充要条件的探求与证明：1、已知ab不等于0,求证a+b=1的充要条件是a^3 + b^3 + ab - a^2 - b^

①a≠0时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得 a＜0；
若方程有两个负的实根，则必有


1
a＞0
−
2
a＜0
△＝4−4a≥0，故 0＜a≤1．
②若a=0时，可得x=-[1/2]也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．
故选 C．

点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．

（1）令α=30°，β=150°，则sinα=sinβ，cosα≠cosβ，故（1）错；
（2）由y=f（x）是奇函数，且f（x）≠0，才有
f(−x)
f(x)=-1，比如f（x）=x，由q推不出p，故（2）错；
（3）A∪B=B⇔A⊆B⇔∁_UB⊆∁_UA，故（3）正确；
（4）由于函数y=x²+mx+m+3有两个不同的零点，则m²-4（m+3）＞0，解得，m＞6或m＜-2，
由p推不出q，q可推出p，故（4）错．
故选：C．

点评：
本题考点： 充要条件．

考点点评： 本题主要考查充要条件的判断，同时考查函数的奇偶性和函数的零点问题，以及集合的包含关系，三角函数相等的关系，属于基础题．

∵p是q的充分条件，q是r的充要条件，
∴p是r的充分条件，即p⇒r成立，
∵r是s的必要条件，∴s⇒r成立，则s是p的既不充分也不必要条件，
故选：D

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的关系是解决本题的关键．

方程①有实数根时，其判别式△₁=（-4）²-16m≥0，即m≤1，且 m≠0；
当m≤1，且 m≠0时，其判别式△₁=（-4）²-16m≥0，
∴方程①有实数根的充要条件是m≤1，且 m≠0；
方程②有实数根时，其判别式△₂=（4m）²-4（4m²-4m-5）≥0，即m≥-[5/4]．
当m≥-[5/4]时，其判别式△₂=（4m）²-4（4m²-4m-5）≥0
方程②有实数根的充要条件是 m≥-[5/4]．
∴方程①②都有实数根的充要条件是{ m|m≥-[5/4]且 m≠0；}∩{ m|m≥-[5/4]}
={m|-[5/4]≤m≤1，且 m≠0}；
反之，当-[5/4]≤m≤1，且m≠0时，方程①②都有实根；
故方程①②都有实根的充要条件是-[5/4]≤m≤1，且m≠0．

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查一元二次方程有实数根的充要条件是判别式大于或等于0，属于基础题．

∵[1/m]＞[1/n]
∴[1/m]-[1/n]＞0
∴[n−m/m•n]＞0
∴m•n（n-m）＞0
∴m•n（m-n）＜0．
故选C．

点评：
本题考点： 不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 此题主要考查不等关系与不等式之间的关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．

①两直线m，n与平面α所成的角相等，则m∥n不一定成立，反之成立，故①不正确；
②若b⊥α，α∥β，则b⊥β，又b⊥β，所以b∥b，故②不正确；
③根据全称命题的否定是特称命题可知，p：∀x∈R，sinx≤1的否定为∃x∈R，使1sinx＞1，故③不正确；
④y=x
1
2，y=x
1
c，y=x^c，在定义域上是增函数，故正确；
⑤因为方程2Inx=7-2x的解为x₀，所以x₀为函数函数y=2Inx-7+2x的零点，由函数y=2Inx在其定义域为单调递增，y=7-2x在其定义域为单调递减，故函数函数y=2Inx-7+2x至多有一个零点，
由f（2）=2In2-7+2×2＜0f（c）=2Inc-7+2×c＞0知，x₀∈（2，c），
则x-2＜x₀可化为x＜x₀+2，则满足条件的最大整数解为4，故正确．
故选：B．

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．

证明：先证必要性：
∵a+b=1，∴b=1-a
∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²
=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²
=0
再证充分性：
∵a³+b³+ab-a²-b²=0
∴（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0
即：（a²-ab+b²）（a+b-1）=0
∵ab≠0，a²-ab+b²=(a-
1
2b)2+
3
4b2＞0，
∴a+b-1=0，即a+b=1
综上所述：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0

点评：
本题考点： 充要条件；综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．

由于a＞0，令函数y=
1
2ax2-bx=
1
2a(x-
b
a)2-
b2
2a，此时函数对应的开口向上，
当x=[b/a]时，取得最小值-
b2
2a，而x₀满足关于x的方程ax=b，那么x₀═[b/a]，y_min=
1
2ax02-bx0=-
b2
2a，
那么对于任意的x∈R，都有y=
1
2ax2-bx≥-
b2
2a=
1
2ax02-bx0
故选C．

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．

若函数y＝lg[x2+(k+1)x−k+
5
4]的值域为[0，+∞）
则t＝x2+(k+1)x−k+
5
4的值域为[1，+∞）
即t＝x2+(k+1)x−k+
5
4的最小值为1
故
4(−k+
5
4)−(k+1)2
4=1
整理得：（k+6）k=0
解得k=-6，或k=0
故k∈{-6，0}
故选D

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，其中利用对数函数的单调性，和二次函数的图象性质，对已知命题进行等价转换是解答本题的关键．

当a=0时，两条直线分别为x+3=0与4y+6=0，显然不是平行直线；
当a≠0时，若直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0平行，则[1/a]=[a/4]≠[3/6]，
解之得a=-2（2舍去）
综上所述a=-2
故选B

点评：
本题考点： 两条直线平行的判定．

考点点评： 本题给出两条直线互相平行，求参数a的值，考查了直角坐标系中两条直线互相平行的判断等知识，属于基础题．