、掌握技能的速度和质量也不尽相同。传统教育往往只重视对少数学生的培养，对其他学生则忽视了发展。这样做的结果是多数学生为少数学生做了“铺垫”，不符合“三个面向”的要求。为了扭转这种弊端，在分类指导、区别对待的同时，教师应面向全体学生，不放弃任何一个。 2 .要力求学生每一个方面的发展 。学生的天赋是有差别的：有的善于形象思维，有的善于抽象思维，有的文化科学知识较弱，有的动手能力很强，有的在绘画方面有特长，有的有音乐天赋等等。根据马克思的观点，人的发展就是人的个性自由而充分的发展，而人的个性是共同性与差异性、统一性与特殊性的统一。 3. 要给予学生更多的赏识 。美国大作家马克·吐温曾说过：“一句赞扬的话，可以使我愉快地生活三个月。”这句话并不夸张，人的精神生命确实需要各种知识，而最不可缺少的营养就是成功体验。学习上有困难的学生通常有自卑感、失落感，缺乏自信心。他们并非智力低、能力弱、没有潜力，关键在于他们获得成功体验的机会太少了。 4. 要耐心疏导,增强学生的信心 。“学困生”在数学学习上既有困难又有潜能。因此教师教学的首要工作是转变观念,正确地对待“学困生”,认真分析学困生学习困难的原因,有意识地偏爱“学困生”,允许数学学习上的反复,从中来激发他们学习数学的自信心,并创造条件,让“学困生”体验在学习数学是的成就感。 二、数学课堂上必须做到以下几方面： 1.课堂教学内容设计要合理，使“后进生”便于接受 。课堂设计教学内容要降低迁移坡度，让后进生循序渐进地把知识加工、内化。如在新课的引入练习中，注意新旧知识的联系，以旧引新，新中有旧，为后进生 探索 新知、迁移转化作好各方面的准备（包括知识、方法、态度等）。 2.课堂问题设计难易要适中 。学生“后进”的成因是多方面的，有的上课比较好动，有的自卑感强。教师上课总是提问优等生，因此，“后进生”多数不喜欢举手发言，也没有机会让他们发言，时间长了，他们对上课的内容毫无兴趣，我行我素，成为课堂学习的陪客。所以，在教学时应该设计一些简单的问题，让他们主动参与回答，从而激起主动参与学习的欲望，让好动的集中思维于学习探求上，让自卑的树立起“我能行”的信心。当“后进生”回答正确时，要及时鼓励和表扬他们；当他们回答不对时，也要加以肯定，使他们能鼓起勇气继续主动学习。 4.课堂练习分层设计，为“后进生”减轻负担 。首先，要求全班学生完成基础练习，然后逐步提升、加难，让达到前一目标的学生先踏上一步，做后一层次的练习，教师则集中精力个别辅导刚才未懂的学生。这样，学习困难的学生可以顺利完成基础作业，各种水平的学生都有所得、有所进步。 三、数学课堂外可以注意以下几方面： 1. 指导课前预习 。我是这样做的：一开始每次给出预习提纲，并作必要的提示、指导，让学生带着问题读读、想想，然后逐步过渡到只布置预习内容，让学生自己在书上圈圈点点。这样，通过预习，学生对新授的知识有了初步的了解，新授时可以开门见山，直奔中心，提高效率。对于一些特别的后进生，在新授中较难的内容提前一天接触或指点，第二天他们就能跟上整体节奏了。 2.作业辅导与激励手段并用 ，调动“后进生”的积极性。对作业情况的及时批改、及时反馈、及时矫正是促进“后进生”进步的有效措施。在批改作业时对“后进生”要优先，并及时让他们订正。“后进生”由于种种原因，常常会逃避订正，教师不得不花很多时间和精力去督促，去批评教育，结果是师生双方都很累，而且会产生负面效应。为此，我改变了订正方法，实行订正奖励制：作业、试卷订正正确了，在原得分基础上加分。这样，作业辅导与激励机制双管齐下，调动了学生订正的积极性。 3.利用集体力量给予“后进生”帮助 。教师要经常与后进生谈心，多做调查，有的放矢地进行辅导。可给每一位后进生建立学习小档案，为每一位后进生组成互助小组，但注意在选择小组成员时要考虑后进生自己的喜好，不要强求，最好使他们成为好朋友。 4.组织有趣活动，激发“后进生”的学习数学兴趣 。兴趣是成功的保证，是学生获取知识的开始，是求知欲望的基础。在班级内可以开展各种与数学有关的活动，如介绍数学名人、制作数学小报、数学小故事会等等，让后进生参与到多姿多彩的活动中，逐渐提高对数学的兴趣。即使是数学竞赛，也要考虑到后进生的实际情况分别评奖，在后进生中排出名次，让后进生品尝一下获奖的滋味。总之，转变数学“后进生”，使他们由“厌学”变为“乐学”，是每一位数学教师时刻面临的一项艰巨的任务。新课程改革并不是要放弃这部分“后进生”，而是要让他们更好地获得数学知识，学得更轻松、更灵活。能真正做到这一点，才能不辱数学教师肩负的神圣使命。 为了每一位学生的发展，对这些暂时后进的学生多一些爱心吧，以理解、包容的心去接近他们，以期盼的眼光去鼓励他们，我们一定会收获满满。 1.低起点 由于“学困生”基础较差,因此教师教学的起点必须低,整体上以加强数的计算为起点,教学中将教材原有的内容降低到“学困生”的起点上,然后进行正常的教学。在教学中,教师主要应采用“低起点、引入法”,以课本教材中的较容易接受的知识引入作为起点,如“正数与负数”、“直角三角形”、“因式分解”等内容。 教师应以所教学内容的最基本、最本质的东西作为教学的起点。如在“同类项”教学中,我将原教材中的同类项概念分成两个步骤进行教学:先讨论“所含的字母”完全相同,再研究相同的字母的指数相同,从而降低了起点,便于学生理解掌握这一知识。 教师应以所学内容的解题方法为教学起点。例如:在“分式方程”教学中,我先由4/x=1的解法,引出解分式方程的一般解法,再由2/x-3-4/x=1的过程归纳解题步骤和基本思想。 教师应以所教的新内容的特殊基本原型作为教学的起点。如在“三角形的内角和”、“中位线定理”、“三线八角平行线的性质”等内容的教学中,我先让学生量一量,从中对有关的几何定理有一个直观的了解,再引入新课。 教师应从学生已学过所掌握、所了解的知识、例子作为起点,通过新旧知识的异同点类比进行教学。如“解不等式”可以与“解方程”进行类比,“分式”可以通过“分数”、“相似形”可通过“全等形”进行类比引入教学。 2.多归纳 考虑到学生的实际情况,教师要给予学生多归纳、总结的机会,使学生掌握一定的条理性和规律性。如:在“分式方程”的教学中,我归纳出解法:①去分母法;②换元法。对于换元法给予归纳出两种常见的题型:A.平方型;B.倒数型。又如在“三线八角”教学中,由于图形较于复杂,学生不易找出同位角、内错角、同旁内角,可以总结出同位角找字母“F”,内错角找字母“N”,同旁内角找字母“I”。只有不断总结,才能有创新和发展。 3.勤练习 由于“学困生”在课堂教学中有意注意时间较短,因此单调不变的教学模式易引起原本有意注意时间就短的学生学习注意的分散。在教学中,我将每节课分成若干个阶段,每个阶段都让自学、讲解、提问、练习、学生小结、教师归纳等形式交替出现,这样调节了学生的注意力,使学生大量参与课堂学习活动。事实表明:课堂活动形式多了,学生中思想开小差、做小动作、讲闲话等现象大大减少了。 2 如何辅导差生学好数学 加强师生 情感 交流，让学生“爱屋及乌” 在课堂教学中，教师的 情感 无时无刻不强烈地感染着学生。因此，教师应怀着极大的热情进行教学活动。教学中，教师应注意师生之间 情感 交流，要努力使教态亲切，教学情绪饱满，教学语言生动形象，教学方法灵活。此外，还应以平等的态度对待每个学生，真诚地给学生以信任和鼓励。欲使学生“亲其师，信其道”，教师必须对学生倾注爱心。前苏联教育学家苏霍姆林斯基说：“热爱孩子是教师生活中最主要的东西。”热爱是一种伟大的 情感 。得到教师的爱是每一个学生普遍的心理需要。学生把对教师的爱迁移到教师所教的学科，达到“爱屋及乌”的效果。师生之间形成了良好的 情感 交流，就会极大的激发学生的学习兴趣。爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”也就是说，兴趣是成功的保证，是学生获取知识的开始，是求知欲望的基础。 古语云：“感人心者莫先乎情。”所以教师应加强与学生感情的交流，增进与学生的友谊，关心他们、爱护他们，积极热情地帮助他们解决学习和生活中的困难，拉近师生之间的距离。师生之间的感情特别能在课堂上得到验证，如果师生感情特别好，学生就会更好地投入学习，效果也特别好。另外，教师要恰当地评价学生学习的情况，让学生能认同接受。当学生怀着一种对教师敬佩和认同的感情的时候，教师的教学目标就已经达到了。所以，在教学中教师要特别忌讳打击学生的积极性，说伤害学生尊严的话，教师的行为举动一定在课堂上要保持温情，要让学生从内心接受。难题和怪题.在试题的编排上做到先易后难，梯度明显.使后进生有及格的可能性或稍加努力就可及格，从而增加他们的学习的信心. 树立差生在全体同学中的威信，引发学习数学的兴趣和信心 在学生对老师产生好感的同时，我又在课堂上给差生创造消除自卑，重树信心的机会。有些老师在课堂上一般很少提问差生，认为他们回答不出会影响课堂气氛和教学进度，而我却是每节课必提问差生，尽量让他们回答一些简单的问题或者重复别人的回答，然后肯定他们的进步，甚至在学校领导来听课的时候，也尽量把回答问题的机会让给差生，使他们感到自己也不差，也能为班集体争光，学习数学的信心和兴趣不断增大。 为了树立差生在好生中的进步形象，在教新知识之前，我都抽空给他们预习，使他们预先掌握一定的解题方法，在上新课时更有信心回答老师提出的问题，力求达到与好生"平起平坐"，到了上新课时，这些差生算得又快又准，使在场的好生报以热烈的掌声，并纷纷向差生们打听算得快的窍门，这一下，差生们感受到了学习的乐趣和成功的喜悦，在全班学生中的地位也也进一步提高了。 3 引导差生学好数学的方法 “学困生”在心理上，其实也迫切希望自己能成为学习上的佼佼者，但由于知识缺陷多，容易产生厌学心理，为解决这一矛盾，作为老师要注意了解：“学困生”对在学习新知识上可能存在哪些障碍，在学习的过程中怎样能较好地获取知识。在实际教学时，教师更应力求灵活的教学方式，以激发学生的求知欲，调动他们的学习热情，这也是学生能否学好数学的关键。教师要尽可能地结合教材内容和学生的实际，收集、设计一些有趣的数学 游戏 ，开展一些有趣的数学活动。“学困生”在 游戏 中自然会产生强烈的和数学学习有关的好奇心和求知欲，教师再不失时机地将新课内容推出，使“学困生”的兴趣和精力集中在知识的获取过程中。 要耐心细致地疏导,增强学生的信心。 “学困生”在数学学习上既有困难又有潜能。因此教师教学的首要工作是转变观念,正确地对待“学困生”,认真分析学困生学习困难的原因,有意识地偏爱“学困生”,允许数学学习上的反复,从中来激发他们学习数学的自信心,并创造条件,让“学困生”体验在学习上取得成功的 情感 。 “学困生”在过去数学中受到的肯定、鼓励相当少。因此教师要充分地鼓励、肯定他们,促使他们对数学产生兴趣,让他们在数学学习上取得成功,使他们感到自己能学好数学。教师要从学生的实际情况出发,降低和调整某些教学要求,以满足某一层次学生的需要,促使教与学的适应,教与学的促进,教与学的统一。教师要克服“用自己的思维和认知来代替学生的思维和认知”的倾向,树立起“要教就要使学生掌握”的观点,纠正过去“教得好不好不是教师的责任,至于学得好不好不是学生的责任”的观点,多从自己教学方面寻找提高教学质量的因素。 4 如何帮助学生提高数学学习成绩 了解差生家庭情况，取得家长积极主动的配合，学校与家庭共同帮助差生学习 差生在学校受到个别好生的歧视，在家庭中还要承受家长的责备，双重的压力使他们的学习情绪较为低落。为了引导差生们提高学习积极性，老师首先要减轻其学习压力，多与差生的家长们联系，向他们反映差生的优点和长处，并适当指出其缺点，与家长共同商讨教育的方法和手段，帮助差生脱"差"变"好"。切忌向家长们吐苦水、告大状，历数差生的不是，激发家长和子女间的矛盾，从而影响学校与家庭共同教育差生的效果。 我班的某一同学数学成绩过去一向很差，考试一般都是三、四十分，家长都认为无可救药了，只好听之任之，不加理会，其本人也因找不到学习差的原因而自暴自弃。对此，我并没有撒手不理，放任自流，而是不厌其烦地打电话与其家长谈心，指出孩子成绩上不去的关键是计算不过关，并教会家长如何在家中训练孩子的计算能力的方法。经过家长的配合，数学成绩稳步上升。家长尝到了与老师密切配合的甜头，我也感受到争取家长支持的成功喜悦。 认真把好考试关，注意培养差生的自信心和自尊心。 要有意识地出一些较易的题目，培养他们的信心，让他们尝到甜头，使他们意识到自己也可以学好的。在考试前应对学生提出明确、具体的要求，对差生知识的薄弱点进行个别辅导，这样还可使有些差生经过努力也有得较高分的机会，让他们有成就感，逐步改变他们头脑中在学习上总是比别人差一等的印象。从而培养了他们的自信心和自尊心。激励他们积极争取，努力向上。从而达到转化差生目的。 实践证明在教学中注意采用上述方法对提高差生的成绩帮助极大，对大面积提高数学教学质量有极大的帮助。苏霍姆林斯基曾经说过“如果儿童不仅仅知道而且体会到教师和集体对他们的优点既注意到了，又很赞赏的话，那么，他就会尽一切努力变得更好”。在实施分层教学的过程中，我注意对不同层次的学生提出不同层次的要求，并采用正面激励的方法，让学生在自己的作业本上看到大大的“优”，或得到简短的批注“方法好”、“计算巧妙”等，品尝到自己的学习成果，体会到成功的欢乐，喜悦的心情溢于言表。 只有放低起点，让学生感受到学习的乐趣，提高自信心，随着成绩慢慢提高，学生逐渐掌握学习方法，和学习优秀学生缩小差距。 首先，唤醒，让他有成功体验，培养兴趣。其次，增强补缺补漏。再次，制定奖惩制度，加强督促。 分层教学是很好的方法。 多年来，我们苦于班级内部学生的学习能力差异大，教师的教学多数倾向于照顾中间层次，造成了好学生“吃不饱”、弱的学生“吃不了”的状态。由于学生在校学习时间有限，课下教师的时间与精力有限，个性化的辅导答疑也不能保证跟进，所以导致不同潜质的学生个性化需求无法得到满足，一些学生的学习效率低下，这不仅成为学校教学中的困惑，也成为学校教育中的诟病。 分层走班教学实施后，由于同层次的学生水平相当，课堂上的学习效率明显提高。表现为学生的接受与理解、表达与交流效果显著，形成了积极的学习氛围，也让学生在学到知识的同时体验到成功的感受。这样的学习环境既满足了优秀生，也培养了中等生，更帮助了学困生，即优秀生减少了重复性的学习，有时间向更高目标发展；中等生实施了更适合他们的学习策略，提高了学习效率；学困生也不再是“看客”，老师能够帮助他们开展有针对性的学习，逐步减轻了心理压力，从学习焦虑、苦闷中解脱出来。分层走班教学使得学生们体验到了学有所得、学有所乐，增强了学习的信心。 复习时对于他们容易忘、容易错的题型进行专项训练。 2、针对学困生学习差自信心不足，教师要多鼓励。 对于后进生每个学生来说，发展的这个过程和时期都是不尽相同，所以现在的后勤生也许是当对当前学科对当前学的知识不感兴趣，但是一定要积极鼓励孩子去克服困难啊，夯实基础，把基础知识掌握好了以后，对孩子以后长远的发展是有利的。对候晋升提的要求大，目标大方向不要变依然很高，那么具体的措施和方法一定要特别的具体到他的这个认知水平，这样更便于后进生的一个进步和自信心的一个培养。 任何事情的改变是由内因和外因共同作用完成的，但内因是必要条件。当孩子自己想学习时，老师和学生共同想办法，定能寻找一个适合的方法式，解决问题的。 一、为了提高数学教学重量，在教学中首先要注重培养后进生对数学学习的兴趣。激发他们的学习积极性，使他们主动接受教育。 　　1　帮助后进生树立明确的学习目标 　　方向明、目标清，才能做到有的放矢，正确地引导是激发后进生学习数学兴趣的基础。每当介绍新知识，我都会举出生活中相关的例子，如提出让后进生感兴趣的问题，由后进生来想办法解决，以此达到刺激后进生的求知欲、激发后进生学习数学的兴趣之目的。在数学教学中，让后进生明确数学的每一项学习活动的目标，并且使后进生认清学习活动与他们的长远人生目标的关系，课堂利用生活的故事，事例对后进生进行教育，使他们树立正确的人生观和世界观。制定学习目标时切合他们的实际，让他们经过一定努力就可以实现，从而获得长期的学习动力。 　　2　应加强教学语言的艺术应用，让教后进生动、有趣 　　课堂教学中教师不仅要随时观察全班后进生学习情绪，更要特别注意观察后进生的学习情绪，后进生往往上课思想开小差、不集中，他们对教师一般牲按部就班式，用枯燥无味的语言讲课听不进耳，对数学知识也不感兴趣。这时，教师应恰当运用艺术性的教学语言来活跃课堂气氛，引导每位后进生进入积极思维状态，从而达到教学目的。 　　3　沟通师生感情，调动积极因素 　　教育后进生时要动之以情、晓之以理、施之以爱，一切从后进生的利益出发，才能让后进生感受到老师的可敬可爱、可亲可近，才易于沟通师生间的 情感 ，从而就能激发后进生对老师所讲的道理、所传授的知识产生兴趣，进而培养后进生学习数学的兴趣。调动学习数学的积极性，但在经过长期的、反复的“失败”后，往往产生畏难情绪，失去学习信心。在这关键的时刻最需要老师的诱导。首先，我们可以为后进生承担责任，减轻后进生的思想负担；其次，帮助他们找出成绩差的原因，教育他们对症下药；再次，在教学过程中，让他们回答一些简单的问题，多给他们予肯定，树立后进生的自信心。做到不提过去、不揭短、不冷落、不公开批评、不操之过急，使后进生从内心感到教师是真诚的爱护和帮助他们的。师生的感情融洽，能促进教与学的统一，调动后进生的学习积极性。 　　4　指导学习方法，解决学习困难 　　造成后进生学习成绩差的原因是错综复杂的，学习方法不当，是其中的一个主要原因。后进生不会进行预习、复习，听课时不知道怎样抓重点、难点，不会记简要的笔记。所以，在教学中，注意结合数学课的特点，随时渗透学习方法的指导。通过方法指导，积极组织后进生的思维活动，不断提高后进生的参与能力，教育心理学的研究成果表明，教师可以通过有目的的教学促使后进生有意识地掌握推理方法、思维方式、学习技能和学习策略，从而提高后进生参与活动的心理过程的效率来促进学习。在教学中，教师不但要教知识，还要教后进生如何“学”。教学中教师不能忽视，更不能代替后进生的思维，而是要尽可能地使教学内容的设计贴近后进生的“最近发展区”。通过设计适当的教学程序，引导后进生从中悟出一定的方法。后进生在课堂上听课时，由于种种原因，他们对自已的疑惑和不解之处常常是说不清、道不明。针对这种情况，首先就要求我们教师在备课时不仅备教材，更重要的是立足于后进生的思维，仔细揣摩他们学习的心理，努力体察后进生可能的困惑和错误之处，做到未雨绸缪，估计在先；其次在课堂上要随时从后进生的神态、表情中观察、揣摩，尽可能地掌握后进生的思维进展程度，并作出相应的对策。 　　二、认真把好考试关，注意培养后进生成功的自信心和自尊心。 　　要有意识地出一些较易的题目，培养他们的信心，在数学课堂上，你会经常听到后进生高兴地说：“老师，我把这道题做出来了!”看着他满足的表情，我们也能感受到他内心的喜悦。让后进生不断获得成功，经常怀着喜悦的心情投入学习，就更容易取得新的动力，从而让后进生对数学兴趣盎然。在轻松愉快的情境中体验到成功的快乐。如对于成绩差的后进生，可以让他们来解决较为容易的题目，并给以适当的表扬，让他们发现自己的闪光点，从而诱发出积极学习、努力向上的热情；让他们尝到甜头，使他们意识到自己也可以学好的。在考试前应对后进生提出明确、具体的要求，对后进生知识的薄弱点进行个别辅导，这样还可使有些后进生经过努力也有得较高分的机会，让他们有成就感，逐步改变他们头脑中在学习上总是比别人差一等的印象。从而培养了他们的自信心和自尊心。从而达到转化后进生目的。 　　实践证明在教学中注意采用上述方法对提高了后进生的成绩，对大面积提高数学教学质量有极大的帮助。总之，后进生也是学生，也是祖国的希望，作为一个教学工作者决不能将之放弃。我们必须通过不同的手段，争取让这些后进生不再是后进生，让他们也能体会到求知的乐趣与成功的愉悦。 激发学习兴趣，提高学习积极性。托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”后进生对抽象的东西比较难于理解。在小学数学课堂教学中，多媒体的运用，能把教学内容生动形象地展现出来，达到声形兼备的效果，带给学生良好的多种感官刺激，激发出学生学习数学的兴趣，从而获得内心喜悦和享受，也使得学生的注意力更为集中，思维更为活跃。 融洽师生 情感 ，提升后进生信任感。苏霍姆林斯基说过：“教育才能的基础在于深信有可能成功地教育每个儿童，我不相信有不可救药的儿童、少年或男女青年。”爱是一种最有效的教育手段，教师 情感 可以温暖一颗冰冷的心，可以使浪子回头。当后进生体验到老师对自己的一片爱心和殷切期望时，他们就会变得“亲其师而信其道”。要爱学生，尤其要爱差生，只有这样，才能得到他们的信任。 合理、理想的师生之间的人际关系交往表现在师生心灵上、 情感 上的融洽。这种心灵的交往可促使师生产生相互感知、相互理解、相互信任和相互吸引的互动效益。如果老师赞许的目光频频投向出色的学生，对后进生则冷眼相待。稍有过失，则加以训斥，得不到理解、尊重，自身价值得不到表现，使他们在心理上自觉低人一等，久而久之，就会导致他们自我贬低、自暴自弃，产生一种强烈的自卑感。从教育心理学的角度来说，小学生心理还是很不成熟的，比较容易走极端。在这种心态支配下，你越是逼迫他学习，他越是有反感，学习成绩会越来越差。 大多教师总是以成绩来衡量学生的“优”与“差”，也都只喜欢成绩好的学生，而厌烦成绩差的学生，这种不合理的评价成了后进生形成的催化剂。人们常说，没有爱就没有教育，教师的爱是启迪学生心灵的钥匙。作为教师，不但对学生要有一视同仁的爱，还应该给进后进生多一点爱，只有这样，才有利于教育转化后进生。一般来说，后进生都不是先天就形成的，除了那些智力上因为大脑残疾或因其他原因导致的确实存在缺陷的学生外，大部分后进生都是后天形成的，特别是数学后进生，其实他们曾经都有过辉煌，都得到过赞许，只是因为后天的一些因素导致他们无心学习，从而破罐子破摔，加之老师、同学及家长的不认可，使他们越来越感觉自己一无是处。慢慢地，他们身上的坏习惯越来越多，从而最终被确定为所谓的“后进生”。他们也想出色，只是永远没机会。

在初中阶段，主要学习一元一次方程，二元一次方程、二元一次方程组，一元二次方程，以及分式方程，它们之间存在非常密切的联系，教材的编写也是循序渐进人。首先，只有学习了解一元二次方程，才会解二元一次方程组。在解二元一次方程组时，又是利用“消元” ，即将“二元”转化成“一元”， 然后用一元一次方程的方法来求解。解分式方程时，也是将分式方程化为一元一次方程来解，解题的关键就是转化为一元一次方程。因此，在教学时，就要渗透数学的化归思想，把“未知”转化成“已知”，把“复杂问题”转化成“简单问题”。同时也让学生明白学习数学也是有浅入深，循序渐进，螺旋式上升的过程；明白一个最基本的的数学思想“化归”。 一、解二元一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法。其本质是消元，通过加减或代入达到消元的目的，转化为一元一次方程来解。因此，对一元一次方程的解法应记学生熟练掌握为继各类方程的解法打下良好的基础。能过二元一次方程的解法体会和渗透重要的一种数学思想：“化归”。 二、一元二次方程的解法：（一）因式分解法（二）、直接开平方法。（三）、配方法。（四）公式法。对一元二次方程来说本质是“降次”，化为一元一次方程来解。这里应该注意一个教材中删除的一个方法十字相乘法，这个方法虽然有一定的局限性，但对于列一元二次方程解应用题是特别好用的一种方法，上课是对有能力的同学也可教给他们，应用的原理就是（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab。 三、分式方程的解法： 1.解分式方程的基本思想：在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)。解分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整式方程。2.解分式方程的基本方法：去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根。产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。检验根的方法:将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0。归纳起来，用去分母法解分式方程的一般步骤:(1)去分母,将分式方程转化为整式方程;(2)解所得的整式方程;(3)验根做答。

一般方法：①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂,所有不同字母都写在积里. 　　②如果各分母都是多项式,就可以将各个分母因式分解,取各分母数字系数的最小公倍数,凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂.

在初中阶段，主要学习一元一次方程，二元一次方程、二元一次方程组，一元二次方程，以及分式方程，它们之间存在非常密切的联系，教材的编写也是循序渐进人。首先，只有学习了解一元二次方程，才会解二元一次方程组。在解二元一次方程组时，又是利用“消元” ，即将“二元”转化成“一元”， 然后用一元一次方程的方法来求解。解分式方程时，也是将分式方程化为一元一次方程来解，解题的关键就是转化为一元一次方程。因此，在教学时，就要渗透数学的化归思想，把“未知”转化成“已知”，把“复杂问题”转化成“简单问题”。同时也让学生明白学习数学也是有浅入深，循序渐进，螺旋式上升的过程；明白一个最基本的的数学思想“化归”。 一、解二元一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法。其本质是消元，通过加减或代入达到消元的目的，转化为一元一次方程来解。因此，对一元一次方程的解法应记学生熟练掌握为继各类方程的解法打下良好的基础。能过二元一次方程的解法体会和渗透重要的一种数学思想：“化归”。 二、一元二次方程的解法：（一）因式分解法（二）、直接开平方法。（三）、配方法。（四）公式法。对一元二次方程来说本质是“降次”，化为一元一次方程来解。这里应该注意一个教材中删除的一个方法十字相乘法，这个方法虽然有一定的局限性，但对于列一元二次方程解应用题是特别好用的一种方法，上课是对有能力的同学也可教给他们，应用的原理就是（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab。 三、分式方程的解法： 1.解分式方程的基本思想：在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)。解分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程“转化”为整式方程。2.解分式方程的基本方法：去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根。产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。检验根的方法:将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等。为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0。归纳起来，用去分母法解分式方程的一般步骤:(1)去分母,将分式方程转化为整式方程;(2)解所得的整式方程;(3)验根做答。

在数学教学中巧妙地运用幽默，能有效地激发学生的求知欲，使教师的讲课变得有趣、诙谐，具有一定的教学智慧，更有利于学生对知识的理解和掌握。下面是小编为大家整理的关于初中数学如何幽默教学，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习!数学幽默教学法一1.情感是知识技能与方法升华的桥梁。幽默教学法要努力打开学生闭锁的内心世界，让学生在谈论活动中学习，在游戏活动中学习，在表演活动中学习。大部分学生认为数学只与数字打交道比较枯燥，久而久之变得讨厌数学。而数学老师要做的首先是让学生愿意与你交流，主动想"说"什么，必须要有一个宽松和谐的心理环境。曾经我接手一个数学非常差的班，学生几乎没几个学数学的，第一节课我没讲课，而是问了一个问题“数学老师会什么”教室一改往日沉闷的气氛，学生开始七嘴八舌的讨论，等同学们稍微静下来，我说“我会做你们的妈妈”教室顿时没了声音，大家你看我，我看你，我接着说：“我会缝衣服，钉扣子，会你病了时给你煎荷包蛋，会给你讲题，这个代管妈妈要不要?”“要”教室顿时响起热烈的掌声。一下课学生就围在我的周围问个不停。后来同学们说“老师因为你的亲切，我觉得阿拉伯数字也亲切多了。”这个班的数学成绩也慢慢上去了。2.成功学习，增强信心。鼓励加幽默教学法在教学中真正体现以学生发展为本，舍得给学生机会，充分相信学生，关注弱势群体，有意识的创造机会，让学生敢发表自己的观点和意见，使学生感到自己有能力，有信心，保持旺盛的学习热情。有一个非常有名的例子。美国的一个白人老师伸出五个手指问一个黑人学生“这是几?”黑人学生低着头答：“三”，这时老师却说：“你真棒，还差两个就对了”全班同学会心的笑了，黑人学生也抬起头笑了。这种幽默加鼓励的方法我在教学中常用。而且屡试屡中，让每个学生都有获得成功的机会，鼓励是最有效的方法。只有这样才能为学生创造展示自己才能的舞台，才能使学生在数学的海洋里乐而忘返。3.遵循学生认知规律。想象加幽默教学法课堂教学环节是教师和学生共同活动的交互式过程，作为认知主体的学生，其认知心里是一个动态的，立体的流程。忽视学生的心理认知规律，忽视学生的情感需求个性，是不能够在课堂教学中促进学生心里健康发展和实现素质能力提升的。如在讲形如(x-2)+ly-3l+/i二4-=0这种形式时，关于非负数的和为零，每一个非负数都为零。好多同学不理解，于是我指着上衣左兜说：“这是平方兜，里面可能有钱也可能没钱，但是不欠钱”。我又指着上衣右兜说：“这是绝对值兜，里面可能有钱也可能没钱，但不欠钱”。我又指着裤兜说：“这是根号兜，里面可能有钱也可能没钱，但不欠钱，三兜加起来却没钱，你说哪个里面有钱?”同学们一起喊“哪个兜里也没钱”我说：“对呀，只要后边等于零，平方兜里，绝对值兜，根号兜里都为零，即x-2=0得x=2，y-3=0得y=3，z-4=0得z=4。这就是我发明的翻兜原则，同学们可要记住啊，全世界独一无二啊。”同学们全笑了，“而且以后碰见了，都得知道翻兜原则，兜里为零啊”。以后碰见这类问题，同学们全喊翻兜原则，都知道兜里等于零。数学幽默教学法二一、幽默启智，提高学生思维能力在数学教学中巧妙地运用幽默，能有效地激发学生的求知欲，使教师的讲课变得有趣、诙谐，具有一定的教学智慧，更有利于学生对知识的理解和掌握。如：解分式方程时，把解出的未知数的值代入原方程中，学生发现这个值使分母为零，很奇怪：没有意义怎么办呀?我顺势引导：真是有意思，半路上杀出个程咬金，他从哪跑出来的呢?学生迅速检查解方程的每一步，经分析讨论他们得出了结论：就是去分母这一步出现的。既然是半路上出现的，我们就叫它增根。学生高兴地说：“新增加的，名字不错。”再如：讲到化简时，学生往往不注意先确定的正负情况。这时教师可幽默地说：“要想走出围墙，你得先问一问它姓什么，是姓‘正"，还是姓‘负"，或者姓‘0"，不通名报姓是不能走出来的。”这样抓住问题的关键所在，利用流畅而风趣的语言解答，远比强调一次又一次，甚至批评学生一顿的效果要好得多。课堂教学的幽默，使学生产生会心的笑容，享受数学的美。更可以开启学生的智慧，提高思维的质量。二、幽默引趣，活跃课堂教学气氛实践表明，只有在活跃的课堂气氛中，学生才能积极地参与教学，课堂上的笑声能制造出活跃的气氛，使‘教"与‘学"变得轻松而有效，而良好的教学幽默具有情绪感染力，恰能让学生有发自内心的笑声。比如：1.当我提问而没人举手回答时，我会笑着说：怎么?今天没人捧场呢?给个面子吧，答错不怪你。2.提问时，如果仅有男生举手而女生举手的很少时，我说：谁说女子不如男，女同胞们给露几手。3.给学生留选做题时，为了激发学生的积极性，我就说：如果你觉得老师留的作业简单，那你就选这个“高难”的题玩一玩，做出来是很有成就感的，要想有这种幸福的感觉，你就试一试吧。这样做，好比给学生抹了一剂清凉油，不仅使学生的精神得到稍许松弛，产生一种愉悦感，还可以缓解学生精神过于集中而产生的疲劳，让学生在兴奋中积极思考问题。数学幽默教学法三一、为课堂创设一个童话般的生活情境从课堂的一开始就锁住全班学生的学习注意力，将他们的视线从五彩的世界里拉回到有趣的数学学习课堂中来，把学生下课之后松散的心重新凝聚到有序的课堂教学中来。这样一来既可以起到激发学生学习兴趣的目的，还能充分调动整个课堂的学习氛围，改变学生的学习状态，让学生切实感受到数学课堂的独特魅力。数学本身是一门融逻辑、推理、概括和综合等为一体的以数理为主线的自然学科，老师创设的情境一定要结合这一学科特点来完成，不能为了幽默而牵强附会，要不然就会有喧宾夺主的味道，事情反而会变得顾此失彼。我们创设情境的时候可以引用一些推理小故事，穿插一些趣味小视频，从不同的感官和角度来点缀我们的数学课堂，这样既能紧扣数学学科特点，又能幽默展开课堂教学。这是课堂幽默的第一个环节，这样学生就不会审美疲劳，也不会心生抵触。二、幽默交流提问题，开心课堂创思维问题是数学学习的基础，也是学生能力提升的起点，问题的提出对我们数学课来说必不可少，没有问题的数学课也只能是走马观花，华而不实。对学生思维的培养与开拓一定是通过问题的提出和问题的解决来点燃的。同样是一堂数学课，怎样提问才能被广大学生所接受，怎样才能引发学生的积极思考呢?那还得从幽默说起，幽默是桥梁，老师在提问的时候不能太突然，这样学生会觉得很枯燥，老师在这个环节上可以将问题幽默化或者方式幽默化，这样效果就截然不同了。比如要求路程时，我们老师可以这样来提问：“小明走得这么辛苦，到底有没有走到外婆家呢?”这样将问题生活化、幽默化，学生就会感觉轻松很多，也能跟上老师的节拍，他们才愿意动脑筋思考。在整个课堂教学环节，我们老师要时刻关注学生的学习状态，多利用生活中的例子将我们的课堂幽默化、生活化，做一个懂生活、会教书的好老师。三、教师辅助引导，学生主体发挥学生是课堂的主体，不管什么时候，我们老师都应该牢记这一事实，所以，在课堂上要多鼓励学生发言，为他们创造更多的机会来展示自己的想法和思想，把课堂还给学生，老师只需稍加引导和适当的辅助即可。那么，在这一教学环节，怎样来巧用“幽默”教学法呢?这还是要说到引导上来，老师的引导就像整场晚会的主持，我们的幽默决定了整个课堂的气氛。老师在引导的时候可以采用一些幽默的语言或者形体动作来完成，也可以多请班上的一些有幽默感的学生来发言，这样才能将整个课堂幽默传递到学生群体中去，也能让他们被老师的幽默深深地感染，这样既可以加深学生对老师的情感，还能有效活跃整个课堂气氛，可谓一石二鸟。

一、充分认识到在初中数学教学中渗透法制教育的重要性和必要性数学源于生活，又运用于生活、服务于生活，数学知识在实际生活中无时不有、无时不在。在初中数学学科教学内容中蕴含着丰富的法律法规资源，在教学中适时恰当地渗透法制教育，不但可以提高学生的法律素养，还可以增强数学知识与社会、法制三者之间的联系，促进学生对数学知识的理解、掌握和应用。这样，我们既完成了法制教育的任务、实现了法制教育的目标，又能更好地完成数学教学的任务，提高数学学科的教学效果，实现法制教育和学科教学的双重目标。二、研究在数学教学中渗透法制教育的基本要求和方法在数学教学过程中，教师必须首先根据本堂课的教学内容和目标要求，充分挖掘与本堂课教学内容相关的法律法规知识，找准法律法规知识的渗透点和切入点，然后按照科学融入、循循善诱、深入浅出、生动活泼、增强吸引力和感染力、达到潜移默化教学效果的基本要求和方法，让学生在学习数学知识的过程中主动地、快乐地接受法制教育。如在七年级数学上册第一章《有理数》1.4有理数的乘除法教学时，在“多个有理数相乘”法则中，“多个有理数相乘，只要有一个因数是零，结果就是零。”笔者适时地对学生进行了《中华人民共和国禁毒法》的渗透。“一个人的人生千万不能乘以零，否则你的一生就等于零，如果一个人一旦染上毒品就相当于将你的人生乘以零。所以，同学们千万要拒绝毒品，远离毒品，莫让你的人生乘以零。”通过循循善诱的教诲，学生三年的时间能够在思想上坚定地拒绝毒品，防范毒品。三、教师要以身作则、遵纪守法，充分发挥表率作用著名教育家夸美纽斯说：“教师的任务是用自己的榜样来诱导学生”。学生在校期间与教师接触的时间最长，教师的思想素质、道德观念、言行举止都对学生起着潜移默化的影响和教育作用。因此，作为教师，我们应该充分利用课余时间认真学习《教师法》《教育法》《义务教育法》《未成年人保护法》《中小学教师职业道德规范》等法律法规知识，模范遵守国家法律法规，并用国家法律法规和学校的各项规章制度严格要求自己，不断提高自身的思想道德素质和法律素养，增强依法执教的法制意识和观念。在教育教学过程中，教师要严于律己、言行一致。凡是要求学生做到的，自己首先要做到，凡是要求学生不做的，自己带头不做，让学生在潜移默化中受到影响和教育。四、找准法律法规知识的渗透点和切入点，进行科学渗透在初中数学课堂教学中渗透法制教育，首先教师要认真钻研教材，充分挖掘教材中潜在的法制教育元素，寻找法律法规知识的渗透点和切入点，认真研究在数学教学中渗透法制教育的途径和方法，然后进行科学渗透。在进行八年级数学上册（人教版）15.3《分式方程》一节时，可以结合教材内容的教学对学生渗透《中华人民共和国交通安全法》第六十七条行人、非机动车、拖拉机、轮式专用机械车、铰接式客车、全挂拖斗车以及其他设计最高时速低于七十公里的机动车，不得进入高速公路。高速公路限速标志标明的最高时速不得超过一百二十公里；又如，在进行九年级数学下册（人教版）27章《测量旗杆的高度》数学活动时，可以在利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度的教学过程中对学生渗透《中华人民共和国国旗法》第三条中华人民共和国国旗是中华人民共和国的象征和标志。每个公民和组织，都应当尊重和爱护国旗。第十三条升挂国旗时，可以举行升旗仪式。举行升旗仪式时，在国旗升起的过程中，参加者应当面向国旗肃立致敬，并可以奏国歌或者唱国歌。全日制中学小学，除假期外，每周举行一次升旗仪式；又如，在教学八年级数学下册（人教版）20.2《数据的波动》一节时，可以结合教材内容对学生渗透《中华人民共和国食品安全法》第三条食品生产经营者应当依照法律、法规和食品安全标准从事生产经营活动，对社会和公众负责，保证食品安全，接受社会监督，承担社会责任。总之，学科渗透法制教育是一项长期的、科学的系统工程，只有我们每一位教师加强学习，提高认识，转变观念，不断总结经验，不断探索和创新学科渗透法制教育的新途径、新方法，把法制教育渗透到我们的数学教学之中，才能提高学生的法律素养，增强学生的法制意识，培养学生“学法、知法、守法、用法”的良好行为习惯和用法律武器保护自己生命财产安全的能力。

一元一次的话则a=2.

做题~！ 背公式~！ 其实高中数学题 大部分都是有模式~ 首先把所以公式都背过~然后多做题，做题就是套~！ 做得多了就什么都会了~！

1初中 数学中如何确定教学目标初中数学中如何确定教学目标?要在对准目标的前提下，把反馈矫正渗透到目标教学的各个环节，运用多种方法收集学生的反馈信息，并充分且有针对性地与学生交流，培养学生的自我矫正能力与创造良好的反馈氛围，使课堂效果最大化，从而达到最佳的教学效果。 今天，朴新小编给大家带来数学有效的教学方法。教学过程中要清晰地展示教学目标。新课程理念下的数学教学过程，应该是一个在三维目标指导下的精神生产活动。围绕学习内容，全面理解三维目标，即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。使各项目与具体学习内容有机的整合，这既是顺利开展教学活动的前提，同时也是课堂教学取得预期效果的重要保证。知识与技能目标要清晰。新课程改革，“双基”仍是一个重要的目标，这一目标我们不是看教师的文本，也就是说，不应该看教师的教学设计，而应是看整个课堂是否落实。《多边形的内角和》这节书的主要知识点是多边形的内角和与多边形的外角和，加强多边形的内角和与外角和的计算训练，从让学生掌握知识“n边形内角和等于n-20×180o”、“多边形外角和等于360o”及“探究多边形的内角和都是通过转化为三角形来解决的转化思想”。因此在教学中我设计下面的习题和突出多边形的内角和探究过程，使整个教学过程围绕着学生的基础知识和基本技能进行训练。教学过程中要根据课堂的实际对教学目标进行调整。教学目标是教师在课前拟定的，这些目标并不是不可改变的，在实际的教学过程中，学生的学习状况往往并不是我们预期的那样，会偏离教师课前拟定的目标，所以，在这种情况之下，教师应根据具体情况适时进行调整。在《多边形的内角和》的教学中，我发现学生对知识掌握得较好，学习兴趣较高，因此，我在原来设计的基础上留下一道具有一定难度的思考题，供他们思考。一个多边形截去一个外角后，形成另一个多边形的内角和是1620o，中原多边形的边数是多少?下课铃响了，学生思考、讨论的热情还是那么浓厚。2确定教学目标一对信息区别对待，使课堂效果最大化一节课只有四十五分钟，学生有四五十个。在数学课中，学生出现的问题往往五花八门，每个问题都集体纠正是不现实的，更是不可取的，这就要求教师在数学教学中分清哪些是共性问题，哪些是个别问题。对共性问题集体纠正，而对个别问题可以在课堂上单独指导或课后个别纠正。如在分式方程解法的教学中，漏乘(去分母时，不含分母的项没有乘以最简公分母)、不检验是共性问题，而移项不变号这样的错误只有极个别学生出现，可以在巡视时个别指导。这样就可以实现课堂效果的最大化。注意培养学生的自我矫正能力德国教育家第斯多惠说过：“如果使学生习惯于简单地接受或被动的工作，任何方法都是坏的，如果能激发学生的主动性，任何方法都是好的。”所以在反馈矫正这一双向的信息沟通过程中，提高学生的积极性，培养学生的自我矫正能力非常重要。主要有两个方面：一是对学生个人矫正习惯的培养。主要方法有使用纠错本，对错题逐一登记并分析原因;注意思考方法的培养等等。二是对学生集体矫正能力的培养，主要方法是把学生分组(一般四人一组)，让小组成员互批互改、讨论批改，在批改过程中知道了自己的对与错，通过讨论找到了错误的原因，这样不但培养了学生自我矫正的能力和合作能力，提高了学生的学习兴趣，也大大提高了课堂效率。为反馈创造良好的氛围有些教师反映，在自己的目标教学中最大的困难就出在反馈矫正这一环节上，因为学生都不愿发表见解，也尽力避免暴露自己的问题，甚至不惜抄袭他人的解题过程。究其原因，主要是对发表见解和暴露问题的学生批评太多，打击了学生反馈的积极性，从而使师生间信息流通不畅，不能很好的进行反馈矫正，完不成教学目标。所以，教师在教学中要注意自己的用词和语气，对学生多多鼓励和肯定，如“只差一点就全部正确了。”“再多思考一下问题就解决了。”“有进步!”等等。使学生很体面地暴露自己的问题，发表见解，使师生双向互动时信息流畅，做到有的放矢，顺利完成教学目标。3确定教学目标二注重创新目标意识，为课堂教学开拓新空间教学目标不是一成不变的，需要教师在教学实践中不断地创新。教学中发现，课本中有很多内容都可以改编成创新问题。教师要创造性地利用教材，而不拘泥于教材，为课堂教学开拓崭新的空间。例如：在教学“分式”中，要探究“a=bc”型数量关系。这是在本章教学结束后进行的，但发现它可以与本章中分式的概念结合起来，改编成很好的创新性问题。首先，把课题改变为a=b/c型问题，并策划了“如何用最简捷的方法测量一大捆电线的长度”这样一个我们生活中经常遇到的问题，这个问题解决不好就会造成浪费。把学生分成很多小组进行讨论，同学们想出了很多千奇百怪的办法。有缠绕测周长法，有测体积法，有测重量法，等等。最后，教师总结出最简便的方法，那就是测重量法。并把它归结为列分式问题，让这个方法得到理论支撑，认识到建立分式的概念在生活中的重要性。在完成这样的活动后，让学生思考该公式还可以解决生活中的哪些计算问题，这样适当地渗透方法论。在热烈的讨论中，学生想出了该公式的十几种适用情况。一个抽象的公式，在活动中竟然被学生发现有那么多的用途，这其中渗透了数学建模意识。结合教学实际情况，让教学目标实现持续性制定教学目标要体现持续性这个特点。教师在制定具体的教学目标时，要考虑到学生学习能力的形成与目标的实现是一个漫长的过程。教学目标是对学生学习所要达到的目标提出的要求，应该有以下特点：持续性、持久性与长期性。我们要时刻以学生为课堂教学的主体，根据学生的实际学习情况来制定教学目标。在教学活动中，实施一些具体的学习与教学活动，让学生在一系列学习活动中，逐渐感知并且明确教学目标，逐步提高学习能力，从而实现教学目标。例如：在教学“解直角三角形”时，可根据教学内容把“探究性学习能力与思维创新能力”等学习能力这一要求贯穿在教学活动中，例题：(一)在△ABC中，∠C=90°，(1)已知a=3，∠A=30°，求∠B和b、c;(2)已知∠B=60°，b=3，求a、c与∠A。(二)已知：方程4x2-2(m-1)x+m=0的两个根恰好是一直角三角形的两个锐角的余弦，求m的值?对这样的数学问题进行解答，运用多变题型的探究，开展小组合作的评析等方式，提高学生的数学思维品质。从而实现学生在长期持续性的解答问题和探究实践中，学习能力得到提高。最能表示教学目标实现的重要标志就是学生学习能力的提高。4确定教学目标三引导学生自学学习，围绕教学目标自主探索自主学习能力的提高是新课改倡导的理念之一。自主学习就是以自学为主，是以学生为学习主体，积极主动地探索知识的过程。但自主学习并不意味老师就可以放手不管，让学生自行学习。学生的知识与经验是有限的，在自主学习时很多学生可能还找不到学习的目标或方向。如果学生没有明确的学习方向，那么他自主学习的效率就会很低。所以，在自学的开始阶段，我们要引导学生进行自主学习，至少要把学习目标分解清楚，再把这节课的教学目标中的重点与难点告诉学生，再提供一定的线索让学生自行探索。例如：在教学“解一元一次方程”时，首先教师要把这节课的学习目标分别列出来，然后让学生自主学习。不妨给学生提出这样的目标：(1)解方程的定义;(2)方程的解的定义;(3)怎样去分母和去括号;(4)怎样移项和合并同类项;(5)解方程的一般步骤。如果学生在自学过程中把这几个问题弄清楚，那么这节课的教学目标也就达到了。教师把一节课的目标告诉学生，让学生围绕学习目标进行有效的探索。这样，学生不但从中获得了知识，还提高了自主学习能力。多维分析课程目标，对教学目标进行综合设计初中数学教科书中的教师用书中，每个单元都设计了教学目标。但这是单元的总体教学目标，需要我们进行多维的分析与综合的设计。多维分析就是按照国家义务教育阶段数学课程目标与目标分类理论的要求，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等多个维度来分析课堂教学目标。所谓的综合设计，就是指根据课程目标、单元目标、课时目标等与学生发展状况的不同层次，对教学目标进行综合思考，并对不同维度的教学目标进行有机整合。多维分析与综合设计是制定教学目标两个很重要的方面，两者缺一不可。多维分析关注了课程目标的多元性与均衡性，综合设计保证了教学目标的准确性与全面性。这样有利于实现不同层面、不同维度的教学目标前后连贯、动态整合、形成合力。所以，初中数学课堂教学目标设计不仅要进行多维分析，还要进行综合设计。例如：在制定《旋转》一课的教学目标前，我们要从宏观的角度把握它属于运动几何的范畴，知道《数学课程标准》的要求和单元教学目标，准确把握学生特点，结合已学习过的平移、平面直角坐标系。然后从微观上进行分析，如知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观等维度。

数学课程目标分为总目标和学段目标，并从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述

从整体角度进行数学教学的几点思考高中数学知识体系及其结构已经形成一个较为完整的系统，从高中数学教材改革的指导思想及其重点，便可看出在数学教学中应注重以问题引导数学知识产生的背景、过程、历史、思想及文化，最终落实到数学知识的应用这一重要环节。为此，在数学教学中教师要培养学生从数学的基本思想、基本方法、基本概念的理解与认识，以及对数学的基本态度等方面来形成对数学的总体认识，进而使学生对数学形成整体的认知结构。要让学生对数学有一个整体的认知结构，提高学生数学能力、创新意识、理性精神并着眼于学生的终身发展，教师也就应该从系统和整体的角度来开展数学教学，以下笔者就此结合教学实践谈几点思考。

我认为初中数学网课老师是直接值得推荐的，简单学习网的老师是把学习的知识点都归纳在一起，我认为他的知识点是挺全面的。

有的呀，跟谁学的施老板就是专门教初中数学的，他的数学课不错，很多在他这补习的学生都提高了不少分数。

分式的概念：形如，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式.分式中的字母代表什么数或式子是有条件的.(1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=，AB=.(其中M是不等于零的整式)分式中的A，B，M三个字母都表示整式，其中B必须含有字母，除A可等于零外，B，M都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分[来源:学科网ZXXK](1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3、分式的运算1.分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分[来源:学。科。网Z。X。X。K]（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母分式后再加减．2．分式的化简[来源:学。科。网Z。X。X。K]分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式．3.分式的四则混合运算分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些．4、分式方程分式方程是方程中的一种，且分母里含有字母的方程叫做分式方程。分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中含有的照写）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。分式方程的应用列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程．与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意．

-22m+4m平方=10m从这里开始错了：4m平方-32m=0 !!!!! ......

分式方程3步 1解 2经检验 3结论 由4/3-8x=3-11/2x得 4/3-3=（8-11/2）x , (4-3*3)/3=[(8*2-11)/2]x 即 -5/3=5/2x 所以 x=-(5/3)*(2/5) 经检验-2/3 是原方程的根 所以x=-2/3 是原方程的解

三角函数的倍角公式：tan2A=2tanA/(1-tan2A)，cot2A=(cot2A-1)/2cota。倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。倍角公式把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。倍角公式、半角公式与差角公式（和差公式）是三角函数的基本公式。倍角公式：1、Sin2A=2SinA*CosA2、Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-13、tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）降幂公式1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/22、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/23、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

没感情吧。

1、国际背景：19世纪50年代，扩大殖民地成为列强的共同愿望；2、根本原因：英法企图借修约进一步打开中国市场，扩大侵略权益：根本原因要从19世纪50年代世界形势发展的特点来考虑。随着工业革命的陆续完成，世界资本主义有了迅速发展，扩大国外市场，掠夺殖民地，已经成为资本主义列强的共同强烈愿望。英、法、美等国根据已经取得的在中国的特权，一起向清政府提出修约的无理要求，就是企图借机进一步打开中国市场，扩大侵略权益。当修约的要求遭到拒绝后，英法两国就立即制造借口，发动武装侵略，这就是第二次鸦片战争爆发的根本原因。从英法发动这次侵略战争的原因看，其根本目的是与鸦片战争相同的、性质是一样的，因此可以说第二次鸦片战争是鸦片战争的继续。3、借口：英国亚罗号事件、法国马神蒲事件：亚罗号事件和马神甫事件，这两个事件只是英法发动这次战争的借口或者说诱因，而不是战争爆发的根本原因或主要原因。

三角函数半倍角公式为：tan(α／2)=(1-cosα）/sinα＝sinα／(1+cosα）;cot(α／2)=sinα／(1-cosα）=(1+cosα）/sinα；sin^2(α／2)=(1-cos(α）)/2;cos^2(α／2)=(1+cos(α）)/2;tan(α／2)=(1-cos(α）)/sin(α）=sin(α）/(1+cos(α）)。倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。除了半倍角公式之外，还有2倍角公式：tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota，cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a，sinα＋sin(α＋2π／n)+sin(α＋2π＊2/n)+sin(α＋2π＊3/n)+……＋sin=0。cosα＋cos(α＋2π／n)+cos(α＋2π＊2/n)+cos(α＋2π＊3/n)+……＋cos=0以及sin^zhi2(α）+sin^2(α－2π／3)+sin^2(α＋2π／3)=3/2，tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。

《征服》那英演唱歌曲这是那英演唱的一首歌曲，深受无数人喜爱，收录于那英1998年的同名专辑《征服》中。《一笑而过》那英本人填词的歌曲《一笑而过》是那英演唱的歌曲，由那英本人填词，刘国民、刘志文谱曲，收录在专辑《我不是天使》中。《一笑而过》于2002年获得香港电台十大中文金曲“全国最受欢迎中文流行歌曲奖”铜奖”；于2013获得东方风云榜20年盛典“二十年至尊金曲”奖 。《心酸的浪漫》那英作词并演唱的一首歌曲《心酸的浪漫》是由张宇作曲，那英作词并演唱的一首歌曲，收录于那英2000年8月15日发行的专辑《心酸的浪漫》中。2001年，该曲获得2000年度中国流行歌曲榜十大金曲奖，那英凭借该曲获得第十二届金曲奖最佳作词奖。《我不是天使》那英作词并演唱的一首歌曲这是由那英作词并演唱的一首歌曲，收录到同名专辑《我不是天使》中。《长镜头》那英演唱歌曲《长镜头》收录在那英个人专辑《那又怎样》中，发行于2011年10月7日，由小寒作词，蔡健雅作曲，那英演唱。歌曲MV由林锦和导演执导，画面清新唯美。《雾里看花》那英演唱的一首歌曲《雾里看花》由阎肃和孙川作词孙川作曲，那英演唱的一首歌曲，收录在专辑《雾里看花》中。1995年，该歌曲荣获第二届东方风云榜十大金曲。《白天不懂夜的黑》那英演唱的歌曲《白天不懂夜的黑》是那英演唱的歌曲，由黄桂兰作词、林隆璇谱曲，收录于那英1995年发行专辑《白天不懂夜的黑》。《丝路》那英演唱的一首歌曲《丝路》是由屈塬作词，印青作曲，那英演唱的一首歌曲。2015年2月19日，那英在中央电视台春节联欢晚会上首次演唱了这首歌曲。

怡宝6L水12斤重。怡宝饮用水是纯净水6L*3桶装水,由唯米乐官方旗舰店出售,1L的水等于1000克,1000克就可以约等于为1公斤,而1公斤是等于2斤的,所以6L*2等于12斤中。

叶以萌 饰 玉华州二太子

中国人是懦夫！”曾经有人对中国人这样说。那时的中国政府腐败无能，西方列强在中国领土上横行霸道，肆无忌惮。　　“中国人是懦夫！”曾经有人对中国人这样说。那时的中国人软弱无智，日本人在一次屠杀中，竟杀了中国30多万南京同胞。　　“中国人是懦夫！”曾经有人对中国人这样说。那时的中国人是东亚病夫。在体育事业上，没有一项能打入世界。　　这时，有的中国人在默默决心、默默承诺。　　多少年后，我们中国是个别样的中国。　　好样的：中国懦夫把西方列强一一赶出了中国境内。在一次航班上，中国乘客想再要一份饭，服务员竟说“你们中国人就是吃得多！”于是遭到起诉，引起轰动。在此之后，有名中国记者乘飞机时，见一人匆忙跑到服务员旁，说：“这次航班有中国人在，得小心点！”记者感到自豪：中国人不是好惹的！　　好样的：二十世纪40年代，在百团大战中，中国懦夫彭德怀英勇率军，先后出动100多个团，约20万人，把日寇打得落花流水。真是大快人心！最后于1945年8月15日，日本不得不宣布无条件投降。这件事洗雪了近代以来的民族耻辱，成为中华民族由衰败重新振兴的转折点！　　好样的：中国懦夫刘翔于2004年奥运会，一举成为跨栏冠军，成为家喻户晓的名人。中国懦夫姚明打入nba，使外国人不禁对姚明竖起大拇指。　　请问还有谁敢对中国人说“懦夫”这两个字？中国懦夫兑现了自己的诺言，成为真正的强者

剩余类可以看做是一个新的数系，它对 加减乘 运算是 封闭的 ，所以同余方程对多项式是有意义的。这里我们就来讨论下一元多项式方程（1）的解，当然它的解是一个剩余类集合，最多有 m 个解。 在正式解一个同余方程前，可以先进行一些简单的变形，最简单的就是将系数取模。对于两个多项式 ，如果它们的系数是模m同余的，则称 是模m同余的。记作 进一步，如果 恒成立，则称 是模 m 等价 的。比如根据费马小定理， 和 就是等价的。显然同余的多项式必定是等价的，但等价的多项式却不一定是同余的。例如上面的例子 和 就是等价的，但很明显能看出来其对应的幂次数签的系数并不同余，故两个式子不同余。使用等价多项式可以对方程进行降次，比如模为p的多项式 f(x) 一定可以通过多项式除法 降为次数小于p的多项式 r(x)。对于一般的合数 m，其实容易有 ，则有恒等式 ，故任何多项式都等价于某个次数小于 m 的多项式。 在这里我们先从一般的类似（1）式的最复杂的情况的一般同余方程开始讨论，接下来自然是要对模数进行分解，记方程（1）的解的个数为 ，且 中 两两互素。容易证明解方程（1）的问题可以等价为解方程组（2）的问题，且有 。 将 模数进行素数分解 ，则我们可以把问题集中在解方程 ，在这里我们可以看出我们的思路其实还是比较清晰的，针对任意的模数 m，我们有算术基本定理将其分解成各个素数之积，于是我们把问题归结到模数为 ,而我们想要得到的一个好的结果就是可以找到模数为 与 单个素数之间的关系，或者递推关系最好， 因为单素数这种情况最为简单 。于是我们先来考虑 对模“降次” 。首先显然该方程的解也必然是 的解，设c为后者的解，则前者的解必定在 中。将其带入原方程，经过整理后有式子 ，其中 即为 的导函数为 。注意去除含有 的项（被 整除），整理后得到 ，进而有式子（3）。于是我们来考察较为简单的一次同余方程式（3），易得当 时，y 有 唯一解 。否则当 ，同时 （等价 ）时恒成立,这时候（3）式子的解数为 p,即 ,这个时候再带入 即可得到 的解，依次迭代上去即可得到模 的解，否则当 ，同时 (等价 ) 时无解。这样就有了如公式（4）的方程的解的网状关系图,分别对应了上面三种情况，特别地当 无解时，所有 的解相同。 现在我们的问题被转化成了方程 ，研究的方向和一般多项式方程类似，是关于方程解的个数和多项式格式。先假设方程已经做了同余简化，但还未做等价简化，使用多项式除法和归纳法可以有以下 拉格朗日定理 ：若方程有 m 个不同的解 ，则必定有唯一表达式（5），其中g(x)的首项为 ， 的次数低于 m。该定理说明了 n 次同余方程的解的个数不可能大于 n，反之若大于 n，则必恒为 0。 拉格朗日定理给出了多项式同余方程与根有关的格式，值得注意的是，该格式与原多项式是同余，也就是它的本来面貌，这点很重要。该定理还有其它有趣的应用，比如由欧拉定理知 有 p−1 个非零解，则有公式（6），令 即可得到威尔逊定理！如果再比较 和 项的系数，就会有公式（7）（8）。这里需要注意的是（7）中的 与 是关于[p-1/2]对称的，分别对应 和 前面的系数。还有值得一提的是，同余方程同可以有“重根”的概念，有兴趣朋友可以自己研究一下。 这里给出一个（8）式的简单的示意证明，首先因为 p 为素数，我们以 5 来作为示意展示，证明任意素数 p 时，只需将如下证明思路的模式从 5 推广到任意 p 即可。观察（8）并将 乘到和式里面，上式左边便变为了 其中 的定义同以前文章中的定义及 的阶乘除以 , 于是问题就归结到了证明如下式子： 当 p = 5时，易知 ，同理其他式子也是一样，于是我们可观察得到，当 p = 5 时 并且此方法可以推广到任意的素数 p，于是（8）式得证。 接下来我们假定方程做了等价简化，即 的次数小于p且首项系数为 1，看看会有什么性质。首先若有 ，则 有p个根，从而 ，换句话说，次数小于p的首1多项式如果等价则必唯一，即等价和同余是一致的。还有一个问题就是方程的根的个数问题了，当 恰有n个根时，有 ，而 ，这就有 。反之也可以推得 分别有 个根。这就是说 有n个解的充要条件是存在唯一表达式（9）。 关于高次方程更进一步的结论比较少，这里也不作深究，而二项同余方程 放到后面的不定方程讨论会更简单，所以这里也不讨论了。对一些低次方程，可以直接对其研究，我们先从最简单的 一次剩余方程 看起，显然它是否有解与不定方程 是否有解是等价的，故有解的充要条件是 。由同余的性质，原方程等价于方程（10）。故原方程共有 个解，分别为 ，其中 为任一解，也称为 特解 。如果将（10）简记为 ，则 即为原方程的一个特解。 直接求逆是复杂的，一次方程一般用辗转相除法，对于一些特殊格式，还可以动用一切同余的性质简化算法。你可以试解决下面这几个问题： 　 • 证明 的解为 ，其中 。并由此给出系数为 的方程的解法； 　　• ，若 解为 ，则 是 的解。 现在来研究模为素数的二次同余方程 ，通过配方可以有 ，从而方程其实等价于二次二项方程 ，当然这里不去考虑 和 这样的平凡场景。如果方程有解， 称为 的二次剩余，否则叫二次非剩余。为方便描述，这里先引进 勒让德 （Legendre）符号 ，并且勒让德符号或函数有三个取值，当 为 的二次剩余时其值为1，否则为 −1，当 时值为 0。 考虑将 的既约剩余系分为对称的两部分 和 ，显然 ，而当 时， ，所以 。从而上面的式子给出了模 p 的全部二次剩余，故 共有 个二次剩余，又因为模 p 的既约剩余系共有 p-1 个数，所以另外的（p-1）/2 个都是模p的二次非剩余，共有 个二次非剩余，每个二次剩余有两个 互为相反数的根 。 我们自然要问：哪些数是二次剩余？如何判断它是二次剩余？根据欧拉定理有 ，通过移项平方差构造容易证明 。若 为二次剩余，则有 。若不为二次剩余，我们可以将 按照乘积为 配成 对，根据威尔逊定理有 。综合这两个结论就是二次剩余的 欧拉判别法 （公式（11）），当然对于大模数这个方法的计算量还是太大，它仅有理论价值。 对于一些特殊值，可以单独讨论，得出的结论也是可以直接使用的。首先容易证明 只有在 时才是二次剩余，并且由 威尔逊 定理知 是它的解。而且当 时，显然 同时是或不是二次剩余，呈对称分布。当 时，显然x,−x有且仅有一个二次剩余，从上面的欧拉判别式即可得到此结论。这些结构都是很有用的。接下来我们可以来看看如下几个小练习： • 讨论 有解的充要条件，并给出求解的方法； 　　• 求模 下所有二次剩余的积与和，再求模 p 下所有二次非剩余的积与和。 使用勒让德符号能更清晰地表述二次剩余的性质，如下列的这些性质（可自行验证）： 　　（1） 　　 　　（2） ； 　　 　　（3） ； ； 使用素数分解并结合以上性质，可将求一般 的问题转化为求解 和 上。现在从另一方面讨论 ，在剩余系 中考察 个数 的分布，即在既约剩余系中的前 (p-1)/2 个数乘以二次剩余 d，然后观察那些落在了 0到 p/2 内，那些落在了 p/2 到 p 内。容易证明它们互不相同且互不相反，所以它们是以 为对称轴的两个数之一，右半边的数（设个数为n）需要取相反数才能回到左边。考虑它们的积则容易有 ，这样就有了二次剩余新的判定方法（公式（12）左），特别地时可以推得 是二次剩余的条件是 （可写成公式（12）右）。 对一般的 继续上面的结论，注意到 （[x]是取整操作），对它们求和并在模2 下讨论，可以得到式子（13）。而后者有显著的几何意义，它是一个直角三角形区域内的 整点个数 。考虑 对应的 和 对应的 ，它们正好组成了一个长方形区域，这样就得到了著名的 高斯二次互反律 （公式（14））。 在经过上述的论述之后，你还可以尝试思考下下面这几个问题： • 求以3为二次剩余的充要条件，并由此对 进行因式分解； 　　• 求证 的奇素因子都有格式 ；并由此证明格式为 的素数有无穷多个； 　　• ，求证 为素数的充要条件是 ； 　　• ，求 （提示：剩余系的遍历）。 　　在使用勒让德符号时要保证模数是素数，这一点很不方便，我们希望这种记法能更通用一点。扩展后的符号称为 雅克比（Jacobi）符号 ： ，其中 。雅克比符号虽然只是一个记法，但形式上却同样有着漂亮的性质，首先有下面几个简单的性质： 　　 （1） ； （2） ； ； （3） 。 在得到更多结论之前，需要一个引理：如果 ，则用 归纳法 可以有公式（15）。 利用这个结论就很容易得到雅克比符号的以下性质，这些性质可以使得雅克比公式的使用更加自由，中间无需关心操作数是否为素数，比如 。 （4） ; （5） 上面我们探讨一般性的同余方程，然后又探讨了较为简洁的二次同余方程的一般形式，在这里我们继续介绍一些特殊的二次同余方程的快速解法。这在利用计算机进行运算时时常会被用到。众所周知，一个素数 只可能是 。在这之中， 对于 为 的素数 ，我们都能够快速地解出二次方程 。 快速解法的要义实质上就是凑！但是如何优雅地凑、在凑的过程中碰到困难如何处理等等还是很有意思的。 首先，我们拿到一个二次方程后自然地会用Legendre符号 判断其是否有解。在这里我们自然要讨论 的二次方程。那么利用 Euler 判别法， 。这就是我们凑方程解的起点所在。 自然地，我们有 ，下面把左侧凑成平方形式： ，从而得到方程的 解为 ： 。但是我们得确保 ，故这个方法仅仅 对于 为 的素数有效！ 对于剩余类型的素数，我们可以换一个思路：先对于 做因式分解（这是个常用的思路），得到 。故 或 成立。（注意到这里 为 的素数都能保证 ） 若 成立 ，则开始凑： ，故 ， 解为 。这个做法要求 ，故 仅对于 有效 。 反之， 若 成立 ， 。但是我们遇到了问题：我们该如何凑出一个数，使得其平方在 意义下为 -1 呢？ Wilson 定理 给了我们答案！对于素数 p， 即 。这样一来立马得到 解为 ： ，这个做法同样 仅对于 有效 。这里的Wilson定理使用得太为精妙了，这告诉我们Wilson定理不仅仅为我们提供了一个数为素数的充要条件，其也帮助我们计算出了域 上的 ！ 由于上述讨论中我们一直假定p 为奇素数，故我们一直没讨论 模为 时的方程解法 。下面我们讨论方程 ，其中假定 n 为奇数。 当模为 2 或 4 时我们分类讨论容易得到结论。 模为2 时的解存在唯一，而模为4 时要么无解要么有唯一解，解存在的充要条件为 。（这很自然，因为所有奇数的平方都是模 4 余 1 的） 在模为 时，我们先讨论其解的存在性与解的结构。 方程的解存在当且仅当 （这很好理解，因为所有奇数的平方都是模8 余 1 的），且 给定方程特解 后，可以确定其所有四个解 。你可以自己验证下。 具体求解的情形中我们效仿高次同余方程的做法， 利用 的解构造 的解 。 若前一个方程有解 ，则 必定为后一个方程的解 ，这是极其容易验证的。 故对于形如

自己写，这样才体现出自己的体会

三角函数的倍角公式：tan2A=2tanA/(1-tan2A)，cot2A=(cot2A-1)/2cota。倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。倍角公式把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。倍角公式、半角公式与差角公式（和差公式）是三角函数的基本公式。倍角公式：1、Sin2A=2SinA*CosA2、Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-13、tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）降幂公式1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/22、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/23、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

应该是N没有超过2的质因数。反证：若存在一个质数p，使得N=p*sum(a_k*10^k,k=0,1,2,...) （sum为求和）根据N=2^n=2^i0*2^i1*2^i2*...*2^ik (i0+i1+i2+...+ik=n)表明，N所有的因子都表为2^ik,因此p或者为1，或者为一个形如2^m的数，二者必居其一且只居其一。这跟p是一个质数矛盾。矛盾表明，结论是对的。

三角函数的倍角公式：tan2A=2tanA/(1-tan2A)，cot2A=(cot2A-1)/2cota。倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。倍角公式把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。倍角公式、半角公式与差角公式（和差公式）是三角函数的基本公式。

《爱上你等于爱上寂寞》的MV由于挑战了“殉情”的禁忌话题，网络上90秒的MTV片段广告，短短一周内突破了30万次点击，也造成了疯狂的话题与媒体高度的关切。而那英独特的嗓音也成功的唱出了爱情中最深层的绝望。 那英的新曲“爱上你等于爱上寂寞”是一首十分悲伤的情歌。在其MV剧情里，男女主角赤裸真实的性爱镜头和两人最后以殉情的方式相约在爱情的第三国度再续尘缘。 “爱上你等于爱上寂寞”的MV题材，挑战感情世界中最禁忌的部分。那份”相爱却不能相守”的无奈，藉由情欲的端点作为终点，来预约下一辈子的爱恋。其情可悯，但其做法倍受争议，却凄美。在多少中外隽永的爱情故事中，都有如此留下”完整却不完美”的遗憾：《罗密欧与茱丽叶》因为社会地位的差异，让真爱不能在一起；《梁山伯与祝英台》因为身份的悬殊，让挚情终究落空；《失乐园》因为舆论的不容、道德的相违背，让人爱到不能爱…。现实生活中，有太多太多“相爱却永隔”的例子，这样不被祝福的感情，原因层出不穷，”死”并不是解决事情的最终办法，却是无奈下的最后一博，这样的做法不足以效法，却也突显出爱情的无限能量。 据北京华纳公司工作人员介绍，那英的这首《爱上你等于爱上寂寞》的MTV由台湾华纳公司全权负责拍摄，其尺度也由台湾公司定夺。据了解，该MTV原版中尺度大胆，有男女主角在冰天雪地的户外全裸亲热镜头，酷似《失乐园》，不过正式播出前，该MTV已经经过了删剪。北京华纳公司工作人员表示，“这个音乐录影带经删剪后分A、B两个版本，A版是在台湾播出，B版则在台湾以外的地方播出。

作文《从此,我不再懦弱》500字数 在人生的长河中，唯有狂风才能掀起人生的波澜壮阔。——题记 那是一个初秋的清晨，月考的失利让我的心万分焦躁。于是自己独自去爬山。初秋的山林，早已淡却了昔日的朝气蓬勃，有的只是一片寂静。我穿梭林间，感伤著这个寂静的秋。 驻足远眺，我欣赏著远处随风飘动的红叶。忽然，一个黑影掠过了我的眼帘。咦？飒飒秋风还有什么未带去。我定睛一看，原来是一只硕大的蝉螂。枯黄的身躯，与周围枫的世界级相协调；威武的双臂，明晰的翅膀，好一个大将军形象！但它干瘪的肚子还是暴露了它的年岁，它是经岁月洗礼的啊！ 秋风吹开心底的那一颗芽，吐出好奇的芬芳，驱使我捉住了它。自然，我不费吹灰之力既俘获了它。它也毫无反抗，顺从的被我用草拴住了一条腿。“中看不中用”，我心里有些轻蔑，擒着它向山顶爬去。 走着走着，我想看看那小家伙痛苦挣扎的样子。但出人意料，草上空空如也，唯有一条腿在风的吹拂下不停摇晃，像是在嘲笑我。我的脸涨得通红，满是不服，一个箭步冲上去，仍旧用草拴住了它的另一条腿。我嘴角露出一丝奸笑，满是得意。谁知，意想不到的事发生了，螳螂竟当着我的面抬起那只锋利的手臂向大腿砍起来，狠狠地摔在了地上。从那微冷的眼光中，我看到了一个目瞪口呆的自己。 我惊呆了，想象不出它是如何忍受着断腿之痛。也许我想错了，在这寂静的山林中仍有如此顽强的生命。它对生命的渴望与追求，不容得任何人去剥夺它对生命的拥有全和自由权。我们人类根本无法与之相比！ 螳螂挪动着疲惫的身躯，逐渐消失在那一丛淡黄的草中。我轻轻的放下手中的草，向着螳螂消失的方向深深地鞠了一躬，然后坚定地向山顶大步走去。我相信，我不会再懦弱了。面对人生的起伏，我更要以坚定的信念去迎接它。 清风去，但看烟雨苍茫；波潮起，笑对沧海浮沉。总有一天，我会带着成功的喜悦问苍茫大地谁主沉浮！ 从此,我不再爱哭作文,字数300字 我不再爱哭 李尚东我，是一个爱下围棋的小男孩，然而，围棋有时会让你开心，有时会让你伤心，就从我说起。小时候，我很坚强，如果遇到困难，都不流泪，想办法解决，然而自从我学了围棋，我变得爱哭了。每当我去跟别人下棋，如果输的很惨，就忍不住要哭。因此被别人取笑你是一个“爱哭鬼”！哈哈！每当听到总是生气的反驳“你才是爱哭鬼”！就因为这件事，我有好几次被妈妈叫来“你是一个男孩子，不要放弃自己，要维护自己的自尊，不让别人嘲笑你，这才是真正的坚强，要能够承认自己的缺点，这也是难得的坚强！所以，你一定要努力！”我听了点点头。 于是，从那次开始，我不再爱哭。 有一次下午学围棋。放学了，其他同学都被家长一个一个地接走了，就只身剩下我和易子栋。我感觉无聊，便对易子栋说：“易子栋，咱们的家长都没来，不如下盘棋吧？” “哼，我才不跟“爱哭鬼”下棋呢！” “我不是爱哭鬼，我和你下，如果我哭，我就大喊三声‘我是猪"，如何？” “好，一言为定！” 说吧，我们便走进教室，找了一个棋盘坐下。挺著腰，双手放在腿上，认真的思考，时不时说声“好棋！”。就这样，你一步，我一步，互不相让。40分钟过去了，我们才下到中盘，教室里安静极了，连蚂蚁走路的声音都能听到，挂在教室中央的钟表声“嘀嘀嗒嗒”转个不停，好像说：“加油啊！你们一定要细心！” 现在，我们俩的棋已经到了“白热化”，易子栋在下的时候不小把一块跑到了我的“地盘”，如果我把这块棋一杀，那我就赢了。于是我俩都打起了十二分的精神，努力的去思考，可杀“大龙”不是我的强项，结果，10分钟过去了，“大龙”没有被杀死。我的心酸了，嗓子里好像有什么东西给卡住了，眼圈也越来越红，眼看眼泪就快要掉下来了，我突然想了妈妈对我说的话：你是一个男孩子，不要放弃自己，要维护自己的自尊，不让别人嘲笑你，这才是真正的坚强。 我想：嗯，妈妈说的没错，我是一个男子汉，是要维护自己的自尊。 于是，我又让真起来，说：“没关系，我一定要赢你！” 我拿起棋子，回想着老师教我的东西。时间像飞箭，转眼间，1小时30分钟过去了，我们的棋也到了结束时刻。易子栋数着棋，我在一旁坐着，闭着眼睛，心里默默的祈祷。 “不会吧，177目？你赢了！”易子栋惊讶的说。我睁眼一看，真的！是我赢了！我站起来高兴地蹦著，跳着。 我，不再爱哭。 以“从此，我不再_____”为题作文≥500字 从此，我不再胆小 曾经我是一个非常胆小的人。害怕黑暗，害怕独处，甚至害怕根本不存于世上的鬼。 　 胆小到什么程度呢？说起来也真是我自作自受。曾经同学有一本鬼故事书，在班上传得火热，于是抱着强烈的好奇心，我也与好友借来读了读。里面瘆人的图片，阴森的话语无不让我们感到恐惧，却又越是想看下去。最终我们还是鼓起勇气看完了一整本，但后果可就严重了，我们对那鬼故事忘也忘不掉，一直胆战心惊，同学突然的一拍肩就能把我们吓个半死，我还与好友打趣说：“今天晚上怕是要做噩梦吓醒，要么连睡也不敢睡了。” 　 那晚我就真的吓得不敢睡，关灯时我也是小心翼翼地靠著墙走，先把卧室的灯开了，再开书房的灯，再开厕所的灯，关掉客厅的灯后，接着再一一关掉厕所的灯、书房的灯和卧室的灯，整个过程麻烦又无聊，但我却不嫌烦琐，甚至有时还躲著房间的门，生怕房间里会突然冒出个鬼来。“有什么好怕的，在自己家怎么可能有鬼。”我用这句话安慰过自己无数次了，可一想起那些至今忘不掉的鬼故事片段，又会整个人的汗毛都竖起来，怕到不行——估计我之所以会更加胆小，就是那时给吓得。 　 妈妈哭笑不得，说我太胆小，太幼稚，世界上不可能有鬼，爸爸也总是安慰我说：“如果世界上真的有鬼，那死了这么多人，空气中不是鬼摞鬼啦？”而我始终没办法在黑夜里一个人在家独处。 　 时间长了，我也静下心来想过；为什么别人都不怕鬼，就独独我一个人怕得不行？他们怎么能不怕？于是我的出了答案——怕鬼什么的，只不过是我的恐惧心理在作祟，总以为真的有什么，但其实什么都没有。因此我每当害怕时便心里自我安慰，我努力改变自己胆小的心理。在大白天，到处都亮着，我完全没必要去害怕；到晚上，我也不会自欺欺人地一次次在心里告诉自己“有鬼”，我尽量只处在一个地方，并把所有精力都投入到某一件事中，这样不知不觉心中便没有了恐惧；要做什么事时我也能从容地起身去做——只是要开很多灯这个习惯我是怎么也改不了了。 　 慢慢地适应过来，在黑夜里行走我也是完全都没问题了，但是若是家里突然有什么声响，我也会吓得心跳漏两拍，但短短的恐惧过后便更添了一份安慰，我也就是这样慢慢消除恐惧的。 　 人最难战胜的就是自己，我害怕黑暗和独处，但我努力地去适应它们，战胜了它们、战胜了我胆小的心理，因此我可以很自豪地说：从此，我不会再胆小。 从此,我不再()作文600字 从此我不再放弃 一阵风吹进了我的房间，带着一丝丝的月光，在那月光中夹着我的微笑，还有那一缕缕的惆怅。我随着月光望向那幽暗的夜空…… 看，那天上的“小眼睛”多么耀眼可爱啊！我喜欢在黑夜中遥望夜空，望着那动人的星星，和他们在一起。我会对星星诉说我的喜怒哀乐，说心中的小秘密。虽然这样可能很幼稚，但也是因为他，才让我懂得了什么是“不放弃” 记得那一次，我的数学考得很差，这对我来说就如同是一个晴天霹雳。耳边也不是传来一声声刺耳的责备，这让我无地自容。 回到房间里，星星依旧高挂在璀璨的夜空中，眨着他那双水灵灵的大“眼睛”。一行泪水不知不觉划过脸颊，一丝无助在心底犹然而起。我肆无忌惮地嚎啕大哭起来。我输了，彻底输了，输的一无所有，输得很惨，没有人在意我，没有人安慰我。 哭累了，无意间抬起头，遥望着天际，望着星星。他依旧眨著大“眼睛”望着我，依旧充满著无际的信心，犹如这浩瀚的夜空。他又好像在对我说：“这么一点儿挫折算什么！你必须重新振作起来！请你，不要轻言放弃！”我原本跌落低谷的心灵找到了一丝生的希望：对，我不能轻言放弃，何不再试试呢！ “我不要轻言放弃！”凭著这个信念，我努力地学习。 又一次考试降临了，不论结果如何，我都已经竭尽全力了。我相信有光芒就有雨过天晴后彩虹彼端珍贵的宝物！ 望着夜晚的星星，我大声呐喊道：“谢谢你陪我度过这悲伤的夜晚，谢谢你—”我顿了顿，“让我不再轻言放弃！” 从此，我不再_____ 600字作文 从此,我不再胆小 小时候,我很怕黑,从来不敢一个人睡,总是喜欢躺在妈妈怀里,因为妈妈的胸怀十分温暖,让我放心.躺在妈妈怀里,我总能很快就进入梦乡.随着时间的流淌,胆小早已成为了一个习惯. 我一天天的长大了,但胆小这个坏习惯却一直没有改掉,班上许多的小朋友都一个人睡了,可我却赖著妈妈不放.有一次,妈妈说要让我学会勇敢和坚强,让我一个人睡.我再三恳求妈妈陪我睡,可妈妈就是不同意,无奈之下,我只好慢吞吞的向小房间走去……走进小房间,我钻进被窝,把旁边的羊绒玩具紧紧地围在我身旁,希望它们可以代替妈妈保护我.因为我小时候怕黑,那天晚上,妈妈帮我关了灯,可我翻来覆去睡不着,总觉得不踏实.这时,窗帘动了一下,我吓得大叫:“妈妈,妈妈!”妈妈闻声赶来,急切地问:“怎么了?”我边哭边指著窗帘说:“那，那个，那个在动!”妈妈顺着我指得地方望去,笑着说:“傻瓜,那是风吹得呀.”说著,走到窗边关好了窗.我听了妈妈的话,倒吸了一口凉气.我把眼睛紧紧地闭住,希望能让我进入梦乡,可思绪好像在跟我唱反调,偏偏不让我安然入睡.这时,墙上出现了一个似狼非狼的“怪物”,我又吓得哇哇大叫.妈妈听见了我的哭声,走了过来,不耐烦地问:“又怎么啦?”我扑到妈妈怀里,喊道:“墙上的大灰狼要来吃我，妈妈救命啊!”妈妈摇了摇头,对我说:“哎,那是你挂的衣服的影子啊,没什么好怕的.如果你睡不着,就想一想开心的事,想想学校里发生的趣事,想象可爱的动漫人物,这样你肯定能睡着.”我按照妈妈说得做,不久便进入了梦乡.这可真是个妙招啊. 从此,我不再胆小,变成了一个勇敢的小女孩. 从此，我不再……700字作文 人生的境界 生命本身并不可贵，可贵的是一个人在其一生之中所体现出来的难能可贵的精神修养与高尚的道德情操。 昙花虽然只在一瞬间的绽放之后便投入泥土的怀抱，但值却得到人们决不会因此而忽视她的美丽；善良的人即使没有长久的生命，他的价了体现。所以我会选择做有意义的事来体现我生命的价值，即使因此而丧失生命也绝不后悔，而不会放弃做有意义的事来延续不安的人生。 自古以来，人们从不以生命的长短来比较人所体现的价值，也就是人活着的目的不是为了活着，而是为了做更多有意义的事，能更多的帮助他人与整个社会，能更多的贡献自己的生命。这种贡献是多方面的：有如孔子般潜心修学为教育下一代而贡献终生的伟大学者；有如范仲淹一般为了天下百姓而“鞠躬尽瘁，死而后已”的政治家：更有如黄继光一般为解放全中国而甘愿牺牲的人民子弟兵。他们的寿命长短没有创造吉尼斯世界纪录，但他们那伟大的人格修养与高尚的思想情操却震撼着我们每个人的心灵。他们的生命才由此而显得愈加的珍贵，他们达到了人生的最高境界。 但有的人为了能获得更长的生命 帮忙写作文，从此，我不再xx！500字                     从此，我不再任性 我原来一直是个任性的小孩，我要什么，就必须得得到；我说去哪儿！别人必须要依我才行！ 但是从那次后，我不再任性！ 那是一个下雨天，7岁的我看见班上的其他女同学都买了芭比娃娃，心里很不是滋味，一点也不心甘，偏要爸爸也立马就带我买去！ 在我的再三催促下，爸爸便同意陪我买去了，可是妈妈坚决反对，我便很不高兴，大小姐脾气一下子又上来了！ 妈妈僵著脸，气呼呼地说：不准陪她去，总不能一直这样惯着她，宠着她吧！都已经7岁了，也不小了，总不能一直这样任性下去啊！你自己看看，爸爸为了这个家，在外头辛苦地工作，而你却一点也不懂事，半句体贴爸爸的话也不说，反而天天嚷着他带你走到这儿，走到哪儿.... 这时,爸爸赶忙走出来说;别说了，孩子他妈.....""为什么不要说呢？再这样下去孩子怎么能够懂事，成才，懂得孝顺父母啊？！""妈妈苦口婆心地说道。 我听了，眼中的泪水早已夺眶而出，一个人躲到了自己的小房间里，趴在床上一边哭，一边想妈妈刚刚说得那番话。心里想：是啊！我怎么这么不懂事呢这么任性呢。父母为我付出了这么多。此刻，妈妈眼角的一丝丝皱纹，爸爸头上隐隐约约的几根白发，一直在我脑海浮现，挥之不去.... 从那时，我便做了一个决定：从此，我不再任性!要做一个孝顺父母的好孩子！ 1000字作文，从此我不再…… 从此我不再迷惘_1000字 　在我心中最柔软的地方，有一束温暖的光一直照亮着我前进的心路，指引着我，使我不再迷惘。 似乎是那个调皮的小孩子用墨水轻轻一泼。天便被染上了一层黑色，在漫开来，不一会儿，天空便像套上了厚厚的幕布，压得人有些喘不过气儿。每天这个时候，我总会拽著一个书包，踢著路边的小石子，慢悠悠地走向熟悉的家门，而在家门前的巷子口，爸爸也总是年复一年，不知疲倦地为我举著一个手电筒，生怕我找不找回家的路。无论刮风下雨，他从没有改变过。我曾经和他说过，但他每次都是用长了许多茧子的大手拍我的头，说：“傻孩子！” 我开始抗拒他，每天晚上放学后总是故意晚回家，与一些好朋友去玩，天真的我以为他等久了，累了，就会放弃等待这个不听话的孩子，但他却一如既往的为我举著照亮了回家路的灯。而我，成绩却直线下滑，整天无所事事，没点正经样。心也不在学习上，好像是随着蒲公英不知道飘向了何方，也不知道是否可以生长。 那晚，我漫无目的地走在街上，平日宽敞的街道越走越狭长，好似望不到底的深渊。周围的颜色渐渐越来越单一，我不知道要去哪里，也不知道什么时候该停下，就这样随着迷惘的心游荡著，连回家的路也忘了。唉！今天又被老师批评了，我该怎么办？成绩又下降了，我能怎么办？我也不想这样啊！可是……天，越变越黑，心，越想越乱。现在的我，像是走进了一片烟雾弥漫的深林，不知所措。今晚的月亮，似乎也迷惘了起来，你藏在云层里。伸手不见五指的夜，却有远处隐约的不知名的昆虫叫声和鞋底摩擦地面发出的声音。 走着走着，熟悉的巷口依稀可以看见一束亮光。此时的我，心中竟油然而生出一股暖流，涌至全身。远远看到爸爸拿着一个手电筒，在漆黑的巷口中来回踱步，我不禁停住脚步。看！爸爸的背开始弯了，从前把我举过头顶欢呼的他确实难以扛起生活的重担了：爸爸的两鬓开始变白了，微风拂过他的脸颊，几道岁月留下的沧桑证据渐渐明显起来：爸爸的步伐开始慢了，他曾在这个地方来回守候过多少个晚上？为的只是他那不懂事的孩子的一点方便。而我却多少次忽略了这些细微的东西。 心中的角落逐渐变得明亮，我轻轻靠近爸爸，接过他的手中的手电筒，挽着他的手臂说：“爸，我们回家。”贴近爸爸的我感觉到了爸爸的轻微颤动，也才发现爸爸真的老了。 从此以后，我不再迷惘。因为我的心早已被爱照亮，透亮的光照耀着我前进的道路。因为有风，迷惘的蒲公英也会找到方向，依旧可以成长。 《从此，我不再迷茫》作文500字以上 从此,我不再迷茫 秋日的黄昏，一个人静静地倚在窗前，推开窗户，眺望窗外。近处的稻田，远处的苍山，高高低低，疏疏落落的各种各样的树，在秋日的天空下静静地站着。我深深地吸了一口气，慢慢品尝秋的味道。 秋日的美，美得有些凄凉。 我是喜欢弹琴的。六弦琴对于那时七岁的我来说，有些过于笨重了。也正因如此，当初我才选择了它。但随着时间如同驹马过隙般流逝，我已没有了那么多时间抚摸那心爱的琴弦。应为要迎接中考，妈妈甚至将它锁在了柜子里。 在那个秋日的黄昏，一阵悠扬的琴声伴着徐徐清风飘入我耳中，循着琴声，我来到了一间破旧的小屋前。琴声依旧回旋在苍茫的暮色中，犹如一股清泉，为迷途之人洗去心灵的污垢，为身心疲惫的旅人除去满身的尘埃。我的思绪慢慢地与这灵动美妙的琴音融为一体，颇有超脱红尘，“心凝形释，与万化冥合”之感。 正当我屏住呼吸，纵情欣赏这琴声时，琴声却骤然停止了。一个稚嫩的童声传入我耳中：“爷爷，我仔细一琢磨您昨天说的话，才明白，琴不仅要用手弹，更要用心。” 一个被称作爷爷的苍老的声音答道：“是啊!小丫头，你今天弹得好多了。爷爷看见你手指灵活地翻飞，像跳舞一样。” 我对老人的说词颇感好奇，便躲在窗边偷偷往里张望。 作文“从此，我不再—— 1.从此，我不再退缩　 当梦还在那一刻徘徊时，时间犹如一把穿梭时光隧道的利剑，刺过重重时光，跨过重重风雨，转眼间，一年春秋走得无影无踪……北京奥运会举办一年之际，回首前年八月，一幅幅璀璨的画面历历在目，闪闪发光。我认为北京奥运会不仅是一场体育竞技的争夺，更是奥林匹克传达的顽强拼搏精神，是它在那一刻激励着我不再退缩，不再逃避，勇敢面对挑战，战胜一切困难！　 我深刻记得2008年8月12日那一晚，我像往常一样目不转睛的注视著电视荧屏，今晚我关注著奥运会男子69公斤级的决赛，为我国选手廖辉加油。然而，令我敬佩感动的是另一位韩国选手。这位韩国选手在赛前不慎扭伤了脚，无法正常发挥水平比赛，但他并没有放弃这次比赛，尽管教练同意他临时退出比赛，尽管脚伤像针刺般不停的疼痛，尽管剧痛使他哪以忍受，但是他却一再坚持要比赛。那一刻我无法了解到底是什么力量给予他有那么大的勇气，但仔细想了想，此时此刻的他，需要付出的不仅是一种常人没有的勇气，更需要具备在艰难险阻覆盖下的灵魂魄力！　 在第一次试举中，他失败，在第二次试举中，他失败，在第三次试举中，他也失败。当在最后试举中，他黯然失色向观众深深鞠躬时，全场顿时响起了雷鸣般的掌声，这掌声充满了多少大家对他的欣赏敬佩，包含了多少大家对坚强者的呐喊鼓劲，凝聚了多少大家对理想境界的最高崇敬！　 这位韩国选手没有选择退缩，因为他不愿做赛场上的逃兵，不愿做生命的逃兵，始终坚持比赛，圆自己的奥运梦。奥运金牌属于成功获得者，但是并不意味着没能得到金牌的是失败者，这位韩国选手的坚韧早已超越冠军，超越一切。每个人的梦想是不同的，奥运健儿的梦想一定是在奥运会上增添浓墨一笔，填写最辉煌的诗篇，那么韩国的这位勇敢者已经在奥运会上谱写了成功的乐章，在体育历史挥洒了成功的音符！　 看到这样一幅坚强的画面，我的耳畔响起“阳光总在风雨后，请相信有彩虹，风风雨雨都接受……”响起丘吉尔在一次讲座上说过：“我的成功秘诀只有三个；第一，决不能放弃；第二，决不，决不能放弃；第三，决不，决不，决不能放弃！”是的在漫漫人生路上，难免有坎坷、有曲折、有困难，在布满荆棘的道路上，我曾经放弃过，但看了体育健儿不服输的勇气，我重新树立自己的人生价值观，我要把丘吉尔的名言视为座右铭，我要把“锲而舍之，朽木不折，锲而不舍，金石可镂”的精神注入到学习生活！就是因为那一刻让我从此不再退缩，让我学会为自己的梦想奋斗，为自己的目标拼搏，为生命涂抹一缕缕阳光！　 感谢拥有这一刻，让我从此不再彷徨，不再退缩，不再逃避……　 从此我坚信我能接受失败，但我决不会接受放弃！ 2.从此，我不再孤独 任庭前花开花落，看天外云卷云舒。 这是我非常欣赏的一句话，它很传神地表达出一种恬淡自由的心境。可每当我细细咀嚼，反复玩味，我总感觉其中有一种滋味，它叫孤独。 是的，我好孤独。其实真正的孤独并不是流落荒岛，耳边只有海浪击石的声音，而是身处闹市人群却不知向谁开启心门……也许优异的成绩并没有为我增添光荣与喜悦，反倒像一道无法逾越的鸿沟把我与快乐阻断。为什么？我不要羡慕的眼神，我只希望和同学们平等、自在地嬉戏、欢笑……我像泰戈尔笔下翅膀被绑上金子的小鸟，我飞不高；我也时常陪着林妹妹“眼空蓄泪泪空垂”，浅斟低吟著“他年葬侬知是谁”，只因我孤独。 可是，那个平凡的雨天，将一切改变。 “轰隆隆！”班上顿时炸开了锅，因为天气骤变，俄顷风定云墨色，大雨倾盆。个别胆小的女生捂紧耳朵，紧抿双唇；一部分带着伞的“诸葛亮”为自己的神机妙算窃喜不已。而我则是百无聊赖地想着地上能否长出一把伞护送我回家。呵呵，放学的 *** 如期而至，我呆呆地望着窗外的雨帘，重重地叹了一口气，正打算冒雨前行，咦？怎么没雨？一抬头，便看见一把红通通的伞，一转身，便看见一张红彤彤的笑脸。她说：“一起走吧！这样淋回家，啧啧，你打算给医院捐款啊？哈哈！”于是，我们相视一笑，两颗心迅速靠近。那把伞不仅为我挡风遮雨，也为我打碎了那个孤独的囚笼——从此，我不再孤独，因为有她，我最好的朋友。 因为友谊的滋润，我的生活充满了阳光。我们一起欢笑，也曾误会争吵；我们会一路奔跑着大声喊出心中的抑郁；我们也曾躺在一张床上互相倾吐著两个小女生的私房话……3年的时光转瞬而过，一如流水，是她用热情融化了我心中的冰天雪地。我们即将离别，可我已不再孤独。那属于我们的美好时光，像一双温暖的手，将快乐捧至心灵的最高点，永不坠落。 孤独已化为一缕轻烟从我窗前飘过，而我的祝福，何时能像枝头的栀子花，盛开在你的心田？

那要看是6L什么 不同的物体密度不同 如果是水的话 6L水就是6公斤

第二次世界大战爆发的根本原因：经济危机的打击、德日法西斯的扩张和英法等国实行缓靖政策。第二次世界大战，简称二战，亦称世界反法西斯战争，以纳粹德国、意大利王国、大日本帝国三个法西斯轴心国及仆从国与反法西斯同盟和全世界反法西斯力量进行的第二次全球规模的战争。战争范围从欧洲到亚洲，从大西洋到太平洋，先后有60个国家和地区、20亿以上的人口被卷入战争，其性质是世界反法西斯战争。1929年，世界经济大危机激化了德意志国内矛盾。1931年日本制造九一八事变，揭开了第二次世界大战的序幕。1937年7月7日日本发动全面侵华战争，成为第二次世界大战在亚洲爆发的标志。德军于1939年9月1日向波兰发动进攻。随后英、法对德宣战，世界大战全面爆发。苏联建立“东方战线”，英法进行“静坐战”。战争背景第二次世界大战是以德国、日本、意大利王国三个法西斯轴心国主体，以反法西斯同盟和全世界反法西斯力量为另一方进行的第二次世界范围内的大战。第二次世界大战深刻地改变了人类历史。其影响广泛地涉及政治、经济、军事、外交、文化和科技各个层面。二战在客观上推动了科学技术的发展，带动了航空技术、原子能、重炮等领域的发展与进步。

　　《我们的歌》肖战《爱上你等于爱上寂寞》是2019年11月17日这一期。本期《我们的歌》是B组小组排位赛，那英和肖战作为第一个出场的嘉宾，带来了《爱上你等于爱上寂寞》歌曲，获得了140票，成功进入第二轮，随后在第二轮比赛中他们又演唱了《绿光》歌曲，赢得了93票，获得了第二名，成功进入到了团战淘汰赛中。 　　《我们的歌》第四期节目，肖战和那英的那战队带来了《爱上你等于爱上寂寞》歌曲，这首歌曲是肖战选择的，对于选择该首歌曲的原因，肖战说是在自己很小很小的时候，妈妈有收听这首歌曲，现在自己回想起来，都会感觉旋律非常的优美，尤其是通过这首歌曲会让人有一种心疼的感觉，肖战就在想歌手演绎的太完美了，此次肖战能够和原唱那英一起合作，感觉非常的惊喜，因此想挑战一下自己。 　　《爱上你等于爱上寂寞》是一首抒情伤感情歌，歌曲原唱是那英，发行时间是2002年11月7日，这首歌曲是那英情歌的代表作之一，不管是歌曲的歌词、曲调还有就是那英演唱歌曲的歌声都可圈可点，听完该首歌曲，会引发众多人的共鸣，尤其是那些伤感的情绪，总会在不经意之间就会流出，自己也是越听越上头。

施工问题或者设计问题。管道设计施工问题，管径过细，通气管问题，埋地管道损坏，管内有障碍物，底部横管过长，拐弯过多，拐弯角度过尖，坡度不够甚至倒坡，最低横支管与立管底端或底部横管的距离不达规范，立管转横时弯头半径太小（规范是两个45度弯头或4倍管径大弯头或变径弯头），排水能力不足等。雨水槽有金属雨水槽，pvc雨水槽和彩铝雨水槽。金属雨水槽在安全性和耐用性方面都有着很大的优势。金属雨水槽设计简洁、经久耐用、艳丽色彩、良好质感、优美造型都很好地与现代建筑融合为一体，为建筑增加强烈的表现力。

只想再听你说 你愿意爱着我 直到地老天荒是什么歌? 这首歌是 那英 演唱的 《爱上你等于爱上寂寞》 。以下是歌词： 爱上你等于爱上寂寞 (Live) - 那英/肖战 词：徐光义 曲：徐光义 编曲：刘卓 制作人：刘卓 音乐总监：董健剑 和声编写：刘卓 音乐统筹：邬拉 混音：周天澈 秀导：向前 微凉的晚秋 随着落叶擦肩而过 多少年 日升月没转瞬间过 冰冷的雨滴 打在温热的我的手 多少泪 顺着脸颊不停滑落 而我的梦 深藏在心中 那里有甜蜜的幻想 全是你和我 但你却说 太遥远 梦已经不够 需要多些空间 让彼此再去寻找快乐 只想再听你说 你愿意爱着我 直到地老天荒 下个世纪末 真的只想再听你说 在你心中我算什么 给我一个答案 算不算太过奢求 而我的梦 深藏在心中 那里有甜蜜的幻想 全是你和我 但你却说 太遥远 梦已经不够 需要多些空间 让彼此再去寻找快乐 只想再听你说 你愿意爱着我 直到地老天荒 下个世纪末 真的只想再听你说 在你心中我算什么 给我一个答案 算不算太过奢求 难忘记 熟悉的轮廓 期望能再紧抱着我 你却不肯回头 只想再听你说 愿意继续爱我 你却是低着头 用力的沉默 真的只想再听你说 求求你不要再闪躲 才明白 爱上你 等于爱上了寂寞 才明白 爱上你 等于爱上了寂寞

濡濡沫涸辙 [ rú mò hé zhé ] 生词本基本释义[ rú mò hé zhé ]濡：沾湿。本指泉水干竭，鱼儿相互吐沫湿润。后比喻在困难的处境中以微小的力量竭力互相帮助。

周期t公式是：1、T＝2πr／v（周期＝圆的周长÷线速度）。2、T＝2π／ω（“ω”代表角速度）。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。周期函数性质：（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。