Chen-
原题应该是“求幂级数∑[(-1)^n (2n+1)/n]x^(2n)的和函数”吧？如果是，解答如下：
⑴先求所给幂级数的收敛域
令x^2＝t，则原幂级数成为
∑[(-1)^n (2n+1)/n]t^n ①
对幂级数①，系数an＝(-1)^n (2n+1)/n，用达朗贝尔判别法容易求得lim|an+1|/|an|＝1.所以，①的收敛半径r＝1.从而原幂级数的收敛半径也是1.
当x＝±1时，原级数成为∑[(-1)^n (2n+1)/n]，因其一般项的极限不是0，所以发散。
综上，原幂级数的收敛域为(-1,1).
⑵ 求和函数
设S(x)＝∑[(-1)^n (2n+1)/n]x^(2n), x∈(-1,1).
上式两边从0到x积分，得
∫(0,x)S(t)dt＝∑(-1)^n/n x^(2n+1).
上式两边同乘以1/2，并右端各项提取公因式x，得
1/2 ∫(0,x)S(t)dt＝x∑(-1)^n/(2n) x^(2n).
上式两边对x求导，得
1/2 S(x)＝∑(-1)^n/(2n) x^(2n)+x∑(-1)^n x^(2n-1)＝∑(-1)^n/(2n) x^(2n)+∑(-x^2)^n.
即
S(x)＝2∑(-1)^n/(2n) x^(2n)-2x^2/(1+x^2). ②
令G(x)＝∑(-1)^n/(2n) x^(2n)，x∈(-1,1).
则有
G"(x)＝∑(-1)^n x^(2n-1)
＝-x ∑(-x^2)^(n-1)＝-x/(1+x^2).
上式两端从0到x积分，得
G(x)＝∫(0,x) (-t)/[t(1+t^2)]
＝-1/2 ln(1+x^2).
将G(x)＝-1/2 ln(1+x^2)代入②，最后得到
S(x)＝-ln(1+x^2)-2x^2/(1+x^2), x∈(-1,1).
可可-
简单计算一下即可，答案如图所示
