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一、选择题：
1．下列各式从左到右，是因式分解的是（）
A．（y﹣1）（y+1）=y2﹣1B．x2y+xy2﹣1=xy（x+y）﹣1
C．（x﹣2）（x﹣3）=（3﹣x）（2﹣x）D．x2﹣4x+4=（x﹣2）2
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4=（x﹣2）2，正确．
故选D．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）
A．a2﹣b2B．﹣x2﹣y2C．49x2﹣y2z2D．16m4n2﹣25p2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【分析】能用平方差公式分解的式子的特点是：两项都是平方项，符号相反．
【解答】解：A、符合平方差公式的特点；
B、两平方项的符号相同，不符和平方差公式结构特点；
C、符合平方差公式的特点；
D、符合平方差公式的特点．
故选B．
【点评】本题考查能用平方差公式分解的式子的特点，两平方项的符号相反是运用平方差公式的前提．
4．函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为（）
A．x＞0B．x＜0C．x＜2D．x＞2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．
【解答】解：函数y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
5．使分式有意义的x的值为（）
A．x≠1B．x≠2C．x≠1且x≠2D．x≠1或x≠2
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，（x﹣1）（x﹣2）≠0，
解得x≠1且x≠2．
故选C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义u21d4分母为零；（2）分式有意义u21d4分母不为零；（3）分式值为零u21d4分子为零且分母不为零．
6．下列是最简分式的是（）
A．B．C．D．
【考点】最简分式．
【分析】先将选项中能化简的式子进行化简，不能化简的即为最简分式，本题得以解决．
【解答】解：，无法化简，，，
故选B．
【点评】本题考查最简分式，解题的关键是明确最简分式的定义．
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）
A．6B．7C．8D．9
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
8．若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）
A．a＜2B．a≤2C．a≥2D．无法确定
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．
【解答】解：由（1）得：x＜2
由（2）得：x＜a
因为不等式组的解集是x＜2
∴a≥2
故选：C．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
9．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的基本性质作答．
【解答】解：（1），错误；
（2），正确；
（3）∵b与a的大小关系不确定，∴的值不确定，错误；
（4），正确．
故选B．
【点评】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
10．某煤矿原计划x天生存120t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3t，因此提前2天完成，列出的方程为（）
A．==﹣3B．﹣3
C．﹣3D．=﹣3
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原计划x天生存120t煤，则实际（x﹣2）天生存120t煤，等量关系为：原计划工作效率=实际工作效率﹣3，依此可列出方程．
【解答】解：设原计划x天生存120t煤，则实际（x﹣2）天生存120t煤，
根据题意得，=﹣3．
故选D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键设出天数，以工作效率作为等量关系列方程．
二、填空题：
11．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）=（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】把（x﹣y）看作一个整体并提取，然后再利用平方差公式继续分解因式即可．
【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x）
=x2（x﹣y）﹣（x﹣y）
=（x﹣y）（x2﹣1）
=（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．当x=﹣2时，分式无意义．若分式的值为0，则a=﹣2．
【考点】分式的值为零的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．
【解答】解：∵分式无意义，
∴x+2=0，
解得x=﹣2．
∵分式的值为0，
∴，
解得a=﹣2．
故答案为：=﹣2，﹣2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义u21d4分母为零；分式有意义u21d4分母不为零；分式值为零u21d4分子为零且分母不为零．
13．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】运用线段垂直平分线定理可得BE=CE，再根据已知条件“△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．
【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE=12，
∴BE+BD﹣DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴①﹣②得，DE=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
14．若4a4﹣ka2b+25b2是一个完全平方式，则k=±20．
【考点】完全平方式．
【分析】根据4a4﹣ka2b+25b2是一个完全平方式，利用此式首末两项是2a2和5b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2a2和5b积的2倍，进而求出k的值即可．
【解答】解：∵4a4﹣ka2b+25b2是一个完全平方式，
∴4a4﹣ka2b+25b2=（2a2±5b）2，
=4a4±20a2b+25b2．
∴k=±20，
故答案为：±20．
【点评】此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为﹣．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC，证明△OMG≌△ONH，则S四边形OGCH=S四边形OMCN，求得扇形FOE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点O为AB的中点，
∴OC=AB=1，四边形OMCN是正方形，OM=．
则扇形FOE的面积是：=．
∵OA=OB，∠AOB=90°，点D为AB的中点，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
则在△OMG和△ONH中，
，
∴△OMG≌△ONH（AAS），
∴S四边形OGCH=S四边形OMCN=（）2=．
则阴影部分的面积是：﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△OMG≌△ONH，得到S四边形OGCH=S四边形OMCN是解题的关键．
三、解答题
16．（21分）（2016春u2022成都校级期中）（1）因式分解：2x2y﹣4xy2+2y3；
（2）解方程：=+；
（3）先化简，再求值（﹣x+1）÷，其中；
（4）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，且求出其整数解．
【考点】分式的化简求值；提公因式法与公式法的综合运用；解分式方程；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）先提公因式，然后根据完全平方公式解答；
（2）去分母后将原方程转化为整式方程解答．
（3）将括号内统分，然后进行因式分解，化简即可；
（4）分别求出不等式的解集，找到公共部分，在数轴上表示即可．
【解答】解：（1）原式=2y（x2﹣2xy+y2）
=2y（x﹣y）2；
（2）去分母，得（x﹣2）2=（x+2）2+16
去括号，得x2﹣4x+4=x2+4x+4+16
移项合并同类项，得﹣8x=16
系数化为1，得x=﹣2，
当x=﹣2时，x+2=0，则x=﹣2是方程的增根．
故方程无解；
（3）原式=[﹣]u2022
=u2022
=u2022
=﹣，
当时，原式=﹣=﹣=﹣；
（4）
由①得x＜2，
由②得x≥﹣1，
不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
在数轴上表示为
．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、因式分解、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，考查内容较多，要细心解答．
17．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）画出△A1B1C1以点O为旋转中心、顺时针方向旋转90度的△A2B2C2，并求出点C1经过的路径的长度．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C沿y轴正方向平移3个单位得到对应点，顺次连接即可得；
（2）分别作出点A、B、C以点O为旋转中心、顺时针方向旋转90度得到对应点，顺次连接即可得，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作三角形，点B1坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作三角形，
∵OC==，
∴==π．
【点评】本题考查了平移作图、旋转作图，解答本题的关键是熟练平移的性质和旋转的性质及弧长公式．
18．小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？
【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据题意，设科普和文学书的价格分别为x和y元，则根据“科普书的价格比文学书的价格高出一半，买的文学书比科普书多一本“列方程组即可求解．
【解答】解：设科普和文学书的价格分别为x和y元，
则有：，
解得：x=7.5，y=5，
即这种科普和文学书的价格各是7.5元和5元．
【点评】本题考查分式方程的应用，同时考查学生理解题意的能力，关键是根据“科普书的价格比文学书的价格高出一半，买的文学书比科普书多一本“列出方程组．
19．已知关于x的方程=3的解是正数，求m的取值范围．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：原方程整理得：2x+m=3x﹣6，
解得：x=m+6．
因为x＞0，所以m+6＞0，即m＞﹣6．①
又因为原式是分式方程，所以x≠2，即m+6≠2，所以m≠﹣4．②
由①②可得，m的取值范围为m＞﹣6且m≠﹣4．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法及其增根产生的原因．解答本题时，易漏掉m≠4，这是因为忽略了x﹣2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
20．（12分）（2016u2022河南模拟）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足∠BAD=2∠EAF关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
【考点】四边形综合题．
【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．
【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF；
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80×=40，HF=HD+DF=40+40（﹣1）=40
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°
从而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．
【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD=2∠EAF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
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