有限元

因为结构力学的解是依据线弹性理论求得的数学解析解，所以为精确解，而有限元得到的解是将原结构离散化、数值化，对非节点求解域进行插值，依据数值计算方法而求得的解，这些解既有为近似解原结构离散化、数值化过程中的舍入误差，也有插值产生的误差，所以为近似解。

问题一：有限元里的线性和非线性是什么意思 线性：最简单讲，理论力学，材料力学，结构力学里教你手算的绝大多数公式都是线性的，坐标轴里的直线就是最简单的线性，成比例增长。非线性：圆，椭圆，抛物线这种力-位移曲线或材料曲线都属于非线性，不成比例增长，来源有3个，1是材料非线性，弹性是线性，塑形是非线性，2是几何非线性，如钓鱼竿受力后变成抛物线了，3是状态非线性，如螺栓松动，又如碰撞或者单边接触，其接触刚度随压力会发生变化，拉力下变成0，这3种情况下，不能按照书里的简单公式求解。用有限元元软件时，我们一般都用非线性求解的，除非你能肯定你的问题就是非常简单的线弹性问题，比如验证材料力学教科书的公式时，这时候用弹性小变形也无所谓。gb里也会把实际问题由非线性简化成线性的，比如用2阶弹性计算代替非线性，而软件里可以用n阶迭代求解，所以比手算强，比线性计算更耗时，因为要迭代嘛。 手机码字不容易，请采纳！ 问题二：有限元分析什么时候应该考虑非线性 知乎 看看边界条件是否非线性； 看看是否存在接触，接触就是典型的非线性问题； 看看材料是不是非线性； 就从这三个方面考虑有限元的非线性。 问题三：ansys非线性有限元分析方法及范例应用 课本下载 此为非线性PDF+随书光盘文件 问题四：我的windows xp开机后要停滞将近一分钟才运行IE进程。开机速度很慢，怎么办？ 从装遍网卡驱动就好，我电脑就这样 问题五：求非线性有限元分析的MATLAB程序！！！！！！！！！ 20分 百度云的地址 pan.baidu/...755398 你注册下就可以下载 问题六：综述各有限元通用软件有哪些，优缺点，适用领域 目前流行的CAE分析软件主要有NASTRAN、ADINA 、ANSYS、ABAQUS、MARC、MAGSOFT、COSMOS等。以下为对这些常用的软件进行的比较和评价： LSTC公司的LS-DYNA系列软件。 LSDYNA长于冲击、接触等非线性动力分析。LS-DYNA是一个通用显式非线性动力分析有限元程序，最初是1976年在美国劳伦斯利弗莫尔国家实验室由J.O.Hallquist主持开发完成的，主要目的是为核武器的弹头设计提供分析工具，后经多次扩充和改进，计算功能更为强大。虽然该软件声称可以求解各种三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成型等接触非线性、冲击载荷非线性和材料非线性问题，但实际上它在爆炸冲击方面，功能相对较弱，其欧拉混合单元中目前最多只能容许三种物质，边界处理很粗糙，在拉格朗日――欧拉结合方面不如DYTRAN灵活。 MSC.software公司的DYTRAN软件 在同类软件中，DYTRAN在高度非线性、流固耦合方面有独特之处。MSC.DYTRAN程序是在LS-DYNA3D的框架下，在程序中增加荷兰PISCES;INTERNATIONAL公司开发的PICSES的高级流体动力学和流体结构相互作用功能，还在PISCES的欧拉模式算法基础上，开发了物质流动算法和流固耦合算法发展而来的。但是，由于MSC.DYTRAN是一个混合物，在继承了LS-DYNA3D与PISCES优点的同时，也继承了其不足。首先，材料模型不丰富，对于岩土类处理尤其差，虽然提供了用户材料模型接口，但由于程序本身的缺陷，难于将反映材料特性的模型加上去；其次，没有二维计算功能，轴对称问题也只能按三维问题处理，使计算量大幅度增加；在处理冲击问题的接触算法上远不如当前版的LS-DYNA3D全面。 HKS公司的ABAQUS软件 ABAQUS是一套先进的通用有限元系统，属于高端CAE软件。它长于非线性有限元分析,可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究，其系统级分析的特点相对于其他分析软件来说是独一无二的。需要指出的是，ABAQUS对爆炸与冲击过程的模拟相对不如DYTRAN和LS-DYNA3D。 ADINA ADINA是近年来发展最快的有限元软件，它独创有许多特殊解法, 如劲度稳定法(Stiffness Stabilization),自动步进法(Automatic Time Stepping),外力-变位同步控制法(Load-Displacement Control)以及BFGS梯度矩阵更新法,使得复杂的非线性问题(如接触,塑性及破坏等), 具有快速且几乎绝对收敛的特性, 且程式具有稳定的自动参数计算,用户无需头痛于调整各项参数。另外值得一提的就是它有源代码，我们可以对程序进行改造，满足特殊的需求。 NASTRAN NASTRAN是大型通用结构有限元分析软件，也是全球CAE工业标准的原代码程序。NASTRAN系统长于线性有限元分析和动力计算，因为和NASA(美国国家宇航局)的特殊关系，它在航空航天领域有着崇高的地位。NASTRAN的求解器效率比ANSYS高一些。 ANSYS ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，发展了很多版本，但是它们核心的计算部分变化不大，只是模块越来越多，这些模块并不是ANSYS公司自己搞的，而是把别人的东西买来集成到......>> 问题七：跪求几何非线性有限元程序？？？谢谢。。。 ansys，abaqus，nastran，adina……随便哪个都能进行非线性分析，这是很基本的功能，也不是什么高深问题，你不用单独把几何非线性拿出来。

Femap+ NX NastranSiemens PLM Software家族的Femap以Parasolid为内核，具有 20年专注于有限元建模领域的工程经验，有助于用户将复杂的模型建模简单化，其基于 Windows 的特性为用户提供了强大的功能，且易学易用！Femap 产品被广泛地应用于多种工程产品系统及过程之中，例如：卫星、航空器、重型起重机、高真空密封器等。Femap 提供了从高级梁建模、中面提取、六面体网格划分，到功能卓越的CAD输入和简化的工具。NX Nastran是CAE解算器技术事实上的标准，是全球航空、航天、汽车、造船等行业绝大部分客户认可的解算器。NX Nastran与Femap的结合为用户提供了一个强大且可承受的解决方案。它是一个许可证灵活、融合了 Siemens PLM Software公司的“公平的市场价值”的价格哲学理念的软件包，为用户提供了强有力的有限元分析工具，用户只需支付较低的整体价格就能得到最高级的Nastran功能。Femap + NX Nastran已经在全球各行业超过10000家企业应用。　　COMSOL MultiphysicsCOMSOL Multiphysics是一款大型的高级数值仿真软件。广泛应用于各个领域的科学研究以及工程计算，被当今世界科学家称为“最专业的多物理场全耦合分析软件”。模拟科学和工程领域的各种物理过程，COMSOL Multiphysics以高效的计算性能和杰出的多场双向直接耦合分析能力实现了高度精确的数值仿真。pFEPG元计算科技发展有限公司首席科学家、中国科学院数学与系统科学研究所梁国平研究员团队历经八年的潜心研究，独创了具有国际领先水平的有限元程序自动生成系统（pFEPG）。pFEPG采用元件化思想和有限元语言这一先进的软件设计，为各种领域、各方面问题的有限元求解提供了一个极其有力的工具，采用FEPG可以在数天甚至数小时内完成通常需要数月甚至数年才能完成的编程劳动。pFEPG是目前“幸存”下来的为数不多的CAE技术中发展最好的有限元软件，目前有三百多家科研院、企业应用。也已成为国内做的最大的有限元软件平台。pFEPG作为通用型的有限元软件,能够解决固体力学、结构力学、流体力学、热传导、电磁场以及数学方面的有限元计算，在耦合具有特有的优势，能够实现多物理场任意耦合；在有限元并行计算方面处于领先地位。SciFEASciFEA软件开发的计算功能包括梁、板、壳结构计算；弹性、弹塑性、粘弹性、粘弹塑性、非线性弹性计算；热分析、流体分析、流固耦合、热固耦合、热流固耦合计算等功能。计算的类型包括静力、动力、模态分析等。SciFEA软件已形成了单机版、网络版、集群并行版、GPU并行版，GPU并行版是基于新的GPU/CPU混合架构的并行有限元计算系统。SciFEA可用于机械、土木、电气、电子、热能、航空航天、地质、能源等专业的有限元计算分析。也可用于高校研究所等单位的有限元教学与科研。结构特点SciFEA抛弃了传统CAE软件复杂结构体系设计模式，采用直接面向用户需求的独立模块开发方式。SciFEA软件中的功能模块保持了计算的独立性，对CAE软件功能扩展的复杂度降低。同时，进一步和行业需求集成的灵活度增加。SciFEA软件包括软件操作界面、前后处理和计算功能模块三大部分。前后处理采用欧洲工程数值模拟中心开发的GiD软件包，SciFEA3.0版提供计算功能模块包括：弹性计算、塑性计算、流体计算、粘弹性计算、材料计算、结构计算、损伤破裂计算、水热力耦合计算、传热计算、渗流计算、电磁计算、电热力耦合计算、岩土计算、热固耦合计算、化学反应计算等；计算类型包括稳态、瞬态、动力、非线性等。SciFEA发布的计算功能模块均提供算例，用户可以结合算例学习SciFEA。SciFEA的用户模块挂载功能实现了计算模块的快速整合以及耦合问题的快速求解。软件系列SciFEA提供单机版、网络版、机群并行版、显卡（GPU）并行版，发行的版本为3.0版本。单机版、网络版均提供免费试用的版本。使用版本的使用方式和正式版本一致，只是在计算的单元规模上有少于3000个单元的限制。网络版iSciFEA提供了试用的通用帐号（用户名：guest；密码SciFEA）。iSciFEA，SciFEA在北京超算官网上均有下载。前后处理SciFEA的前后处理器采用欧洲工程数值模拟国际中心开发的GiD软件。GiD软件具有几何建模、网格划分、CAD数据导入、后处理结果显示等功能。GiD采用类似于CAD的操作模式。几何建模可以通过拉伸、旋转、镜象、缩放、偏置等操作得到面、体，可以直接构造矩形、多边形、圆、球、圆柱、圆锥、棱柱、圆环等；通过体面的布尔加、减、交等操作得到模型。网格自动生成GiD可将几何模型自动离散成线单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元、六面体单元等，并且可以根据用户的需要对网格进行局部的加密以及网格阶次的选择。CAD和CAE接口GiD提供：IGES、DXF、Parasolid、VDA、STL、Nastran等接口，并且可以将GiD的数据文件写成上述的格式。后处理GiD可将结果写成各种常用的图形文件如：BMP、GIF、TPEG、PNG、TGA、TIFF、VRML等格式，以及AVI、MEPG的动画格式。后处理支持的结果显示方式有：带状云图显示、等直线显示、切片显示、矢量显示、变形显示等等。并且可以根据用户的需要定制显示菜单。SciFEA软件GPU版本超算显卡并行系统（简称SciFEA-GPU）是北京超算自主开发的一款基于GPU/CPU混合架构的有限元分析系统。基于GPU和CPU两种不同架构处理器的结合，组成硬件上的协同模式；通过实现GPU和CPU的混合编程，由CPU负责执行顺序型的代码，由GPU来负责密集的并行计算实现高效有限元分析。同时SciFEA-GPU软件按照全新的可装配的思路进行开发，利用软件的可重用性，降低了软件开发的难度，增加了软件的可靠度。SciFEA-GPU软件的设计架构体现了数值模拟软件个性化发展方向，为用户提供了一种按需选择的高性能计算新模式。SciFEA-GPU在材料固化、岩石破裂、瓦斯运移、孔隙介质渗流均有成功应用，隐式算法的计算效率是单CPU的6-8倍，显式算法在30倍左右。北京超算提供计算GPU加速引擎和GPU并行计算软件开发定制服务。ABAQUSABAQUS是一套功能强大的工程模拟的有限元软件，其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的非线性问题。达索并购ABAQUS后，将SIMULIA作为其分析产品的新品牌。它是一个协同、开放、集成的多物理场仿真平台。LMS-SamtechSAMTECH公司是世界著名的有限元软件SAMCEF的开发商和供应服务商，公司总部设在比利时列日市，其前身是比利时列日大学的宇航实验室，其软件开发的历史可以追溯到1965年。SAMCEF软件的第一个静力分析程序ASEF与1965年完成。随后在1972和1975年分别增加了模态分析程序DYNAM和热分析程序Thermal ASEF。1977年动力响应程序REPDYN诞生。1978年SAMCEF优化模块OPTI推出。1980年非线性静态和动力学软件SAMCEF Mecano的推出标志着SAMCEF在多柔体动力学领域地位的确立。 2011年8月24日，LMS国际公司正式对外宣布收购SAMTECH公司，成为其最大的控股股东。从此Samtech成为LMS国际公司的有限元专业解决方案。介绍及技术特点SAMCEF Mecano是以解决非线性结构和机构运动学问题的有限元分析软件。可用于各种线性与非线性的结构强度计算，传热学计算机运动鞋问题分析。其有以下求解器构成，能够解决下列专业领域的具体分析 ：Mecano Sturcture：专注于解决结构非线性静态和动态分析问题（大位移和大转角）Mecano Motion: 专注于解决柔性静力学，运动学和动力学分析问题Mecano Thermal: 专注于非线性稳态和瞬态分析求解器由这些求解器构成的samcef mecano非线性隐式有限元求解器能够求解一下问题：隐式非线性静力学分析，隐式非线性动力学分析，多体动力学分析，线缆非线性动力学分析和非线性热学分析。目前，在机械系统的动力学和运动学的强度和刚度仿真分析方面主要有两类分析软件，一类是以结构为主要分析对象的有限元分析软件，另一类是以机构运动为主要研究对象的运动鞋仿真分析软件。这些软件的局限性是在处理刚柔耦合问题时不易使用且无法处理非线性的效应。Samcef Mecano 则在这一领域提供了领先的解决方案。其独特的Motion in FEA方法将机构的运动仿真与结构的有限元分析无缝集成，可以很有效地处理刚柔耦合问题并考虑可能的非线性效应。这一领先技术已经在航空，航天，汽车，通用机械，电子设备等多个领域发挥了重要作用。SAMCEFFieldSAMCEF Field是通用的有限元分析前后处理平台。它以图形化界面的形式，完成几何建模，特性定义，载荷和约束处理，网格划分，作业提交和监控以及后处理仿真等操作。它支持各种CAD到CAE模型的导入，以及各种格式结果文件和图表的输出。作为一个开放式的环境，SAMCEF Field通过非常直观的导航功能，为用户进行机构与结构的设计和仿真分析提供了一个必要的工具 。

有限元分析软件编辑词条 　 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。　　有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。　　ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。　　结构分析能力排名：1、ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS　　流体分析能力排名：1、ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS　　耦合分析能力排名：1、ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS　　性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC　　ABAQUS软件与ANSYS软件的对比分析　　1． 在世界范围内的知名度：　　两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。　　由于ANSYS产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北京办事处的成立，ABAQUS软件的用户数目和市场占有率正在大幅度和稳步提高，并可望在今后的几年内赶上和超过ANSYS。　　2． 应用领域：　　ANSYS软件注重应用领域的拓展，目前已覆盖流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS则集中于结构力学和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。　　3． 性价比　　ANSYS软件由于价格政策灵活，具有多种销售方案，在解决常规的线性及耦合问题时，具有较好的性价比。但在实际工程中，非线性是比线性远为普遍的自然现象，线性通常只是非线性的理想化假设。随着研究水平的提高和研究问题的深入，非线性问题必然成为工程师和研究人员面临的课题，并成为制约深入研究和精确设计的瓶颈。购买ABAQUS软件可以很好地解决这些问题，缩短研制周期、减少试验投入，避免重新设计。工欲善其事，必先利其器，使用不恰当或低档的分析工具进行工作的成本要远超过使用合适工具的成本。因此，从综合效益和长远效益而言，ABAQUS软件的经济性也是非常突出的。　　4． 求解器功能　　对于常规的线性问题，两种软件都可以较好的解决，在模型规模限制、计算流程、计算时间等方面都较为接近。　　ABAQUS软件在求解非线性问题时具有非常明显的优势。其非线性涵盖材料非线性、几何非线性和状态非线性等多个方面。　　另外，由于ABAQUS/Standard(通用程序)和ABAQUS/Explicit(显式积分)同为ABAQUS公司的产品，它们之间的数据传递非常方便，可以很容易地考虑预紧力等静力和动力相结合的计算情况。　　ABAQUS软件的求解器是智能化的求解器，可以解决其它软件不收敛的非线性问题，其它软件也收敛的非线性问题，ABAQUS软件的计算收敛速度较快，并更加容易操作和使用。　　5． 人机交互界面　　ABAQUS/CAE是ABAQUS公司新近开发的软件运行平台，他汲取了同类软件和CAD软件的优点，同时与ABAQUS求解器软件紧密结合。　　与其他有限元软件的界面程序比，ABAQUS/CAE具有以下的特点：　　l 采用CAD方式建模和可视化视窗系统，具有良好的人机交互特性。　　l 强大的模型管理和载荷管理手段，为多任务、多工况实际工程问题的建模和仿真提供了方便。　　l 鉴于接触问题在实际工程中的普遍性，单独设置了连接(interaction)模块，可以精确地模拟实际工程中存在的多种接触问题。　　l 采用了参数化建模方法，为实际工程结构的参数设计与优化，结构修改提供了有力工具。　　6． 综合性能对比　　综合起来，ABAQUS软件具有：　　l 更多的单元种类，单元种类达433种，提供了更多的选择余地，并更能深入反映细微的结构现象和现象间的差别。除常规结构外，可以方便地模拟管道、接头以及纤维加强结构等实际结构的力学行为　　l 更多的材料模型，包括材料的本构关系和失效准则等，仅橡胶材料模型就达16种。除常规的金属材料外，还可以有效地模拟复合材料、土壤、塑性材料和高温蠕变材料等特殊材料　　ANSYS软件与ABAQUS软件、ADINA软件的对比分析　　1． 在世界范围内的知名度：　　三种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。　　ANSYS软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉；ABAQUS软件则致力于复杂和深入的非线性工程问题；而ADINA软件除了求解非线性问外，其多物理场的流固耦合求解功能也是全球唯一的专利技术。　　2． 应用领域：　　三种软件同为大型通用分析软件，都具有各自广泛的应用领域。　　ANSYS注重应用领域的拓展和合并，目前已覆盖结构、温度、流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域；ABAQUS则只具备结构分析功能，功能仅局限于结构力学领域；而ADINA软件和ANSYS软件一样都包括结构、温度、流体及流固耦合的功能，因此其应用领域也是相当广泛。　　3． 性价比　　三种软件同为美国的有限元分析软件，在价格方面相差不是特别大，不过由于ABAQUS软件仅具有结构分析的功能，因此从整体来看ABAQUS软件是最为便宜的；不过如果需要进行流体计算或者多物理场耦合求解功能的话，则相信ANSYS软件和ADINA软件都会是更好的选择。　　4． 求解器功能　　对于常规的结构线性问题，三种软件都可以较好的解决，在模型规模限制、计算流程、计算时间等方面都较为接近。　　ABAQUS软件和ADINA软件在求解非线性问题时具有非常明显的优势；而ANSYS软件和ADINA软件则在流体和多物理场耦合功能方面具有无可比拟的优势。　　5． 人机交互界面　　ANSYS/Workbench、ABAQUS/CAE、ADINA/AUI都是采用CAD方式建模和可视化视窗系统，都具有良好的人机交互特性。三种软件都除了提供窗口操作外都还提供命令流输入，但是ABAQUS/CAE并不对所有的命令流都支持CAE界面操作。　　6．建模方式　　ANSYS软件和ADINA软件都采用Parasolid为核心的实体建模技术，因此可以和其它Parasolid为核心的CAD软件实行真正无缝的双向数据交换，且该两种软件自身的建模功能很强大。而ABAQUS软件的CAE模块和输入文件两种建模方式是由两家不同的公司研制的，CAE模块功能还不是很完全，一些功能只能通过编辑INP输入文件来实。　　7．网格划分　　三种软件都提供多种网格划分器，可以进行复杂模型的自由网格划分。　　除常见网格划分外，ANSYS软件和ADINA软件还可以对复杂模型进行自动六面体网格划分，从而在节省技术人员工作时间的情况下又保证了网格的精度。　　8． 综合性能对比　　ANSYS软件的命令流操作非常方便，对于结构循环优化方面比较有优势，但目前还只是局限于线性方面，非线性方面功能很差而且基本没有；　　ABAQUS软件则在显式非线性方面有些特色，但隐式非线性方面比不上ADINA，且不具备流体的功能；　　ADINA软件则在结构非线性及多物理场耦合方面非常出色，是全球非线性功能最强大的有限元软件之一，而且具有全球最好的流固耦合分析功能。

将单元总装成整个离散域的总矩阵方程(联合方程组)。总装是在相邻单元结点进行。状态变量及其导数(如果可能)连续性建立在结点处。联立方程组的求解可用直接法、迭代法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对所求出的解根据有关准则进行分析和评价。后处理使用户能简便提取信息，了解计算结果。扩展资料：有限元方法/理论已经发展得相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。参考资料来源：百度百科-有限元分析

主要区别是，性质不同、方法不同、应用不同，具体如下：一、性质不同1、里兹法是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法。2、有限元法有限元分析方法是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统进行的分析方法。二、方法不同1、里兹法是直接变分法的一种，以最小势能原理为理论基础。通过选择一个试函数来逼近问题的精确解，将试函数代入某个科学问题的泛函中，然后对泛函求驻值，以确定试函数中的待定参数，从而获得问题的近似解。2、有限元法有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。三、应用不同1、里兹法这一方法在许多力学、物理学、量子化学问题中得到应用。在机械工程领域，它被用于计算多自由度系统（如弹簧-质量系统、变截面轴上的飞轮）大致的共振频率；还可以计算圆柱体的折断载荷。2、有限元法有限元法在工程设计和科研领域得到了越来越广泛的重视和应用，已经成为解决复杂工程分析计算问题的有效途径，从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源和科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。参考资料来源：百度百科-瑞利-里兹法 参考资料来源：百度百科-有限元分析方法参考资料来源：百度百科-有限元分析

有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统。在这种方法中一个物体或系统被分解为由多个相互联结的、简单、独立的点组成的几何模型。在这种方法中这些独立的点的数量是有限的，因此被称为有限元。由实际的物理模型中推导出来得平衡方程式被使用到每个点上，由此产生了一个方程组。这个方程组可以用线性代数的方法来求解。有限元分析的精确度无法无限提高。元的数目到达一定高度后解的精确度不再提高，只有计算时间不断提高。 有限元分析可被用来分析比较复杂的、用一般地说代数方法无法足够精确地分析的系统，它可以提供使用其它方法无法提供的结果。在实践中一般使用电脑来解决在分析时出现的巨量的数和方程组。 在分析一个物体或系统中的压力和变形时有限元分析是一种常用的手段，此外它还被用来分析许多其它问题如热传导、流体力学和电力学。

当然，地球物理的问题都是二维或三维问题。但是，为了说明有限元法的基本方法，我们首先介绍一维有限元法。通常经典的变分解法是把泛函极值问题归结为微分方程的求解，而有限元法则反其道而行之，把微分方程的求解转化为相应的泛函的极值问题，这是由于某些微分方程的解很难或不可能解析地求出。这时首先就要建立与其相应的泛函，然后通过剖分、插值，用数值方法直接求得满足一定边界条件的这个泛函极小的近似解。例如求常微分方程y″=1 （9.2.1）在边界条件y（0）=0 y（1）=1的解。这个方程的解析解很易求得，对（9.2.1）式两次积分，并将边界条件代入，可得地球物理数据处理教程这里要求用有限元法求常微分方程（9.2.1）的近似数值解。首先作出与微分方程相应的泛函表达式，令F（x，y，y′）= y′2+y，代入欧拉方程（9.1.9）式，有地球物理数据处理教程这正是（9.2.1）式微分方程，所以相应的泛函是地球物理数据处理教程然后用有限元法求解满足边界条件的上式泛函的极值。第一步，为简单起见，用等分点 x0=0，x1，…，xi-1，xi，…，xn-1，xn=1将区间（0、1）剖分成n个子区间，这些点称为节点，每个子区间称为单元。第i个单元的长度xi-xi-1=h= ，区间（0，1）两端节点x0和xn的函数值y（x0）和y（xn）已由边界条件给定，但区间内各节点的函数值是待求的。这样一来，把连续函数y=y（x）的求解化为节点上函数值的求解，这称为离散化处理。图9.2 单元内函数线性变化示意图第二步，在每个单元内，假定函数y=y（x）是线性的（单元愈小，这种假定愈符合实际），如图9.2所示，即第i单元内的函数yi（x）及其导数y′i（x）是地球物理数据处理教程这称为线性插值。第三步，将积分（9.2.3）式分解成各单元的积分。第i单元上的积分为地球物理数据处理教程将以上yi（x）和y′i（x）的表达式代入，积分后整理可得地球物理数据处理教程可见Ji（y）只与单元的端点（即节点xi和xi-1）的函数值有关，可写作Ji（y）=Ji（yi，yi-1）对各单元积分求和，可得积分（9.2.3）地球物理数据处理教程可见J（y）是区间内各节点xi（i=1，2，…，n-1）上函数值yi的函数，写成J（y）=J（y1、y2、…、yn-1）也可把J（y）看成变量y1、y2、…、yn-1的多元函数。第四步，写出y1、y2、…、yn-1应满足的线性方程组。泛函J（y）取极值，相当于多元函数J（y1、y2、…、yn-1）取极值。已知多元函数取极值应满足条件地球物理数据处理教程由于只有第i单元Ji（yi，yi-1）和第i+1单元Ji+1（yi+1，yi）中含有yi，其他单元均不含yi，所以地球物理数据处理教程考虑到（9.2.4）式，同样可以写出地球物理数据处理教程对（9.2.4）式和上式求偏微商后代入（9.2.5）式，得地球物理数据处理教程若区间［0，1］等分为4个单元，即取n=4，h= 、x1=0.25、x2=0.5、x3=0.75并考虑边界条件y0=0、y4=1。由上式可得方程组地球物理数据处理教程整理后，得地球物理数据处理教程第五步，解上面线性代数方程组，得y1=0.15625，y2=0.375，y3=0.65625将x=0.25，0.5，0.75代入式（9.2.2），相应的精确解为y（0.25）=0.15625，y（0.5）=0.375，y（0.75）=0.65625在这个例子中没有误差，我们也可将单元分得更细，但计算工作量将增加。总之，用有限元方法解一维微分方程的边值问题时，首先建立与微分方程等价的泛函表达式，把微分方程的求解转变为泛函的极值问题，然后对区间进行剖分，划分成许多小单元。在每个小单元内对函数作线性插值后并对泛函积分，再对各单元求和，这样就把连续函数的泛函离散成节点上的函数的泛函。根据泛函取极值的条件，得出各节点的函数值应满足的线性代数方程组，解这个方程组，便可得到各节点上的函数值。我们将这些离散的函数值便作为微分方程的近似数值解。用有限单元方法求解二维或三维微分方程的边值问题的基本方法也是如此。

问题一：常用的有限元分析软件有什么？ 它们拥有丰富完善的单元库、 材料模型库和求解器，并且具有相对独立的前、后处理模块，可以独立完成多学科、多领域的工程分析问题。其缺点是前处理模块中的几何建模功能不强，无法完成复杂模型的建模，因此降低了结构分析结果的可信度。一些流行的三维设计软件却具有极强的几何模型的建模功能，如Pro/ENGINEER、UG和CATIA等。这些三维设计软件可以完成一些复杂的几何模型的建模工作。为了克服通用有限元分析软件建模功能较弱的缺点，当前普遍采用软件间的数据转换，即采用三维设计软件进行精确的三维建模，通过标准数据接口将模型以IGES、DXF或 STEP格式读入到通用有限元分析软件中，然后通过该软件进行精确的计算。 问题二：有限元分析用什么软件最好？ 简单的分析，UG，Pro-E，Catia都是可以的。要是复杂分析的话看你应用的场合了。固体分析的话就是ansys和abaqus，如果是强非线性过程的话那就首选abaqus。流固耦合问题是adina和abaqus，不过推荐adina。流体分析的话是flunt。电场分析推荐ansys。这些软件都不太好学，如果你要用abaqus的话建议去买石益平的书，都很不错的。 问题三：的有限元分析的，用什么软件比较好 Abaqus，hyperworks 问题四：有限元分析软件 有限元分析软件编辑词条 　 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。 ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 结构分析能力排名：1、ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS 流体分析能力排名：1、ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS 耦合分析能力排名：1、ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS 性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC ABAQUS软件与ANSYS软件的对比分析 1． 在世界范围内的知名度： 两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。 由于ANSYS产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北京办事处的成立，ABAQUS软件的用户数目和市场占有率正在大幅度和稳步提高，并可望在今后的几年内赶上和超过ANSYS。 2． 应用领域： ANSYS软件注重应用领域的拓展，目前已覆盖流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS则集中于结构力学和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。 3． 性价比 ANSYS软件由于价格政策灵活，具有多种销售方案，在解决常规的线性及耦合问题时，具有较好的性价比。但在实际工程中，非线性是比线性远为普遍的自然现象，线性通常只是非线性的理想化假设。随着研究水平的提高和研究问题的深入，非线性问题必然成为工程师和研究人员面临的课题，并成为制约深入研究和精确设计的瓶颈。购买ABAQUS软件可以很好地解决这些问题，缩短研制周期、减少试验投入，避免重新设计。工欲善其事，必先利其器，使用不恰当或低档的分析工具进行工作的成本要远超过使用合适工具的成本。因此，从综合效益和长远效益而言，ABAQUS软件的经济性也是非常突出的。 4． 求解器功能 对于常规的线性问题，两种软件都可以较好的解决，在模型规模限制、计算流程、计算时间等方面都较为接近。 ABAQUS软件在求解非线性问题时具有非常明显的优势。其非线性涵盖材料非线性、几何非线性和状态非线性等多个方面。 另外，由于ABAQUS/......>> 问题五：有限元分析软件哪个好 推荐：ANSYS Workbench，我现在也在用。首先比较全，网格划分工具，静力学、模态、屈曲、热、电磁、热固耦合、流固耦合、流体等模块，应有尽有。另外，软件的集成做的比较好，简单讲，就是将我们分析时常见的步骤集成默认化了，大大减少了用户的工作量，尤其是网格划分。另一个特别显著的优点就是数据的交互！无敌了都！ 问题六：有限元分析的常用软件 大型通用有限元商业软件：如ANSYS可以分析多学科的问题，例如：机械、电磁、热力学等；电机有限元分析软件NASTRAN等。还有多物理场耦合计算方面的SOL Multiphysics与三维结构设计方面的Creo(ProE),UG,CATIA等都是比较强大的。 国产有限元软件：FEPG,SciFEA,JiFEX,KMAS,FELAC等 问题七：有限元分析哪个软件好？ 都好，看你分析什么了。大部分分析，主流的有限元软件都能胜任。 问题八：哪些软件可以进行有限元分析？ 美国ansys公司的ansys软件，中国元计算公司的FELAC软件，个人比较推荐FELAC，他的应用领域比较广，而且比较零活每个人都可以参与开发属于自己领域独一无二的软件，并且可以计算万核以上的并行计算，而ansys对于领域和计算核心数量的限制都比较多。个人比较支持国产，希望能帮到你！ 问题九：有限元分析软件的介绍 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四个比较知名比较大的公司。 问题十：当前的有限元分析软件有哪些及特点是什么？ 有限元分析软件推荐元计算公司的FELAC. 产品概述 有限元语言及编译器（Finite Element Language And it"s piler），以下简称FELAC）是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年―2013年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。 FELAC2.2采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的有限元计算C程序。 FELAC2.2面向高校、研究院设计院等科研单位，旨在将科研人员从繁重的代码编写工作中解放出来，快速将理念转化成现实成果，降低开发成本。

解偏微分方程。随着市场竞争的加剧，产品更新周期愈来愈短，企业对新技术的需求更加迫切，而有限元数值模拟技术是提升产品质量、缩短设计周期、提高产品竞争力的一项有效手段，所以，随着计算机技术和计算方法的发展，有限元法在工程设计和科研领域得到了越来越广泛的重视和应用。已经成为解决复杂工程分析计算问题的有效途径，从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源和科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。扩展资料：基本特点：有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。参考资料来源：百度百科——有限元分析

　　1、前处理。根据实际问题定义求解模型，包括以下几个方面: 　　(1) 定义问题的几何区域：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 　　(2) 定义单元类型: 　　(3) 定义单元的材料属性: 　　(4) 定义单元的几何属性，如长度、面积等； 　　(5) 定义单元的连通性: 　　(6) 定义单元的基函数; 　　(7) 定义边界条件: 　　(8) 定义载荷。 　　2、总装求解: 将单元总装成整个离散域的总矩阵方程(联合方程组)。总装是在相邻单元结点进行。状态变量及其导数(如果可能)连续性建立在结点处。联立方程组的求解可用直接法、迭代法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。 　　3、后处理: 对所求出的解根据有关准则进行分析和评价。后处理使用户能简便提取信息，了解计算结果。

有限元收敛性准则是完备性要求，协调性要求。收敛性是数学分析的基本概念之一，它与“有确定的(或有限的)极限”同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。在一些一般性叙述中，收敛和收敛性这两个词(在外语中通常是同一个词)有时泛指函数或数列是否有极限的性质，或者按哪一种意义(什么极限过程)有极限。在这个意义下，数学分析中所讨论的收敛性的不同意义(不同类型的极限过程)大致有：对数列(点列)只讨论当其项序号趋于无穷的收敛性；对一元和多元函数最基本的有自变量趋于定值(定点)的和自变量趋于无穷的这两类收敛性。以及对多元函数还有沿特殊路径的和累次极限意义下的收敛性；对函数列(级数)有逐点收敛和一致收敛。石钟慈还发现并首次从理论上研究了非协调元的一种较普遍存在的奇特的错向收敛现象。即有限元近似解可收敛到非真解的错误极限。他找到若干这种非协调元，具体给出其错误极限，证实非协调元的解有时强烈依赖于网格剖分的几何形状。

有限元和有限单元没有区别。1、在数学中，有限元法是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。2、有限元法分析计算的本质是将物体离散化，称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来。3、有限元分析中的结构已经不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由单元以一定方式连接成的离散物体。随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成的一种现代计算方法，广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。

有限元网格划分的基本原则如下：1.均匀性：在有限元网格中，每个单元尽量保持相同形状和尺寸，以确保精度和计算效率。对于特殊区域，可以加密或者消减单元数量来达到更高的精度。2.最小化边界：尽可能地避免划分过多的边界来减少划分成本和模型规模。同时也需要保证划分后生成的单元形状尽量接近平衡形，边界也要尽量与模型中原始边界自然衔接，以确保模型合理性和准确性。3.对称性：在模型存在对称性的情况下，应该合理利用这种对称性，并据此进行划分，减少计算量和优化计算效率。4.实用性：有限元网格划分需要根据实际问题的要求，区分模型重点部位和非重点部位并进行合理划分，尽量保留关键信息，以减少计算代价和提高分析结果在问题中所占的比重。5.避免奇异结构：要避免划分多个小单元而在同一位置无限叠加单元，因为这种奇异结构会导致数值方法不稳定。对于这种情况可以通过适当调整模型的形状和尺寸，或者删减一些不必要的单元来达到优化。综上所述，有限元网格划分的基本原则首先关注精度、可信度和可靠性，同时考虑计算效率和经济性，并根据实际问题进行合理设置。

离散元与有限元两者在介质和接入点上有所不同。离散元方法是由分析离散单元的块间接触入手找出其接触的关系建立接触的物理力学模型并根据牛顿第二定律对非连续、离散的模拟仿真。而有限元方法是将介质复杂几何区域离散为具有简单几何形状的单元通过单元集成、外载和约束条件的处理得到方程组再求解该方程组就可以得到该介质行为的近似表达。1、计算方法：目前世界上结构计算方法一般分为有限元（FEM finite element method）、离散元（DEM discrete element method）、还有边界元（EEM）。2、离散元方法：最早是1971年由Cundall提出的一种不连续数值方法模型离散元理论是由分析离散单元的块间接触入手找出其接触的本构关系建立接触的物理力学模型并根据牛顿第二定律建立力、加速度、速度 及其位移之间的关系对非连续、离散的单元进行模拟仿真。3、有限元方法：插值是基于网格的、所以需要人为做好单元、这很耗时间、但是单元就好像人们修了路一样、计算的时候可以节省很多时间、效率比较高。同时、这也是有限元法的一个缺点、大变形问题中的网格畸变问题、本质在于单元插值造成的 。

有限元分析的意思如下：有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素（即单元），就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。因为实际问题被较简单的问题所代替，所以这个解不是准确解，而是近似解。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。知识拓展有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。简介有限元法最初应用于航空器的结构强度计算，随有计算机技术的快速发展和普及，现在有限元方法因其高效已广泛应用于几乎所有的科学技术领域。

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素（即单元），就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。有限元法最初应用于航空器的结构强度计算，随有计算机技术的快速发展和普及，现在有限元方法因其高效已广泛应用于几乎所有的科学技术领城。扩展资料应用：有限元分析计算，即操作ANSYS WORKBENCH软件进行分析和计算的环节，是使用软件的主要部分，主要包括分析模块选择、网格划分、载荷和约束加载、求解计算。依照分析方案，本文选择Static Structural静态结构模块。网格划分是有限元分析计算的核心环节，占有至关重要的作用，网格划分质量的好坏，直接决定了计算结果的误差精度，同时也决定了计算过程所耗费的时间，有些情况下甚至决定了计算能否成功进行。很多计算过程中报错，都是因为网格划分不合格造成的。对于静力结构分析来说，网格划分有很多种不同的方式，相互差异很大。本次课题分析中，使用ANSYS WORKBENCH的自动网格划分，软件对于能扫略的部件会使用六面体进行分网，对于不可扫略的部件用四面体或四棱柱分网。分网完毕后，软件中Mesh的属性列表中有Mesh Metric网格质量评分，其中Average值表示平均网格质量，一般情况下，如果Average数值大于0.7，即表示网格质量较好。结合软件评分，需要不断对网格划分进行重新划分调整，直至满足要求。参考资料来源：百度百科-有限元分析

有限元分析步骤介绍如下：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

分类: 教育/科学 >> 科学技术 >> 工程技术科学 解析: 有限元是那些 *** 在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。 有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。 对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

答：有限元法基于位移法理论，是适用于计算机数值计算的弹性力学位移法，他的解在单元节点上是精确的，其他部分的结果由单元节点插值得到，是逼近真实解的数值解，二者间存在误差，属于计算力学的一个方法，应用现代计算机可以解算复杂结构，是工程结构分析实用性好、经济效益好的力学分析方法。而弹性力学中普通位移法是用高等数学解析法研究弹性力学的问题，它的解是精确解，但仅适用于一部分结构或构件的分析（通常是较简单的结构或构件），对复杂结构则不适用。这是二者主要的区别。

靠着实力李宏烨博士夫妻可是相声界的红人，成名完全是靠着实力，和炒作没有太大关系。就在去年，因为《相声有新人》节目中，因为和郭德纲在学术上的争论，一时间引起了热议。李宏烨利用自己的大学时光，将相声理论完全类比到工学自动化专业的“有限元”原理上，得到了“效果总预期”，可以说是精准无误。在节目中，对郭德纲言语上，多有轻蔑，郭德纲以一句“我们不是一个行业”进行了强有力的回应。当然，一个是高等学府的博士夫妻，另一个是把相声炒到万元的传统艺人，大家也都是纷纷站队，进行了唇枪舌战。贬低郭德纲老师李博士博文声称，"我内心尊重郭德纲前辈"，并透露"很多人希望借我的嘴来评价徳云社，贬低郭德纲老师"。前辈.老师不绝于口，说的多么诚恳且好听呀，我想，如若郭德纲看到一定会感激涕零的。但于我而言，也许我过于挑剔，也许对李博士既往的言行记忆犹新，反正通篇我没有感知到丁点的尊重，倒是隐隐约约看到了不只一处的黑。但对于公式相声来说，虽然理是这个理，比如黄金分割点，没提出来之前确实感觉美，但闹不清为啥觉得美。但这对夫妇有点扯淡的意思。最多也就是和建立一套相对公平的评价体系沾点关系。但是研究对象是个随机变量，终究是一个笑话。卖不出书如果真的卖不动票，也卖不出书，李宏烨不如转行从事教师行业还算是正业，不然别总拿学位来说事儿，相声界不排斥高学历但只不过就是大众学府的专业出身罢了相声本身就是一座学府，能在相声学府毕业的才是真学历相声不能直面现实，而只活在自己的世界里，说很有理想也对，说很愚昧也没错。脚踏实地一点吧，虽然你是博士，但你做的事情毕竟跟你学的专业毫无关系，这位一个门外汉这么一点不谦虚不踏实，能成功才叫怪。爆发的过程但在我看来，相声包袱的效果，就是一个爆发的过程，在情理之中但又在意料之外。而既然都读到交大的材料博士了，找点啥工作不是吃饭呢？何必成为一个新的“包袱呢”？术业有专攻，你不去抢相声演员的饭，哪个相声演员也不会去抢一个博士的饭辙！并非没那心，关键他干不了，所以连心都不起。我们可以开玩笑说，郭德纲拯救了相声，拯救了梆子，拯救了评剧，有谁说郭先生拯救了航天事业，拯救了高分子和应用化学呢基本功扎实成为一名好的相声演员，不仅要基本功扎实，又要头脑灵活上话快。虽说勤能补拙，但对于相声演员来说天赋极为重要，不仅仅是幽默表演上的天赋，还有长相因素。比如说有的演员一上场还没开口，观众看到就想乐。有的演员就不行，就像这位博士，满脸凶相、一脸横肉，观众看了除了想上去赏他一顿嘴巴子哪里还能乐的出来？所以不是这块料就别干这一行好不？要怪就怪祖师爷不赏饭吧

强制边值条件又叫本质边值条件，他是强加给方程是必须满足的，在接下来的讨论中比如极小位能原理、虚功原理中也必须满足，在一定程度上强制边值条件限定了我们讨论问题的函数子空间，或者说我们总是依照强制边值条件选择函数子空间来分析问题；而自然边值条件则是积分方程或别的方程自动满足的条件，比如某些变分问题的解自动满足的条件。

第二版序言第一版前言主要符号引言第一章 杆件结构1.1 直梁1.2 平面刚架1.3 空间杆结构练习题第二章 平面问题——直接离散化2.1 平面问题的应变与应力2.2 单元与节点——连续体的离散化2.3 三角形三节点单元刚度分析2.4 解题过程2.5 矩形四节点单元练习题第三章 势能极小原理的有限元解法3.1 求解域的剖分和分片插值3.2 刚度矩阵及其迭加3.3 节点载荷与位移方程3.4 收敛条件练习题第四章 三维问题4.1 三维应力状态4.2 三维分析的简单四面体单元4.3 轴对称变形4.4 轴对称问题的简单三角形单元练习题第五章 薄板弯曲5.1 薄板的弯曲变形5.2 四节点的矩形薄板单元5.3 薄板弯曲的相容性问题5.4 九参数三角形薄板单元5.5 其他板单元练习题第六章 薄壳6.1 概壳6.2 矩形板单元用于柱壳分析6.3 用三角形平板单元分析任意形状壳体6.4 轴对称薄壳练习题第七章 参数单元7.1 平面四节点等参元7.2 20节点三维等参元7.3 一般的等参元练习题第八章 温度场及热应力的有限元计算8.1 平面稳定温度场8.2 平面热应力练习题第九章 结构有限元动力分析9.1 结构的动力方程9.2 动力方程的简化练习题第十章 复杂结构分析的几个问题10.1 不同单元的组合10.2 位移约束处理练习题附录 结构有限元分析练习程序参考文献汉英名词对照索引作者简介

O(∩_∩)O哈哈~用的到，用的多。

它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：1） 物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。2） 单元特性分析A、 选择位移模式在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数，如y= 其中 是待定系数， 是与坐标有关的某种函数。B、 分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。C、 计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。3） 单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程 （1-1）式中，K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；f是载荷列阵。4） 求解未知节点位移解有限元方程式（1-1）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。通过上述分析，可以看出，有限单元法的基本思想是"一分一合"，分是为了就进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。 有限元的发展概况 021943年 courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。 1960年 clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称。 1970年 随着计算机和软件的发展，有限元发展起来。 涉及的内容：有限元所依据的理论，单元的划分原则，形状函数的选取及协调性。 有限元法涉及：数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性。 应用范围：固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学 求解的情况：杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）。能求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题），水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。

怎么会呢第一个是initialstep初始分析部你定义边界条件约束之类的都是在这一步里的，这一步是初始状态，后来的例如step-1就是荷载变化了或者边界变化了总之就是变化后的分析过程，这个变化量abaqus将其分为很若干段，利用有限元的原理进行积分、迭代计算得出你要输出的结果，所以第一步是一个初始的变化状态，第二步是变化后的状态，这两步的差距就是变化量。明白么

有限元法，有限差分法和有限体积法的区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

abaqus太难了参考书还少...图书馆就几本相比之下ansys有一书架 还有导入模型也有问题

笛卡尔坐标系:分别代表X位移、Y位移、Z位移、X旋转、Y旋转、Z旋转。柱坐标系:分别代表R位移、T位移、Z位移、R旋转、T旋转、Z旋转。

协调与否是针对“位移和应变连续与否”来说的:) 如果单元位移函数(也称为形函数)能保证在单元内和单元边界上位移和应变都连续，那么这就是协调有限元，即你说的“协调性模式”，反之就是非协调元。 一般都要求单元是协调单元，否则会出现位移不连续的情况(这与实际不符)。当然，也有用非协调元的，但要通过一些检验判断是否可用，如小片检验原理。在没达到一定深度和能力前，一般都只用协调元。 所以，协调与否与网格无必然联系，而是与形函数有关（商用软件中这些都已经保证好了），网格只要做到连续不间断就行了。

线性就是指坐标轴里的直线,理论力学,材料力学,结构力学里绝大多数公式都是线性的。 线性问题就是指圆,椭圆,抛物线这种力,包括位移曲线或材料曲线都能否与线性构成联系

本书内容包括：有限元方法构造及其在电子计算机实现的全过程，椭圆边值问题变分原理，有限元解的收敛性，非标准有限元方法，以及有限元方法在科学与工程中的应用，并且介绍了作者几年来在工程问题中的部分研究成果．....

用matlab进行有限元分析的步骤：（1） 单元划分（选择何种单元，分成多少个单元，标号） ；（2） 构造单元刚度矩阵；（3） 组装系统刚度矩阵（集成整体刚度矩阵） ；（4） 引入边界条件（消除冗余方程）；（5） 解方程；（6） 后处理（扩展计算）。

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有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 　　构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达 式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 　　有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法。从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 有限体积法(Finite Volume Method)又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。 有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。概念：将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。每个单元的顶点称为节点（或结点）。思想：有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的。

有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值 ，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

发现很多人对有限元的理解并不是特别深刻。有限元只是求解偏微分方程的一种数值方法而已。所以理解有限元你必须要反思你学过的数值方法，比如数值分析的时候你是如何近似一个函数的，如何近似积分，近似导数？？我们会发现数值方法的核心是 空间内的一组基来近似 空间内的复杂形式。简单说就是利用 一组简单的表达式来近似任何复杂的形式。拉格朗日插值不就是采用非常简单的基函数来形成的。数值积分我们都是划归到了对多项式的积分上。。。。理解了数值方法的核心再理解有限元就简单多了，有限元求解的对象是偏微分方程。考虑偏微分方程，最终的解的定义域是在一个区域内的，这个区域内的解析表达式是非常困难的。这时候理所当然大家就会考虑怎么求解这个问题呢？肯定是在这个区域内找一些简单函数去近似拟合，比如利用多项式 利用周期函数等等。。。。但是在这样求解的过程中又会发现，我们在整个区域内近似是非常困难的，对于很多问题还是不是那么容易求解，试想一个形状非常不规则的区域？？？这时候，科学家就会萌生了能否我把整个区域的问题划分成一系列的简单区域，简单区域上问题求解是非常简单的，最终的结果把所有区域结合起来不就可以了吗？ 这时候科学家又会联系到，结构力学中的杆件结构，因为在杆件结构中已经有了这样的方法。所以经过一系列的推导就有了这样分片求解问题的方法 即有限元方法。有限元并没有什么复杂的，楼主也不要被什么最小势能，变分原理吓住，因为这些都是在逐步完善有限元方法过程中理论的完善，最小势能，变分原理是为了建立有限元的弱形式，或许你会问 弱形式是什么呢？ 举个例子，如果我们分析的微分方程式二阶的，也就是方程中含有关于自变量的二阶导数，那么我们建立的近似函数是不是也要具有二阶呢？答案是肯定的，事实证明，阶段太高是非常不利于问题求解的，那么就会思考可不可有一种等效的形式，但是阶次又是比较低的？当然有了，这就是弱形式，试想如果可以用一次函数去近似是不是非常简单呢？不得不说这是有限元方法得以这么盛行的非常重要的理论基础。

9.4.1 基本原理对于直流线源二维地电问题，电位满足的微分方程由（8.2.14）式表示地球物理数据处理教程上式是在取y轴平行于线源和地质体走向时得到的。为简单计，我们将电源挖掉，即计算区域内不包含电流源项，在地面边界取绝缘边界条件，并在其它边界取强加边界条件，例如在挖去电流边界处取理论计算值，在外边界取零，这时（8.2.14）式变为地球物理数据处理教程将计算区域进行有限单元剖分，在每个单元中设 σ 为常数，这样在每个单元内（9.4.1）式变成拉普拉斯方程地球物理数据处理教程这样，对于线源二维问题，求解u（x，z）的问题也就是求解满足上面边界条件的拉普拉斯方程的问题，这是电法正演中的最简单情况。已经证明，这类问题可以等价于求下列泛函的极小值问题地球物理数据处理教程用有限单元法求解使泛函取极小值的u，其过程与一维有限元法类似。9.4.2 区域剖分图9.5 三角形单元常用的办法是将D域剖分成许多小的三角形单元（当然也可以剖分成其他形状的单元，但三角形单元最简单），某一个三角形单元如图9.5所示。当边界是曲线时，用三角元的一边近似，在遇到内部介质分界线时，不容许三角元跨越分界线；此外，不容许三角元顶点落在其它三角元的边上；还要避免出现太尖、太钝的三角元。在u变化大的地方，三角元密一些，反之稀一些。各单元的顶点称为节点，将所有节点和三角元分别按一定顺序编号。为下面分析需要，对任一三角元e的三顶点（节点），按逆时针编号为i，j，m，其坐标为（xi，zi），（xj，zj），（xm，zm），其函数值为ui，uj，um。除第一类边界条件给定的边界节点上的函数值是已知的外，其余节点上的函数值都是待求的。这样一来，将连续函数u（x，y）的求解化成节点上离散函数值的求解。9.4.3 线性插值由于各三角形单元取得足够小，使得可以假定各单元内电位随坐标是线性变化的，即u（x，z）是线性函数，有u=α1+α2x+α3z （9.4.3）同时对三个顶点有地球物理数据处理教程按克莱姆法则解上述方程组可求得地球物理数据处理教程其中地球物理数据处理教程αi=xjzm-xmzjαj=xmzi-xizmαm=xizj-xjzibi=zj-zmbj=zm-zibm=zi-zjci=xm-xjcj=xi-xmcm=xj-xi地球物理数据处理教程将α1、α2和α3代入（9.4.3）式中，整理可得地球物理数据处理教程或写为u（x，z）=Ni（x，z）ui+Nj（x，z）uj+Nm（x，z）um（9.4.4）式中：地球物理数据处理教程以上式中Δe为三角形单元的面积。9.4.4 单元分析及总体合成只研究（9.4.2）式对单元 e 的积分，记作 Je。将（9.4.4）式代入（9.4.2）式中并沿整个单元积分，为求得使（9.4.2）式取极小的函数 u，对任意节点微分（9.4.2）式可得地球物理数据处理教程由（9.4.5）式有关系地球物理数据处理教程而地球物理数据处理教程再由（9.4.5）式有关系地球物理数据处理教程将以上关系代入上式积分中，由于积分号内均为常数，可以提出积分号外，而地球物理数据处理教程最后可得地球物理数据处理教程同理可得地球物理数据处理教程或改写为地球物理数据处理教程地球物理数据处理教程矩阵［k］e称为单元系数矩阵，其中元素地球物理数据处理教程由于krs=ksr，所以k阵为对称矩阵，［u］e是单元节点电位值组成的列向量。如果节点r不属于单元e，则Je（u）中不含有ur，所以 =0，于是我们将（9.4.7）式扩展成地球物理数据处理教程（矩阵中的虚点均为零元素）扩展后的矩阵是l0阶方阵，l0是节点总数；扩展后的列向量 ｛u｝ 由全体节点函数值组成。将所有单元Je（u）合成，得到整个区域的J（u）地球物理数据处理教程它是所有节点函数值u1……ul0的函数，写成J（u）=J（u1……ul0）也可将J（u）看成变量u1……ul0的多元函数，所以泛函取极值相当于多元函数取极值地球物理数据处理教程图9.6 两个三角形单元的示意图①单元节点编号：1、2、3；②单元节点编号：3、2、5即分别对各单元求偏导数，然后合成。对每一个单元求偏导数都可获得形如（9.4.8）的式子。两个三角元的顶点不同，式（9.4.8）的矩阵中的非零元素所占的行、列也不同，但等式两边的列向量完全相同，所以将全部三角元的偏导数合成时，只要将矩阵中的对应元素加起来就可以了。例如：第①单元的节点编号为1、2、3，第②单元节点编号为3、2、5（逆时针顺序），如图9.6，这两个三角元的偏导数按如下方法合成：地球物理数据处理教程地球物理数据处理教程将全部单元合成，有地球物理数据处理教程简记成［k］［u］=0。n阶矩阵［k］称为总体系数矩阵，它由许多对称矩阵合成，所以也是对称的。此外，数学上还可证明是正定的。从式（9.4.8）可见，非零元素只存在于三角元三顶点编号所对应行和列的九个交叉位置上，其他均为零元素，所以总体系数矩阵［k］中包含着大量零元素，称为稀疏矩阵。离主对角线最远的非零元素的位置取决于所有三角元顶点编号的最大差值R（绝对值）。最后，解线性代数方程组，矩阵方程实际上就是m个线性代数方程，其中m是待求函数值的节点数，解这个方程组，即可求得这些节点上的函数值。

在现代机械设计中，有限元分析方法（The Finite Element Analysis Method）是不可缺少的重要手段。1956年，M. J. Turner，R. W. Clough，H. C. Martin，L. J. Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把连续几何模型划分成一个个三角形和矩形的“单元”，并为所使用的单元指定近似位移函数，进而求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1954—1955年，J. H. Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在著名的题为《The Finite Element in plane stress analysis》的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语，并在后来被广泛地引用，成为这种数值方法的标准称谓。与此同时，数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法，这为有限元方法在以后的发展奠定了数学和理论基础。在1963年前后，经过J. F. Besseling，R. J. Melosh，R. E. Jones，R. H. Gallaher，T. H. H. Pian等许多人的工作，人们认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，从而发展了使用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O. C. Zienkiewicz和Y. K. Cheung发现，对于所有的场问题，只要能将其转换为相应的变分形式，就可以用与固体力学有限元法相同的步骤求解。1969年B. A. Szabo和G. C. Lee指出可以用加权余量法特别是迦辽金（Galerkin）法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国的力学工作者为有限元方法的初期发展作出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法）、钱令希（余能原理）、钱伟长（广义变分原理）、胡海昌（广义变分原理）、冯康（有限单元法理论）。有限元法的基本思想：通过离散化将研究对象变换成一个与原结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力位移、应变等参数的数值计算方法，如图4-19所示。假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论（如变分原理或虚动原理等）或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。随着计算机技术的飞速发展，有限元已成为机构分析的有效方法和手段，有限元法的应用领域已涉及机械工程、土木工程、航空结构、热传导、电磁场、地质力学等众多领域。它几乎适用于所有连续介质和场的问题，成为科学研究和工程设计必不可少的数值分析工具。图4-19　建立有限元模型的一般步骤有限元法的计算步骤可以归纳为网格划分、单元分析和整体分析3个基本步骤。（1）网格划分。有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格，如图4-20所示。图4-20　有限元网格（2）单元分析。对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。（3）整体分析。图4-21　整体分析着电子计算机容量的迅速提高，现在商品化有限元程序越来越广泛地被人们所接受，人们不必在编写程序上花费大量精力，不仅如此，商品化的有限元程序的发展还使用户能够摆脱手工网格的划分，简化了前期处理过程，省去了逐点输入结点坐标和单元联结信息程序，而且通过屏幕菜单方法可以得到良好的人机对话环境，并能在计算机结构分析上获得鲜明的视觉效果。著名的商品化有限程序有NASTRAN，ADFNA/ADINAT，ANSTS，COSMOS/MSAP等。这些程序的分析范围和功能存在差异，在使用时应根据分析范围的不同选择合理的程序。

计算机辅助设计、辅助分析、辅助制造会越来越流行和得到重视。主要是因为仿真分析可以帮助大大的缩短开发或解决问题的周期、降低成本和预测风险。有限元分析作为期中的一类，前景是很不错的。仿真技术有前景，但是不代表做仿真的就有前途。要成为有前途和竞争力的仿真技术人员，先要理解仿真的本质、价值和挑战。否则，就容易成为仿真软件的操作工。仿真的本质是理论建模和计算。仿真的价值是通过理论计算来模拟实际的使用和测试状态，用于对象的评估分析。仿真的主要挑战是提升仿真准确度，即减小仿真结果与实际的偏差。理解了仿真的本质、价值和挑战，我们就很容易看出来，成为有竞争力的机械仿真技术人员，需要做好以下几个方面：1. 扎实的机械理论知识。力学、材料学原理是基础，如果涉及到动态或者疲劳仿真，还有动力学、疲劳寿命原理。此外还要掌握机械原理、制造工艺等相关理论。有扎实的机械理论知识才能进行准确的仿真建模，以及对仿真结果进行专业的解析。2. 对产品功能的理解。要准确的对产品进行仿真建模和分析，必须对产品的功能有充分的理解，这包含两个方面：对产品工作机理的理解，即功能实现的原理、理论模型、材料特性等对产品的工作条件和测试条件的理解，包括生产成型条件、载荷、加载方式、工作环境条件等。3. 对软件及二次开发技能的掌握。软件功能模块都是针对通用产品的，对于特定的产品，需要选择最施用的处理方法和算法，甚至需要有针对性的进行二次开发。4. 与测试交互比对和迭代。仿真是模拟现实的理论分析，仿真的准确度需要现实的数据和结果进行比对评估。仿真通常需要在两个层次上与测试进行比对：输入参数：实际材料特性、物理尺寸，实际加载特性、受载特点等。结果数据：实际结果分析方法、结果数据及特点等。同其他工程技术一样，仿真也是一门独立的技术，需要开发、应用、迭代和优化。专业的仿真技术人员的价值是开发仿真方法、建立仿真数据库、制定仿真标准和应用仿真解决复杂问题。

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 　　对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分 的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可 以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式 的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步 长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。　　构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达 式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几 种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。　　有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 (2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。 (7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就 是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。 限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制 体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

有限元的意思是：有限元在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。在20世纪60年代，有限元法(Finite Element Method)被美国、苏联与中国的数学家分别独立地提出来。我国有限元法先驱冯康于1965年发表《基于变分原理的差分格式》一文，在极其广泛的条件下证明了方法的收敛性与稳定性。目前，国际公认的有限元法思想先驱包括: Richard Courant(美国)，Loannis Argyris(希腊)，Leonard Oganesyan(苏联)，冯康（中国）(from wikipedia)。著名力学家、美国工程院院士奥登(J. T. Oden, 1936—)在其《有限元的历史评论》一文中指出：“冯康1965年用中文写作的文章，西方十多年后才予以了解，被很多人认为是有限元方法收敛性的第一个证明。”

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将 求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级 数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数 问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 　　对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分 的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可 以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式 的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步 长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。　　构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达 式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几 种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。　　有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 (2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。 (7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就 是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。 限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制 体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。

有限元法是一种有效解决数学问题的解题方法。其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，单元上所作用的力等效到节点上，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，就是用叉值函数来近似代替 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。望采纳，谢谢

有限元法是一种有效解决数学问题的解题方法。其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，单元上所作用的力等效到节点上，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，就是用叉值函数来近似代替，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。望采纳，谢谢

1、有限元法有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。2、有限差分法微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商。从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。

有限元方法的实质是将连续函数离散化形成一系列具有一定尺度的数据再加以计算。就是利用微积分的逐渐逼近原理进行计算。选取尺度越小，计算所得数据越精确，计算量成几何级数增大。

使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表示。有限元法是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。

有限元方法的基本原理：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表示。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

有限元法的基本思想如下：1、把变形体看成是有限数目单元体的集合，单元之间只在指定节点处铰接，再无任何关连，通过这些节点传递单元之间的相互作用。如此离散的变形体，即为实际变形体的计算模型。2、分片近似，即对每一个单元选择一个由相关节点量确定的函数来近似描述其场变量（如速度或位移）并依据一定的原理建立各物理量之间的关系式。3、将各个单元所建立的关系式加以集成，得到一个与有限个节点相关的总体方程。解此总体方程，即可求得有限个节点的未知量（一般为速度或位移），进而求得整个问题的近似解，如应力应变、应变速率等。所以有限元法的实质，就是将具有无限个自由度的连续体，简化成只有有限个自由度的单元集合体，并用一个较简单问题的解去逼近复杂问题的解。原理及优缺点：1、原理。将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。2、优点。有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。3、缺点。有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。

有限元方法的基本原理：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表示。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。扩展资料：有限元法常应用于流体力学、电磁力学、结构力学计算，使用有限元软件ANSYS、COMSOL等进行有限元模拟，在预研设计阶段代替实验测试，节省成本。用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。

有限元方法的基本原理：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表示。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。扩展资料：有限元法常应用于流体力学、电磁力学、结构力学计算，使用有限元软件ANSYS、COMSOL等进行有限元模拟，在预研设计阶段代替实验测试，节省成本。用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。

有限元方法的基本原理：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表示。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。扩展资料：有限元法常应用于流体力学、电磁力学、结构力学计算，使用有限元软件ANSYS、COMSOL等进行有限元模拟，在预研设计阶段代替实验测试，节省成本。用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。

如下：1、静力学是理论力学的一部分，研究刚体在静力作用下力的分布。2、材料力学研究变形体的受力，主要研究对象是单根杆件的拉压弯扭。静力学也可应用于动力学。借助于达朗伯原理，可将动力学问题化为静力学问题的形式。静力学在工程技术中有广泛的应用。例如设计房梁的截面，一般须先根据平衡条件由粱所受的规定载荷求出未知的约束力，然后再进行梁的强度和刚度分析。扩展资料在材料力学中，将研究对象被看作均匀、连续且具有各向同性的线性弹性物体。但在实际研究中不可能会有符合这些条件的材料，所以需要各种理论与实际方法对材料进行实验比较。材料力学的研究内容包括两大部分：一部分是材料的力学性能（或称机械性能）的研究，材料的力学性能参量不仅可用于材料力学的计算，而且也是固体力学其他分支的计算中必不可缺少的依据；另一部分是对杆件进行力学分析。杆件按受力和变形可分为拉杆、压杆(见柱和拱)、受弯曲（有时还应考虑剪切）的梁和受扭转的轴等几大类。杆中的内力有轴力、剪力、弯矩和扭矩。杆的变形可分为伸长、缩短、挠曲和扭转。

有限元法基本概念和原理有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。 有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。 对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。 对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。 第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

数值计算方法。既然是数值计算，那就需要把连续的东西离散，切成一块块的，这个就叫单元。不同算法描述单元的方法不同；有限元基于变分原理，通过假设的近似函数来描述单元；事实上，在应用中，是通过节点的插值实现的。而假设的函数不是唯一的，越复杂，他的能力越强。回到结构力学，我们通过“形函数”描述不同单元的行为。结合模型的方程及自由度等，像杆单元，梁单元，壳单元，实体单元等，前人都给设定好了，在应用过程中只要选择处理问题的所需的单元类型就行了。分析二力杆体系，就用杆单元就行了；分析弯曲就需要用梁单元。梁单元可以覆盖杆单元。

Ansys Workbench易学，对于工程应用已足够，ansys操作界面较差，难以掌握。

有限元主流的软件是ANSYS 里面可以做力学、流体、电磁等各领域的有限元仿真，ANSYS 13以上都有Workbench了 也就是都是界面化操作 学起来很直观很容易 要想学好还是要深入的 除了软件使用 可以看看有限元原理的书籍 比如《有限单元法》

　　有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。　　有限体积法又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。 有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。 采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。 在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0.

我有我们老师上课的的课件..是PPT的我存在电脑里很需要的话我可以发给你..842..46 146我QQ

有限元法,有限差分法和有限体积法的区别x0d有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用.该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域.有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组.该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法. 对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等.目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式.差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定.x0d构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法.其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度.通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式.x0d有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解.采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法.有限元方法最早应用于结构力学,后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟.在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成.在河道数值模拟中,常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等.根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式.从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等.不同的组合同样构成不同的有限元计算格式.对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中,先在计算域内选取N个配置点.令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0.插值函数一般由不同次幂的多项式组成,但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示,但最常用的多项式插值函数.有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值,称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身,还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特(Hermite)多项式插值.单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对称和不对称等.常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的几何形状,一维看作长度比,二维看作面积比,三维看作体积比.在二维有限元中,三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广.对于二维三角形和四边形电源单元,常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等.x0d对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为x0d(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点.x0d(2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元.区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值.x0d(3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数.有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元具有规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则.x0d(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组,称为单元有限元方程.x0d(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加,形成总体有限元方程.x0d(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件).对于自然边界条件,一般在积分表达式中可自动得到满足.对于本质边界条件和混合边界条件,需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足.x0d(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有待定未知量的封闭方程组,采用适当的数值计算方法求解,可求得各节点的函数值.x0d有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法.其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分,便得出一组离散方程.其中的未知数是网格点上的因变量的数值.为了求出控制体积的积分,必须假定值在网格点之间的变化规律,即假设值的分段的分布的分布剖面.从积分区域的选取方法看来,有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来,有限体积法属于采用局部近似的离散方法.简言之,子区域法属于有限体积发的基本方法.x0d有限体积法的基本思路易于理解,并能得出直接的物理解释.离散方程的物理意义,就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理,如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样.限体积法得出的离散方程,要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足,对整个计算区域,自然也得到满足.这是有限体积法吸引人的优点.有一些离散方法,例如有限差分法,仅当网格极其细密时,离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下,也显示出准确的积分守恒.就离散方法而言,有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物.有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数）,并将其作为近似解.有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化.有限体积法只寻求的结点值,这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时,必须假定值在网格点之间的分布,这又与有限单元法相类似.

杆单元直接连接两个节点就可以了。不需要先生成线再划分单元网格，那样太麻烦。而且记住，线划分杆单元网格时永远只能一条线一个单元

你说的对，这两种方法都是将求解域划分成有限个网格进行近似求解。其最根本的区别在于：有限差分法是利用级数的概念将连续函数离散化，正如高等数学上所学的连续函数用泰勒级数表达一样，网格上的结点就是级数中的一个取值点，这样以级数和的形式求得最终的解，这个解是近似解，其余项就是误差。有限元法是利用插值原理对求域进行近似求解，将求解域划分网格，每个网格看作一个单元进行求解，这样可以得到若干有限个单元的解，这些解的集和构成整体函数的解。就是说每个单元一个解，这些解分布在整个求解域上，构成不同区域解的变化，如力的变化，温度的变化，这样就可以宏观上看到在不同点上不同的值了。

第1篇 有限元分析的基本原理第1章 绪论1.1 概况1.2 有限元方法的历史1.3 有限元分析的内容和作用第2章 有限元分析的力学基础2.1 变形体的描述、变量定义、分量表达与指标记法2.2 弹性体的基本假设2.3 平面问题的基本力学方程（分量形式，指标形式）2.4 空间问题的基本力学方程（分量形式，指标形式）2.5 弹性问题中的能量表示2.6 特殊问题的讨论2.7 典型例题及详解2.8 本章要点及参考内容2.9 习题第3章 有限元分析的数学求解原理3.1 简单问题的解析求解3.2 弹性力学问题近似求解的加权残值法3.3 弹性问题近似求解的虚功原理、最小势能原理及其变分基础3.4 各种求解方法的特点及比较3.5 典型例题及详解3.6 本章要点及参考内容3.7 习题第4章 杆梁结构有限元分析原理4.1 有限元分析求解的完整过程4.2 有限元分析的基本步骤及表达式4.3 杆单元及其坐标变换4.4 梁单元及其坐标变换4.5 典型例题及详解4.6 本章要点及参考内容4.7 习题第5章 连续体的有限元分析原理5.1 连续体的离散过程及特征5.2 平面问题的单元构造5.3 轴对称问题及其单元结构5.4 空间问题的单元的一般原理和数值积分5.5 典型例题及详解5.6 本章要点及参考内容5.7 习题第2篇 有限元分析的误差、复杂单元及应用领域第6章 有限元分析 中的单元性质特征与误差处理6.1 单元节点编号与存储带宽6.2 形状函数矩阵与刚度矩阵的性质6.3 边界条件的处理与支反力的计算6.4 单元刚度阵的缩聚6.5 位移函数构造与收敛性要求6.6 C0型单元与C1型单元6.7 单元的拼片试验6.8 有限元分析数值解的精度与性质6.9 单元应力计算结果的误差与平均处理6.10 控制误差和提高精度的h方法和p方法6.11 典型例题及详题6.12 本章要点及参考内容6.13 习题第7章 有限元分析中的复杂单元及实现第8章 有限元分析的应用领域第3篇 有限元分析的建模、软件平台及实例第9章 有限元分析的实现与建模第10章 有限元分析的自主程序开发以及与ANSYS平台的衔接第11章 基于ANSYS平台的有限元建模与分析第12章 基于MARC平台的有限元建模与分析参考文献中文索引英文索引

主要区别是，性质不同、方法不同、应用不同，具体如下：一、性质不同1、里兹法是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法。2、有限元法有限元分析方法是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统进行的分析方法。二、方法不同1、里兹法是直接变分法的一种，以最小势能原理为理论基础。通过选择一个试函数来逼近问题的精确解，将试函数代入某个科学问题的泛函中，然后对泛函求驻值，以确定试函数中的待定参数，从而获得问题的近似解。2、有限元法有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。三、应用不同1、里兹法这一方法在许多力学、物理学、量子化学问题中得到应用。在机械工程领域，它被用于计算多自由度系统（如弹簧-质量系统、变截面轴上的飞轮）大致的共振频率；还可以计算圆柱体的折断载荷。2、有限元法有限元法在工程设计和科研领域得到了越来越广泛的重视和应用，已经成为解决复杂工程分析计算问题的有效途径，从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源和科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。参考资料来源：百度百科-瑞利-里兹法 参考资料来源：百度百科-有限元分析方法参考资料来源：百度百科-有限元分析

该书为有限元方法系列专著的第1卷——基本原理，涵盖了有限元分析的一些基础领域，同时还涉足有限元分析的前沿内容。该卷共20章，内容广泛，既强调有限元的数学力学原理，又结合工程实际背景。该书的第1版完成于1967年，到现在已出版第5版，历时40余年，成为有限元领域的经典著作，已有几代从事计算力学的学者从该书中受益。该书可作为高年级本科生和研究生的课程学习参考书，也是从事有限元研究的科研人员和工程技术人员的重要学习文献。对于希望进一步了解有关非线性固体力学有限元分析的读者，请阅读该系列专著的第2卷——固体力学（清华大学出版社，2006年6月出版）；对于希望进一步了解有关流体力学有限元分析的读者，请阅读该系列专著的第3卷——流体力学。

有限元法中,要解一个很大的方程组,有限元法中的收敛是不是指对该方程组迭代求解的收敛?

1、有限元法（finiteelementmethod）是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。2、有限差分法，微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商。从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解即收敛性，等等。

1，有限元法(finite element method)是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。2，有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。3，自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想:由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

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两条建议：①可以淘宝上买个视频教程，看着学更快。个人觉得workbench比APDL好学。②买一本带有很多实例分析的书籍，照着例子学更快。关于这个软件的知识，网上的比较少，而且还不全面。

在有限元法中，求总体刚度矩阵的方法有两种。一种是直接利用刚度系数集成的方法获得总体刚度矩阵；第二种是由单元刚度矩阵按节点的顺序编号叠加而成，而建立单元刚度矩阵的方法有直接刚度法、虚功原理法、能量变分法等等。以上两种方法都应用到叠加原理。

有限元法(finite element method)是20世纪60年代出现的一种数值计算方法。最初用于固体力学问题的数值计算，上世纪70年代在英国科学家Zienkiewicz O.C 等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度场，电磁场，也包括流场。 有限元法离散方程的获得方法主要有直接刚度法、虚功原理推导、泛函变分原理推导或加权余量法推导。一般采用加权余量法推导。 有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。但是在应用于流体流动和传热方程求解的过程中却遇到一些困难，其原因在于，按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似。当处理流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩条件等方面的要求时，有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释。对计算中出现的一些误差也难以进行改进。

入门的理论其实很简单，只要有一些力学基础绝对没问题，最好先了解一下弹性力学的有关内容，对于你们机械专业的人来说，有限元的力学原理只要了解即可，重要的是会使用有限元软件

ANSYS最大的应用之一就是土木工程，有很多书可以参考的！

在现代机械设计中，有限元分析方法（The Finite Element Analysis Method）是不可缺少的重要手段。1956年，M. J. Turner，R. W. Clough，H. C. Martin，L. J. Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把连续几何模型划分成一个个三角形和矩形的“单元”，并为所使用的单元指定近似位移函数，进而求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1954—1955年，J. H. Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在著名的题为《The Finite Element in plane stress analysis》的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语，并在后来被广泛地引用，成为这种数值方法的标准称谓。与此同时，数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法，这为有限元方法在以后的发展奠定了数学和理论基础。在1963年前后，经过J. F. Besseling，R. J. Melosh，R. E. Jones，R. H. Gallaher，T. H. H. Pian等许多人的工作，人们认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，从而发展了使用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O. C. Zienkiewicz和Y. K. Cheung发现，对于所有的场问题，只要能将其转换为相应的变分形式，就可以用与固体力学有限元法相同的步骤求解。1969年B. A. Szabo和G. C. Lee指出可以用加权余量法特别是迦辽金（Galerkin）法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国的力学工作者为有限元方法的初期发展作出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法）、钱令希（余能原理）、钱伟长（广义变分原理）、胡海昌（广义变分原理）、冯康（有限单元法理论）。有限元法的基本思想：通过离散化将研究对象变换成一个与原结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力位移、应变等参数的数值计算方法，如图4-19所示。假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论（如变分原理或虚动原理等）或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。随着计算机技术的飞速发展，有限元已成为机构分析的有效方法和手段，有限元法的应用领域已涉及机械工程、土木工程、航空结构、热传导、电磁场、地质力学等众多领域。它几乎适用于所有连续介质和场的问题，成为科学研究和工程设计必不可少的数值分析工具。图4-19　建立有限元模型的一般步骤有限元法的计算步骤可以归纳为网格划分、单元分析和整体分析3个基本步骤。（1）网格划分。有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格，如图4-20所示。图4-20　有限元网格（2）单元分析。对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。（3）整体分析。图4-21　整体分析着电子计算机容量的迅速提高，现在商品化有限元程序越来越广泛地被人们所接受，人们不必在编写程序上花费大量精力，不仅如此，商品化的有限元程序的发展还使用户能够摆脱手工网格的划分，简化了前期处理过程，省去了逐点输入结点坐标和单元联结信息程序，而且通过屏幕菜单方法可以得到良好的人机对话环境，并能在计算机结构分析上获得鲜明的视觉效果。著名的商品化有限程序有NASTRAN，ADFNA/ADINAT，ANSTS，COSMOS/MSAP等。这些程序的分析范围和功能存在差异，在使用时应根据分析范围的不同选择合理的程序。

《有限元法基本原理及应用》是高等教育出版社出版的图书。本书首先系统地阐述了有限元分析的基本理论，在此基础之上详细地介绍了通用有限元分析软件ANSYS的具体应用。全书分为上下两篇。上篇阐述了有限元法的基本原理，包括有限元法的基本思想、特点及其应用领域，弹性力学基本理论，弹性力学有限元法，有限元分析中的若干问题等内容。下篇以ANSYS为平台，系统论述了有限元求解问题的基本方法，内容包括ANSYS概述，ANSYS建模与网格划分，ANSYS加载与求解，ANSYS工程应用实例及其动力学分析等。

有限元法，有限差分法和有限体积法的区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。

有限元的意思是：有限元在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。在20世纪60年代，有限元法(Finite Element Method)被美国、苏联与中国的数学家分别独立地提出来。我国有限元法先驱冯康于1965年发表《基于变分原理的差分格式》一文，在极其广泛的条件下证明了方法的收敛性与稳定性。目前，国际公认的有限元法思想先驱包括: Richard Courant(美国)，Loannis Argyris(希腊)，Leonard Oganesyan(苏联)，冯康（中国）(from wikipedia)。著名力学家、美国工程院院士奥登(J. T. Oden, 1936—)在其《有限元的历史评论》一文中指出：“冯康1965年用中文写作的文章，西方十多年后才予以了解，被很多人认为是有限元方法收敛性的第一个证明。”